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DC3 4M 2012 2013 .pdf


Nom original: DC3-4M-2012-2013.pdf
Titre: 4 Math
Auteur: toshiba

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n° : 3

Durée : 2 h

4 Math

Le 27/04/2013

Exercice 1 :(3 points)
I) 1) Enoncer la formule des probabilités totales.
2) Un laboratoire de produits cosmétiques , produit trois catégories de produits de beautés A , B et C.
Le produit A est fabriqué à 30 % , de même pour le produit B.
Une étude statistique relève que 70 % des personnes utilisant A sont satisfait 80 % des
personnes utilisant B sont satisfaits. On sait que 81 % des utilisateurs sont satisfaits.
a) Construire un arbre pondéré traduisant les données précédentes que l'on complètera.
b) On interroge une personne au hasard, il est satisfait.
Quel est la probabilité qu'il utilise le produit A.
II) Répondre par Vrai ou Faux à chacune des questions suivante. Aucune justification n'est demandée.
1) (P) et (P') sont deux plans sécants en une droite de vecteur directeur u . Soient N et N' deux
vecteur normaux respectivement à (P) et (P').
On a : (N  N')  u  0 .
2) Soit (S) une sphère et (P) un plan sécant avec (S) en un cercle.
Il existe exactement deux translations qui transforment (P) en un plan tangent à (S) .

Exercice 2 : (6 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j) .
On considère l'application f du plan dans lui même qui à tout point M d'affixe z associe le point M'
d'affixe z' tel que : z' = z +

zz
.
4

 x'  x

1) a) Montrer que les expressions analytiques de f dans le repère (O,i,j) sont : 
y
 y'  2

b) Montrer alors que f est bijective du plan P dans lui même et donner les expressions analytiques de
son application réciproque f-1 .
2) Soit (C) le cercle de centre I(1 , 2) et de rayon R = 2 et soit (E) = f(C).
a) Montrer qu'une équation cartésienne de (E) est : x² + 4y² - 2x - 8y + 1 = 0.
b) Vérifier que (E) est une ellipse dont on précisera le centre J, les sommets, les foyers et les
directrices associées.
c) Tracer (E).
3) Soit  0,2 et le point M (1  2cos  , 1 + sin) .
a) Montrer que l'ensemble décrit par M est l'ellipse (E).
b) Donner une équation cartésienne de la tangente T à (E) au point M .

Exercice 3 :(5 points)
L'espace () est muni d'un repère orthonormé direct (O,i,j,k) .
On donne les points A(-1 , 3 , 2) , B(-3 , 3 , 6) , C( 0 , 0 , 6) et D(-1 , -1 , 2).
1) a) Déterminer les composantes du vecteur AB  AC .
b) Montrer alors qu'une équation cartésienne du plan (P) = (ABC) est 2x + 2y + z - 6 = 0.
c) En déduire que ABCD est un tétraèdre et calculer son volume .
2) Soit  l'ensemble des points M de l'espace ( ) , centres des sphères passants par A , B et
C et  ' l'ensemble des points M' de l'espace ( ) tel que la sphère de diamètre [BM'] passe par A et
C.
a) Vérifier que I = B*D appartient à  . Déterminer alors  .
b) Montrer que  ' est l'image de  par une homothétie de centre B dont on précisera le rapport.
c) Donner une équation cartésienne de la sphère (S) de diamètre [BD].
3) Déterminer les homothéties de centre D qui transforment la sphère (S) en une sphère (S') tangente à
(P).

Exercice 4 :(6 points)
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux.
1
.
n
1) Déterminer les réels a et b pour que la fonction g définie sur

I) On considère l'équation différentielle (E) : y' + ny = x +

par g(x) = ax + b soit une solution de

l'équation (E).
2) Résoudre l'équation différentielle (E') : y' + ny = 0.
3) a) Montrer qu'une fonction f est solution de l'équation (E) si et seulement si la fonction (f - g) est
solution de l'équation (E').
b) Résoudre alors l'équation (E).
x
 e- nx .
n
1) a) Vérifier que fn est la solution de (E) qui prend la valeur - 1 en 0.

II) Soit fn la fonction définie sur

par fn(x) =

b) Etudier les variations de fn .
2) a) Montrer que l'équation fn(x) = 0 admet dans

une solution unique an.

b) Montrer que pour tout réel x, on a : e  x  1 . En déduire le signe de fn(1).
x

c) Prouver que pour tout n  2 ,

1
 an  1 .
n

e(n1)an
(n(ean  1)  1) .
3) a) Vérifier que pour tout n  2 , fn+1(an) =
n1
b) Prouver que pour tout n  2 , fn+1(an)  0. En déduire que la suite (an) est décroissante.
c) Montrer alors que la suite (an) est convergente.

Bon Travail


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