Algèbre linéaire Résumé.pdf


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CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

n

n
X 2 X


– (Théorème de Pythagore) Si (x1 , . . . , xn ) une famille orthogonale de vecteurs de E alors
xk =
kxk k2 .


k=1

k=1

Propriétés 4.2 Soient E un espace préhilbertien et A, B ⊂ E. Alors :
– A ⊥ A⊥ .
– A ⊥ B ⇐⇒ A ⊂ B ⊥ ⇐⇒ B ⊂ A⊥ .
– A ⊂ A⊥⊥ .
– A⊥ est un sous-espace vectoriel de E.
– A ∩ A⊥ = φ ou A ∩ A⊥ = {0}.
– A ⊂ B ⇒ B ⊥ ⊂ A⊥ .
– A⊥ = (Vect(A))⊥ .
– A ⊥ B ⇐⇒ A ⊥ Vect(B) ⇐⇒ Vect(A) ⊥ B ⇐⇒ Vect(A) ⊥ Vect(B).
Proposition 4.3 Soient E un espace préhilbertien et F, G deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :
– F ∩ F ⊥ = {0}. En particulier, la somme F + F ⊥ est directe.
– Si F ⊥ G alors la somme
XF + G est directe. Généralement, si (Fi )i∈I une famille orthogonale de sous-espaces vectoriels
de E. Alors la somme
Fi est directe.
i∈I

– F ⊥ + G⊥ ⊂ (F ∩ G)⊥ .
– (F + G)⊥ = F ⊥ ∩ G⊥ .
Proposition 4.4 (Orthonormalisation de Gram-Schmidt) Soient E un espace préhilbertien et (e1 , . . . , en ) une famille libre de
E.
Il existe une et une seule famille orthonormée (ε1 , . . . , εn ) de E telle que :

Vect{ε1 , . . . , εk } = Vect{e1 , . . . , ek }
∀k ∈ {1, . . . , n},
< εk , ek > > 0
La famille orthonormée (ε1 , . . . , εn ) est donnée par :
– ε1 = kee11 k .
ek −
– ∀k ∈ {2, . . . , n}, εk =


ek −


k−1
X
i=1
k−1
X
i=1

< εi , ek > εi
.


< εi , ek > εi


Corollaire 4.5 Soit E un espace préhilbertien de dimension finie non nulle. Alors :
– E admet une base orthonormale.
– Toute famille orthonormale de E se complète en une base orthonormale de E.
Proposition 4.6 Soient E un espace préhilbertien de dimension finie et F, G deux sous espaces vectoriels de E. Alors :
– F ⊕ F ⊥ = E. En particulier, dim F + dim F ⊥ = dim E.
– F ⊥⊥ = F .
– (F ∩ G)⊥ = F ⊥ + G⊥ .
Définition 4.3 Soit E un espace prhilbertien.
– Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.


1. Si F ⊥ G alors on dit que F et G sont en somme directe orthogonale et on note F ⊕ G.


2. Si F ⊕ G = E alors on dit que F et G sont supplémentaires orthogonaux.
– Si (Fi )i∈I une famille orthogonale de sous-espaces vectoriels de E alors on dit que les Fi pour i ∈ I sont en somme

M
directe orthogonale et on note
Fi .
i∈I

Proposition 4.7 Soit E un espace prhilbertien.
– Si E est de dimension finie alors tout sous-espace vectoriel de E admet un supplémentaire orthogonal.
– Soit F un sous-espace vectoriel de E. Si F admet un supplémentaire orthogonal G alors G = F ⊥ . Autrement dit, le
supplémentaire orthogonal de F , lorsqu’il existe, est unique c’est F ⊥ .
Définition 4.4 Soit E un espace prhilbertien.
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