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Nom original: 4.G.Ex.Etude.fonctions.pdfTitre: 4.G.Ex.Etude.fonctionsAuteur: Habib Gammar

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Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef
Habib Gammar

Exercices

4ème EG

(Etude de fonctions)

1/2

Exercice 2

Exercice 1


Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O , i , j ) .

− 3x + 6
( x − 1) 2

( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j ) .

Soit f la fonction définie sur ℝ \ {1} par : f ( x ) = x

3

1) Montrer que f peut s’écrire sous la forme : f ( x ) = x + 2 +

La courbe ( C ) représente une fonction f définie et dérivable sur ℝ .
• L’axe des abscisses est une asymptote à ( C ) au voisinage de −∞ .
• ( C ) admet une branche parabolique de direction celle de l’axe des

4
.
( x − 1) 2

ordonnées au voisinage de +∞

2) On admet que le tableau de variation de f est le suivant :
x

−∞

1

3

+∞

+∞
f
−∞
6

a) Calculer lim f ( x ) et
+
x →1

lim f ( x )

x →+∞

b) Montrer que la droite D : x = 1 est une asymptote verticale à ( C ) .
c) Montrer que la droite ∆ : y = x + 2 est une asymptote oblique à ( C ) au
voisinage de +∞ et de −∞ .
Par lecture graphique :
1) Déterminer f (0) , f (1) et f '(0) .

d) Etudier la position relative de la courbe ( C ) et la droite ∆.
3) a) Montrer que l’équation f ( x ) = 0 admet dans ℝ une unique solution α
b) Vérifier que α ∈ ] −3, −2 [ .

4) Tracer dans le repère (O , i , j ) la courbe ( C ) .

2) Déterminer

lim f ( x ) , lim f ( x )

x →+∞

x →−∞

3) Dresser le tableau de variation de f.
www.mathsplus.12r.org

et lim

x →+∞

f (x )
x

Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef
Habib Gammar

Exercices

4ème EG

(Etude de fonctions)

2/2

Exercice 3

Exercice 5

 x 2 − 1
si x ≤ −1
Soit f la fonction définie sur ℝ par : f ( x ) = 
 − x 3 + 3 x + 3 si x > −1

( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j ) .

La courbe ( C ) ci-dessous représente une fonction f définie sur ℝ .
La droite T est la tangente à ( C ) au point d’abscisse (−1).


lim f ( x ) = 1

lim f ( x ) = −1

et

x →−∞

x →+∞

1) Etudier la continuité de f à droite et à gauche en −1.

1

T

2) a) Etudier la dérivabilité de f à gauche en −1.

0,5

b) Interpréter graphiquement le résultat.

(C )

3) Montrer que f est dérivable sur ℝ \ { −1} et calculer f '( x ) .
4) Montrer que le point I (0, 3) est un point d’inflexion de ( C )

-2

-1,5

-1

-0,5

5) Ecrire une équation de la tangente à ( C ) au point I

O

0,5

-0,5

6) Montrer que l'équation f ( x ) = 0 admet une solution α ∈ ] 2,3 [ .
-1

Exercice 4

Donner la primitive F de f sur un intervalle I dans chacun des cas suivants
 f ( x ) = 1 − x + 3x
1) 
 F (1) = 0

2

 f (x ) = x

3) 
 F (0) = 2


−2+

4

+ 3x

2

 f (x ) = x − 1 + 1

2) 
x2
2 x
 F (1) = 1


−x 3

2

1) Déterminer

f (0)

2) Déterminer

lim

3) Déterminer :

x
x

Par une lecture graphique :

+4

x →1−

et

f '(0) .

f (x )
x −1

et

lim

x →1+

f '( −1) .

4) Donner une équation de la tangente T.
5) Dresser le tableau de variation de f.
6) Déterminer : lim f ( 1 )
1− x
x →1+
www.mathsplus.12r.org

f (x )
x −1

1

1,5

2


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