Algèbre linéaire Résumé.pdf


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CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

E∗.
En particulier, ∀f ∈ E ∗ , ∃!a ∈ E, ∀x ∈ E, f (x) =< a, x >.
Proposition et définition 4.1 Soit E un espace euclidien et u ∈ L(E). ∃!v ∈ L(E) tel que ∀x, y ∈ E, < u(x), y >=<
x, v(y) >.
L’endomorphisme v s’appelle l’adjoint de u et on le note u∗ .
Propriété 4.1 Soient E un espace euclidien et u, v ∈ L(E). Alors :
– ∀α, β ∈ R, (αu + βv)∗ = αu∗ + βv ∗ .
– (u ◦ v)∗ = v ∗ ◦ u∗ .
– (u∗ )∗ = u.
– Si u est inversible alors u∗ est inversible et on a (u∗ )−1 = (u−1 )∗ .
– L’application f 7→ f ∗ est un automorphisme sur L(E).
– ∀P ∈ R[X], P (u∗ ) = (P (u))∗ . En particulier, ∀P ∈ R[X], P (u) = 0 ⇐⇒ P (u∗ ) = 0.
Proposition 4.14 Soient E un espace euclidien non nul et u ∈ L(E).
– Si B est une base orthonormale de E alors mat(u∗ , B) = tmat(u, B).
– ker u∗ = (Imu)⊥ et Imu∗ = (ker u)⊥ .
– Soit F un sous-espace vectoriel de E. F est u-stable ssi F ⊥ est u∗ -stable.
Proposition 4.15 (Caractérisation des automorphismes orthogonaux) Soient E un espace euclidien non nul et u ∈ L(E). Les
assertions suivantes sont équivalentes :
– ∀x ∈ E, ku(x)k = kxk.
– ∀x, y ∈ E, < u(x), u(y) >=< x, y >.
– u ◦ u∗ = u∗ ◦ u = idE . Autrment dit, u inversible et u−1 = u∗ .
– L’application u transforme toute base orthnormale de E par u est une base orthonormale de E.
– L’application u transforme au moins une base orthnormale de E par u est une base orthonormale de E.
Dans ce cas, on dit que u est orthogonal.
Proposition 4.16 Soient E un espace euclidien non nul, B une base orthonormale de E et u ∈ L(E). On pose M = mat(u, B).
Les assertion suivantes sont équivalentes :
– u est orthogonal.
– ∀X ∈ Mn1 (R), kM Xk = kXk (Mn1 (R) est muni du produit scalaire usuel < X, Y >=t XY ).
– M tM = tM M = In . Autrement dit, M est inversible d’inverse M −1 = tM .
– Les colonnes de la matrice M forment une BON de Mn1 (R).
Proposition et définition 4.2 Soient E un espace euclidien non nul. Alors O(E) et SO(E) sont des sous-groupes de (GL(E), ◦).
– O(E) s’appelle le groupe orthogonale de E.
– SO(E) s’appelle le groupe spécial orthogonal de E. Les éléments de SO(E) s’appellent rotations.
Proposition 4.17 Soit n ∈ N∗ et E un espace euclidien de dimension n.
– O(n) est un sous-groupe de GLn (R) isomorphe à O(E). On l’appelle le groupe orthogonal d’ordre n.
– SO(n) est un sous-groupe de GLn (R) isomorphe à SO(E). On l’appelle le groupe spécial orthogonal d’ordre n.
Proposition 4.18 Une symétrie orthogonale est un automorphisme orthogonale.
Définition 4.8 On appelle réflexion toute symétrie par rapport à un hyperplan.
Définition 4.9 Soient E un espace euclidien et u ∈ L(E).
– u est dit symétrique ou autoadjoint si u∗ = u.
– u est dit antisymétrique si u∗ = −u.
Proposition 4.19 (Caractérisation des endomorphismes autoadjoints) Soient E un espace euclidien non nul et u ∈ L(E). Les
assertions suivantes sont équivalentes :
– u symétrique.
– ∀B une base orthnormale de E, mat(u, B) est symétrique.
– ∃B une base orthnormale de E, mat(u, B) est symétrique.
Proposition 4.20 Soient E un espace euclidien de dimension n ∈ N∗ . L’ensemble des endomorphismes autoadjoints de E est
.
un sous-espace vectoriel de L(E) isomorphe à S(n). On le note S(E) et on a dim S(E) = n(n+1)
2
Proposition 4.21 (Caractérisation des projecteurs et symétries orthogonaux) Soit E un espace euclidien.
– p est un projecteur orthogonal si et seulement si p2 = p et p∗ = p.
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