4S révision 5 2014 .pdf



Nom original: 4S-révision-5-2014.pdf
Titre: 4S-révision 5-2014
Auteur: LENOVO G580

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SERIE DE REVISION
PRINTEMPS (1)

PROFESSEUR :

ANIS BEN ALI

2014

Partie A :

EXERCICE 1

Soient les suites ( an ) et ( bn )

4ème SC.EXP

n

 1
 1
définies pour tout entier naturel n non nul par : an = 1+  et bn = an 1+  .
 n
 n

1. Le graphique suivant représente les 20 premiers termes des suites ( an ) et ( bn ) .

a. Identifier les suites ( an ) et ( bn ) sur ce graphique.
b. Conjecturer leur sens de variation.
Pour la suite de l’exercice, on admet que les conjectures sont validées.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, an ≤ bn .
3. Convergence de la suite ( an ) .
a. Montrer que pour tout nombre réel x, 1+ x ≤ e .
x

b. Démontrer, en utilisant l'inégalité précédente , que pour tout entier naturel n non nul, an ≤ e .
c. Prouver que la suite ( an ) est convergente.
Dans la suite de l'exercice on admet que la suite ( an ) converge vers le nombre e.
4. Convergence de la suite ( bn ) .
a. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul : 0 ≤ bn − an ≤

e
.
n

b. En déduire que la suite ( bn ) est convergente et préciser sa limite.
c. Démontrer alors que pour tout entier naturel n non nul, bn ≥ e .
d. En déduire que e ≤ 4 et donc que, pour tout entier naturel n non nul : 0 ≤ bn − an ≤

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4
.
n

Tél : 52180911

Partie B : Généralisation


Sur le graphique ci-dessous on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; i, j ) , la courbe
représentative C d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]−1; + ∞[ .

On sait qu'il existe un nombre réel c tel que f ( x ) = ln (1 + x ) − x + cx 2 .

 1
 2

1. En utilisant le graphique, donner la valeur de f '  −  .

2. Démontrer que pour tout réel x : f ' ( x ) =

2cx2 + ( 2c − 1) x
1+ x

.

3. En déduire la valeur de c.
4. a. Démontrer que pour tout réel x ≥ 0, f ( x ) ≥ 0 .
b. À l'aide de l'inégalité de la question 3. a. de la partie A, prouver que, pour tout réel x > −1: ln (1+ x ) ≤ x .
c. En déduire que pour tout réel x ≥ 0 : −x ≤ ln (1 + x ) − x ≤ 0 .
2

t2
 t
5. Prouver que, pour tout réel t ≥ 0 et tout entier naturel n non nul : − ≤ nln 1+  − t ≤ 0 .
n
 n
n

 t
t
6. Pourquoi peut-on en déduire que, pour tout réel t ≥ 0 , la suite de terme général 1+  tend vers e ?
 n
EXERCICE 2
2
2
Soit les fonctions u et v définies sur ]0; +∞[ par : u ( x ) = x ln x et v ( x ) = 1 − x .

La figure ci-après représente les courbes (C1) et (C2) des fonctions u et v.
1) a) Déterminer la courbe de chacune des fonctions u et v.
b) Graphiquement dresser le tableau de signe de u ( x ) − v ( x ) .

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2) Soit la fonction f définie sur ]0; +∞[ par : f ( x ) = xln x +

1
x

.

a) Calculer les limites de f en +∞ et 0+.
b) Montrer que f ' ( x ) =

u(x) - v(x)
x2

.

c) En utilisant 1) b) dresser le tableau de variation de f.
d) Calculer lim

x →+∞

f(x)
et interpréter graphiquement le résultat.
x

e) Construire la courbe Cf de f dans un repère orthonormé.
4) a) Par une intégration par partie calculer:



e

2

xln x dx .

b) En déduire l’aire de la partie du plan limité par les courbes Cf ,
l’axe des abscisses et les droites d’équations x =2 et x =e .
EXERCICE 3

Pour une marque de téléphone portable donnée , on s‘intéresse à deux options de dernière technologie
proposées , le GPS ( Global Positioning System ) et le Wifi . Sur l’ensemble des téléphones portables , 40%
possèdent l’option GPS . Parmi les téléphones avec l’option GPS , 60 % ont l’option Wifi . On choisit au
hasard un téléphone portable de cette marque et on suppose que tous les téléphones ont la même
probabilité d’être choisis . On considère les évènements suivants :
G « le téléphone possède l’option GPS » .
W « le téléphone possède l’option Wifi » .
On suppose que la probabilité de W est p ( W ) = 0 , 7 .
Dans tout l’exercice , on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles .

( G) .

1°) Déterminer la probabilité de chacun des évènem ents suivants : G , G et W

2°) Représenter la situation à l’aide d’un arbre p ondéré , qui sera complété tout au long de l’exercice.
3°) Déterminer la probabilité de l’évènement D : « Le téléphone possède les deux options » .

( G) = 3023

4°) a) Démontrer que p W

. Compléter l’arbre pondéré .

b) Déterminer la probabilité de l’évènement U : « Le téléphone est équipé d’une seule option ».
5°) On choisit un téléphone avec l’option Wifi . Qu elle est la probabilité qu’il ne possède pas l’option GPS ?

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