Algèbre linéaire Résumé.pdf


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CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali



– Soit F un sous-espace vectoriel de E tel que F ⊕ F ⊥ = E. On appelle projection (resp. symétrie) orthogonale sur (resp.
par rapport à) F la projection sur (resp. symétrie par rapport à) F parallèlement à F ⊥ . On la note pF (resp. sF ).


– Soit u ∈ L(E). On dit que u est un projecteur orthogonal (resp. symétrie orthogonale) si u ◦ u = u et Imu ⊕ ker u = E


(resp. u ◦ u = idE et ker(u + idE ) ⊕ ker(u − idE ) = E).




– Soit (F1 , . . . , Fn ) une famille orthogonale de sous-espaces vectoriels de E tels que F1 ⊕ · · · ⊕ Fn = E. On appelle




projecteurs orthogonaux associés (resp. symétries orthogonales associées) à la somme directe orthogonale F1 ⊕ · · · ⊕
Fn = E les applications p1 , . . . , pn (resp. s1 , . . . , sn ) sur E définies par :
∀x = x1 + · · · + xn ∈ E, avec (x1 , · · · , xn ) ∈ F1 × · · · × Fn , ∀i ∈ {1, . . . , n}, pi (x) = xi (resp. si (x) = x − 2pi (x) =
x − 2xi = x1 + · · · + xi−1 − xi + xi+1 + · · · + xn ).
Proposition 4.8 Soient E un espace préhilbertien, F un sous espace vectoriel de E de dimension finie n ∈ N∗ et (e1 , . . . , en )
une BON de F . Alors :

– F ⊕ F ⊥ = E. Autrement dit, tout sous-espace vectoriel de E de dimension finie admet un supplémentaire orthogonal.
– F ⊥ est de codimension finie et on a codimF ⊥ = dim F .
– F ⊥⊥ = F .
Proposition 4.9 Soient E un espace préhilbertien, F un sous espace vectoriel de E de dimension finie n ∈ N∗ et (e1 , . . . , en )
n
X
une BON de F alors ∀x ∈ E, pF (x) =
< ek , x > ek .
k=1

Proposition 4.10 Soient E un espace préhilbertien, F un sous espace vectoriel de E de dimension finie n ∈ N∗ , (e1 , . . . , en )
une BON de F et x ∈ E. Alors :
– d(x, F ) = kx − pF (x)k, pF (x) est le seul élément de F qui vérifie cette égalité.
– kxk2 = kpF (x)k2 + d2 (x, F ).
n
X
| < ek , x > |2 ≤ kxk2 avec égalité ssi x ∈ F .
– L’inégalité de Bessel :
k=1

Définition 4.5 On appelle espace de Hilbert tout espace préhilbertien complet pour la norme euclidienne associée.
Définition 4.6 Soit H un espace de Hilbert. Une famille (ei )i∈I d’éléments de H est dite base hilbertienne (ou famille orthonormale totale ou famille orthonormale complète) de H si elle vérifie les deux conditions suivantes :
– La famille (ei )i∈I est orthonormale : ∀i, j ∈ I, < ei , ej >= δij .
– La famille (ei )i∈I est totale (ou complète) : {ei /i ∈ I}⊥ = {0}.
Proposition 4.11 Soient
P H un espace de Hilbert, (en )n∈N
P une famille orthonormale de H et (cn ) une famille d’élémens de K
carrée sommable (i.e |cn |2 converge). Alors la série cn en est convergente.
Définition 4.7 Soient H un espace de Hilbert, (en )n∈N une base hilbertienne de H et x ∈ H.
– On
Xappelle coefficient de Fourier d’ordre n ∈ N de x le nombre < en , x >.

< en , x > en s’appelle la série de Fourier de x.
n≥0

– ∀n ∈ N, Sn (x) =

n
X

< ek , x > ek s’appelle la somme partielle d’ordre n de la série de Fourier de x.

k=0

Proposition 4.12 Soient H un espace de Hilbert et (en )n∈N une base hilbertienne de H. Alors :
– ∀x, y ∈ H, x = y ⇐⇒ x et y ont les mêmes coefficients de Fourier (i.e ∀n ∈ N, < en , x >=< en , y >).
+∞
X
P
– ∀x ∈ H, la série
< en , x > en converge et on a x =
< en , x > en .
n=0

– ∀x ∈ H,

+∞
X

| < en , x > |2 = kxk2 (Formule de Parseval).

n=0

– ∀x, y ∈ H, la série

P

< en , x > < en , y > est absolument convergente et on a < x, y >=

+∞
X

< en , x > < en , y >.

n=0

Proposition 4.13 Soit E un espace euclidien. Pour tout a ∈ E, on pose
L’application

ϕ: E
a

fa : E
x


7


R
.
< a, x >

→ E∗
est un isomorphisme d’espaces vectoriels. On l’appelle l’isomorphisme canonique de E sur
7→ fa

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