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CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

Etude de l’application X 7→ AX + XB
Définitions et notations
Dans tout le problème n ∈ N∗ et, pour tout A, B ∈ Mn (R), ΦA,B désigne l’endomorphisme de Mn (R) défini par ΦA,B (X) =
AX + XB.
Notations :
1. Si A ∈ Mn (R), on notera ΦA au lieu de ΦA,A .
2. Si A, B ∈ Mn (R), on notera [A, B] (Crochet de Lie) au lieu de ΦA,−A (B) = AB − BA.
Soit M ∈ Mn (R). On dit que M est cyclique si ∃X0 ∈ Mn1 (R) telle que (X0 , M X0 , . . . , M n−1 X0 ) soit une base de
Mn1 (R).
On admet que si E1 , . . . , Ep sont des sous-espaces vectoriels de Mn (R) tels que E1 ∪ . . . ∪ Ep = Mn (R) alors ∃i ∈
{1, . . . , p}, Ei = Mn (R).

Première partie
Propriétés du crochet de Lie
1: Montrer que ∀A, B, C ∈ Mn (R), [A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = 0 (Identité de Jacobi).
2: Montrer que ∀A, B, C ∈ Mn (R), [A, BC] = [A, B]C + B[A, C].
3: Montrer ∀A ∈ Mn (R), ΦA,−A n’est pas surjective.
4: Soient A, B ∈ Mn (R) et on suppose que ∃α, β ∈ R tels que [A, B] = αIn + βA.
4 - 1: Montrer que ∀n ∈ N∗ , [An , B] = nαAn−1 + nβAn et en déduire l’expression de [P (A), B] pour tout P ∈ R[X].
4 - 2: On suppose que β 6= 0. Montrer que A admet au moins une valeur propre réelle et que si A est diagonalisable alors
A = 0.
5: Soient A, B ∈ Mn (R).
5 - 1: Montrer que si rg([A, B]) = 1 alors la matrice [A, B] est nilpotente.
5 - 2: Montrer que si ∃α ∈ R∗ , [A, B] = αA alors la matrice A est nilpotente.
5 - 3: On supoose que ∃α ∈ R, [A, B] = αA + B. Posons M = αA + B.
5 - 3 - a : Montrer que AM − M A = M . En déduire que ker M est non nul et stable par A.
5 - 3 - b : Montrer que si χA , χB sont scindés alors A et B ont un vecteur propre commun.
5 - 4: Généralement, on supose que χA , χB sont scindés et ∃α, β ∈ R, [A, B] = αA + βB. Montrer que A et B ont un vecteur
propre commun.

Deuxième partie
Réduction de l’application ΦA,B
Soient A, B ∈ Mn (R) de polynômes caractéristiques scindés.
1: Soient α ∈ Sp(A) et β ∈ Sp(B). Montrer que si X est un vecteur propre de A associé à α et Y un vecteur propre de B
associé à β alors X t Y est une matrice propre de ΦA,B associée à α + β.
2: Réciproquement, Soit λ ∈ Sp(ΦA,B ) et M une matrice propre de ΦA,B associée à λ.
2 - 1: Montrer que ∀k ∈ N, Ak M = M (λIn − B)k . En déduire que ∀P ∈ R[X], P (A)M = M P (λIn − B).
2 - 2: Déduire que χA (λIn − B) n’est pas inversible.
2 - 3: Montrer que ∃α ∈ Sp(A) tel que B − (λ − α)In ne soit pas inversible.
2 - 4: Déduire que Sp(ΦA,B ) = Sp(A) + Sp(B).
3: On suppose que A, B sont diagonalisables et soient (U1 , . . . , Un ) et (V1 , . . . , Vn ) deux bases de Mn1 (C) formées de vecteurs
propres de A et B respectivement. Montrer que (Ui t Vj )1≤i,j≤n est une base de Mn (C) et déduire que ΦA,B est diagonalisable.

Troisième partie
Dans cette partie, on considère Mn (R) muni du produit scalaire < M, N >= tr(tM N ).
1: Montrer que si A, B ∈ Mn (R) sont symétriques alors ΦA,B est autoadjoint.
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2: Montrer que si A, B ∈ Mn (R) sont symétriques définies positives alors ΦA,B l’est aussi.
3: Soit S ∈ Mn (R) symétrique définie positive. Montrer que ∀X ∈ Mn (R), X est symétrique si et seulement si ΦS (X) l’est
aussi.
4: Soit D = diag(λ1 , . . . , λn ) ∈ Mn (R) définie positive, X ∈ Mn (R) et M = ΦD (X). On suppose que M est symétrique
définie positive.
n
X
mij
4 - 1: Montrer que ∀U ∈ Mn1 (R), tU XU =
ui uj .
λ
+ λj
i,j=1 1
4 - 2: Montrer que ∀U ∈ Mn1 (R), t 7→

n
X

mij ui uj tλi +λj −1 est intégrable sur ]0, 1] et calculer son intégrale.

i,j=1

4 - 3: En déduire que X est symétrique définie positive.
5: Soient S ∈ Mn (R) symétrique définie positive, X ∈ Mn (R) et M = ΦS (X). Montrer que si M est symétrique définie
positive alors X l’est aussi.
6: Soit S ∈ Mn (R) symétrique définie positive. Montrer que ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, s2ij ≤ sii sjj .
7: Montrer que ∀a > 0, ∃λ > 0 tel que (λ + 1)2 > 4λa.
8: Soit S ∈ Mn (R) symétrique définie positive non diagonale et i, j ∈ {1, . . . , n} tels que sij 6= 0. Montrer que ∃λ > 0 tel
que la matrice ΦS (In + (λ − 1)Eii ) ne soit pas définie positive. Conclure.

Quatrième partie
Commutant d’une matrice
Pour toute matrice M ∈ Mn (R), on note :
ψM : Mn (C) →
X
7→

Mn (C)
M X − XM

1: Soit D l’ensemble des matrices de Mn (C) à n valeurs propres deux à deux distincts.
1 - 1: Montrer que ∀M ∈ D, (In , M, . . . , M n−1 ) est libre. En déduire que dim ker ψM ≥ n.
1 - 2: Montrer que D est dense dans Mn (C).
2: On pose R = {M ∈ Mn (C)/rg ψM ≤ n2 − n}.
2 - 1: Montrer que R est fermé dans Mn (C).
2 - 2: Montrer que D ⊂ R et en déduire que ∀M ∈ Mn (C), dim ker ψM ≥ n.
3: Soit M ∈ Mn (R) et p = dim ker ψM .
3 - 1: Montrer que ∃R1 , . . . Rp ∈ M(R) tel que (R1 , . . . Rp ) engendre le C-espace vectoriel ker ψX .
3 - 2: En déduire que dim ker ΦM,−M ≥ n.
4: Soit A ∈ Mn (R) cyclique et X0 ∈ Mn1 (R) telle que (X0 , AX0 , . . . , An−1 X0 ) soit une base de Mn1 (R).
4 - 1: Montrer que ∀M ∈ ker ΦA,−A , ∃P ∈ R[X], M X0 = P (A)X0 . En déduire que M = P (A).
4 - 2: Montrer que dim ker ΦA,−A = n.
5: Réciproquement, soit A ∈ Mn (R) telle que dim ker ΦA,−A = n et, pour tout X ∈ Mn1 (R), on note IX = {P ∈
R[X]/P (A)X = 0}.
5 - 1: Montrer que ∀X ∈ Mn1 (R), ∃µX ∈ R[X] unitaire tel que IX = µX R[X].
5 - 2: Montrer que ∀X ∈ Mn1 (R), µX |πA . En déduire que l’ensemble {µX /X ∈ Mn1 (R)} est fini.
5 - 3: Montrer que ∃X0 ∈ Mn1 (R) telle que Mn1 (R) = ker µX0 (A).
5 - 4: En déduire que µX0 = πA et que A est cyclique.
6: Conclure que ∀M ∈ Mn (R), dim ker ΦM,−M = n si et seulement si M est cyclique.

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