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LATEX2 .pdf



Nom original: LATEX2.pdf
Auteur: Gustave

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Aperçu du document


0) Introduction
{Un aspect/Une partie} de la théorie des matrices infinies concerne la résolution des systèmes
linéaires infinis ,et consiste (donc) à déterminer des conditions suffisantes pour que de tels
systèmes {aient un sens/existent}( séries convergentes) et admettent des solutions,notamment
{grace à la construction de/en construisant et en se plaçant dans} certains espaces de
vecteurs et de matrices( infinis).
Nous allons donner des exemples de tels espaces et leurs propriétés fondamentales.
Nous commencerons par un (court) préliminaire sur les propriétés algébriques et topologiques
des espaces l^infini (ou s_1),c_0 et c,
puis nous enchainerons sur celles des espaces S_alpha et s_alpha et les liens qu’ils
entretiennent , nous présenterons brièvement ( en quoi consiste le)} théorème de Polya et nous
verrons {en quoi/pourquoi} ces espaces conviennent dans la résolution de certains systèmes
linéaires infinis.
Enfin nous terminerons par quelques exemples d’applications.

I) Les espaces c0, c, et l
Proposition 1.1 [(l,|| || l) Banach]

Dém :

1

2

II) Espaces S et s, propriétés algébriques et topologiques,
et solution de systèmes linéaires infinis
Définition 2.1 (AB, AX)

Définition 2.2 (A-1)

3

Définition 2.3 [A  (E,F)]:

Théorème 2.4 (de Polya)

Corollaire 2.5 (du théorème de Polya) :

4

Définition 2.6 (espaces S ,Sr)

Remarque:

5

Proposition 2.7 (propriétés algébriques et topologiques dans S1 et s1)

Dém :

6

7

8

9

Proposition 2.8 (égalité d’ensembles)

Dém (partielle):

Proposition 2.9 [(S1,|| || S1) Banach]

Dém :

10

11

Proposition 2.10 (inverse d’une matrice)

Dém :

12

Proposition 2.11 (conditions suffisantes d’existence et d’unicité des solutions pour un
système linéaire infini) :

Dém :

Existence

13

14

.

15

Unicité

car

Expression de la solution

16

17

Définition 2.12 (D)

Proposition 2.13 (passage du cas S1 au cas S et vis versa)

18

Dém:

19

III) Exemples:
Défintion 3.1 [(), (r), (), (r)]
i

20

Proposition 3.2 [(1)  Sc (sous certaines conditions)]

Dém:

21

Proposition 3.3 [(1)t  Sc (sous certaines conditions)]

Dém:

22

Proposition 3.4 [(1) inversible dans Sc, , (1)-1 = (1), (1)-1 Sc (sous
certainesconditions)]

Dém:

23

24

25

Proposition 3.5 (matrice de Toplitz)

Dém :

,

26

27

Corrections :
$\usepackage{color}$
définition 2.0.0

$\textcolor{blue}{AB}\textcolor{red}{=_{def}}\textcolor{blue}{ [(AB)_{ij}]_{ i,j \in \N^*
}$
$\textcolor{blue}{avec \,\, \forall i,j \in \N^* \,\, (AB)_{ij}}\textcolor{red}{=
_{def}}\textcolor{blue}{\displaystyle{ \sum_{k_\in \N^*}a_{ik}b_{kj}}}$
définition 2.0.0.1
$\usepackage{color}$
$\textcolor{blue}{A,B \in {\cal{M}}_{\infty}(\R)}$
$\textcolor{blue}{B=A^{-1}\,\,(inverse\,\, de \,\, A \,\, \grave{a}\,\,droite)}
\textcolor{red}{Longrightarrow_{def}}\textcolor{blue}{AB=I_{\infty}}$
$\textcolor{blue}{B=A^{-1}\,\,(inverse \,\, de\ ,\,A \,\, \grave{a}\,\,gauche)}
\textcolor{red}{Longrightarrow_{def}}\textcolor{blue}{BA=I_{\infty}}$

théorème 2.0.1(de Polya)
$\textcolor{red}{ (i)} \,\, \textcolor{blue}{ \exists P \subset {\N}^*,\,\,P \,\, infini :\forall j \in
P \,\, a_{1j} \neq 0}$
définition 2.1.1
$\textcolor{red}{ \Longleftrightarrow_{def}} \textcolor{blue}{A= (a_{nm})_{n,m \in
{\N}^*} \in {\cal{M}}_{\infty \infty}(\R)={\cal{M}}_{\infty}(\R)} \,\, \textcolor{red}{:}$
prop 2.1.3
$ \textcolor{blue}{ \lambda(AB)= (\lambda A)B=A(\lambda B)}$
dém(2.1.3)

28

$\textcolor{green}{1)}\,\,A,\,\, B\in S_1$
$A+B \in {\cal{M}}_{\infty}(\R) \,\,car \,\, A,\,\,B \in {\cal{M}}_{\infty}(\R)$
$||A+B||_{S_1}\leq ||A||_{S_1}+||B||_{S_1}$
$\textcolor{green}{donc} \,\, A+B \in S_1$

$\textcolor{green}{2)\,\,a)} \,\, \forall A =(a_{nm})_{n,m \in {\N}^*}, \,\,B =(b_{nm})_{n,m
\in {\N}^*}\in S_1 $
$AB \in {\cal{M}}_{\infty}(\R)$
$\textcolor{green}{ (1)} \,\,\forall n,m_0,k_0 \in \N^* \,\, \displaystyle{\sum_{m \in
\N_{m_0}^*}|\sum_{k \in \N_{k_0}^*}a_{nk}b_{km}|}$
$\leq \displaystyle{\sum_{m \in \N_{m_0}^*}\sum_{k \in \N_{k_0}^*}|a_{nk}b_{km}|}$
$= \displaystyle{\sum_{m \in \N_{m_0}^*}\sum_{k \in \N_{k_0}^*}|a_{nk}||b_{km}|}$
$= \displaystyle{\sum_{k \in \N_{k_0}^*}\sum_{m \in
\N_{m_0}^*}|a_{nk}||b_{km}|}\,\,(car \,\, les \,\, sommes \,\, sont \,\, finies)$
$= \displaystyle{\sum_{k \in \N_{k_0}^*}[|a_{nk}|\sum_{m \in \N_{m_0}^*}|b_{km}|]}$
$\leq \displaystyle{\sum_{k \in \N_{k_0}^*}[|a_{nk}|(\sup_{k^{\prime} \in \N^*}\sum_{m
\in \N_{m_0}^*}|b_{k^{\prime}m}|)]}$
$=(\displaystyle{\sup_{k^{\prime} \in \N^*}\sum_{m \in
\N_{m_0}^*}|b_{k^{\prime}m}|})(\displaystyle{\sum_{k \in \N_{k_0}^*}|a_{nk}|})$
$\textcolor{green}{ (2)}\,\, \forall m_0,k_0 \in \N^* \,\, \displaystyle{\sup_{n \in
\N^*}\sum_{m \in \N_{m_0}^*}|\sum_{k \in \N_{k_0}^*}a_{nk}b_{km}|}$
$\displaystyle{\sup_{n \in \N^*}[(\sup_{k^{\prime} \in \N^*}\sum_{m \in
\N_{m_0}^*}|b_{k^{\prime}m}|)(\sum_{k \in \N_{k_0}^*}|a_{nk}|)] }$
$=(\displaystyle{\sup_{k^{\prime} \in \N^*}\sum_{m \in
\N_{m_0}^*}|b_{k^{\prime}m}|})(\displaystyle{\sup_{n \in \N^*} \sum_{k \in
\N_{k_0}^*}|a_{nk}|})$
$\textcolor{green}{ (3)}\,\, m_0,k_0 \longrightarrow \infty$
$||AB||_{S_1}=\displaystyle{\sup_{n \in \N^*}\sum_{m \in \N^*}|(AB)_{nm}|}$
$=\displaystyle{\sup_{n \in \N^*}\sum_{m \in \N^*}|\sum_{k \in \N^*}a_{nk}b_{km}|}$

29

$\leq (\displaystyle{\sup_{k^{\prime} \in \N^*}\sum_{m \in
\N^*}|b_{k^{\prime}m}|})(\displaystyle{\sup_{n \in \N^*} \sum_{k \in \N^*}|a_{nk}|})$
$=||B||_{S_1}||A||_{S_1}$
$=||A||_{S_1}||B||_{S_1}$
$||AB||_{S_1} \leq ||A||_{S_1}||B||_{S_1}$
$\textcolor{green}{\Longrightarrow} ||AB||_{S_1} \leq ||A||_{S_1}||B||_{S_1}<\infty$
$[\textcolor{green}{car}\,\, ||A||_{S_1}<\infty , \,\, ||B||_{S_1}<\infty ]$
$\textcolor{green}{\Longrightarrow}AB \in S_1$
$\textcolor{green}{b)} \,\, \forall A =(a_{nm})_{n,m \in {\N}^*}\in S_1 \,\,\forall
X=(x_m)_{m \in {\N}^*} \in s_1$
$ \textcolor{green}{donc} \,\, S_1 \subset (s_1,s_1) $
$\textcolor{green}{3)}\,\, A,\,\, B,\,\,C\in S_1$
$\textcolor{green}{a)}\,\,\forall i,j \in \N^* \,\, [(AB)C]_{ij}=\displaystyle{\sum_{k \in
\N^*}(AB)_{ik}c_{kj}}$
$=\displaystyle{\sum_{k \in \N^*}(\sum_{l \in \N^*}a_{il}b_{lj})c_{kj}}$

$[A(BC)]_{ij}=\displaystyle{\sum_{l \in \N^*}a_{il}(BC)_{lj}}$

$=\displaystyle{\sum_{l \in \N^*}a_{il}(\sum_{k\in \N^*}b_{lk}c_{kj})}$
$\textcolor{green}{b)}\,\,\forall i,j \in \N^*,\,\,\forall k_0,l_0 \in \N^*\,\,
\displaystyle{\sum_{k \in \N_{k_0}^*}(\sum_{l \in \N_{l_0}^*}a_{il}b_{lj}c_{kj})}$
$= \displaystyle{\sum_{l \in \N_{l_0}^*}(\sum_{k \in \N_{k_0}^*}a_{il}b_{lj})c_{kj}}$
$=\displaystyle{\sum_{l \in \N_{l_0}^*}a_{il}(\sum_{k\in \N_{k_0}^*}b_{lk}c_{kj})}$
$\forall i,j \in \N^*,\,\,\forall k_0,l_0 \in \N^*\,\, \displaystyle{\sum_{k \in
\N_{k_0}^*}(\sum_{l \in \N_{l_0}^*}a_{il}b_{lj})c_{kj}}=\displaystyle{\sum_{l \in
\N_{l_0}^*}a_{il}(\sum_{k\in \N_{k_0}^*}b_{lk}c_{kj})}$
$\textcolor{green}{c)}\,\,k_0,\,\,l_0 \longrightarrow \infty$
$\forall i,j \in \N^* \,\, [(AB)C]_{ij}=\displaystyle{\sum_{k \in \N^*}(\sum_{l \in
\N^*}a_{il}b_{lj})c_{kj}}=\displaystyle{\sum_{l \in \N^*}a_{il}(\sum_{k\in
\N^*}b_{lk}c_{kj})}=[A(BC)]_{ij}$

30

$\forall i,j \in \N^* \,\, [(AB)C]_{ij}=\displaystyle{\sum_{k \in \N^*}(\sum_{l \in
\N^*}a_{il}b_{lj})c_{kj}}=\displaystyle{\sum_{l \in \N^*}a_{il}(\sum_{k\in
\N^*}b_{lk}c_{kj})}$
$=[A(BC)]_{ij}$
$\textcolor{green}{donc} \,\, (AB)C=A(BC)$
$\textcolor{green}{4)}\,\, \forall A,B \in S_1 \,\, A+B \in S_1,\,\, AB \in S_1$
$donc \,\, \forall A=(a_{nm})_{n,m \in {\N}^*},B =(b_{nm})_{n,m \in {\N}^*},C
=(c_{nm})_{n,m \in {\N}^*}\in S_1\,\,\underbrace{A}_{\in S_1}(\underbrace{B+C}_{\in
S_1}) \in S_1, \,\, \underbrace{AB}_{\in S_1}+\underbrace{AC}_{\in S_1} \in S_1$
$\textcolor{green}{a)} \,\, \forall i,j \in \N^* \,\, [A(B+C)]_{ij}=\displaystyle{\sum_{k \in
\N^*}a_{ik}(B+C)_{kj}}$
$=\displaystyle{\sum_{k \in \N^*}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj}) }$
$[AB+AC]_{ij}=[AB]_{ij}+[AC]_{ij}=\displaystyle{\sum_{k \in
\N^*}a_{ik}b_{kj}}+\displaystyle{\sum_{k \in \N^*}a_{ik}c_{kj}}$
$\textcolor{green}{b)} \,\, \forall i,j \in \N^*,\,\,\forall k_0 \in \N^*\,\, \displaystyle{\sum_{k
\in \N_{k_0}^*}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj}) }=\displaystyle{\sum_{k \in
\N_{k_0}^*}a_{ik}b_{kj}}+\displaystyle{\sum_{k \in \N_{k_0}^*}a_{ik}c_{kj}}$
$\textcolor{green}{c)} \,\, k_0 \longrightarrow \infty$
$\forall i,j \in \N^* \,\, [A(B+C)]_{ij}=\displaystyle{\sum_{k \in
\N^*}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj}) }=\displaystyle{\sum_{k \in
\N^*}a_{ik}b_{kj}}+\displaystyle{\sum_{k \in \N^*}a_{ik}c_{kj}}=[AB+AC]_{ij}$

$\forall i,j \in \N^* \,\, [A(B+C)]_{ij}=\displaystyle{\sum_{k \in
\N^*}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj}) }=\displaystyle{\sum_{k \in
\N^*}a_{ik}b_{kj}}+\displaystyle{\sum_{k \in \N^*}a_{ik}c_{kj}}$
$=[AB+AC]_{ij}$
$\textcolor{green}{donc} \,\,A(B+C)=AB+AC$

Prop 2.2.2(inverse d’une matrice)
$\usepackage{color}$
$\textcolor{blue}{A, \,\,(B_n)_{n \in \N} \in S_1} \,\, \textcolor{red}{:}$
$\textcolor{red}{1)} \,\, \textcolor{blue}{ (B_n)_{n \in \N} \frac{CS}{S_1} \longrightarrow
B}$

31

$\textcolor{red}{2)} \,\,\textcolor{blue}{ (AB_n)_{n \in \N} \frac{CS}{S_1} \longrightarrow
I_{\infty}}$
$\textcolor{red}{\Longrightarrow} \textcolor{blue}{A^{-1}=B\,\,(\grave{a} \,\,droite)}$
$\textcolor{blue}{ prop.\,\,analogue \,\,\grave{a} \,\,gauche}$
dem(2.2.2)
$||AB_n-AB||_{S_1}=||A(B_n-B)||_{S_1} \leq ||A||_{S_1}||B_n-B||_{S_1}
\longrightarrow_{n \rightarrow \infty}0$
Le résultat:

$[\textcolor{green}{car} \,\,(B_n)_{n \in \N}\frac{CS}{S_1}\longrightarrow B]$
$\textcolor{green}{Or} \,\, (AB_n)_{n \in \N}\frac{CS}{S_1}\longrightarrow I_{\infty}$
$\textcolor{green}{donc} \,\, ||AB_n-AB||_{S_1}\longrightarrow_{n \rightarrow \infty}
||I_{\infty}-AB||_{S_1}$
$\textcolor{green}{donc} \,\, ||I_{\infty}-AB||_{S_1}=0$
$ I_{\infty}-AB=0$
$ AB= I_{\infty}$
$A^{-1}=B\,\,(\grave{a} \,\,droite)$

Prop 2.2.3
$ \textcolor{blue}{A \in {\cal{M}}_{\infty}(\R) \,\, ou \,\, S_\alpha : \exists \lambda >0\,\, ||
A-\lambda I_{\infty}||_{S_\alpha} <\lambda}$
$\textcolor{blue}{\forall B \in s_\alpha \,\, \exists ! X_0 \,\, solution \,\, de \,\, AX=B \,\, dans
\,\, s_\alpha}$

Dém(2.2.3)
Expression de la solution
$A_0=\lambda I_{\infty}-A$
$||A_0||_{S_1}=||\lambda I_{\infty}-A ||_{S_1}=||A -\lambda I_{\infty} ||_{S_1}<\lambda$
$A_1=I_{\infty}-\frac{1}{\lambda}$

32

$on \,\, a\,\,:A=\lambda I_{\infty}-A_0=\lambda (I_{\infty}-\frac{1}{\lambda})=\lambda
A_1$
$(C_n)_{n \in \N} \in {\cal{M}}_{\infty}(\R) \,\,:\forall n \in \N
\,\,C_n=\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} \frac{1}{\lambda^i} A_0^i}$
$(A_1 , \,\, (C_n)_{n \in \N}) \subset S_1$
$C=\displaystyle{\sum_{i \in \N} \frac{1}{\lambda^i} A_0^i}$
$\textcolor{green}{1)} \,\,Montrons \,\, que \,\, A_1^{-1}\,\,existe \,\, et \,\, que \,\, A_1^{1}=C$
$\textcolor{green}{a)}\,\, (C_n)_{n \in \N}\frac{CS}{S_1} \longrightarrow C $
$ C=\displaystyle{\sum_{i \in \N} \frac{1}{\lambda^i} A_0^i} \frac{CN}{?}$
$\textcolor{green}{ \Longrightarrow} C \,\, CV\,\,(C \,\, existe\,\, dans \,\, S_1)$
$[\textcolor{green}{car} \,\, S_1 \,\,alg \grave{e} bre \,\, de \,\, Banach]$
$donc \,\, (C_n)_{n \in \N} \,\, (\sommes \,\, partielles \,\, de \,\, terme \,\,g \acute{e} n
\acute{e} ral )\,\,\frac{CS}{S_1} \longrightarrow \,\, C \,\,(\somme \,\, de \,\, terme \,\,g
\acute{e} n \acute{e} ral )$
$\textcolor{green}{b)}\,\,(A_1C_n) _{n \in \N} \frac{CS}{S_1} \longrightarrow I_{\infty}$
$||\frac{1}{\lambda}A_0||_{S_1}=\frac{1}{\lambda}||A_0||_{S_1}<\frac{1}{\lambda}\lamb
da=1$
$Q_{\lambda}(n)=A_1C_n -I_{\infty}$
$=A_1(\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} \frac{1}{\lambda^i} A_0^i}) - I_{\infty}$
$*\,\, Q_{\lambda}(n)= -\frac{1}{\lambda^{n+1}} A_0^{n+1}$
$\,\, \forall n \in \N \,\, Q_{\lambda}(n)=(I- \frac{1}{\lambda^i} A_0)[ \displaystyle{\sum_{i
\in \N_n} \frac{1}{\lambda^i} A_0^i}] -I_{\infty}$
$=\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} \frac{1}{\lambda^i} A_0^i}-\displaystyle{\sum_{i \in
\N_n} \frac{1}{\lambda^{i+1}} A_0^{i+1}} - I_{\infty}$
$=\displaystyle{\sum{i \in \N_n} \frac{1}{\lambda^i} A_0^i}-\displaystyle{\sum_{i \in
\N_{n+1}^*} \frac{1}{\lambda^i} A_0^i} - I_{\infty}$
$=[\frac{1}{\lambda^0} A_0^0+\displaystyle{\sum_{i \in \N_n^*} \frac{1}{\lambda^i}
A_0^i}]-[\displaystyle{\sum_{i \in \N_n^*} \frac{1}{\lambda^i}
A_0^i}+\frac{1}{\lambda^{n+1}} A_0^{n+1}]-I_{\infty}$

33

$= I_{\infty}+\displaystyle{\sum_{i \in \N_n^*} \frac{1}{\lambda^i} A_0^i}\displaystyle{\sum_{i \in \N_n^*} \frac{1}{\lambda^i} A_0^i}-\frac{1}{\lambda^{n+1}}
A_0^{n+1}]- I_{\infty}$
$= -\frac{1}{\lambda^{n+1}} A_0^{n+1}$
$*\,\, \displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}|| Q_{\lambda}(n)||_{S_1}}=0$
$[c \grave{a} d \,\, \displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}|| A_1C_n I_{\infty}||_{S_1}}=0]$
$|| Q_{\lambda}(n)||_{S_1}=|| -\frac{1}{\lambda^{n+1}} A_0^{n+1}||_{S_1}$
$=|| \frac{1}{\lambda^{n+1}} A_0^{n+1}||_{S_1}$
$=\frac{1}{\lambda^{n+1}}|| A_0^{n+1}||_{S_1}$
$\leq\frac{1}{\lambda^{n+1}}|| A_0||_{S_1}^{n+1}$
$=(\frac{1}{\lambda}|| A_0||_{S_1})^{n+1}\longrightarrow_{n \rightarrow \infty} 0$
$[car \,\, \frac{1}{\lambda}|| A_0||_{S_1}<1]$

$donc \,\, (A_1C_n) _{n \in \N} \frac{CS}{S_1} \longrightarrow I_{\infty}$
$conclusion: A_1^{-1}=C=\displaystyle{\sum_{i \in \N} \frac{1}{\lambda^i} A_0^i} $
$\textcolor{green}{2)}\,\,AX=B$
$\textcolor{green}{\Longleftrightarrow} (\lambda A_1)X=B$
$\textcolor{green}{\Longleftrightarrow} X=(\lambda A_1)^{-1}B$
$\textcolor{green}{\Longleftrightarrow} X=\frac{1}{\lambda} A_1^{-1}B$
$\textcolor{green}{\Longleftrightarrow} X=\frac{1}{\lambda} (\displaystyle{\sum_{i \in \N}
\frac{1}{\lambda^i} A_0^i})B$
$\textcolor{green}{\Longleftrightarrow} X= (\displaystyle{\sum_{i \in \N}
\frac{1}{\lambda^{i+1}} A_0^i})B$
$\textcolor{green}{\Longleftrightarrow} X= \displaystyle{\sum_{i \in \N}
\frac{1}{\lambda^{i+1}} A_0^i B}$
$\textcolor{green}{\Longleftrightarrow} X= \displaystyle{\sum_{i \in \N}
\frac{1}{\lambda^{i+1}} (\lambda I_{\infty}-A)^i B}$

34

définition 3.1
$\textcolor{blue}{o \grave{u}\,\, \forall i,j \in {\N}^* \,\, [{\Sigma}(\mu)]_{ij}}
\textcolor{red}{=_{def}}\textcolor{blue}{ \left \{ \begin{array}{ll} \frac{1}{ \mu_i} &
\mbox {$si \,\, i \geq j $} \\ 0 & \mbox {$ si \,\, i<j$}\end{array}\right.}$
$\textcolor{blue}{o \grave{u} \,\, \forall i,j \in {\N}^* \,\, [{\Sigma}(1)]_{ij}}
\textcolor{red}{=_{def}} \textcolor{blue}{ \left \{ \begin{array}{ll}1 & \mbox {$ si \,\, i
\geq j $} \\ 0 & \mbox {$si \,\, i<j$}\end{array}\right.}$
prop 3.2
dém(3.2)
$\textcolor{green}{(1)}\,\,{\Delta}(1) \in {\cal{M}}_{\infty}(\R)$
$\textcolor{green}{(2)} \,\, \forall n \in \N^* \,\, \displaystyle{\sum_{m \in
{\N}^*}|[{\Delta}(1)]_{nm}| \frac{c_m}{c_n}}$
$\textcolor{green}{(3)} \,\, ||{\Delta}(1)||_{S_c}$
$=\displaystyle{\sup_{n \in {\N}^*} \sum_{m \in {\N}^*}|[{\Delta}(1)]_{nm}|
\frac{c_m}{c_n}}$
$=\displaystyle{\sup(\sup_{n \in {\N}^*/n=1} \sum_{m \in {\N}^*}|[{\Delta}(1)]_{nm}|
\frac{c_m}{c_n},\sup_{n \in {\N}^*/n \neq 1} \sum_{m \in {\N}^*}|[{\Delta}(1)]_{nm}|
\frac{c_m}{c_n})}$
$=\displaystyle{\sup(\sup_{n \in {\N}^*/n=1} 1,\sup_{n \in {\N}^*/n \neq 1} 1+\frac{c_{n1}}{c_n})}$
$=\displaystyle{\sup_{n \in {\N}^*/n \neq 1} 1+\frac{c_{n-1}}{c_n}}$
$<\infty$
$[\textcolor{green}{car} \,\, \frac {c_{n-1}}{c_n}=O(1)]$
$\textcolor{green}{donc} \,\, \Delta(1) \in S_c$
prop 3.4
dém(3.4)

$\textcolor{green}{1)\,\, a)}\,\, \forall i,j \in {\N}^* \,\, I_{\infty}_{ij}-[\Delta(1)]_{ij}=\left
\{ \begin{array}{ll}1-1 & \mbox{$si \,\, i=j$} \\ 0-(-1) & \mbox{$ si \,\, i \neq 1 \,\, et \,\, j=i1[donc\,\, i \neq j]$} \\ 0-0 & \mbox{$ si \,\, (i \neq j \,\, et \,\, i=1) \,\, ou \,\, (i \neq j \,\,et j
\neq i-1)$}\end{array} \right.$

35

$\textcolor{green}{b)}\,\, \forall n \in \N^*\,\, \displaystyle{ \sum_{m \in {\N}^*} |
I_{\infty}_{nm}-[\Delta(1)]_{nm}|} \frac {c_m}{c_n}}$
$\textcolor{green}{c)} \,\, ||I_{\infty}-\Delta(1)||_{S_c}$
$ =\displaystyle{\sup_{n \in {\N}^*} \sum_{m \in {\N}^*} | I_{\infty}_{nm}[\Delta(1)]_{nm}|} \frac {c_m}{c_n}}$

$ =\displaystyle{\sup(\sup_{n \in {\N}^*/n=1} \sum_{m \in {\N}^*} | I_{\infty}_{nm}
-[\Delta(1)]_{nm}|} \frac {c_m}{c_n},\sup_{n \in {\N}^*/n \neq 1} \sum_{m \in {\N}^*} |
I_{\infty}_{nm}-[\Delta(1)]_{nm}|} \frac {c_m}{c_n})}$

$\textcolor{green}{2)} \,\, \forall i,j \in {\N}^* \,\,[\Delta(1) \Sigma(1)]_{ij}$
$\textcolor{green}{3) \,\,(a)} \,\, \Delta(1)^{-1}= \Sigma(1) \in {\cal{M}}_{\infty}(\R)$
$\textcolor{green}{(b)} \,\, \forall n \in \N^* \,\, \displaystyle{\sum_{m \in
{\N}^*}|[{\Sigma}(1)]_{nm}| \frac{c_m}{c_n}}$
$\textcolor{green}{(c)} \,\, ||{\Sigma}(1)||_{S_c}$
$=\displaystyle{\sup_{n \in {\N}^*} \sum_{m \in {\N}^*}|[{\Sigma }(1)]_{nm}|
\frac{c_m}{c_n}}$

$=\displaystyle{\sup_{n \in {\N}^*} \sum_{ m \in {\N}_{n}^* } \frac{c_m}{c_n}}$
$<\infty$
$\textcolor{green}{donc} \,\, \Delta(1)^{-1}=\Sigma(1) \in S_c$
$=\displaystyle{\sum_{ m \in {\N}^* } ( \frac{1}{r})^{m}} \,\,(s \acute{e} rie \,\, g \acute
{e} o m \acute{e} trique \,\, de \,\, raison \,\, }\frac{1}{r}<1)$
prop 3.5
$\textcolor{blue}{ [\forall i,j \in {\N}^* j \geq i \,\,(càd \,\,\exists k \in \N:j+i+k) \,\,
[\phi(f)]_{ij}=a_k}\textcolor{red}{ \Longleftrightarrow} \textcolor{blue}{\forall i \in {\N}^*
\forall k \in \N [\phi(f)]_{i,i+k}= a_k]}$
$\textcolor{red}{1)}\,\, \textcolor{blue}{\phi (f) \in \displaystyle{\cap_{r \in ]0,R[}Sr} \,\,
[\subset \displaystyle{\cup_{r \in ]0,R[}Sr}]}$
$\textcolor{red}{\Longrightarrow}\textcolor{blue}{ \phi(\frac {1}{f})=[\phi (f)]^{-1}\in
\displaystyle{\cap_{r \in ]0,R^{\prime} [}Sr}\,\, [\subset \displaystyle{\cup_{r \in
]0,R[}Sr}]}$

36

37


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