Algèbre linéaire Résumé.pdf


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CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

Définition 5.6 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et q ∈ Q(E) de forme polaire ϕ. On dit que q ou ϕ est :
– positive si ∀x ∈ E, q(x) ≥ 0.
– négative si ∀x ∈ E, q(x) ≤ 0.
– définie si ∀x ∈ E, q(x) = 0 ⇒ x = 0.
Proposition 5.9 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle et q une forme quadratique positive sur E de
forme polaire ϕ.
p
– (Inégalité de Cauchy-Schwarz) : ∀x, y ∈ E, |ϕ(x, y)| ≤ q(x)q(y).
– ker q = {x ∈ E, q(x) = 0}. Autrement dit, pour tout x ∈ E on a q(x) = 0 ⇐⇒ ∀y ∈ E, ϕ(x, y) = 0.

– q est non dégénéré ⇐⇒ q est définie ⇐⇒ ϕ est un produit scalaire ⇐⇒ q est une norme euclidienne.
Définition 5.7 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle et q ∈ Q(E) de forme polaire ϕ.
– Soient x, y ∈ E. On dit que x et y sont ϕ-orthogonaux ou q-orthogonaux si ϕ(x, y) = 0.
– Soient A, B ⊂ E. On dit que A et B sont ϕ-orthogonaux ou q-orthogonaux si ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, ϕ(a, b) = 0.
– Une famille (x1 , . . . , xp ) de vecteurs de E est dite ϕ-orthogonale ou q-orthogonale si ∀i, j ∈ {1, . . . , p} avec i 6= j on a
ϕ(xi , xj ) = 0.
– Une famille de vecteurs de E est dite base ϕ-orthogonale ou q-orthogonale si elle est à la fois base de E et q-orthogonale.
Proposition 5.10 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle et q ∈ Q(E).
– Alors E admet une base q-orthogonale.
– Si E est euclidien alors E admet une BON qui est q-orthogonale.
Proposition 5.11 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle et q ∈ Q(E). On pose rgq = r.
– Il existe r formes linéaires linéairement indépendantes l1 , . . . , lr et des réels non nuls α1 , . . . , αr tels que ∀x ∈ E, q(x) =
α1 l12 (x) + · · · + αr lr2 (x).
– Si l1 , . . . , lp sont des formes linéaires linéairement indépendantes et α1 , . . . , αp des réels non nuls tels que ∀x ∈
E, q(x) = α1 l12 (x) + · · · + αp lp2 (x) alors p = rgq.
Théorème 5.1 (Loi d’inertie de Sylvester) Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle et q ∈ Q(E).
Il existe un couple (s, t) ∈ N2 et une base q-orthogonale B = (e1 , . . . , en ) telle que ∀x = x1 e1 + · · · + xn en , q(x) =
x21 + · · · + x2s − x2s+1 − · · · − x2s+t .
Le couple (s, t) ne dépend pas du choix de la base B. On l’appelle la signature de q.
Corollaire 5.12 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle et q ∈ Q(E) de signature (s, r − s).
2
Il existe r formes linéaires linéairement indépendantes l1 , . . . , lr telles que ∀x ∈ E, q(x) = l12 (x) + · · · + ls2 (x) − ls+1
(x) −
· · · − lr2 (x).
Corollaire 5.13 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle et q ∈ Q(E) de signature (s, t).
Soient l1 , . . . , lr des formes linéaires linéairement indépedantes et α1 , . . . , αr ∈ R non nuls tels que ∀x ∈ E, q(x) = α1 l12 (x) +
· · · + αr lr2 (x). Alors s = card{αi /αi > 0} et t = card{αi /αi < 0}.
Classification des coniques de R2 :
Nom :
Equation réduite :

x2
a2

Ellipse
2
+ yb2 = 1

Hyperbole
2
− yb2 = 1

x2
a2

Parabole
x2 = py

Proposition 5.14 Soit a, b, c ∈ R et C = {(x, y) ∈ R2 /ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey = f }. On pose ∆ = b2 − 4ac.
– Si ∆ > 0 alors C est une hyperbole ou réunion de deux droites non parallèles. On dit que C est de type hyperbole.
– Si ∆ < 0 alors C est une ellipse ou un point ou l’ensemble vide. On dit que C est de type ellipse.
– Si ∆ = 0 alors C est une parabole ou deux droites parallèles ou une droite ou l’ensemble vide. On dit que C est de type
parabole.
Classification des quadriques de R3 :
Nom :
Equation réduite :
Nom :
Equation réduite :
Nom :
Equation réduite :

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Ellipsoïde
2
2
+ yb2 + zc2 = 1
Hyperboloïde à deux nappes
y2
x2
z2
a2 − b2 − c2 = 1
Paraboloïde hyperbolique
y2
x2
a2 − b2 = z
x2
a2

cône
2
+
− zc2 = 0
Paraboloïde elliptique
y2
x2
a2 + b2 = z
cylindre hyperbolique
y2
x2
a2 − b2 = 1
x2
a2

11/11

y2
b2

Hyperboloïde à une nappe
y2
x2
z2
a2 + b2 − c2 = 1
Cylindre elliptique
y2
x2
a2 + b2 = 1
cylindre parabolique
x2
a2 = y

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