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Titre: Comnum_5_txt
Auteur: Jean-Louis Cougnon

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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

5.1.
Fonction de transfert des systèmes discrets
5.1.1. Fonction de transfert et équation récurrente
5.1.2. Réponse impulsionnelle d'un filtre numérique
5.1.3. Fonction de transfert et réponse impulsionnelle
5.2.
Transmittance échantillonnée ou « pulsée »
5.2.1. Transmission d'un signal échantillonné par un système continu
5.2.2. Association de transmittances en série
5.2.3. Système échantillonné bouclé
5.3.
Association de systèmes échantillonnés et discrets
5.3.1. Chaîne de commande classique
5.3.2. Prise en compte des retards purs
5.3.3. Signal de sortie entre les instants d'échantillonnage
5.4.
Forme générale des transmittances
5.4.1. Transmittance physiquement réalisable
5.4.2. Forme standard de la transmittance
5.4.3. Modèle numérique du premier ordre
5.4.4. Modèle numérique du deuxième ordre
5.5.
Modèle numérique de l’opérateur « p »
5.6.
Intégration et dérivation numérique
5.6.1. Intégrateur numérique
5.6.2. Dérivateur numérique
5.6.3. Dérivateur filtré
5.6.4. Correcteur P.I.D. programmé

La fonction de transfert d'un système exprime la relation existant entre son signal de sortie et
son signal d'entrée. Cette notion a été développée à l'occasion de l'étude des systèmes
linéaires continus. Dans ce chapitre nous définirons la transmittance des systèmes discrets et
celle des systèmes échantillonnés (ou pulsés).
Un système discret linéaire reçoit une séquence d’entrée {en } qu’il traite selon un algorithme

correspondant à une équation récurrente, pour fournir une séquence de sortie {sn } .
E(z)

en

H(z)

S(z)

Système discret

sn

(équation récurrente)

Figure 1 : Fonction de transfert d’un système discret

Considérons un système échantillonné. Après « reconstruction » (bloqueur d'ordre zéro) le
signal e * (t ) , issu de l’échantillonnage de e(t ) , excite un processus analogique continu en
sortie duquel on obtient un signal continu s(t). Pour apprécier la transformation subie par le
signal d’entrée à partir du dispositif (bloqueur + processus) il faut bien que la sortie soit de
même nature que l’entrée. Aussi échantillonne-t-on de manière fictive le signal s(t) afin
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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

d’obtenir un signal échantillonné s * (t ) comparable à e*(t).

E(z)

e * (t ) =



H(z)

S(z)

s * (t ) =

e( kT ).δ (t − kT )

s ( kT ).δ (t − kT )

n=0

n=0

e*(t)



CNA

Processus

Bloqueur

Système continu

B0(p)

s*(t)

T

s(t)

P(p)

Figure 2 : Modélisation d’un processus commandé par le calculateur (système échantillonné).

Evidemment nous serons conduits à envisager la combinaison de systèmes discrets
(correcteur numérique) et échantillonnés (processus à régler). Nous préciserons les règles à
appliquer dans ce cas, notamment pour le calcul des systèmes hybrides bouclés. Enfin nous
présenterons les méthodes permettant de modéliser les retards purs.

5.1.

FONCTION DE TRANSFERT DES SYSTEMES DISCRETS

5.1.1. FONCTION DE TRANSFERT ET EQUATION RECURRENTE
Soit un système numérique d’entrée E (z ) et de sortie S (z ) , sans condition initiale, il est
caractérisé par la transmittance :

H ( z) =

S ( z ) bn z n + bn −1 z n −1 + ... + b0 N ( z )
= d
=
E( z)
D( z )
z + ad −1 z d −1 + ... + a0

H ( z) =

S ( z ) bn z n − d + bn −1 z n − d −1 + ... + b0 z − d
=
E( z)
1 + ad −1 z −1 + ... + a0 z − d

Soit encore :

Avec la notation [ sk ] = S ( z ) et [ek ] = E ( z ) , cette transmittance correspond à l'équation
récurrente :
sk + ad −1sk −1 + ad − 2 sk − 2 + .... + a0 sk − d = bn ek − d + n + bn −1ek − d + n −1 + .... + b0 ek − d
d
i =0

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ad − i sk − i =

n
i =0

bn − i ek − d + n − i

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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

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Cette expression montre sans ambiguïté que le degré de polynôme dénominateur « d » doit
être supérieur ou égal au degré du polynôme numérateur « n » pour que le filtre soit causal
c’est à dire que sa sortie à l’instant kT ne dépende pas de l’entrée à des instants à venir. Ce qui
est le cas si n > d puisque ek + ( n − d ) est un échantillon à venir.
On peut encore écrire :

H ( z) =

b + bn−1 z −1 + ... + b0 z − n
S ( z)
= z −( d − n ) n
E( z)
1 + a d −1 z −1 + ... + a 0 z − d

Le terme (d − n) représente l’excédent de pôles par rapport aux zéros. Il traduit le nombre
d’échantillons de retard de la sortie du système.
La fonction de transfert peut s’écrire selon les puissances de z −1 :
H ( z) =

S ( z ) bn + bn −1 z −1 + ... + b0 z − n
=
E ( z ) 1 + ad −1 z −1 + ... + a0 z − d

Dans ce cas la transmittance est physiquement réalisable si « n » est inférieur, égal ou
supérieur à « d ».

5.1.2. REPONSE IMPULSIONNELLE D'UN FILTRE NUMERIQUE
a. Présentation d'un cas particulier
Considérons un filtre numérique, dont les conditions initiales sont nulles. Il vérifie l'équation
récurrente s k = 2ek − 1,2ek −1 − 0,8s k −1 . Prenons la transformée en z de l'équation récurrente. Il
vient :
S ( z ) = 2 E ( z ) − 1,2 z −1 E ( z ) − 0,8 z −1S ( z )
S ( z ) 2 z − 1,2
=
est la fonction de transfert H (z ) du filtre numérique.
E ( z ) z + 0,8
1 pour k = 0
Supposons qu’il soit excité par une impulsion ek =
soit E ( z ) = 1 .
0 ∀k ≠ 0
Calculons sa sortie sk . Cette séquence particulière est appelée séquence de réponse

La fraction rationnelle

impulsionnelle ou séquence de pondération. Elle est notée hk . L'organigramme
d’élaboration de hk est le suivant.

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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

Elaboration de la séquence d'entrée

Calcul de la séquence
de sortie

DEBUT
oui
Initialisation
K= 0

A=0
K=0

non

EK=1

SK = 2*EK+A

EK= 0

Sortie de SK

.

A = - 0.8*SK-1.2*EK
K = K+1

Figure 3 : Algorithme de résolution de l’équation récurrente

Les différentes étapes de calcul donnent les résultats suivants :
K

0

1

2

3

4

EK

1

0

0

0

0

2*EK

2

0

0

0

0

EK-1

0

1

0

0

0

-1,2*EK-1

0

-1,2

0

0

0

SK-1

0

2

-2,8

-0,8*SK-1

0

-1,6

+2,24 -1,79 +1,43

SK = HK

2

-2,8

+2,24 -1,79 +1,43

hk

0

2,24

2

1,43

1

2

+2,24 -1,79

3

4

5

k

-1,8
-2,8

La séquence de réponse impulsionnelle est donnée par la dernière ligne du tableau ci dessus.
Elle peut être calculée par division selon les puissances croissantes de z −1 de H (z ) .
H ( z ) = h0 + h1 z −1 + h2 z −2 + h3 z −3 + h4 z −4 + ... + hk + ...
H ( z ) = 2 − 2,8 z −1 + 2,24 z −2 − 1,8 z −3 + 1,43 z −4 + ... 1
b. Réponse à une entrée quelconque

Considérons un filtre numérique dont on connaît la réponse impulsionnelle :
H ( z ) = z −1 − 0,5 z −2

Appliquons lui, par exemple, la séquence d’entrée E ( z ) = 0,5.( z −1 + z −2 + z −3 + z −4 ) .
Chaque échantillon en de l’entrée E (z ) , est une impulsion décalée de nT qui déclenche une
1

Ce filtre numérique est stable puisque sa réponse impulsionnelle tend vers zéro lorsque k (rang des
échantillons) tend vers l'infini.
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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

séquence de réponse impulsionnelle qui sera décalée de nT .
Explicitons cela sur un tableau.

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

hk

0

1

-0,5

0

0

0

0

0

0

0

ek

e0 = 0

e1 = 0, 5

e2 = 0,5

e3 = 0,5

e4 = 0,5

0

0

0

0

0

Réponse
à e0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Réponse
à e1

0

0

0,5

-0,25

0

0

0

0

0

0

Réponse
à e2

0

0

0

0,5

-0,25

0

0

0

0

0

Réponse
à e3

0

0

0

0

0,5

-0,25

0

0

0

0

Réponse
à e4

0

0

0

0

0

0,5

-0,25

0

0

0

Réponse
à e5

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Réponse
à ek

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0,5

0,25

0,25

0,25

-0,25

0

0

0

∀k > 5

Sortie
sk

On vérifie sur cet exemple que s3 =

3

i =0

ei h(3 − i )

Plus généralement on écrit :

s k = e0 hk + e1hk −1 + e2 hk − 2 + ... + ek −1h1 + ek h0 =

k
i =0

ei hk − i

On peut encore écrire :

s0

h0

0

0

...

0

e0

s1

h1

h0

0

...

0

e1

s2 = h2
...
...

h1
...

h0
...

... 0
... ...

e2
...

hk −1 hk − 2 ... h0

ek

sk

hk

Ou encore :
hk = 0 ∀k < 0

sk =


i =0

ei hk − i =


i =0

ek − i hi

Cette expression indique que la sortie de rang k du filtre numérique est égale à la convolution
discrète de la séquence d'entrée par la séquence de réponse impulsionnelle.
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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

5.1.3. FONCTION DE TRANSFERT ET REPONSE IMPULSIONNELLE
Calculons la transformée en z de l'équation de convolution discrète.

S ( z) =
S ( z) =


k =0

i =0

sk z − k =


ei z − i

S ( z) = E ( z)







k =0 i =0

ei hk − i .z − k

hk − i .z − ( k − i )

j = k −i

Posons

k =0

h j .z − j = E ( z )

k =0



h j .z − j

Or

j = −i



S ( z) = E( z)

j =0

hk = 0

∀k < 0

ainsi :

h j .z − j = E ( z ).H ( z )

La fonction de transfert d'un système discret est égale à la transformée en z de sa réponse
impulsionnelle.
H ( z) =

5.2.

[hk ] =



hj z− j

k =0

TRANSMITTANCE ECHANTILLONNEE OU « PULSEE »

5.2.1. TRANSMISSION D'UN SIGNAL ECHANTILLONNE PAR UN SYSTEME CONTINU
Soit la transmittance continue H(p) à laquelle on applique le signal échantillonné e*(t). Le
signal issu de cette fonction de transfert est un signal continu. Aussi plaçons un
échantillonneur fictif afin de matérialiser notre intention de n'observer s(t) qu'aux instants
d'échantillonnage.
Bloqueur
+
Processus

e(t) T e*(t)
E(p)

E*(p)

H(p)

Echantillonneur
fictif

T
s(t)

s*(t)
S*(p)

S(p)

Figure 4 : Traitement des transmit tances échantillonnées

S ( p ) = H ( p).E * ( p)
S * ( p) =

1 +∞

S ( p + jk
)
T k = −∞
T

1 +∞


S * ( p) =
H ( p + jk ).E * ( p + jk ) .
T k = −∞
T
T
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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

Mais comme E * ( p ) = E * ( p + jk
S * ( p ) = E * ( p ).


)
T

1 +∞

H ( p + jk )
T k = −∞
T

S * ( p) = E * ( p ).H * ( p)

Sachant que S ( z ) = [S * ( p )]z = e Tp

S ( z ) = E ( z ).H ( z )
5.2.2. ASSOCIATION DE TRANSMITTANCES EN SERIE
a. Premier cas
E(p)

T

H(p)

S*(p)

S ( p) = E ( p ).H ( p)
S * ( p) = EH * ( p)

Cette notation indique que l'on échantillonne le produit E ( p) H ( p)

Remarque n° 1 : On vérifie que EH * ( p) ≠ E * ( p).H * ( p)
Ainsi si S ( z ) = EH ( z ) on ne peut pas définir une transmittance.
b. Second cas
E(p)

H1(p)

T

H2(p)

H3(p)

T

S*(p)

H4(p)

On trouve facilement que :

S * ( p) = EH 1* ( p).H 2 H 3 * ( p).H 4 * ( p )

S ( z ) = EH 1( z ).H 2 H 3( z ).H 4( z )

5.2.3. SYSTEME ECHANTILLONNE BOUCLE
Calculons la fonction de transfert en boucle fermée FTBF(z), ainsi que l’erreur séquentielle
ε (z ) (erreur aux instants d’échantillonnage) du système ci dessous. Ce système comporte un
élément de retour (un capteur) de transmittance F(p).
T

ε

E(p)
+

T

G(p)

S*(p)
S(p)

_
F(p)

Figure 5 : tances d’un système échantillonné bouclé

ε ( p) = E ( p) − S ( p ).F ( p)
S ( p) = ε * ( p).G ( p)
S * ( p) = ε * ( p).G * ( p)
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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

ε ( p) = E ( p) − ε * ( p).G ( p ).F ( p)
ε * ( p) = E * ( p) − ε * ( p).GF * ( p)

ε ( z) =

5.3.

ε * ( p) =

E( z)
1 + GF ( z )

E * ( p)
1 + GF * ( p)

S ( z)
G( z)
=
= FTBF ( z )
E ( z ) 1 + GF ( z )

ainsi

ASSOCIATION DE SYSTEMES ECHANTILLONNES ET DISCRETS

5.3.1. CHAINE DE COMMANDE CLASSIQUE
Dans la pratique on associe un bloqueur d'ordre zéro (i.e. un convertisseur numérique
analogique) au processus continu réglé par la boucle de commande.
Le calculateur numérique est un processeur discret qui traite des nombres, prélevés à la
période d’échantillonnage T, selon un algorithme (équation récurrente). A cet algorithme
correspond une transmittance C(z).
Les commandes issues du calculateur numérique sont appliquées, à travers le convertisseur
numérique analogique (CNA), au processus analogique de transmittance P(p). A des fins de
simplification la transmittance de l’actionneur et celle du capteur sont incluses dans celle du
processus. Le retour est donc unitaire. La boucle de commande peut être représentée de la
manière suivante :
Entrée

Erreur

ε (t)

e(t)
+

_

Commande

T

T
Bo(p)

C(z)
Correcteur
numérique

Perturbation

m(t)

+

+

CNA

Sortie

b(t)

P (p)

s(t)

Actionneur
+ processus
+ capteur

Figure 6 : Boucle de commande numérique

La fonction de transfert en boucle ouverte est donnée par :

FTBO( z ) =

Nbo
= C ( z ) B0 P ( z )
Dbo

En l'absence de perturbation, la fonction de transfert en boucle fermée du dispositif à retour
unitaire ci dessus est égale à :
C ( z ) B0 P( z )
S ( z)
Nbf
= FTBF ( z ) =
=
E( z)
Dbf 1 + C ( z ) B0 P( z )
Soit :

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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

FTBF ( z ) =

Nbf
FTBO ( z )
Nbo
=
=
Dbf 1 + FTBO ( z ) Dbo + Nbo

Exercice n° 1 : Calculer S(z) en présence du signal e(t) et d’une perturbation b(t) et vérifier
que :
C ( z ).B0 P( z )
BP( z )
S ( z) =
E ( z) +
1 + C ( z ) B0 P( z )
1 + C ( z ) B0 P( z )
Exercice n° 2 : Sachant que B0 ( p ) =

1 − e −Tp
, montrer que la FTBO(z) est donnée par :
p

FTBO ( z ) = C ( z ).(1 − z −1 ).

P( p)
p

5.3.2. PRISE EN COMPTE DES RETARDS PURS
a. Transmittance et retard pur
Dans certains cas le processus continu est affecté d’un retard pur ∆ . Ainsi :
P( p ) = P0 ( p ).e − ∆p
On pose alors :


= µ + λ avec
T


0 < λ <1

Le nombre entier de périodes d'échantillonnage est pris en compte en introduisant le terme
z − µ . La partie fractionnaire quant à elle disparaît dès lors que l'on calcule la transformée en z
modifiée de la transmittance continue affectée par le retard en prenant m = 1 − λ
FTBO ( z ) = C ( z ) z − µ (1 − z −1 )

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P0 ( p )
p

m =1− λ

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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

b. Prise en compte du temps de calcul
En général le temps ∆ mis par le calculateur numérique pour acquérir les données, les traiter
et délivrer la commande mn est très inférieur à la période d'échantillonnage T. Il est donc
négligeable. Cependant, si ce n'est pas le cas, il convient de tenir compte de ce retard pur
selon la démarche exposée ci-après. Sur le schéma on fait apparaître le retard ∆ dû aux
traitements exécutés par le calculateur et ses périphériques.
Erreur
continue

ε(t)

Erreur
séquentielle

Commande

ε(nT)

T

m(nT)

T

C(z)

+ retard ∆

Commande

m(t)

B0(p)

P(p)

s(t)

Le retard ∆ est reporté sur le processus P(p).

ε(t) T ε(nT)

C(z)

T

B 0(p)

s(t)

P(p).e-∆ p

Figure 7 : Prise en compte des temps de calcul

5.3.3. SIGNAL DE SORTIE ENTRE LES INSTANTS D'ECHANTILLONNAGE
Il s'agit de calculer le signal de sortie entre les instants d'échantillonnage. On utilisera la
méthode de la transformée en z modifiée. Signalons que les techniques de simulation
constituent un moyen de visualisation des signaux entre les instants d'échantillonnage qui
évite de tels calculs souvent fastidieux.

ε

E(p)
+

T

C(z)

T
Bo(p)

S(p)

P(p)

_

T
S*(p)
Retard
λT

T
S*(p,m)

Figure 8 : Observation des signaux entre les instants d’échantillonnage

S ( z , m) = ε ( z ) C ( z ) B0 P( z , m)

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S ( z , m) =

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E ( z ) C ( z ) B0 P( z , m)
1 + C ( z ) B0 P( z )

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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

5.4.

FORME GENERALE DES TRANSMITTANCES

5.4.1. TRANSMITTANCE PHYSIQUEMENT REALISABLE
a. Cas des transmittances en z
Soit le système discret d’ordre2 « d » décrit par l'équation récurrente :

s k + d + ad −1sk + d −1 + ad − 2 sk + d − 2 + .... + a0 sk = bn ek + n + bn −1ek + n −1 + bn − 2 ek + n − 2 + .... + b0 ek
Le système étant causal l’échantillon sk +d de la sortie ne peut dépendre que d’échantillons de
l’entrée de rang inférieur ou égal à (k+d). Ainsi d ≥ n . On peut alors écrire :

s k + ad −1s k −1 + ad − 2 sk − 2 + .... + a0 sk − d = bn ek + n − d + bn −1ek + n − d −1 + bn − 2 ek + n − d − 2 + .... + b0 ek − d
On obtient la transmittance du système discret correspondant en prenant la transformée en z
de cette équation récurrente.

S ( z ) bn z n − d + bn −1 z n − d −1 + ... + b0 z − d N ( z )
H ( z) =
=
=
E ( z)
D( z )
1 + ad −1 z −1 + ... + a0 z − d
Ou encore :
n

H ( z) =

n

n −1

bn z + bn −1 z
+ ... + b1 z + b0
N ( z)
= d
=
D( z ) z + a d −1 z d −1 + ad − 2 z d − 2 + ... + a1 z + a0

i =0
d
i =0

bi z i

bi z d

Pour que le système soit causal et donc réalisable, il faut que le dénominateur D(z) de la
transmittance H(z) soit un polynôme en z de degré supérieur ou égal au degré du polynôme
numérateur N(z). Il conviendra de vérifier le respect de cette contrainte à l'issue de toute
opération de synthèse. Ainsi une transmittance est physiquement réalisable si :
d = D( z ) ≥ n = N ( z )
b. Cas des transmittances en x = z −1
On peut encore écrire en posant x = z −1 :
sk + ad −1sk −1 + ad − 2 sk − 2 + .... + a0 sk − d = bn ek + n − d + bn −1ek + n − d −1 + bn − 2 ek + n − d − 2 + .... + b0 ek − d
n
d

( d −1)

d − n +1

b x + b1 x
+ ... + bn −1 x
+ bn x
S
( x) = H ( x) = 0
d
(
d

1
)
E
a0 x + a1 x
+ ... + ad −1 x + 1

d −n

=

i =0
d
i =0

bi x d − i
=
ai x d − i

N ( x)
D( x)

2

Comparer la notion d’ordre d’un système discret à celle d’un système continu.
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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

5.4.2. FORME STANDARD DE LA TRANSMITTANCE
On a souvent intérêt à mettre en évidence le gain statique et le type de la transmittance (i.e. le
nombre d’intégrations). Aussi adopterons-nous une écriture standard des transmittances en z
faisant apparaître directement le gain statique K, les intégrations (i.e. les pôles z = 1 ) et
éventuellement les retards purs (pôles z = 0) d’ordre µ ∈ .

H ( z) =

K
α

( z − 1)

N1 ( z )
D1 ( z )

z−µ

N1 (1)
=1
D1 (1)

avec

K = lim( z − 1)α .H ( z )
z →1

La fonction de transfert d’un système numérique (discret et échantillonné) s’écrit encore :
n

H ( z) =

i =0
d
i =0

n

bi z i
=k
ai z i

∏ ( z − z Zi )
i =1
d

∏ ( z − z Pi )

=

N ( z)
D( z )

i =1

k est appelé le facteur de gain. Le dénominateur D(z) a « d » racines appelées pôles de la
transmittance. Ces racines sont réelles ou complexes 2 à 2 conjuguées. Le numérateur N(z)
admet « n » racines appelées zéros de la transmittance. Ces zéros sont réels ou complexes 2
à 2 conjugués. Ainsi un système quelconque peut toujours être décomposé en un produit de
systèmes du premier ordre et du deuxième ordre.
Les pôles de la transmittance caractérisent le comportement dynamique du système.

Exercice n° 3 :
H ( z) =
H ( z) =

2 s k − sk −1 − 4 sk − 2 + 3s k − 3 = ek −1 + 3ek − 2 + 2ek − 3

Soit

z −1 + 3 z −2 + 2 z −3
2− z

−1

− 4z

−2

+ 3z

−3

=

z 2 + 3z + 2
3

2

2z − z − 4z + 3

=

( z + 1)( z + 2)
( z − 1) 2 (2 z + 3)

( z + 1)( z + 2)
( z − 1) 2 (2,4 z + 3,6)
1,2

5.4.3. MODELE NUMERIQUE DU PREMIER ORDRE
Soit le système décrit par l'équation récurrente :
s k + ask −1 = bek −1
Le gain statique est K =

H ( z) =

bz −1
1 + az −1

=

b
z+a

b
; z P = − a est le pôle de la transmittance.
1+ a

On obtient la séquence de pondération par division selon les puissances croissantes de
x = z −1 :
H ( z ) = 0 + b.z −1 − ba.z −2 + ba 2 .z −3 − ba 3 .z −4 + ... + b(− a ) n −1.z − n + ...
Soit h0 = 0 et hn = b(− a ) n −1 . On examinera les cas particuliers a = −1 et a = 0 .
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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

L'allure de la séquence de réponse impulsionnelle (séquence de pondération) dépend de la
position du pôle −b dans le plan complexe z.

hn

hn

m(z)

hn

a

a

n
1

3

Plan z

0

X
Cercle unité

a

n

1

2

1

X

X

hn

X

a

1

3

1

2

2

X

3

é(z)

hn

n
1

n

a

n
1

3

2

3

Figure 9 : Réponse impulsionnelle selon la position des pôles dans le plan complexe « z »

Si − 1 < z P < 1 les échantillons de la séquence de réponse impulsionnelle tendent vers zéro
lorsque leur rang n tend vers l'infini. Le filtre est stable.
Dans le cas contraire ( z P ∈ ]∞,−1[

]1, ∞[ ) le filtre est instable.

K
, associé
1 + τp
à un bloqueur d’ordre zéro B0 ( p ) . Calculer la transmittance échantillonnée de l'ensemble.

Exercice n° 4 : Soit un système analogique continu du premier ordre, P( p ) =

G ( z ) = (1 − z −1 )

K
p (1 + τp )

G( z) =

K (1 − z 0 )
avec z 0 = e −T τ
z − z0

Cette transmittance est du premier ordre. Son pôle z 0 = e −T τ est de module inférieur à
l'unité. La séquence de réponse impulsionnelle s'éteint lorsque n → ∞ . Le filtre est stable.
K (1 − z 0 )
= K ; il est identique à celui du système continu.
Le gain statique est égal à G (1) =
(1 − z 0 )

Exercice n° 5 : L'identification par la méthode de STREJC d'un processus conduit à lui
attribuer la transmittance :
K −∆p
P( p) =
e
1 + τp
On associe un bloqueur B0 ( p ) à ce processus.
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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

Calculons la transmittance échantillonnée de l'ensemble.

Ke − ∆p
= (1 − z −1 )
p (1 + τp )

G ( z ) = (1 − z −1 )

G( z) =

m

K
p (1 + τp )

m =1−


T

k = K (1 − z 0 e ∆ τ )

k(z +α )
z ( z − z0 )

τ

z 0 = e −T

avec

α = − z0

(1 − e ∆ τ )

1 − z0e ∆ τ

K (1 − z 0 e ∆ τ ) 1 − z 0
Le gain statique est donné par G (1) =

(1 − e τ )


1 − z0 e ∆ τ

(1 − z 0 )

=K

Le retard fractionnaire se traduit par un retard pur d'une période d'échantillonnage ( z −1 )
partiellement compensé par le zéro z Z = −α .

5.4.4. MODELE NUMERIQUE DU DEUXIEME ORDRE
Soit le système du second ordre décrit par l'équation récurrente :
s k + a1sk −1 + a0 sk − 2 = b1ek −1 + b0 ek − 2
H ( z) =

b1 z −1 + b0 z −2
1 + a1 z

−1

+ a0 z

−2

=

2

b1 z + b0

z + a1 z + a0

=

b1 z + b0
( z − z P )( z − z P )

Si les pôles sont réels, H (z ) est le produit de deux systèmes du premier ordre.
Si les pôles sont complexes conjugués, décomposons H(z) en éléments simples :
H ( z) =

A
(1 − z P z −1 )

+

A
(1 − z P z −1 )

h0 = 0 et hn = 2 A z P

A = A e jϕ

soit en posant
n −1

z P = z P e jψ

cos[ϕ + (n − 1)ψ ]

L'allure de la séquence de réponse impulsionnelle dépend de la position de la paire de pôles
complexes conjugués dans le plan z.
Plan

z

Réponse impulsionnelle

m(z)
1

Cercle unité

hn
Pôles complexes

X
1
0

é(z)

n
1 2

3

6

X
Figure 10 : Réponse impulsionnelle d’un système du second ordre
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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

• Si z P < 1 le système est stable car lim z P

n −1

n →∞

=0

• Si la paire de pôles complexes est extérieure au cercle unité ( z P > 1 ) on vérifie que
l'amplitude des échantillons tend vers l'infini lorsque leur rang n tend vers l'infini. On
perçoit ainsi que la stabilité d'un système échantillonné (ou discret) est garantie dès lors
que, dans le plan complexe z, les pôles restent à l'intérieur du cercle unité.
• Enfin si les pôles du système du second ordre sont sur le cercle unité ( z P = 1 ) on vérifie
que la réponse est juste oscillante.

5.5.

MODELE NUMERIQUE DE L’OPERATEUR « p »

Nous savons réaliser la synthèse des correcteurs continus. Tel était du moins un des objectifs
majeurs de la première partie du cours d’Automatique. Il s’agit dans ce paragraphe de mettre
au point une méthode permettant de transposer dans le domaine numérique une loi de
commande continue conçue selon des méthodes analogiques. Cette démarche autorise la
numérisation d’une chaîne de commande en évitant un nouveau travail de synthèse.
En continu l'opération d'intégration s'exprime par :
t

s (t ) = e(τ ).dτ

H ( p) =

0

S ( p) 1
=
E ( p) p

Parmi l'ensemble des algorithmes d'intégration numérique qu'il est possible de définir, nous
retiendrons le suivant :

e(t)

ekT
e (k-1)T

s(k-1)T
t
0

(k-1)T

kT

Figure 11 : Intégration numérique

s k = sk −1 +
Soit :

T
(ek + ek −1 )
2

S ( z ) = z −1S ( z ) +

H ( z) =

(

T
E ( z ) 1 + z −1
2

)

S ( z ) T 1 + z −1
= .
E ( z ) 2 1 − z −1

Cette relation permet de déterminer un équivalent numérique de « p » (approximation de
TUSTIN).
2 1 − z −1
.
T 1 + z −1
Ainsi ayant réalisé la synthèse d'un correcteur analogique C(p) pour la commande d'un
p≈

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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

processus en boucle fermée selon les méthodes relevant du domaine continu, il est possible de
transposer3 ce correcteur dans le domaine numérique4 à partir de :

C ( z ) = [C ( p )]

5.6.

2 1− z −1
p≈ .
T 1+ z −1

INTEGRATION ET DERIVATION NUMERIQUE

Considérons un système analogique P( p) , doté d'un dispositif de maintien B0 ( p) . La
transmittance échantillonnée de l'ensemble est égale à :
G ( z ) = (1 − z −1 )

P( p)
p

5.6.1. INTEGRATEUR NUMERIQUE
La transmittance de l'intégrateur analogique est donnée par 1 Ti p . Associée au bloqueur
d'ordre zéro sa transmittance en z est :
I ( z) =
1
Ti p 2

B0 ( p )
= (1 − z −1 )
p
=

1
Ti p 2

T
z −1
Ti (1 − z −1 ) 2
S
T z −1
T 1
( z) = I ( z) =
=
E
Ti (1 − z −1 ) Ti ( z − 1)

Résultat que l'on obtient en programmant l'équation récurrente :

s k = s k −1 +

T
ek −1
Ti

5.6.2. DERIVATEUR NUMERIQUE
La transmittance du dérivateur analogique est donnée par Td p . Cette transmittance
analogique n'est pas physiquement réalisable. On adopte comme algorithme de dérivation
l'équation récurrente5 :
T
sk = d [ek − ek −1 ]
T
La transmittance est donc égale à : D( z ) =

[

]

Td
1 − z −1 .
T

Cette opération n'a pas d'équivalent en analogique.

5.6.3. DERIVATEUR FILTRE
3

Attention cette méthode n’est pas rigoureuse et donne parfois des surprises.
Voir l’exercice au § 8.3.2.c.
5 Revoir le commentaire concernant la dérivation d’un signal bruité au § 4.2.3.b.
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5. Fonction de transfert des systèmes discrets et échantillonnés

La transmittance du dérivateur analogique filtré est donnée par :
Td p
T
1+ d p
N
Associée au bloqueur d'ordre zéro sa transmittance en z est :

D f ( z) =

B0 ( p)Td p
= (1 − z −1 )
Td
1+
p
N

N ( z − 1)
Df =
( z − z0 )

Td
T
1+ d p
N

avec z 0 = e



TN
Td

On choisit généralement 3 < N < 20 (valeur courante N = 10 ).

5.6.4. CORRECTEUR P.I.D. PROGRAMME
L’équivalent numérique du correcteur P.I.D. analogique est :

1
+
C ( p) = K 1 +
Ti p

Td
T
1+ d p
N

T
N ( z − 1)
C ( z) = K 1 +
+
Ti ( z − 1) ( z − z 0 )

avec z 0 = e



TN
Td

ou encore :

C ( z) = K 1 +

T
+
Ti ( z − 1)

N ( z − 1)
TN
1+
z −1
Td

z −1
pour l' action intégrale
T
z −1
p≈
pour l' action dérivée
Tz

p≈
avec

On en déduira l'équation récurrente à programmer.

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