Algèbre linéaire Résumé.pdf


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CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

(R, +) → (SO(2), ×)
est un morphisme de groupes surjectif.
θ
7→ R(θ)
On l’appelle le morphisme canonique de R vers SO(2).

Proposition 4.31 L’application

R:

Propriété 4.2
– ∀θ ∈ R, det R(θ) = 1.
– ∀θ, θ0 ∈ R, R(θ)R(θ0 ) = R(θ + θ0 ). En particulier, SO(2) est abélien.
– ∀θ ∈ R, tR(θ) = R(−θ) = (R(θ))−1 .
Proposition et définition 4.3 Soient E un plan euclidien orienté et u ∈ SO(E).
Si R(θ) est la matrice de u dans une base orthonormée directe de E alors R(θ) ne dépend pas du choix de la base orthonormée
directe de E.
u s’appelle la rotation vectorielle d’angle θ et on la note rθ . En particulier, les angles d’une rotation sont congrus modulo 2π.

Proposition 4.32
Soient
E un plan euclidien et u ∈ O (E). Il existe une base orthonormée B = (e1 , e2 ) de E telle que
1 0
mat(u, B) =
.
0 −1
u est la symétrie orthogonale par rapport à la droite D = Re1 et on la note sD .

Proposition 4.33 Soit E un espace euclidien, B une BON de E, u ∈ O− (E) et θ ∈ R tel que mat(u, B) = S(θ).
u est la symétrie orthogonale par rapport à la droite vectorielle Re où e = (cos θ2 , sin θ2 ).
Propriété 4.3
– ∀θ ∈ R, det S(θ) = −1.
– ∀θ ∈ R, tS(θ) = S(θ) = (S(θ))−1 .
– ∀θ ∈ R, S(θ)2 = I2 .
– ∀θ, θ0 ∈ R, S(θ0 )S(θ) = R(θ0 − θ). En particulier, O− (2) n’est ni abélien ni stable.
Proposition 4.34 Soit E un plan euclidien et f ∈ Af f (E).
– Si f fixe 3 points non alignés alors f est l’identité sur E.
– Si f~ = IdE alors f est une translation.
Proposition et définition 4.4 Soient E un plan euclidien orienté et f un déplacement sur E avec f~ 6= IdE .
f possède un unique point fixe Ω ∈ E. On dit que f est la rotation de centre Ω et d’angle θ l’angle de la rotation vectorielle
associée f~. f se note r(Ω, θ).
Corollaire 4.35 Tout déplacement d’un plan euclidien orienté est soit une translation, soit une rotation affine.
Corollaire 4.36 Soit E un plan euclidien orienté :
– ∀a, b ∈ E, ta ◦ tb = ta+b = tb ◦ ta .
– Soient une translation t et une rotation affine r 6= IdE dans E. Alors r ◦ t et t ◦ r sont des rotation d’angle celui de r.
– Soient deux rotations affines r = r(Ω, θ) et r0 = r(Ω0 , θ0 ) dans E. Alors :
−−→
1. Si θ0 + θ ≡ 0[2π] alors r0 ◦ r = tu avec u = ΩΩ00 où Ω00 = r0 (Ω).
2. Si θ0 + θ 6≡ 0[2π] alors r0 ◦ r est une rotation d’angle θ0 + θ.
Proposition 4.37 Soient E un plan euclidien et f un antidéplacement.
Si f admet au moins un point fixe A alors f est la symétrie orthogonale par rapport à une droite D = A + E1 (f~).
f se note sD et on dit aussi que f est la symétrie axiale d’axe D.
Proposition 4.38 Soit E un plan euclidien.
– Soient D et ∆ deux droites affines parallèles de E alors s∆ ◦ sD est la translation tu de vecteur u normal à D et tel que
∆ = t 21 u (D) = D + 12 u.
– Réciproquement, soit tu une translation sur E. Si D est une droite affine D de E telle que u soit normal à D alors la
translation tu se décompose sous la forme tu = s∆ ◦ sD (resp. tu = sD ◦ s∆ ) où ∆ = t 21 u (D) = D + 12 u (resp.
∆ = t− 21 u (D) = D − 12 u).
Proposition 4.39 Soit E un plan euclidien orienté.
– Soient deux droites affines D et ∆ de E non parallèles. On pose D ∩∆ = {Ω} et (D, ∆) ≡ θ2 [π] alors s∆ ◦sD = r(Ω, θ).
– Réciproquement, Soit r = r(Ω, θ) une rotation affine sur E. Si D est une droite affine de E qui passe par Ω alos r se
décompose sous la forme r = s∆ ◦ sD (resp. r = sD ◦ s∆ ) avec ∆ la droite affine de E qui passe par Ω et telle que
(D, ∆) ≡ θ2 [π] (resp. (∆, D) ≡ θ2 [π]).
Corollaire 4.40 Tout déplacement d’un plan euclidien orienté est la composée de deux symétries axiales.

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