Algèbre linéaire Résumé.pdf


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CPGE Laayoune

Lissane Eddine





– Si p ∈ N et ϕ1 , . . . , ϕp ∈ E alors codim

p
\

Essaidi Ali

ker ϕi = rg(ϕ1 , . . . , ϕp ).

i=1

– Si p ∈ N∗ et ϕ1 , . . . , ϕp , ϕ ∈ E ∗ alors ϕ ∈ Vect{ϕ1 , . . . , ϕp } ⇐⇒

p
\

ker ϕi ⊂ ker ϕ.

i=1

3

Réduction des endomorphismes :

Proposition 3.1 Soient
K-espace vectoriel et u ∈ L(E). Si (Ei )i∈I est une famille de sous-espaces vectoriels de E
X E un\
stables par u alors
Ei et
Ei sont u-stables.
i∈I

i∈I

Proposition 3.2 Soient E un K-espace vectoriel et u, v ∈ L(E) tels que uv = vu. Alors ∀P ∈ K[X], ImP (v) et ker P (v) sont
u-stables. En particulier, si E est de dimension finie, ∀λ ∈ K, Eλ (v) est u-stable.
Théorème 3.1 (Théorème de décomposition des noyaux) Soient E un K-espace vectoriel, u ∈ L(E). Si P, Q ∈ K[X] tels que
P ∧ Q = 1 alors ker P Q(u) = ker P (u) ⊕ ker Q(u).
Proposition 3.3
– Dans un K-espace vectoriel de dimension finie, tout endomorphisme de E admet un polynôme minimal.
– Toute matrice de Mn (K) avec n ∈ N∗ admet un polynôme minimal.
Proposition 3.4 Soient E un K-espace vectoriel et u ∈ L(E). On suppose que u admet un polynôme annulateur non nul.
– Si K = C alors E admet une droite vectorielle u-stable.
– Si K = R alors E admet une droite vectorielle ou un plan vectoriel u-stable.
Proposition 3.5 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E), P ∈ K[X] et λ ∈ K une valeur propre de u.
Alors :
– P (λ) est une valeur propre de P (u).
– Si P est annulateur de u alors λ est une raçine de P .
Proposition 3.6 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E) et (λi )i∈I une famille de valeurs propres de u
deux à deux distincts.
– Si (xi )i∈I est
Xune famille de vecteurs propres de u telles que ∀i ∈ I, xi est associé à λi alors la famille (xi )i∈I est libre.
– La somme
Eλi (u) est directe.
i∈I

Corollaire 3.7 Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ alors tout endomorphisme de E admet au plus n
valeurs propres.
Propriété 3.1 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ E.
– λ ∈ Sp(u) ⇔ λ ∈ Z(χu ) où Z(χu ) désigne l’ensemble des raçines de χu .
– deg χu = dim E et χu = (−1)n (X n − tr(u) X n−1 + · · · + (−1)n det u).
– Si K = C ou χu scindé alors :
1. Sp(u) 6= φ donc u admet au moins une valeur propre.
X
Y
2. tru =
λ et det u =
λ où les valeurs propres sont comptées avec leurs ordres de multiplicités comme
λ∈Sp(u)

λ∈Sp(u)

raçines de χu .
Proposition 3.8 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Si λ ∈ Sp(u) alors (X − λ)dim Eλ (u) |χu . En
particulier, dim Eλ (u) ≤ m(λ).
Théorème 3.2 (Théorème de Cayley-Hamilton) Soit E est un K-espace vectoriel de dimension finie. Si u ∈ L(E) alors
χu (u) = 0. Autrement dit, χu est annulateur de u.
Corollaire 3.9 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Alors :
– πu |χu . En particulier, deg πu ≤ dim E.
– Sp(u) = Z(χu ) = Z(πu ).
– χu est scindé ⇐⇒ πu est scindé.
Théorème 3.3 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Les assertions suivantes sont équivalentes :
– u est diagonalisable.
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