Algèbre linéaire Résumé.pdf


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CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

Proposition et définition 4.5 Soient E un espace euclidien et f un antidéplacement de E sans points fixes.
f se décompose de façon unique sous la forme f = sD ◦ tu = tu ◦ sD .
f s’appelle la symétrie glissée d’axe D et de vecteur u et on a, en plus, u est un vecteur directeur non nul de D.
Corollaire 4.41 Les antidéplacements d’un plan euclidiens sont exactement les symétries axiales et les symétries glissées.
Proposition 4.42 Les symétries axiales engendrent le groupe des isométries du plan euclidien orienté.
Proposition 4.43 Soit E un plan euclidien orienté.
– Soient une translation tu et une symétrie axiale sD telles que u ne soit pas normal à D. Alors tu ◦ sD et sD ◦ tu sont des
symétries glissées.
– Soient une rotation affine r(Ω, θ) 6= idE et sD une symétrie axiale telles que Ω ∈
/ D. Alos r(Ω, θ) ◦ sD et sD ◦ r(Ω, θ)
sont des symétries glissées.
Proposition et définition 4.6 Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3 et f ∈ SO(E)
.
 tel que f 6= idE 
1
0
0
Il existe θ ∈ R et une base orthonormée directe (e1 , e2 , e3 ) dans laquelle la matrice de f est : 0 cos θ − sin θ.
0 sin θ
cos θ
f s’appelle la rotation d’axe Re1 orienté par e1 et d’angle θ. On la note re1 ,θ .
Proposition 4.44 Soit E un espace euclidien orienté de dimension 3.
– Soit e ∈ E. L’application ϕe : x ∈ E 7→ e ∧ x est antisymétrique.
– Soit A(E) l’espace des endomorphismes antisymétriques sur E. L’application

E
x


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A(E)
est un isomorphisme
ϕx

d’espaces vectoriels.
Proposition 4.45 Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3, e ∈ E unitaire et θ ∈ R. Alors :
– (Formule de Rodriguès) : ∀x ∈ E, re,θ (x) =< e, x > e + cos(θ)(x− < e, x > e) + sin(θ)(e ∧ x).
– re,θ = IdE + sin θϕe + (1 − cos θ)ϕ2e .
– Si r = re,θ alors alors r − r∗ = 2 sin θϕe .
– re,θ = exp(θϕe ).
Proposition 4.46 Soient E un espace euclidien de dimension 3 et f ∈ A{{(E).
– Si f fixe 4 points affinement libres alors f est l’identité.
−−−−→
– Si f~ = idE alors f est une translation de vecteur Af (A) où A est un point quelconque de E.
Proposition et définition 4.7 Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3 et f un déplacement sur E tel que f~ 6= IdE .
On suppose que f admet au moins un point fixe A ∈ E. Alors :
– ∃e ∈ E, ∃θ ∈ R avec θ 6≡ 0[2π] tels que f~ = re,θ .
– L’ensemble des points fixes de f est la droite D = A + Re.
On dit que f est la rotation affine d’axe D orienté par e et d’angle θ. On la note rD,e,θ .
Proposition et définition 4.8 Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3 et f un déplacement de E sans points fixes
et tel que f~ 6= idE .
f se décompose de façon unique sous la forme f = tx ◦ r = r ◦ tx avec r une rotation affine et x ∈ E \ {0}.
Soit e ∈ E unitaire et θ ∈ R tels que r = rD,e,θ , f s’appelle le vissage de vecteur x, d’axe D orienté par e et d’angle θ. On le
note VD,e,θ,x .
On a, en particulier, (x, e) lié.
Proposition 4.47 Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3 et f = VD,e,θ,x un vissage.
−−−−−→
– ∀M ∈ D, M f (M ) = x.
−−−−−→
– ∀M ∈ E, M ∈ D ⇐⇒ (M f (M ), e) est lié.
Proposition 4.48 Tout déplacement de E est soit une translation, soit une rotation affine, soit un vissage.

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Formes quadratiques :

Proposition 5.1 Soient E, F deux R-espaces vectoriels. L’ensemble des formes bilinéaires sur E × F noté L(E, F ; R) est un
sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel F(E × F, R) des applications de E × F vers R.
Proposition 5.2 Soient E, F deux R-espaces vectoriels.
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