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UNIVERSITÉ IBN ZOHR
Faculté des Sciences Juridiques Économiques et Sociales

QCM formatif

Analyse
mathématique II
Mohamed HACHIMI

FILIÈRE SCIENCES ÉCONOMIQUES ET GESTION
PREMIERE ANNÉE

Le QCM en tant qu’outil d’apprentissage :






Vérification de connaissances
Auto-évaluation hebdomadaire
Suivi de la progression de l’apprentissage
Suivi d’un un grand nombre d’étudiants
Suivi après l’arrêt des cours (sur Moodle)

Semestre 2

F ICHE 1

Suites réelles : Définitions
1

B
2

B
3

Une suite numérique est une application ?

❑ a : d’une partie de R dans R


✗ c : d’une partie de N dans R

❑ b : d’une partie de R dans N

❑ d : à valeurs numériques

Par définition, une suite numérique est une application d’une partie de N dans R. Donc, seule la
proposition c est vraie.
1
Pour quelle valeur entière de n définit-on la suite (u n ) définie par u n =
?
n −2
✗ b: nÊ3
❑ c: nÊ4
❑ d : n 6= 2
❑ a: n Ê2


On définie une suite à partir du moment ou tous les indices ont des images par cette suite. La suite
est donc définie pour n Ê 3.
On considère une suite (u n ) définie sur N, quel est le troisième terme de la suite ?

❑ a : u0

B
4

B
5

B

6

B
7

B

❑ b : u1


✗ c : u2

❑ d : u3

Comme la suite est définie sur N, cela signifie que son premier terme est donc u 0 par conséquent
son troisième terme est u 2 .
1
Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et la relation de récurrence : ∀ n ∈ N, u n+1 =
· Alors :
1 + un
3
1
4

✗ b : u4 =
❑ c : u4 =
❑ d : u4 = 1
❑ a : u4 =
5
5
5
Notre suite est définie par récurrence, il faut d’abord calculer les termes qui précèdent u 4 . On
1
1
1
1
2
1
3
trouve successivement, u 1 =
= 1, u 2 =
= , u3 =
= et u 4 =
= .
1 + u0
1 + u1 2
1 + u2 3
1 + u3 5
2u n + 3
Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et la relation de récurrence : ∀ n ∈ N, u n+1 =
·
un
Pour quelles valeurs de u 0 la suite est-elle stationnaire ?

✗ a : u 0 = −1


❑ b : u0 = 1

❑ c : u0 = 2


✗ d : u0 = 3

La suite (u n ) est stationnaire si et seulement si u n+1 = u n pour tout n. Donc, il faut que u 1 = u 0 ,
soit
2u 0 + 3
u0 =
⇐⇒ u 02 − 2u 0 − 3 = 0 ⇐⇒ u 0 = −1 ou u 0 = 3
u0
Réciproquement, si u 0 = −1 ou u 0 = 3, la suite (u n ) est stationnaire.
p
Soit n un entier positif. Combien y a-t-il d’entiers k positifs ou nuls tels que k É n ?
p
p
❑ a: n

✗ b : 2n 2 + 1
❑ c : E ( n) + 1
❑ d : n2 + 1

La condition est équivalente à k É n 2 , et donc à k ∈ {0, 1, . . . , n 2 }, qui est un ensemble contenant
n 2 + 1 éléments.
n!
Soit a > 0. La suite (u n ) définie par u n = n est croissante à partir d’un certain rang
a
✗ a : pour tout a > 0
❑ c : seulement pour a Ê 1


❑ b : seulement pour a ∈ ]0, 1]

❑ d : pour aucune valeur de a

La suite (u n ) est définie sur N et on a :
(n + 1)! n!
n!
− n = n+1 (n + 1 − a)
n+1
a
a
a
Pour toute valeur de a > 0, cette différence devient positive à partir d’un certain rang (par exemple,
n Ê a). Notez que lorsque a É 1, la suite (u n ) est croissante sur N en entier.
u n+1 − u n =

Analyse mathématique II

Page 2/12

QCM : Suites numériques (1)

8

B

Lesquelles des suites définies par les termes généraux suivants sont croissantes ?
1
❑ a : u n = (−1)n

✗ c : un = 1 −
n


✗ b : un =

2n − 1
n +1

❑ d : un = 1 +

1
n

On a :
• u n+1 − u n = (−1)n+1 − (−1)n = −2(−1)n qui vaut alternativement −2 et 2
2(n + 1) − 1 2n − 1
3

=
Ê0
(n + 1) + 1
n +1
(n + 1)(n + 2)
·
¸
1
1
1
1
= 1−
− 1−
= −
Ê0
n +1
n
n n +1
·
¸
1
1
1
1
= 1+
− 1+
=
− É 0.
n +1
n
n +1 n

• u n+1 − u n =
• u n+1 − u n
• u n+1 − u n
9

.

Lesquelles des suites définies par les termes généraux suivants sont bornées ?


✗ a : u n = (−1)n

❑ c : u n = (−1)n ln n

2n − 1
n +1

n2 + 1
❑ d : un =
n
2n

1
B On a, −1 É (−1)n É 1 et 0 É
É 2 et par suite elles sont bornées. Par contre, les autres suites
n +1
n2 + 1
sont non bornées car le logarithme n’est pas borné, et
Ê n.
n
10 La suite (u n ) définie par u n = 2n + (−1)n est

✗ b : un =



✗ a : croissante

❑ c : non monotone

❑ b : décroissante

B

❑ d : monotone selon la parité de n
n+1

n

n

On a u n+1 −u n = 2+(−1)
−(−1) = 2−2(−1) qui prend alternativement 0 et 2, ce qui est toujours
positif ou nul. La suite (u n ) est donc croissante.

11 Laquelle des suites suivantes n’est pas une suite extraite de la suite (u n ) ?

❑ a : (u 2n )

B

❑ b : (u n2 )

❑ c : (u 3n+1 )


✗ d : (u (n−6)2 )

Pour obtenir une suite extraite, on remplace n par ϕ(n) dans (u n ) où ϕ est une application strictement croissante de N dans N. Ici, la seule application ϕ non strictement croissante est ϕ(n) =
(n − 6)2 .

12 Laquelle des suites suivantes est extraite de la suite (u 2n ) ?

❑ a : (u 3n )

B

❑ b : (u n2 )


✗ c : (u 2n+2 )

❑ d : (u 2n+1 )

Une suite extraite de (u 2n ) doit être de la forme (u 2ϕ(n) ) où ϕ est une application strictement croissante de N dans N. Ici, seule la suite (u 2n+2 ) est de cette forme avec ϕ(n) = n + 1.

Analyse mathématique II

Page 3/12

QCM : Suites numériques (1)

F ICHE 2

Suites réelles : Convergence
1

Parmi les conditions suivantes, lesquelles sont suffisantes pour que la suite réelle (u n ) converge ?


✗ a : la suite (u n ) est croissante et majorée ou décroissante et minorée

✗ b : les suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers un même réel
❑ c : la suite (u n ) est bornée

✗ d : la suite (u n ) est adjacente à une autre suite réelle

B
2

D’après les théorèmes vues dans le cours les propositions (a), (b) et (d) sont suffisantes pour la
convergence de la suite (u n ). Par contre la proposition (c) est nécessaire pour la convergence de la
suite (u n ) mais elle n’est pas suffisante.
Parmi les conditions suivantes, lesquelles sont suffisantes pour que la suite réelle (u n ) diverge ?


✗ a : la suite (u n ) tend vers −∞ ou vers +∞
✗ b : deux suites extraites de (u n ) convergent vers des limites différentes


✗ c : la suite (u n ) n’est pas bornée
❑ d : la suite (u n ) n’est pas monotone

B

3

D’après les résultats du cours, les propositions (a), (b) et (c) sont suffisantes pour la divergence de
la suite (u n ). Par contre la non monotonie d’une suite n’est pas suffisante pour qu’elle diverge. En
(−1)n
effet, la suite de terme général u n =
n’est pas monotone mais elle est convergente.
n
Parmi les conditions suivantes, laquelle est suffisante pour que la suite réelle (u n ) tende vers 1 ?

❑ a : (|u n |) converge vers 1
❑ b : (u n ) est croissante et majorée par 1 ou décroissante et minorée par 1

✗ c : |u n − 1| <

1
à partir d’un certain rang
n

❑ d : la partie entière de u n tend vers 1

B

4

Le fait que (|u n |) converge vers 1 n’est pas suffisant pour que (u n ) tende vers 1 : considérer par
exemple la suite de terme général u n = (−1)n . Aussi, les conditions de monotonie et de bornage
(a É u n É b) permettent de dire que la suite converge, mais pas que sa limite est l’une des deux
bornes. Encore, le fait que la partie entière de u n tend vers 1 n’est pas suffisant pour que (u n ) tende
vers 1 comme le montre l’exemple de la suite de terme général u n = 1, 3.
1
Seule la proposition (c) est suffisante. En effet, la condition |u n −1| < suffit pour que la suite (u n )
n
1
converge vers 1, puisque la suite tend vers 0.
n
Parmi les conditions suivantes, laquelle est nécessaire pour que la suite réelle (u n ) tende vers 1 ?


✗ a : (|u n |) converge vers 1
❑ b : (u n ) est croissante et majorée par 1 ou décroissante et minorée par 1
❑ c : |u n − 1| <

1
à partir d’un certain rang
n

❑ d : la partie entière de u n tend vers 1
Analyse mathématique II

Page 4/12

QCM : Suites numériques (2)

B

5

B

¯
¯ ¯
¯
D’après l’inégalité ¯|u n | − |ℓ|¯ É ¯u n − ℓ¯, on a : si (u n ) converge ℓ alors (|u n |) converge vers ℓ. Ici, il
est donc nécessaire que (|u n |) converge vers 1.

Les autres propriétés ne sont pas nécessaires : une suite peut converger vers 1 sans être monotone
(−1)n
comme par exemple la suite de terme général u n = 1 +
. De même, il n’est pas nécessaire de
n
1
majorer |u n − 1| par pour que (u n ) tende vers 1 : la suite définie par u n = 1 + εn tend vers 1 si εn
n
1
1
tend vers 0 bien que εn peut être différente de . Enfin, la suite de terme général u n = 1 − tend
n
n
vers 1 malgré que sa partie entière est toujours nulle (tend vers 0).
1
Soit (u n ) une suite réelle croissante. On pose v n = u n + · Les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes
n
❑ a : lorsque (u n ) converge
❑ c : lorsque (u n ) est majorée
1
1
pour tout n ❑ d : lorsque u n+1 − u n Ê
pour tout n
n(n + 1)
n(n + 1)
On a la suite (u n ) est croissante et la suite (v n − u n ) tend vers 0. La seule condition qui manque
pour que les suites (u n ) et (v n ) soient adjacentes est la décroissance de (v n ). Or, on a :

✗ b : lorsque u n+1 − u n É


v n+1 − v n É 0 =⇒ u n+1 +
6

B
7

B

1
1
1
− u n − É 0 =⇒ u n+1 − u n É
n +1
n
n(n + 1)

Soit (u n ) une suite réelle. Combien y a-t-il de suites extraites de (u n ) qui convergent ?

❑ a : il y en a au moins une

❑ c : il y en a toujours une infinité


✗ b : il n’y en a pas forcément

❑ d : il y en a qu’un nombre fini

Prenons par exemple la suite de terme général u n = n. Cette suite diverge vers +∞. Il en est de
même de toutes ses suites extraites.
n
X
1
1
1
1
+
+··· +
=
Soit (u n ) une suite réelle définie sur N∗ , par : u n =
n +1 n +2
2n p=1 n + p


✗ a : (u n ) est bornée

❑ c : (u n ) tend vers +∞


✗ b : (u n ) est croissante


✗ d : (u n ) est convergente

On peut remarquer que u n est la somme de n termes positifs. Donc (u n ) est minorée (par 0).
D’autre part :
un =

n
X

n 1
X
1
1
É
= n = 1 soit, u n É 1, ∀ n > 0.
n
p=1 n + p
p=1 n

donc (u n ) est majorée (par 1). La suite (u n ) étant minorée et majorée est bornée.
Étudions le sens de variation de (u n ) :
µ

1
1
1
1
1
1
u n+1 − u n =
+··· +
+

+
+··· +
n +2
2n + 1 2n + 2
n +1 n +2
2n
=
=

1
1
1
+

2n + 1 2n + 2 n + 1
1
>0
(2n + 1)(2n + 2)

donc la suite (u n ) est croissante.
La suite (u n ) étant croissante et majorée, est donc convergente.

Analyse mathématique II

Page 5/12

QCM : Suites numériques (2)

F ICHE 3

Suites réelles : Opérations sur les limites
1

Soient (u n ) et (v n ) deux suites de réels. Alors :

❑ a : Si (u n ) tend vers 0 et (v n ) tend vers +∞, alors (u n v n ) tend vers 0.

✗ b : Si (u n ) est bornée et (v n ) tend vers +∞, alors (u n + v n ) tend vers +∞.
❑ c : Si (u n ) est bornée et (v n ) tend vers +∞, alors (|u n |v n ) tend vers +∞
❑ d : Si (u n ) tend vers 0 et (v n ) est majorée, alors (u n v n ) tend vers 0.

B

2

La seule proposition vraie est (b). En effet, si (u n ) est bornée alors il existe m ∈ R tel que m É u n .
D’où m + v n É u n + v n . Comme m + v n tend vers +∞, la suite (u n + v n ) tend aussi vers +∞.
1
Afin de justifier que les autres propositions sont fausses, on peut prendre u n = , et v n = n pour
n
(a) et (c) ou v n = −n pour le cas de (d).
Soient (u n ) et (v n ) deux suites de réels. Alors :

❑ a : Si (u n + v n ) converge, alors (u n ) et (v n ) convergent aussi
❑ b : Si (u n v n ) converge, alors (u n ) et (v n ) convergent aussi
❑ c : Si (u n ) et (v n ) converge vers la même limite, alors u n = v n à partir d’un certain rang
✗ d : Si (v n ) tend vers 0 en restant positive et (u n ) tend vers +∞, alors


B

3

Afin de justifier que les propositions (a) et (b) sont fausses, on peut prendre u n = (−1)n , et v n =
1
1
(−1)n+1 . La proposition (c) est aussi fausse. Prenons par exemple u n = et v n = − .
n
n
un
+∞
La proposition (d) est vraie car
est de la forme + = (+∞) × (+∞) = +∞
vn
0
¶n
µ
1
La limite de la suite (u n ) définie par u n = 1 +
est :
n

❑ a: 1

B

un
tend vers +∞
vn


✗ b: e

❑ c : 1∞

❑ d : non définie

Tout d’abord, le passage à l’exponentielle s’impose pour l’étude de toutes les suites du types (u n )v n .
On a :
1
µ

ln(1+ n
)
¡ 1¢
1 n
1
n ln 1+ n
n
un = 1 +
=e
=e
n
1
ln(1 + xn )
tend vers 0 et
tend vers 1, alors u n tend vers e.
n
xn
p
La limite de la suite (u n ) définie par u n = n − n 2 − 4n est :
Comme xn =

4

B


✗ b: 2

❑ a : −∞

❑ c: 4

❑ d : +∞

En multipliant numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée, puis en divisant par n, on
obtient :
un = n −

p
n 2 − (n 2 − 4n)
4n
4
n 2 − 4n =
=
=
−−−−−−−→ 2
p
p
p
n + n 2 − 4n
n + n 2 − 4n 1 + 1 − 4/n n→+∞

donc la suite (u n ) converge vers 2.

Analyse mathématique II

Page 6/12

QCM : Suites numériques (3)

5

B

La limite de la suite (u n ) définie par u n =

p
n 2 + 4n − n est :


✗ b: 2

❑ a : −∞

❑ c: 4

❑ d : +∞

En multipliant numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée, puis en divisant par n, on
obtient :
p
n 2 + 4n − n 2
4n
4
u n = n 2 + 4n − n = p
=p
=p
−−−−−−−→ 2
1 + 4/n + 1 n→+∞
n 2 + 4n + n
n 2 + 4n + n
donc la suite (u n ) converge vers 2.

6

B

La limite de la suite (u n ) définie par u n = (−1)n

✗ b: 0


❑ a : −1

B

❑ c: 1

❑ d : non définie

La suite de terme général (−1)n prend alternativement −1 et 1 mais elle est bornée : −1 É (−1)n É 1
pour tout n. En divisant les trois termes par n + 1, on obtient :


7

1
est :
n +1

1
1
1
É (−1)n
É
n +1
n +1 n +1

soit, −

1
1
É un É
n +1
n +1

La suite (u n ) est encadrée par deux suites qui tendent vers 0. D’après le théorème des gendarmes
(théorème de comparaisons), la suite (u n ) tend vers 0.
n
La limite de la suite (u n ) définie par u n = (−1)n
est :
n +1

❑ a : −1

❑ b: 0

❑ c: 1


✗ d : non définie

La suite (u n ) admet deux suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ) qui convergent respectivement vers 1 et
−1 :
2n
2n
u 2n = (−1)2n
=
−−−−−−−→ 1
2n + 1 2n + 1 n→+∞
u 2n+1 = (−1)2n+1

2n + 1
2n + 1
=−
−−−−−−−→ −1
2n + 2
2n + 2 n→+∞

Donc la suite (u n ) est divergente, et par suite sa limite n’est pas définie.
8

B

La limite de la suite (u n ) définie par u n = sin n est :

❑ a : −1

❑ b: 0

❑ c: 1


✗ d : non définie

C’est une question de cours : la suite (sin n) et la suite (cos n) n’ont pas de limite ! On va la démontrer par l’absurde. Supposons que sin n converge. Alors :
sin p − sin q = 2 sin

p −q
p +q
cos
2
2

ce qui donne :
sin(n + 1) − sin(n − 1) = 2 sin(1) cos n

A la limite, on obtient cos n tend vers 0. Or la relation

cos 2n = 2 cos2 n − 1
9

B

donne alors à la limite 0 = −1. Absurde.

La limite de la suite (u n ) définie par u n = n sin

❑ b: 0
1
Posons xn = . On a lim xn = 0 et :
n
❑ a : −1

u n = n sin

Analyse mathématique II

1
est :
n


✗ c: 1

❑ d : non définie

1
1
1 sin xn
= sin =
−−−−−−−→ 1
1
n→+∞
n
n
xn
n
Page 7/12

QCM : Suites numériques (3)

10 Lesquelles des limites suivantes sont correctes ?


✗ a : lim

✗ b : lim

B

On a :

n3 − 1
= +∞
n2 + 1

❑ c : lim

n2 + n − 1
= −1
n − n2
n3 − 1
n2 + 1
e−n
lim
n
lim

Analyse mathématique II

n3
= +∞
n2
1
= lim n = 0
ne
= lim

e−n
= −∞
n

❑ d : limn ln
n2 + n − 1
n − n2
1
lim n ln
n
lim

Page 8/12

1
=0
n
= lim

n2
= −1
−n 2

= − limn ln n = −∞

QCM : Suites numériques (3)

F ICHE 4

Suites réelles : Comparaisons
1

Soit (u n ) une suite strictement positive et décroissante. Alors

❑ a : (u n ) converge et sa limite est strictement positive

✗ b : (u n ) converge et sa limite est positive ou nulle
❑ c : (u n ) peut être divergente mais minorée par 0
❑ d : (u n ) converge vers 0

B

2

Le théorème sur les suites monotones assure la convergence de (u n ). Par passage des inégalités à
la limite on a lim u n Ê 0. Ainsi, la proposition (b) est vraie.
1
1
Cependant, on ne peut rien dire d’autre sur la limite de (u n ) : les suites u n = et v n = 1 + sont
n
n
strictement positives et décroissantes mais u n tend vers 0 alors que v n tend vers 1.
1 (−1)n
Soit (u n ) la suite réelle définie par : u n = +
pour tout n > 0
n!
n

✗ c : (u n ) est convergente
❑ a : (u n ) est positive


✗ b : (u n ) est majorée par 2

B

La suite (u n ) n’est ni positive ni monotone puisque u 2n > 0 et u 2n+1 < 0 pour n Ê 1. D’autre part :
∀ n ∈ N,

3

❑ d : (u n ) est monotone

−2
1 (−1)n 2
É +
É
n
n!
n
n

soit

−2
2
É un É
n
n

et u n É 2

La suite (u n ) est encadrée par deux suites qui tendent vers 0. D’après le théorème des gendarmes
(théorème de comparaisons), la suite (u n ) tend vers 0. La suite est majorée par 2 puisque u n É 2.

Soit (u n ) une suite de nombre réels

❑ a : Si 1 É u n É 2 pour tout n Ê 0, alors (u n ) converge
❑ b : Si u n − 3 É

1
pour tout n Ê 0, alors (u n ) converge vers 3
n +1

❑ c : Si (u n ) converge vers 0 alors (u n ) est croissante et négative ou décroissante et positive

✗ d : Si 1 −

B

4

B

1
1
É u n É 1 + pour tout n Ê 1, alors (u n ) converge vers 1
n
n

La proposition (a) est fausse puisque une suite bornée n’est pas forcément convergente. Afin de
(−1)n
justifier que les propositions (b) et (c) sont aussi fausses, on peut prendre u n =
· Seule la
n +1
proposition (d) est vraie. En effet, la suite (u n ) est encadrée par deux suites qui tendent vers 1.
D’après le théorème des gendarmes, la suite (u n ) tend vers 1.
1
1
Soit (u n ) une suite réelle telle que 1 + É u n É 3 − pour tout n > 0. Alors
n
n
❑ a : limu n ∈ ]1, 3[
❑ c : limu n = 2

❑ b : limu n ∈ [1, 3]


✗ d : (u n ) n’est pas forcément convergente

On ne peut rien dire de la nature de la suite (u n ). Le théorème d’encadrement ne s’applique pas
dans ce cas puisque les suites qui encadrent (u n ) n’ont pas la même limite.
Par ailleurs on peut pas répondre (b) si on ne savait pas déjà que la suite (u n ) était convergente. La
proposition (a) c’est à éviter même si on suppose que la suite (u n ) était convergente.

Analyse mathématique II

Page 9/12

QCM : Suites numériques (4)

5

Soient (u n ) et (v n ) deux suites de réels telle que u n É v n à partir d’un certain rang. Alors :

❑ a : Si (v n ) converge, (u n ) converge aussi et limu n É lim v n .

✗ b : Si (u n ) tend vers +∞, alors (v n ) tend aussi vers +∞.

✗ c : Si (v n ) tend vers −∞, alors (u n ) tend aussi vers −∞.
❑ d : Si (u n ) est strictement croissante, (v n ) l’est aussi.

B

6

B

La proposition (a) est fausse. En effet, la convergence de (v n ) n’implique pas forcément celle de
(u n ) : on peut considérer les suites u n = (−1)n et v n = 1. Le théorème de comparaison des suites
tendant vers l’infini assure que les propositions (b) et (c). La proposition (d) est fausse. On peut
1
considérer les suites u n = − et v n = 1.
n
Soit (u n ) une suite réelle convergente qui prend ses valeurs dans un intervalle I donné. Pour quel
intervalle I est-on certain que la limite de (u n ) reste dans I ?

❑ a : I =]0, 1]


✗ b : I = [0, 1]

❑ c : I = [0, 1[

❑ d : I =]0, +∞[

Si 0 É u n É 1 pour tout n, on peut passer à la limite cette inégalité, ce qui montre que 0 É limu n É 1.
Donc la proposition (b) convient.
D’autre part, les inégalités strictes 0 < u n et u n < 1 ne passent pas à la limite automatiquement.
Ainsi, les propositions (a), (c) et (d) ne conviennent pas.

7

B

8

B

Soit (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites ayant les propriétés suivantes :
u n É v n É w n pour n Ê 0, lim u n = −1, lim w n = 1

❑ a : (v n ) est convergente et lim v n ∈ [−1, 1]

❑ c : pour tout n Ê 0, −1 É v n É 1


✗ b : la suite (u n ) est bornée

❑ d : (v n ) est divergente

La suite (u n ) est encadrée par deux suites convergentes n’ayant pas la même limite. Donc, rien ne
confirme ni la convergence ni la divergence de (u n ). Comme les suites (u n ) et (w n ) sont convergentes, elles sont bornées et par suite la suite (v n ) est bornée. Enfin, rien n’oblige (v n ) de prendre
1
2
ses valeurs dans [−1, 1] : on peut prendre u n = −1 É v n = 1 + É w n = 1 +
n
n
Soit (u n ) une suite convergente vers 0 et (v n ) une suite bornée. Alors


✗ a : (u n v n ) converge vers 0

❑ c : (u n + v n ) converge

❑ b : (u n v n ) diverge si (v n ) diverge

❑ d : (u n + v n ) diverge

Si une suite (v n ) est bornée alors il existe un réel α Ê 0 tel que |v n | É α. Ce qui donne |u n v n | É α|u n |
pour n à partir d’un certain rang. Le théorème d’encadrement assure par la suite la convergence
de (u n v n ) vers 0. Maintenant, justifions que les autres propositions sont fausses. La proposition
(b) ne peut être vraie puisque la proposition (a) est valable même si la suite (v n ) diverge. Encore,
une suite bornée peut être convergente ou divergente. On ne peut donc rien dire de la nature de la
somme d’une suite convergente et une suite bornée : les propositions (c) et (d) sont fausses.

Analyse mathématique II

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QCM : Suites numériques (4)

F ICHE 5

Suites réelles : Suites récurrentes
1

B
2

B
3

Parmi les suites suivantes, laquelle est une suite arithmétique ?

❑ a : u n = e2n

❑ b : v n = 2n

2


✗ c : w n = 3n − 2

❑ d : xn = (1 + n)n

La suite (w n ) est arithmétique de raison r = 3 puisque w n+1 = w n + 3 pour tout n. La suite (u n ) est
géométrique et les deux autres ne sont ni arithmétiques ni géométriques.
Parmi les suites suivantes, laquelle est une suite géométrique ?


✗ a : u n = e2n

❑ b : v n = 2n

2

❑ c : w n = 3n − 2

❑ d : xn = (1 + n)n

La suite (u n ) est géométrique de raison q = e2 puisque u n+1 = e2 u n pour tout n. La suite (w n ) est
arithmétique et les deux autres ne sont ni géométriques ni arithmétique.
Soit q un réel différent de 1. Combien vaut S n = q + q 2 + · · · + q n ?

1 − qn
q − qn
q(1 − q n )
1 − q n+1


d
:
S
=
❑ b : Sn =
❑ c : Sn =
n
1−q
1−q
1−q
1−q
Il s’agit de calculer la somme des n premiers termes d’une suite géométrique. Ici, le premier terme
est q :
1 − qn
Sn = q + q 2 + · · · + q n = q
1−q

❑ a : Sn =

B

4

B

5

Soit q un réel différent de 1. Combien vaut S n = 1 + q + q 2 + · · · + q n ?

q(1 − q n )
1 − qn
q − qn
1 − q n+1
❑ d : Sn =
❑ a : Sn =
❑ b : Sn =

✗ c : Sn =
1−q
1−q
1−q
1−q
Il s’agit de calculer la somme des n + 1 premiers termes d’une suite géométrique. Ici, le premier
terme est 1 :
1 − q n+1
Sn = 1 + q + q 2 + · · · + q n =
1−q
Soit (u n ) une suite définie sur N par u n = 2n + 3. Combien vaut Ωn = u n + u n+1 + · · · + u 2n ?


✗ a : Ωn = 3(n + 1)2

B

❑ c : Ωn = 3n(n + 1)

(n + 1)(6n + 9)
n(6n + 9)
❑ d : Ωn =
2
2
Rappelons d’abord que dans le cas d’une suite arithmétique, la somme de termes consécutifs est
égale au nombre de termes multiplié par la somme du premier terme et le dernier terme le tous
divisé par 2. Ici, le nombre de termes est égale à (2n − n + 1) = n + 1, le premier terme est u n et le
dernier terme est u 2n . Notre somme vaut :

❑ b : Ωn =

Ωn = u n + u n+1 + · · · + u 2n = (n + 1)
6

B

u n + u 2n (n + 1)(2n + 3 + 4n + 3)
=
= 3(n + 1)2
2
2

Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 0, 5 et la relation de récurrence u n+1 = u n3 . Alors

❑ a : (u n ) converge vers 1 en croissant

❑ c : (u n ) converge vers 1 en décroissant


✗ b : (u n ) converge vers 0 en décroissant

❑ d : (u n ) diverge vers +∞

Remarquons que l’intervalle [0, 1] est stable par la fonction f (x) = x 3 donc la suite (u n ) prend ses
valeurs dans cet intervalle. Les points fixes de f sont −1, 0 et 1. La fonction f est croissante et
comme u 1 = f (u 0 ) = 0, 53 É u 0 , la suite (u n ) est décroissante. Comme elle est minorée par 0, elle
converge et sa limite qui est un point fixe de f est forcément 0.

Analyse mathématique II

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QCM : Suites numériques (5)

7

Soit (u n ) une suite réelle qui vérifie la relation

❑ a : (u n ) est croissante

u n u n+1
=
pour tout n > 0. Alors
n
n +1
❑ c : (u n ) tend vers +∞

❑ b : (u n ) est convergente

B

8

B


✗ d : (u n ) est une suite arithmétique
un
u n+1
un
La relation
=
montre que la suite de terme général
est constante et vaut u 1 . On a
n
n +1
n
donc pour tout n, u n = nu 1 . Ainsi, (u n ) est une suite arithmétique de raison u 1 . La proposition (a)
est inexacte car dans le cas où u 1 < 0, la suite sera strictement décroissante. Dans ce cas elle tend
même vers −∞ donc les proposition (b) et (c) sont aussi fausses.
Soit (u n ) une suite réelle qui vérifie la relation u n+1 = 3u n + 6 pour tout n Ê 0. Alors la suite (v n )
définie par v n = u n − α est géométrique lorsque

❑ a: α=0

❑ c: α=3


✗ b : α = −3

❑ d: α=6

On remplace u n par v n + α dans la relation de récurrence. On obtient pour tout n,
v n+1 = 3v n + (2α + 6).

9

Il en résulte que la suite (v n ) est géométrique lorsque 2α + 6 = 0, soit α = −3.

Soit la suite (u n ) définie par u 0 > 0 et la relation de récurrence u n+1 = u n2 + u n . Alors

❑ a : (u n ) converge car elle est croissante

❑ b : (u n ) tend vers +∞ car elle est strictement croissante
❑ c : (u n ) converge vers 0 puisque sa limite vérifie ℓ = ℓ2 + ℓ

✗ d : (u n ) est croissante et non majorée
La suite (u n ) est croissante puisque pour tout n, u n+1 − u n = u n2 Ê 0. Supposons que la suite est
majorée. D’après le théorème sur les suites monotones, la suite (u n ) convergerait et sa limite ℓ
vérifierait ℓ = ℓ2 +ℓ et donc ℓ = 0. Ce qui est impossible puisque ℓ Ê u 0 > 0. Ainsi, la suite (u n ) n’est
pas majorée et tend vers +∞.
164
et u 1 + u 3 = 20. Alors
10 Soit (u n ) une suite géométrique de raison r qui vérifie : u 0 + u 4 =
3
2
2

✗ a : r = 3 et u 0 =
❑ c : r = 3 et u 0 = −
3
3

B

B

2
2
❑ d : r = −3 et u 0 =
3
3
Seule la proposition (a) nous convient. Les autres propositions sont à écarter puisqu’on remarque
immédiatement que l’une au moins des deux somme u 0 + u 4 ou u 1 + u 3 sera négative. Dans le cas
de la proposition (a) on a :
2
u 0 = , u 1 = 2, u 3 = 18, u 4 = 54
3
On a bien
164
u0 + u4 =
et u 1 + u 3 = 20
3

❑ b : r = −3 et u 0 = −

Analyse mathématique II

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QCM : Suites numériques (5)




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