موحد+وطني enna..1 .pdf

‫المادة ‪ :‬الرياضيات‬

‫الشعبة ‪ :‬شعبة العلوم التجريبية‬
‫والتكنولوجٌات‬
‫مدة االنجاز‪ 3 :‬ساعات‬
‫المعامل ‪7 :‬‬

‫معلومات عامة‬
‫‪ ‬يسمح باستعمال اآللة الحاسبة غير قابلة للبرمجة‬
‫‪ ‬مدة إنجاز موضوع االمتحان ‪ 3 :‬ساعات‬
‫‪- ‬عدد الصفحات ‪ :‬صفحات ( األولى تتضمن معلومات والصفحتان المتبقٌتان‬
‫تتضمنان تمارٌن االمتحان)‪.‬‬
‫‪ ‬يمكن للمتر شح إنجاز تمارين االمتحان في الترتيب الذي يناسبه‪.‬‬
‫‪ ‬ينبغي تفادي اللون األحمر عند تحرير األجوبة‪.‬‬
‫‪ ‬بالرغم من تكرار بعض الرموز في أكثر من تمرين‪ ،‬فكل رمز مرتبط‬
‫بالتمرين المستعمل فيه وال عالقة له بالتمارين السابقة أو الالحقة‪.‬‬
‫معلومات خاصة‬
‫ يتكون الموضوع من خمسة تمارين مستقلة فيما بينها وتتوزع حسب المجاالت‬‫كمايلي‪.‬‬
‫التمرين‬
‫تمرين‪1‬‬
‫تمرين‪2‬‬
‫تمرين‪3‬‬
‫تمرين‪4‬‬
‫تمرين‪5‬‬

‫‪Page 1‬‬

‫األعداد العقدية‬
‫الهندسة الفضائية‬
‫حساب االحتماالت‬
‫المتتاليات العددية‬
‫دراسة الدوال وحساب‬
‫التكامل‬

‫‪3‬نقط‬
‫‪3‬نقط‬
‫‪3‬نقط‬
‫‪3‬نقط‬
‫‪8‬نقط‬

‫أحمد الناجً أستاذ مادة الرٌاضٌات ومرشد تربوي‬

‫موضوع االمتحان الوطني المقترح من طرف األستاذ‬
‫المرشد أحمد الناجي في مادة الرياضيات الدورة‬
‫العادية‪ 2012‬شعبة العلوم التجريبية بمسالكها وشعبة‬
‫العلوم والتكنولوجيات بمسلكيها‪.‬‬
‫تمريــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــن‪3 : 1‬ن‬
‫‪ -1‬حل فً مجوعة األعداد العقدٌة‬

‫‪C‬‬

‫المعادلة ‪:‬‬

‫‪z2  10 z  50  0‬‬

‫‪ -2‬فً المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر ‪ .  O;e1 ;e2 ‬نعتبر‬
‫النقطتٌن‬
‫أ) بٌن أن‬

‫‪ A‬و‪B‬‬

‫لحقٌهما على التوالً هما‬

‫‪ zA  5  5 i‬و ‪zB  5  5 i‬‬

‫‪zB‬‬
‫‪i‬‬
‫‪zA‬‬
‫‪‬‬

‫ب) استنتج أن ‪ z B  z Ae 2‬وأن النقطة‬
‫مركزه النقطة ‪ٌ O‬نبغً تحدٌد زاوٌته‪.‬‬
‫‪i‬‬

‫ج) حدد طبٌعة المثلث‬

‫‪B‬‬

‫هً صورة النقطة‬

‫‪A‬‬

‫بالدوران الذي‬

‫معلال جوابك ‪.‬‬

‫‪AOB‬‬

‫تمريـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــن‪3 : 2‬ن‬
‫نعتبر فً الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ‪  O;i; j;k ‬مباشر‪ .‬النقطتٌن‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ E ‬و ‪;0 ; ‬‬
‫‪;1 ;0 ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 5‬‬

‫‪ -1‬حدد متلوث إحداثٌات‬

‫‪‬‬

‫والفلكة ‪  S‬التً معادلتها ‪:‬‬

‫‪x 2  y2   z  1   1  0‬‬
‫‪2‬‬

‫مركز الفلكة ‪  S‬وقٌمة شعاعها ‪. r‬‬

‫‪ -2‬بٌن أن ‪ 3 x  4 z  1  0‬معادلة دٌكارتٌة للمستوى ‪  P ‬المار من النقطة‬
‫و ‪ n  3 ;0 ;4 ‬المتجهة المنظمٌة علٌه‪.‬‬
‫‪ -3‬تأكد من أن‬
‫‪Page 2‬‬

‫‪E‬‬

‫‪d  ;  P    1‬‬

‫أحمد الناجً أستاذ مادة الرٌاضٌات ومرشد تربوي‬

‫‪ -4‬استنتج أن الفلكة ‪  S‬مماسة للمستوى ‪  P ‬فً النقطة ‪. F‬‬

‫تمريــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــن‪3 : 3‬ن‬
‫بمؤسسة تعلٌمٌة خصوصٌة للتعلٌم الثانوي ألتأهٌلً ٌوجد قسم مستوى ثانٌة باكلورٌا‬
‫علوم تجرٌبٌة ٌضم‪ 24‬تلمٌذا(ذكور وإناث) موزعٌن إلى مجموعتٌن ‪ A‬و ‪ B‬حسب‬
‫الجدول التالً ‪:‬‬
‫‪-‬‬

‫المجموعة ‪A‬‬

‫‪ -‬المجوعة‬

‫‪B‬‬

‫‪ :‬ا لتالمٌذ الذٌن اختاروا شعبة علوم الحٌاة واألرض‪.‬‬
‫‪ :‬التالمٌذ الذٌن اختاروا شعبة العلوم الفٌزٌائٌة‪.‬‬

‫التالمٌذ‬

‫الذكور‬

‫اإلناث‬

‫المجموعة ‪A‬‬

‫‪12‬‬

‫‪7‬‬

‫المجموعة ‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ -1‬نختار تلمٌذا من هذا القسم‪ .‬ونفترض أن جمٌع التالمٌذ لهم نفس الحظ لكً ٌقع‬
‫علٌهم االختٌار‪.‬‬
‫أ) ما هو االحتمال كً ٌكون هذا التلمٌذ ذكرا؟‬
‫ب) ماهو احتمال أن ٌكون التلمٌذ المختار من المجموعة ‪ B‬؟‬
‫‪ -2‬نختار لجنة تضم ‪ 3‬تالمٌذ من هذا القسم ‪ .‬ولٌكن‬
‫ٌساوي عدد اإلناث فً هذه اللجنة‪.‬‬

‫‪X‬‬

‫المتغٌر العشوائً الذي‬

‫أ) أعط قانون احتمال المتغٌر العشوائً ‪. X‬‬
‫ب) أحسب احتمال لكً ٌكون الجنسٌن معا فً اللجنة‪.‬‬

‫تمريــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــن‪3 :4‬ن‬
‫نعتبر الدالة العددٌة‬

‫‪f‬‬

‫المعرفة على المجال‬

‫‪ )1‬بٌن أن الدالة ‪ f‬تزاٌدٌة على‬
‫‪ )2‬بٌن أن‬
‫‪Page 3‬‬

‫‪I   3 ;6 ‬‬

‫ب‪:‬‬

‫‪4x 3‬‬
‫‪x‬‬

‫‪f  x ‬‬

‫المجال ‪I‬‬

‫‪f  I  I‬‬
‫أحمد الناجً أستاذ مادة الرٌاضٌات ومرشد تربوي‬

‫‪ )3‬لتكن ‪  u n ‬المتتالٌة العددٌة حٌث‬
‫أ‪ -‬بٌن بالترجع أن‬

‫‪‬‬
‫‪ u0  6‬‬
‫‪n  IN : ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ u n 1  f  u n ‬‬

‫‪n  IN : u n‬‬

‫‪3‬‬

‫ب‪ -‬بٌن أن المتتالٌة ‪  u n ‬تناقصٌة‬
‫ج‪ -‬استنتج أن المتتالٌة ‪  u n ‬متقاربة ثم‬

‫أحسب ‪lim u n‬‬

‫‪x  ‬‬

‫تمريـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــن‪8 : 5‬ن‬
‫الجزء األول‬
‫نعتبر الدالة العددٌة‬

‫ولٌكن ‪ C ‬‬
‫‪g‬‬

‫‪0 : g  x   ln x  ln x  1 ‬‬

‫‪lim g  x ‬‬

‫‪ )3‬أ‪ -‬بٌن أن‬

‫‪ )4‬حل المعادلة‬
‫‪g‬‬

‫‪x 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ xlim‬وأول النتٌجة المحصل علٌها‬
‫ثم ‪g  x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x  ‬‬

‫ب‪ -‬استنتج أن‬

‫‪C ‬‬

‫‪2‬‬

‫منحناها فً معلم متعامد ممنظم ‪.‬‬

‫‪ )1‬تحقق من أن‬
‫‪ )2‬أحسب‬

‫‪g‬‬

‫المعرفة على المجال ‪ 0 ;‬ب ‪:‬‬

‫‪g  x    ln x   ln x‬‬

‫‪ ln x ‬‬
‫‪x‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x  ‬‬

‫‪f  x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬

‫ٌمكنك وضع‬

‫‪lim‬‬

‫‪x  ‬‬

‫‪t x‬‬

‫ثم أعط تأوٌال هندسٌا لهذه النتٌجة‬

‫‪x  0 ;  :  ln x   ln x‬‬
‫‪2‬‬

‫واستنتج أفاصٌل نقط تقاطع المنحنى‬

‫مع محور األفاصٌل‪.‬‬

‫الجزء الثاني‬
‫‪ )1‬أ‪ -‬بٌن أن‬

‫‪Page 4‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ 2 ln x  1 ‬‬
‫‪x‬‬

‫‪0 : g ' x  ‬‬

‫‪x‬‬

‫أحمد الناجً أستاذ مادة الرٌاضٌات ومرشد تربوي‬

‫ب‪ -‬بٌن أن الدالة‬

‫‪g‬‬

‫تناقصٌة على‬

‫‪ 12 ‬‬
‫المجال ‪0 ;e ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫وتزاٌدٌة على‬

‫‪ 12‬‬
‫‪‬‬
‫المجال ‪ e ;  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪ 1  1‬‬
‫‪g  e2  ‬‬
‫‪  4‬‬

‫ج‪ -‬تأكد من أن‬

‫‪.‬‬

‫د‪ -‬أعط جدول تغٌرات الدالة ‪ g‬على المجال ‪. 0 ;‬‬
‫‪ )2‬أ‪ -‬بٌن أن الدالة العددٌة‬
‫‪3  2 ln x‬‬
‫‪x2‬‬

‫‪g‬‬

‫قابلة لالشتقاق مرتٌن على المجال ‪ 0 ;‬وأن‬

‫‪x  0 ;  : g ''  x  ‬‬

‫ب‪ -‬أثبت أن‬

‫‪ 3 3‬‬
‫النقطة ‪I  e 2 ; ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬

‫هً نقطة انعطاف المنحنى ‪ C ‬‬
‫‪g‬‬

‫‪ )3‬بٌن أن المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل حال وحٌدا‬
‫‪ )4‬لتكن الدالة‬

‫‪h‬‬

‫قصور الدالة‬

‫أ‪ -‬بٌن أن الدالة‬

‫‪h‬‬

‫‪g‬‬

‫على‬

‫‪‬‬

‫فً‬

‫‪ 12 32 ‬‬
‫المجال ‪ e ;e ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪ 12 32 ‬‬
‫المجال ‪ e ;e ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫تقبل دالة عكسٌة ‪ h 1‬على المجال‬

‫‪ 12 32 ‬‬
‫‪ e ;e ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫محددا مجموعة‬

‫تعرٌفها‪.‬‬
‫ب‪ -‬أعط جدول تغٌرات الدالة‬

‫‪h 1‬‬

‫ج‪ -‬أحسب ‪ h  0 ‬‬
‫' ‪1‬‬

‫الجزء الثالث‬
‫التمثٌل المبٌانً التالً هو للمنحنى ‪ C ‬‬
‫‪g‬‬

‫‪Page 5‬‬

‫الممثل للدالة ‪. g‬‬

‫أحمد الناجً أستاذ مادة الرٌاضٌات ومرشد تربوي‬

‫‪ )1‬حل مبٌانٌا المتراجحة‬

‫‪ln x‬‬

‫‪0 : (ln x)2‬‬

‫‪x‬‬
‫‪e‬‬

‫‪ )2‬بٌن باستعمال مكاملة باألجزاء أن ‪ ln xdx  1‬‬
‫‪1‬‬

‫‪ )3‬أ‪ -‬أثبت أن الدالة ‪ G‬المعرفة على ‪ 0 ;‬ب ‪:‬‬
‫‪ G  x   x   ln x 2  2 ln x  2 ‬دالة أصلٌة للدالة‬

‫‪(ln x) 2‬‬

‫‪ x‬على ‪0 ;‬‬

‫‪e‬‬

‫ب‪ -‬استنتج أن ‪  ln x  dx  e  2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ج‪ -‬استنتج مساحة حٌز المستوى المحصور بٌن المنحنى ‪ C ‬‬
‫‪g‬‬

‫والمستقٌمٌن اللذٌن معادلتاهما‬

‫‪Page 6‬‬

‫ومحور األفاصٌل‬

‫‪ x 1‬و‪x  e‬‬

‫أحمد الناجً أستاذ مادة الرٌاضٌات ومرشد تربوي‬

‫حل التمرين األول‬
‫‪ -1‬لنحل المعادلة‬

‫‪: z 2  10 z  50  0‬‬

‫لدٌنا ممٌز هذه المعادلة ‪  E ‬هو‬
‫ومنه‬

‫‪ E : z ‬‬

‫‪ z1  5  5 i‬و ‪z 2  5  5 i‬‬

‫‪2‬‬

‫‪  100  10 i ‬‬

‫إذن‬

‫ألن‬

‫‪i 2  1‬‬

‫‪S  5  5 i; 5  5 i‬‬

‫‪zB‬‬
‫‪i‬‬
‫‪zA‬‬

‫‪ -2‬أ‪ -‬لنبٌن أن‬

‫‪z B 5  5 i 5 1  i  1  i ‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫لدٌنا‪ i‬‬
‫‪z A 5  5 i 5 1  i ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫إذن‬

‫‪zB‬‬
‫‪i‬‬
‫‪zA‬‬

‫ب‪ -‬استنتاج‬
‫بما أن‬

‫‪zB‬‬
‫‪i‬‬
‫‪zA‬‬

‫فإن‬

‫ومنه ‪ zA  zO ‬‬
‫النقطة ‪A‬‬

‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪i‬‬

‫‪z B  iz A‬‬

‫‪z B  zO  e‬‬

‫ألن‬

‫‪zO  0‬‬

‫بالدوران ‪ r‬مركزه النقطة‬

‫ج‪ -‬طبٌعة المثلث‬
‫لدٌنا النقطة‬
‫إذن‬

‫وحٌث‬

‫‪O‬‬

‫فإن‬

‫‪zB  e zA‬‬

‫وهذا ٌعنً بأن النقطة‬

‫وزاوٌته‬

‫‪B‬‬

‫هً صورة‬

‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪AOB‬‬

‫هً صورة‬

‫‪B‬‬

‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i  cos  isin  e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪i‬‬

‫النقطة ‪A‬‬

‫‪ OA  OB‬‬
‫‪ ‬أي‬
‫‪‬‬
‫‪ OA;OB  2  2 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫بالدوران ‪ r‬مركزه النقطة‬

‫‪O‬‬

‫وزاوٌته‬

‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫المثلث ‪ AOB‬قائم الزاوٌة ومتساوي الساقٌن فً‬

‫النقطة ‪. O‬‬

‫حل التمرين الثاني‬
‫‪ -1‬لنحدد إحداثٌات متلوث ‪ ‬مركز الفلكة ‪  S‬وشعاعها ‪. r‬‬
‫لدٌنا‬

‫‪1  0   x  0    y  0    z 1   1 2‬‬
‫‪2‬‬

‫ومنه ‪ 0 ;0 ;1 ‬‬
‫‪Page 7‬‬

‫‪2‬‬

‫مركز‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ S : x 2  y 2   z  1‬‬

‫الفلكة ‪  S‬وشعاعها ‪r  1‬‬
‫أحمد الناجً أستاذ مادة الرٌاضٌات ومرشد تربوي‬

‫‪ -2‬لنبٌن أن المعادلة الدٌكارتٌة للمستوى ‪  P ‬هً‬

‫‪3 x  4 z 1  0‬‬

‫لدٌنا المتجهة ‪ n  3 ;0 ;4 ‬منظمٌة على المستوى ‪  P ‬إذن‬
‫‪  P  : 3 x  oy  4 z  d  0‬أي ‪  P  : 3 x  4 z  d  0‬بما أن‬
‫فإن ‪ 3   1   0 1  4  0  d  0‬أي‬
‫‪ 3 ‬‬

‫الدٌكارتٌة للمستوى ‪  P ‬هً‬

‫لدٌنا‬

‫‪d 1‬‬

‫وبالتالً فإن المعادلة‬

‫‪3 x  4 z 1  0‬‬

‫‪d  ;  P    1‬‬

‫‪ -3‬لنبٌن أن‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬

‫‪1  d  0‬‬

‫ومنه‬

‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ E   P ‬و ‪;1 ;0 ‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪3  0  4 1  1‬‬
‫‪32 0 2 4 2‬‬

‫‪ d  ;  P   ‬إذن‬

‫‪d  ;  P    1‬‬

‫‪ -4‬استنتاج‬
‫لدٌنا ‪ d  ;  P    1‬إذن الفلكة ‪  S‬مماسة للمستوى ‪ .  P ‬وحٌث‬

‫‪1‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪F‬‬
‫‪;0 ; ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 5‬‬

‫تنتمً إلى كل من المستوى ‪  P ‬والفلكة ‪  S‬ألن‬
‫‪  3 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9 4 5‬‬
‫‪3   5   4  5  1  5  5  5  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬إذن‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3   0 2   1  1   1  9  16  25  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 5 ‬‬
‫‪25 25 25‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬

‫فً النقطة‬

‫المستوى ‪  P ‬مماس للفلكة ‪ S‬‬

‫‪F‬‬

‫حل التمرين الثالث‬
‫‪ -1‬احتمال الحدث‬
‫لدٌنا الحدث‬
‫‪ -2‬احتمال‬

‫‪G‬‬

‫‪G‬‬

‫" اختٌار تلمٌذ ذكر" إذن‬

‫الحدث ‪A‬‬

‫لدٌنا الحدث ‪ " A‬التلمٌذ من المجموعة‬
‫‪ -3‬قانون احتمال المتغٌر‬

‫‪B‬‬

‫وٌكون ذكرا" إذن‬

‫‪2‬‬
‫‪5‬‬

‫‪p A ‬‬

‫العشوائً ‪X‬‬

‫القٌم التً ٌأخذها المتغٌر العشوائً‬
‫‪Page 8‬‬

‫‪14 7‬‬
‫‪‬‬
‫‪24 12‬‬

‫‪pG ‬‬

‫‪X‬‬

‫هً ‪ 0‬و‪ 1‬و‪ 2‬و‪3.‬‬
‫أحمد الناجً أستاذ مادة الرٌاضٌات ومرشد تربوي‬

‫‪3‬‬
‫‪C14‬‬
‫‪182‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C24 1012‬‬

‫*‬

‫‪pX  0  ‬‬

‫الجدول التالً ٌلخص قانون ‪X‬‬

‫*‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪C14‬‬
‫‪ C10‬‬
‫‪455‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C24‬‬
‫‪1012‬‬

‫‪pX  1  ‬‬

‫*‬

‫‪2‬‬
‫‪C114  C10‬‬
‫‪315‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C24‬‬
‫‪1012‬‬

‫‪pX  2  ‬‬

‫‪3‬‬
‫‪C10‬‬
‫‪60‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C24 1012‬‬

‫*‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬
‫‪60‬‬
‫‪1012‬‬

‫‪1‬‬

‫‪315‬‬
‫‪1012‬‬

‫‪0‬‬
‫‪182‬‬
‫‪1012‬‬

‫‪455‬‬
‫‪1012‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪p  X  xi ‬‬

‫‪pX  3  ‬‬

‫‪ -4‬لكً ٌكون الجنسٌن معا ضمن اللجنة ٌجب أن ٌأخذ المتغٌر ‪ X‬القٌمة‪1‬‬
‫والقٌمة‪ 2‬ومنه االحتمال المطلوب هو ‪:‬‬

‫‪637‬‬
‫‪1012‬‬

‫‪pX  1   pX  2  ‬‬

‫حل التمرين الرابع‬
‫‪ -1‬لنبٌن أن الدالة‬

‫تزاٌدٌة على‬

‫‪f‬‬

‫لدٌنا ‪ f  x   4 x  3‬إذن‬
‫‪x‬‬

‫‪3‬‬
‫‪x2‬‬

‫المجال ‪I  3 ;6 ‬‬

‫‪ f '  x  ‬وحٌث‬

‫‪3‬‬
‫‪x2‬‬

‫‪0‬‬

‫لكل‬

‫‪xI‬‬

‫إذن‬

‫‪f‬‬

‫تزاٌدٌة على‬

‫المجال ‪. I  3 ;6 ‬‬
‫‪ -2‬لنبٌن أن‬
‫لدٌنا‬

‫‪f‬‬

‫وبما أن‬

‫‪f  I  I‬‬
‫المجال ‪I  3 ;6 ‬‬

‫تزاٌدٌة على‬

‫‪ 7‬‬
‫‪3 ; 2   3 ;6 ‬‬

‫‪ -3‬أ‪ -‬لنبٌن بالترجع أن‬
‫من أجل‬

‫‪n 0‬‬

‫نفترض أن‬

‫‪3‬‬

‫لدٌنا‬

‫إذن‬

‫‪f 3 ‬‬

‫‪Page 9‬‬

‫فإن ‪. f  I   I‬‬
‫‪n  IN : u n‬‬

‫‪3‬‬

‫‪u0  6‬‬

‫‪n  IN : u n‬‬

‫لدٌنا حسب االفتراض‬
‫‪f  un ‬‬

‫إذن‬

‫‪ 7‬‬
‫‪f  I   f  3 ;6    f  3  ;f 6    3 ; ‬‬
‫‪ 2‬‬

‫‪3‬‬

‫وحٌث‬

‫‪un‬‬

‫إذن‬

‫‪3‬‬

‫‪u0‬‬

‫ونبٌن أن‬

‫‪3‬‬

‫(صحٌح)‬
‫‪u n 1‬‬

‫ونعلم أن حسب ما سبق الدالة‬

‫‪ u n 1  f  u n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f  3   3‬‬

‫إذن‬

‫‪3‬‬

‫‪u n 1‬‬

‫‪f‬‬

‫تزاٌدٌة‬

‫ومنه فإن‬

‫‪3‬‬

‫‪n  IN : u n‬‬

‫أحمد الناجً أستاذ مادة الرٌاضٌات ومرشد تربوي‬

‫ب‪ -‬لنبٌن أن ‪  u n ‬تناقصٌة‬
‫‪ u2 n  4 un  3 ‬‬
‫‪4 un  3‬‬
‫‪u2 n  4 un  3‬‬
‫‪u n 1  u n ‬‬
‫‪ un ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪un‬‬
‫‪un‬‬
‫‪un‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫لدٌنا‬

‫‪u2 n  4 un  3   un  2  1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪  u n  2 2‬أي‬

‫‪0‬‬

‫‪ u2  4 un  3 ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪‬‬
‫‪un‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫وعلم أن‬

‫‪u2 n  4 un  3‬‬

‫‪0‬‬

‫وبالتالً فإن‬

‫‪3‬‬

‫كما أن‬
‫‪un‬‬

‫‪un‬‬

‫إذن‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪un‬‬

‫ألن‬

‫‪u n 1‬‬

‫ومنه‬

‫‪un  2‬‬
‫‪3‬‬

‫وبما أن‬

‫‪un‬‬

‫إذن‬

‫وهذا ٌعنً أن المتتالٌة ‪ u n ‬‬

‫تناقصٌة‪.‬‬
‫ج‪ -‬استنتاج‬
‫لدٌنا المتتالٌة ‪  u n ‬مصغورة بالعدد‪ 3‬وتناقصٌة إذن ‪  u n ‬متقاربة‪.‬‬
‫‪ f  I   I‬و ‪u0  I‬‬

‫وحٌث الدالة ‪ f‬متصلة على المجال ‪ I‬ولدٌنا‬
‫‪  u n ‬عند ‪ ‬هً العدد الحقٌقً ‪ٌ a‬حقق ‪. f  a   a‬‬

‫إذن نهاٌة المتتالٌة‬

‫‪4a 3‬‬
‫‪a2  4 a  3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f a  a ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬أو ‪ 0   a  2   1  0   a  3  a  1   0  a  3 a ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬

‫بما أن‬

‫‪3‬‬

‫‪un‬‬

‫فإن‬

‫‪lim u n  3‬‬

‫‪n  ‬‬

‫حل التمرين‪5‬‬

‫الجزء األول‬
‫‪ -1‬لنتأكد من أن‬

‫‪0 : g  x   ln x  ln x  1 ‬‬

‫لدٌنا ‪ g  x    ln x 2  ln x‬إذن‬
‫‪ -2‬نهاٌة الدالة‬
‫‪ ‬لدٌنا‬

‫‪Page 10‬‬

‫‪g‬‬

‫‪x‬‬

‫‪g  x   ln x  ln x 1 ‬‬

‫عند محدات ‪0 ;‬‬

‫‪ lim ln x  ‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ln x    ‬‬
‫‪ xlim‬‬
‫‪ ‬‬

‫إذن‬

‫‪lim g  x   ‬‬

‫‪x  ‬‬

‫أحمد الناجً أستاذ مادة الرٌاضٌات ومرشد تربوي‬

‫ومنه محور األراتٌب‬

lim g  x   

x 0 x

 lim ln x  
 x 0 x 0

lim  ln x  1   

 x 0 x 0

‫إذن‬

0

 C  ‫مقارب للمنحى‬

. g ‫للدالة‬

g

 ln x 

lim

x  

‫ألن‬

lim

x  

 ln x 
x

2

 ln t 
 lim
2

t  

t

2

2

2

 ln t 
 4  lim 
 0
x  
 t 

lim

 ln x 

x  

‫ لدٌنا‬

‫ لنبٌن أن‬-‫ أ‬-3

0

x


t  x
 t2  x


x 0

‫ومنه‬

2

‫وبالتالً فإن‬

0

x

2

‫لدٌنا‬

ln t
0
x   t
lim

‫ استنتاج‬-‫ب‬
g x
lim
0
x  
x

‫ومنه فإن‬

2

ln x 
ln x 

 lim
 lim
 0
x   x 
 x  x



‫إذن‬

.‫ ٌقبل فرعا شلجمٌا فً اتجاه محور األفاصٌل‬g ‫للدالة‬
x

g

2

‫ لنحل المعادلة‬-‫ أ‬-4

 ln x

2

 x

0 :  ln x 

 x

0 : ln x  ln x  1   0

 x

0 : ln x  0 ‫ و‬lnx-1=0
‫ا‬

 x  1e
A 1 ;0 

‫لدٌنا‬

 C  ‫وبالتالً فإن المنحنى‬

0 :  ln x   ln x

0 :  ln x 

x

2

ln x 

0
 lim
x  
x

 lim ln x  0
 x  x

‫ٌقطع محور األفاصٌل فً النقطتٌن‬



2

 ln x  0

x‫أو‬

  ‫ومنه فإن ومنه المنحنى‬

g ‫ للدالة‬Cg

. B  e;1  ‫و‬

‫الجزء الثاني‬
x  0.   : g '  x  

‫أحمد الناجً أستاذ مادة الرٌاضٌات ومرشد تربوي‬

1
 2 ln x  1 
2

‫ لنبٌن أن‬-‫ أ‬-1

Page 11

‫ ومنه فإن‬0 ; ‫قابلة لالشتقاق على المجال‬
‫أي‬

g ' x  

  ln x 

2



'

x

0 : g '  x   0  x

 12 
0 ;e 



1 1 2 ln x  1
 
x x
x
1
0 : g '  x    2 ln x  1 
x

‫على كل من‬

0 : 2 ln x  1  0  x
x  0 ; 

‫لدٌنا الدالة‬

 ln x  2  ln x  

. x
 12

 e ;   ‫و‬



g

‫لكل‬

g ' x 

‫ رتابة الدالة‬-‫ب‬

g

1
1
0 : ln x   x  e 2
2

‫ومنه نعطً جدول إشارة‬

: ‫ لدٌنا‬g '  x  ‫من خالل جدول إشارة‬
 1
x  0 ;e 2  : g '  x   0


 1

x   e 2 ;   : g '  x   0





1



‫ ألن‬0 ;e 2  ‫تناقصٌة على المجال‬


‫ألن‬



 12

 e ;   ‫المجال‬



 1

 4

‫إذن‬

ln e  1

‫ألن‬

 1
g  e2


‫ الدالة‬

‫ تزاٌدٌة على‬g ‫ الدالة‬

 12  1
g e  
  4
 1
g  e2


g

‫ لنتأكد من أن‬-‫ج‬

1
1
 

 1 1
 1
2
2

ln
e
ln
e
1    1  
 

 4
 

 22

‫ جدول التغٌرات‬-‫د‬

‫أحمد الناجً أستاذ مادة الرٌاضٌات ومرشد تربوي‬

Page 12

x  0 ;  : g ''  x  

3  2 ln x
x2

‫ إذن‬0 ; ‫قابلة لالشتقاق على‬
‫ومنه فإن‬

g'

-‫ ا‬-2

‫لدٌنا الدالة‬

2
1
1
 1
0 : g ''  x     2 ln x  1    2  2 ln x  1   2  2  2 ln x  3 
x
x
x
 x
3  2 ln x
x  0 ;  : g ''  x  
x2
'

x

 C  ‫هً نقطة انعطاف المنحنى‬
g

‫هً نقطة‬

‫ لنثبت أن‬-‫ب‬

g ''  x   0  3  2 ln x  0  ln x 

‫وبما أن‬
 32 3 
I e ; 
4


 3 3
I  e 2 ;  ‫النقطة‬
4


‫فإن النقطة‬

3
3
 x  e2
2

3
3
 32  

 3 3
 3
2
g  e    ln e  ln e 2  1     1  
 4
  

 22

.  Cg  ‫انعطاف المنحنى‬
 12 32 
.  e ;e  ‫المجال‬



ً‫ف‬



‫ تقبل حال وحٌدا‬g  x   0 ‫ لنبٌن أن المعادلة‬-3

‫ إذن فهً متصلة على‬0 ; ‫متصلة على المجال‬
 12 32 
. e ;e   0 ; 


  1
g  e 2
 

3
  2
g  e
 

‫ لدٌنا الدالة‬

 12 32 
 e ;e  ‫المجال‬



 1

 12   32 
 4
 g e g e 
 3
   

 4

 12 32 
 e ;e  ‫المجال‬


‫أحمد الناجً أستاذ مادة الرٌاضٌات ومرشد تربوي‬

‫ألن‬

g

‫تزاٌدٌة على‬

g

0



‫ لدٌنا الدالة‬
Page 13

‫إذن المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل حال وحٌدا‬
‫‪ -4‬أ‪ -‬لنبٌن أن الدالة‬
‫لدٌنا الدالة‬
‫الدالة‬

‫‪h‬‬

‫‪h‬‬

‫تقبل دالة عكسٌة‬

‫‪h‬‬

‫‪‬‬

‫تقبل دالة عكسٌة‬

‫متصلة على المجال‬
‫‪h 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫فً المجال ‪.  e 2 ;e 2 ‬‬
‫‪‬‬

‫‪h 1‬‬

‫‪ 12 32 ‬‬
‫‪ e ;e ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫محددا مجموعة تعرٌفها‪.‬‬

‫و ‪ h‬تزاٌدٌة على‬

‫‪ 12 32 ‬‬
‫‪ e ;e ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫إذن‬

‫مجموعة تعرٌفها هً‬

‫‪  1 3    1 3 ‬‬
‫‪. J  h  e 2 ;e 2     ; ‬‬
‫‪  4 4 ‬‬
‫‪‬‬

‫ب‪ -‬جدول تغٌرات الدالة العكسٌة‬

‫‪h 1‬‬

‫ج‪ -‬لنحسب ‪ h  0 ‬‬
‫' ‪1‬‬

‫‪1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪h  e‬‬
‫'‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ h 0  ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪  h  0   h‬إذن ‪ h  0   e‬‬
‫' ‪1‬‬

‫'‬

‫' ‪1‬‬

‫الجزء الثالث‬
‫‪ -1‬لنحل مبٌانٌا المتراجحة‬
‫‪0‬‬

‫‪0 : gx‬‬

‫المنحنى ‪ C ‬‬
‫‪g‬‬

‫‪ln x‬‬

‫‪0 : (ln x)2‬‬

‫‪0 :  ln x   ln x  0  x‬‬
‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ln x  x‬‬

‫للدالة ‪ g‬تحت محور األفاصٌل لكل‬

‫‪0 : (ln x)2‬‬

‫‪x  1;e‬‬

‫‪x‬‬

‫ومنه فإن‬

‫وبالتالً فإن ‪. S  1;e‬‬

‫‪e‬‬

‫‪ -2‬لنبٌن أن ‪ ln xdx  1‬‬
‫‪1‬‬

‫‪Page 14‬‬

‫أحمد الناجً أستاذ مادة الرٌاضٌات ومرشد تربوي‬

e

 ln xdx  1
1

‫ على‬x

(ln x)2

: ‫ومنه فإن‬

v  x   x ‫ و‬u'  x   1

‫وبالتالً فإن‬

u  x   x
 u '  x   1

 '

1
 v  x   ln x  v  x  
x


e

e

e

1

1

1

‫نضع‬

‫ أي‬ ln xdx   x ln x    x . 1 dx   x ln x  x 1e  1
x

‫ دالة أصلٌة للدالة‬G  x   x   ln x 2  2 ln x  2  ‫ لنبٌن أن‬-‫ب‬
. 0 ;
‫ إذن‬0 ; ‫قابلة لالشتقاق على‬





'

2
2
G'  x    x  ln x   2 ln x  2    ln x   2 ln x  2 



‫لدٌنا الدالة‬

G

 2 ln x  2 
2
2
x
  ln x   2 ln x 2  2 ln x 2   ln x 

 x 

‫ دالة أصلٌة للدالة‬G  x   x   ln x 2  2 ln x  2  ‫ومنه فإن‬

G '  x    ln x 

. 0 ; ‫ على‬x
‫ومحور األفاصٌل‬

2

‫إذن‬

(ln x)2

 C  ‫ لنستنتج مساحة حٌز المستوى المحصور بٌن المنحنى‬-‫ج‬
g

.x  e‫و‬

x 1

‫والمستقٌمٌن اللذٌن معادلتاهما‬

‫ تحت محور األفاصٌل‬ Cg  ‫ وحدة القٌاس وحٌث المنحنى‬ ‫المساحة و‬

 

‫لتكن‬

: ‫ إذن‬1;e ‫على المجال‬
e

e

1

1

       g  x dx.   



e
e
2
ln
x

ln
x
dx.


 
  ln xdx  G  x  1  .  1   e  2   .   3  e  .
1

.       3  e  . ‫أي‬



‫أحمد الناجً أستاذ مادة الرٌاضٌات ومرشد تربوي‬

Page 15