Algèbre linéaire Résumé.pdf


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CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

– E admet
une base formée de vecteurs propre de u.
M
– E=
Eλ (u).
λ∈Sp(u)

– dim E =

X

dim Eλ (u).

λ∈Sp(u)

– u admet un polynôme annulateur scindé à raçines simples.
– χu scindé et ∀λ ∈ Sp(u), dim Eλ (u) = m(λ).
Corollaire 3.10 Si u admet n valeurs propres deux à deux distinctes alors u est diagonalisable.
Théorème 3.4 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Les assertions suivantes sont équivalentes :
– u est nilpotent.
– u est trigonalisable et Sp(u) = {0}.
– χu = (−1)n X n .
Théorème 3.5 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). u est trigonalisable ssi u admet un polynôme
annulateur scindé. En particulier, si K = C alors tout endomorphisme de E est trigonalisable.
Théorème 3.6 Soient E un K-espace vectoriel, u ∈ L(E), F un sous-espace vectoriel u-stable et v = uF . Alors :
– πv |πu et χv |χu .
– Sp(v) ⊂ Sp(v) et ∀λ ∈ K, Eλ (v) = Eλ (u) ∩ F .
– Si u est diagonalisable (resp. trigonalisable) alors v est diagonalisable (resp. trigonalisable).

4

Espaces préhilbertiens :

Définition 4.1 Soit E un K-espace vectoriel.
– Une application f : E → K est dite forme semi-linéaire sur E si :
1. ∀x, y ∈ E, f (x + y) = f (x) + f (y).
¯ (x).
2. ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, f (λx) = λf
– Une application ϕ : E × E → K est dite forme sesquilinéaire sur E si :.
1. ∀x ∈ E, y 7→ ϕ(x, y) est une forme linéaire sur E.
2. ∀y ∈ E, x 7→ ϕ(x, y) est une forme semi-linéaire sur E.
Définition 4.2 Soient E un K-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E tout application ϕ de E × E vers K telle
que :
– ϕ est une forme sesquilinéaire sur E.
– ∀x, y ∈ E, ϕ(y, x) = ϕ(x, y). On dit que ϕ est hermitienne.
– ∀x ∈ E, ϕ(x, y) ≥ 0. On dit que ϕ est positive.
– ∀x ∈ E, ϕ(x, x) = 0 ⇒ x = 0. On dit que ϕ est définie.
Dans ce cas, l’espace E muni du produit scalaire ϕ est dit espace préhilbertien.
Propriétés 4.1 (Règles de calcul dans un espace préhilbertien) Soit E un espace préhilbertien. Alors :
– ∀x, y ∈ E, ∀α, β ∈ K, kαx + βyk2 = |α|2 kxk2 + 2<e(¯
αβ < x, y >) + |β|2 kyk2 .
2
– Identité du parallèlogramme : ∀x, y ∈ E, kx + yk + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ).
– (Formules de polarisation) :
1. Si K = R alors ∀x, y ∈ E, < x, y >= 21 (kx + yk2 − kxk2 − kyk2 ) = 41 (kx + yk2 − kx − yk2 ).
3

2. Si K = C alors ∀x, y ∈ E, < x, y >=

1
1X 1
(kx + yk2 − ikx + iyk2 − kx − yk2 + ikx − iyk2 ) =
kx + ik yk2 .
4
4
ik
k=0

Proposition 4.1 Soit E un espace préhilbertien.
– (Inégalité de Cauchy-Schwarz) : ∀x, y ∈ E, | < x, y > | ≤ kxkkyk avec égalité si et seulement si (x, y) lié.
– (Inégalité de Minkowsky) : ∀x, y ∈ E, kx + yk ≤ kxk + kyk avec égalité si et seulement si (x, y) est positivement lié.
– L’application x 7→ kxk est une norme sur E appelée la norme euclidienne associée au produit scalaire sur E.
– L’application (x, y) 7→ kx − yk est une distance sur E appelée la distance euclidienne associée au produit scalaire sur
E.
Proposition 4.2 Soit E un espace préhilbertien.
– Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls de E est libre.
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