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Mesures de Gibbs 2 .pdf



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1

Mesures de Gibbs
Guillaume FOUCART
26 septembre 2006
Lemme 1
In´egalit´e FKG
Soit Λ ⊂ Zd , ω une condition au bord arbitraire, J ≥ 0 (c`
ad
d
∀i, j ∈ Z Jij ≥ 0)
∀f, g : R −→ R, %
µωΛ,J,h (f g) ≥ µωΛ,J,h (f )µωΛ,J,h (g)

Lemme 2
1) 2−|B|

X

σA (ω)σA (˜
ω ) = I{ω≡˜ω sur B } (ω)

A⊂B

2)
a) f (ω) =

X

fˆA σA (ω)

A⊂supp(f )

o`
u ∀A ⊂ supp(f ) fˆA =

X

2−|supp(f )| f (˜
ω )σA (˜
ω)

ω
˜ ∈Ωsupp(f )

b) f (ω) =

X

f˜A nA (ω)

A⊂supp(f )

D´emonstration :
1) Soit ω ω
˜ : B −→ {−1, 1} : i −→ (ω ω
˜ )i = ωi ω
˜i
2

Si ω ω
˜≡1
∀i ∈ A (ω ω
˜ )i = ωi ω
˜i = 1
∀i ∈ A σi (ω)σi (˜
ω) = 1
Y
σi (ω)σi (˜
ω) = 1
i∈A
Y

σi (ω)

i∈A

Y

σi (˜
ω) = 1

i∈A

σA (ω)σA (˜
ω) = 1

2−|B|

X

σA (ω)σA (˜
ω)

A⊂B
−|B|

=2

X

1

A⊂B

= 2−|B| |P(B)|
= 2−|B| 2|B|
= 20
=1

ω≡ω
˜ sur B
donc I{ω≡˜ω sur B } (ω) = 1

donc 2−|B|

X

σA (ω)σA (˜
ω ) = I{ω≡˜ω sur B } (ω)

A⊂B

Si ω ω
˜ non ≡ 1
∃i0 ∈ B (ω ω
˜ )i0 = ωi0 ω
˜ i0 6= 1
3

∃i0 ∈ B ωi0 6= ω
˜ i0
∃i0 ∈ B σi0 (ω ω
˜ ) = (ω ω
˜ )i0 = ωi0 ω
˜ i0 = −1
X
σA (ω)σA (˜
ω)
A⊂B

=

XY

σi (ω)

A⊂B i∈A

=

XY

Y

σi (˜
ω)

i∈A

σi (ω)σi (˜
ω)

A⊂B i∈A

=

XY

ωi ω
˜i

A⊂B i∈A

=

XY
(ω ω
˜ )i
A⊂B i∈A

=

XY

σi (ω ω
˜)

A⊂B i∈A

=

X

σA (ω ω
˜)

A⊂B

X

=

σA (ω ω
˜) +

A⊂B\{i0 }

X

=

X

σA S{i0 } (ω ω
˜)

A⊂B\{i0 }

σA (ω ω
˜ ) + σA S{i0 } (ω ω
˜)

A⊂B\{i0 }

X

=

σA (ω ω
˜) +

A⊂B\{i0 }

X

=

σA (ω ω
˜) +

=

σi (ω ω
˜)

i∈A

S

Y

σi (ω ω
˜)

{i0 }

i∈A

A⊂B\{i0 }

X

Y

Y

σi (ω ω
˜)

i∈{i0 }

σA (ω ω
˜ ) + σA (ω ω
˜ )σi0 (ω ω
˜)

A⊂B\{i0 }

X

=

σA (ω ω
˜ ) − σA (ω ω
˜)

A⊂B\{i0 }

=0

ω non ≡ ω
˜ sur B
donc I{ω≡˜ω sur B } (ω) = 0
4

X

donc 2−|B|

σA (ω)σA (˜
ω ) = I{ω≡˜ω sur B } (ω)

A⊂B

Donc dans tous les cas on a 2−|B|

X

σA (ω)σA (˜
ω ) = I{ω≡˜ω sur B } (ω)

A⊂B

2) f (ω)
= f (ω)IΩ (ω)
= f (ω)I

[

{ω ≡ ω
˜ sur supp(f )}

(ω)

ω
˜ ∈Ωsupp(f )

=

X

f (ω)I{ω≡˜ω sur supp(f )} (ω)

ω
˜ ∈Ωsupp(f )

=

X

f (˜
ω )I{ω≡˜ω sur supp(f )} (ω)
ω
˜ ∈Ωsupp(f )
X
X
=
f (˜
ω )2−|supp(f )|
σA (ω)σA (˜
ω)
ω
˜ ∈Ωsupp(f )

=

A⊂supp(f )

X

X

−|supp(f )|

2

f (˜
ω )σA (˜
ω )σA (ω)

˜ ∈Ωsupp(f )
A⊂supp(f ) ω

=

X

fˆA σA (ω)

A⊂supp(f )

Lemme 3

1)

µ+
Λn ,β,h (f )

+
o`
u gn+1
=I

2)

=

+
µ+
Λn+1 ,β,h (gn+1 f )

+
µ+
Λn+1 ,β,h (gn+1 )
\
(σi = 1)

i∈Λn+1 \Λn
ω
µωΛn ,β,h (gn,β
f)
+
µΛn ,β,h (f ) = ω
ω
µΛn ,β,h (gn,β
)
β

ω
o`
u gn,β
=e

X




1 − σj (ω) σi

i∈Λn ,j ∈Λ
/ n

5

D´emonstration :
1)

+
µ+
Λn+1 ,β,h (gn+1 f )
+
µ+
Λn+1 ,β,h (gn+1 )

X

+
f )(ω) e
(gn+1

+
−HΛ

n+1 ,β,h

(ω)

ω 0 ∈ΩZd

ZΛ+n+1 ,β,h

=

X

+
−HΛ

+
(ω) e
gn+1

n+1 ,β,h

(ω)

ω∈ΩZd

ZΛ+n+1 ,β,h
X
=

+
(gn+1
f )(ω) e

+
−HΛ

n+1 ,β,h

(ω)

ω∈ΩZd

X

+
gn+1
(ω) e

+
−HΛ

n+1 ,β,h

(ω)

ω∈ΩZd

X

Or

+
(gn+1
f )(ω) e

+
−HΛ

n+1 ,β,h

(ω)

ω∈ΩZd

X

+
gn+1
(ω)f (ω) e

+
−HΛ

n+1 ,β,h

(ω)

ω∈ΩZd



o`
u

HΛ+n+1 ,β,h (ω)

X

= −β
{i,j}

T

σi (ω)σj (ω) − h

X

σi (ω)



i∈Λn+1

Λn+1 6=∅

ki−jk=1

X

β
{i,j}

=

X
ω∈ΩZd

I

\

(σi = 1)

T

Λn+1 6=∅

ki−jk=1

(ω)f (ω) e

i∈Λn+1 \Λn

6

σi (ω)σj (ω) + h

X
i∈Λn+1

σi (ω)

X

β

T

{i,j}

X

=

σi (ω)σj (ω) + h

X

σi (ω)

i∈Λn+1

Λn+1 6=∅

ki−jk=1

I(∀i ∈ Λ
(ω)f (ω) e
n+1 \ Λn σi = 1)

ω∈ΩZd

β

X

σi (ω)σj (ω)

i,j∈Λn+1

X

I(∀i ∈ Λ
(ω)f (ω) e ki−jk=1
n+1 \ Λn σi = 1)
d
ω∈ΩZ X
X
X

σi (ω)σj (ω) + β
σi (ω)σj (ω) + β
σi (ω)σj (ω)

=

+h

i∈Λn+1 ,j ∈Λ
/ n+1

i∈Λ
/ n+1 ,j∈Λn+1

i,j ∈Λ
/ n+1

ki−jk=1

ki−jk=1

ki−jk=1

X

σi (ω)

i∈Λn+1

β

X

σi (ω)σj (ω)

X

I(∀i ∈ Λ
(ω)f (ω) e i,j∈Λn+1
n+1 \ Λn σi = 1)
ω∈ΩZd
X
X

σi (ω)σj (ω) + β
σi (ω)σj (ω) + β

=

i∈Λn+1 ,j∈Λn+2 \Λn+1

+h

X

i∈Λn+2 \Λn+1 ,j∈Λn+1

X

σi (ω)σj (ω)

i,j∈Λn+2 \Λn+1

σi (ω)

i∈Λn+1

β

X

σi (ω)σj (ω) + β

X

I(∀i ∈ Λ
(ω)f (ω) e i,j∈Λn+1 \Λn
n+1 \ Λn σi = 1)
d
ω∈ΩZ X
X
β
σi (ω)σj (ω) + β
σi (ω)σj (ω)

=

i,j∈Λn

i∈Λn ,j∈Λn+1 \Λn

X



σi (ω)σj (ω) + β

i∈Λn+1 \Λn ,j∈Λn+2 \Λn+1

X




σi (ω)σj (ω)

i∈Λn ,j∈Λn+2 \Λn+1

σi (ω)σj (ω) + β

i∈Λn+2 \Λn+1 ,j∈Λn+1 \Λn

X

X
X
i∈Λn+2 \Λn+1 ,j∈Λn

σi (ω)σj (ω)

i,j∈Λn+2 \Λn+1

7

σi (ω)σj (ω)

X
i∈Λn+1 \Λn ,j∈Λn

σi (ω)σj (ω)

+h

X

σi (ω) + h

X

σi (ω)

i∈Λn

i∈Λn+1 \Λn

inachev´e

? = µ+
Λn ,β,h (f )

Th´
eor`
eme 4
+
1) ∃µ+
e sur R : (µ+
β,h mesure de probabilit´
Λn ,β,h )n∈N −→ µβ,h

∃µ−
e sur R : (µ−
β,h mesure de probabilit´
Λn ,β,h )n∈N −→ µβ,h

2) Soit t ∈ Zd
Soit θt la translation par t
d
d
c`
ad θt : ΩZ −→ ΩZ : ω −→ θt (ω) : Zd −→ Ω : i −→ (θt (ω))i = ωi+t
+
µ+
β,h (f ◦ θt ) = µβ,h (f )

µ−
β,h (f ◦ θt ) = µβ,h (f )

3) Les conditions suivantes sont ´equivalentes :
(a) ∃!µωβ,h = lim µωΛn ,β,h mesure de Gibbs en volume infini.
n→∞


(b) µ+
β,h = µβ,h

(c) µ+
β,h (σ0 ) = µβ,h (σ0 )

D´emonstration :
1) Soit f : R −→ R, locale, %
D’apr`es le 1) du lemme 3
+
µ+
Λn+1 ,β,h (gn+1 f )
+
µΛn ,β,h (f ) = +
+
µΛn+1 ,β,h (gn+1
)
8

+
o`
u gn+1
=I

\

(σi = 1)

i∈Λn+1 \Λn

Or

+
f, gn+1

% donc d’apr`es le lemme 1

+
+
+
+
µ+
Λn+1 ,β,h (gn+1 f ) ≥ µΛn+1 ,β,h (gn+1 )µΛn+1 ,β,h (f )

Donc
µ+
Λn ,β,h (f ) =

+
µ+
Λn+1 ,β,h (gn+1 f )
+
µ+
Λn+1 ,β,h (gn+1 )



+
+
µ+
Λn+1 ,β,h (gn+1 )µΛn+1 ,β,h (f )
+
µ+
Λn+1 ,β,h (gn+1 )

= µ+
Λn+1 ,β,h (f )

+
c`ad µ+
Λn ,β,h (f ) ≥ µΛn+1 ,β,h (f )

(1)

Comme f est born´ee :
+
∃µ+
e sur R : (µ+
β,h mesure de probabilit´
Λn ,β,h (f ))n∈N −→ µβ,h (f )

Supposons maintenant f : R −→ R, locale seulement
D’apr`es le 2) b) du lemme 2
X
∃(f˜A )A⊂supp(f ) ⊂ R : f =

f˜A nA

A⊂supp(f )

Or ∀A ⊂ supp(f ) nA % et born´ee donc
∀A ⊂ supp(f ) ∃µ+
e sur R :
β,h mesure de probabilit´
+
+
(µΛn ,β,h (nA ))n∈N −→ µβ,h (nA )
donc


+
µΛn ,β,h (f )
−→

X





X



X



= µ+
f˜A nA )
=
f˜A µ+
Λn ,β,h (
Λn ,β,h (nA )
n∈N
n∈N
n∈N
A⊂supp(f )
A⊂supp(f )
X
+
f˜A µ+
f˜A nA ) = µ+
β,h (nA ) = µβ,h (
β,h (f )

A⊂supp(f )

A⊂supp(f )



+
mesure
de
probabilit´
e
sur
R
:
µ
(f
)
c`ad ∃µ+
β,h
Λn ,β,h

9

n∈N

−→ µ+
β,h (f )



+
donc ∃µ+
mesure
de
probabilit´
e
sur
R
:
µ
β,h
Λn ,β,h

de meme

∃µ−
β,h

mesure de probabilit´e sur R :



n∈N

µ−
Λn ,β,h

−→ µ+
β,h


n∈N

−→ µ−
β,h

2) Soit f : R −→ R, locale, %
Soient k ∈ Zd , m ∈ N
Bm (k) =d´ef BZd ,d∞ (k, m) =d´ef {i ∈ Zd /d∞ (k, i) ≤ m} =d´ef {i ∈
Zd /kk − ik∞ ≤ m}
le cube centr´e en k de demi-longueur d’arrete m
m+ (k; n) =d´ef min{m ∈ N/Bm (k) ⊃ Λn }
la plus petite demi-longueur d’arrete m telle que la boite Λn soit contenue
dans le cube Bm (k)
m− (k; n) =d´ef max{m ∈ N/Bm (k) ⊂ Λn }
la plus grande demi-longueur d’arrete m telle que le cube Bm (k) soit
contenu dans la boite Λn
On a m+ (k; n) ≥ m− (k; n)
B+ (k) =d´ef Bm+ (k;n) (k)
B− (k) =d´ef Bm− (k;n) (k)
On a B+ (k) = Bm+ (k;n) (k) ⊃ Λn ⊃ Bm− (k;n) (k) = B− (k)
c`ad B+ (k) ⊃ Λn ⊃ B− (k)
et en particulier B+ (−t) ⊃ Λn ⊃ B− (−t)
On a f ◦ θt %
Or comme dans l’in´egalit´e (1) o`
u l’on a seulement supposer Λn ⊂ Λn+1 , on
a par analogie :
+
+
µ+
B+ (−t),β,h (f ◦ θt ) ≤ µΛn ,β,h (f ◦ θt ) ≤ µB− (−t),β,h (f ◦ θt )

10

µ+
B± (−t),β,h (f ◦ θt )
= µ+
B

m± (−t;n) (−t),β,h

=


(f ◦ θt )

1

X

ZB+ ±
m (−t;n) (−t),β,h

ω∈ΩZd

o`
u ZB+

m± (−t;n) (−t),β,h

(f ◦ θt )(ω) e
X

=

e

+
−HB

(−t),β,h
m± (−t;n)

+
−HB

(−t),β,h
m± (−t;n)

(ω)

(ω)

ω∈ΩZd

X
=

(f ◦ θt )(ω) e

+
−HB
(ω)
(−t),β,h
m± (−t;n)

ω∈ΩZd

X

e

+
−HB

(−t),β,h
m± (−t;n)

(ω)

ω∈ΩZd



o`
u

+
HB
(ω)
m± (−t;n) (−t),β,h

X

= −β
{i,j}

T

B

X

σi (ω)σj (ω) − h

m± (−t;n)

i∈Bm± (−t;n) (−t)

(−t)6=∅

ki−jk=1

On pose ω 0 = θt (ω)
On a ω = θ−t (ω 0 )
(f ◦ θt )(ω) = (f ◦ θt ◦ θ−t )(ω 0 ) = f (ω 0 )
+
HB

(ω)
X

m± (−t;n) (−t),β,h

= −β
{i,j}

T

B

m± (−t;n)

X

σi (ω)σj (ω) − h

σi (ω)

i∈Bm± (−t;n) (−t)

(−t)6=∅

ki−jk=1

X

= −β
{i,j}

T

B

X

σi (θ−t (ω 0 ))σj (θ−t (ω 0 )) − h

σi (θ−t (ω 0 ))

i∈Bm± (−t;n) (−t)

(−t)6=∅
m± (−t;n)

ki−jk=1

X

= −β
{i,j}

T

B

X

(θ−t (ω 0 ))i (θ−t (ω 0 ))j − h

(θ−t (ω 0 ))i

i∈Bm± (−t;n) (−t)

(−t)6=∅
m± (−t;n)

ki−jk=1

X

= −β
{i,j}

T

B

(−t)6=∅
m± (−t;n)

X

0
0
ωi−t
ωj−t
−h

0
ωi−t

i∈Bm± (−t;n) (−t)

ki−jk=1

X

= −β
{i,j}

T

B

σi−t (ω 0 )σj−t (ω 0 ) − h

X
i∈Bm± (−t;n) (−t)

(−t)6=∅
m± (−t;n)

ki−jk=1

11

σi−t (ω 0 )

σi (ω), avec β ≥ 0



= −β



X
i,j∈B

X

σi−t (ω 0 )σj−t (ω 0 ) +
i∈B
/

(−t)
m± (−t;n)

(−t),j∈B ±
(−t)
m± (−t;n)
m (−t;n)

ki−jk=1

ki−jk=1

X

+
i∈B

σi−t (ω )σj−t (ω) +
i,j ∈B
/

ki−jk=1

X


σi−t (ω 0 )σj−t (ω 0 )

X

0

(−t),j ∈B
/
(−t)
m± (−t;n)
m± (−t;n)

−h

σi−t (ω 0 )σj−t (ω 0 )

(−t)
m± (−t;n)

ki−jk=1

σi−t (ω 0 )

i∈Bm± (−t;n) (−t)

= −β



X

X

σi−t (ω 0 )σj−t (ω 0 ) +

i,j∈Bm± (−t;n) (−t)

i∈Bm± (−t;n)+1 (−t)\Bm± (−t;n) (−t),j∈Bm± (−t;n) (−t)

X

+
−h

X

σi−t (ω 0 )σj−t (ω 0 ) +

i∈Bm± (−t;n) (−t),j∈Bm± (−t;n)+1 (−t)\Bm± (−t;n) (−t)

X

σi−t (ω 0 )σj−t (ω 0 )

σi−t (ω 0 )

i,j∈Bm± (−t;n)+1 (−t)\Bm± (−t;n) (−t)

0

σi−t (ω )

i∈Bm± (−t;n) (−t)

(i0 = i − t, j 0 = j − t donc i = i0 + t, j = j 0 + t)

X
= −β
σi0 (ω 0 )σj 0 (ω 0 ) +
i0 ,j 0 ∈Bm± (−t;n) (0)

−h

X

σi0 (ω 0 )σj 0 (ω 0 ) +

i0 ∈Bm± (−t;n) (0),j 0 ∈Bm± (−t;n)+1 (0)\Bm± (−t;n) (0)

X

σi0 (ω 0 )σj 0 (ω 0 )

i0 ∈Bm± (−t;n)+1 (0)\Bm± (−t;n) (0),j 0 ∈Bm± (−t;n) (0)

X

+

X

i0 ,j 0 ∈Bm± (−t;n)+1 (0)\Bm± (−t;n) (0)

σi0 (ω 0 )

i0 ∈Bm± (−t;n) (0)

= −β



X
i0 ,j 0 ∈B

X

σi0 (ω 0 )σj 0 (ω 0 ) +
i0 ∈B
/

(0)
m± (−t;n)

ki0 −j 0 k=1

X

+
i0 ∈B

(0),j 0 ∈B ±
(0)
m± (−t;n)
m (−t;n)
ki0 −j 0 k=1

X


σi0 (ω 0 )σj 0 (ω 0 )

X

σi0 (ω 0 )σj 0 (ω) +

(0),j 0 ∈B
/
(0)
m± (−t;n)
m± (−t;n)
ki0 −j 0 k=1

−h

σi0 (ω 0 )σj 0 (ω 0 )

i0 ,j 0 ∈B
/

(0)
m± (−t;n)

ki0 −j 0 k=1

σi0 (ω 0 )

i0 ∈Bm± (−t;n) (0)

X

= −β

σi0 (ω 0 )σj 0 (ω 0 ) − h

i0 ∈Bm± (−t;n) (0)

T
{i0 ,j 0 } B

(0)6=∅
m± (−t;n)
ki0 −j 0 k=1

+
= HB

m± (−t;n) (−t),β,h

X

(ω 0 )

12

σi0 (ω 0 )


σi0 (ω 0 )σj 0 (ω 0 )

Donc
µ+
B± (−t),β,h (f ◦ θt )
+
X
−HB
(ω)
(−t),β,h
m± (−t;n)
(f ◦ θt )(ω) e
=

ω∈ΩZd

X

e

+
−HB

(−t),β,h
m± (−t;n)

(ω)

ω∈ΩZd

X
=

f (ω 0 ) e

+
−HB

(0),β,h
m± (−t;n)

(ω 0 )

ω 0 ∈ΩZd

X

e

+
−HB

(0),β,h
m± (−t;n)

(ω 0 )

ω 0 ∈ΩZd

= µ+
B

m± (−t;n) (0),β,h

(f )

+
c`ad µ+
B± (−t),β,h (f ◦ θt ) = µB

m± (−t;n) (0),β,h

(f )

+
donc lim µ+
B± (−t),β,h (f ◦ θt ) = lim µB
n→∞

n→∞

m± (−t;n) (0),β,h

(f ) = µ+
β,h (f )

Or comme on a montr´e que
+
+
µ+
B+ (−t),β,h (f ◦ θt ) ≤ µΛn ,β,h (f ◦ θt ) ≤ µB− (−t),β,h (f ◦ θt )
+
+
+
on a µ+
β,h (f ◦ θt ) = lim µΛn ,β,h (f ◦ θt ) = lim µB± (−t),β,h (f ◦ θt ) = µβ,h (f )
n→∞

n→∞

+
c`ad µ+
β,h (f ◦ θt ) = µβ,h (f )

3)
(a) ⇐⇒ (b)
Soit f : R −→ R, locale, % ,supp(f ) ⊂ Λn
D’apr`es le 2) du lemme 3
µ+
Λn ,β,h (f )

ω
f)
µωΛn ,β,h (gn,β
= ω
ω
)
µΛn ,β,h (gn,β

X
β
1 − σj (ω) σi

ω
=e
o`
u gn,β

i∈Λn ,j ∈Λ
/ n

ω
% donc d’apr`es le lemme 1
Or f, gn,β

13

ω
ω
µωΛn ,β,h (gn,β
f ) ≥ µωΛn ,β,h (gn,β
)µωΛn ,β,h (f )

donc
µ+
Λn ,β,h (f ) =

ω
ω
f)
µωΛn ,β,h (gn,β
)µωΛn ,β,h (f )
µωΛn ,β,h (gn,β

= µωΛn ,β,h (f )
ω
ω
µωΛn ,β,h (gn,β
µωΛn ,β,h (gn,β
)
)

ω
c`ad µ+
Λn ,β,h (f ) ≥ µΛn ,β,h (f )

On montre de mani`ere analogue que µωΛn ,β,h (f ) ≥ µ−
Λn ,β,h (f )
+
ω
donc µ−
Λn ,β,h (f ) ≤ µΛn ,β,h (f ) ≤ µΛn ,β,h (f )

donc
∃!µωβ,h mesure de Gibbs :
∀f : R −→ R, locale, %
µωβ,h (f ) = lim µωΛn ,β,h (f )
n→∞

⇐⇒
∀f : R −→ R, locale, %

+
+
µ−
β,h (f ) = lim µΛn ,β,h (f ) = lim µΛn ,β,h (f ) = µβ,h (f )
n→∞

n→∞

donc on a aussi
∃!µωβ,h mesure de Gibbs :
∀f : R −→ R, locale seulement
µωβ,h (f ) = lim µωΛn ,β,h (f )
n→∞

⇐⇒
∀f : R −→ R, locale seulement
+
+

µ−
β,h (f ) = lim µΛn ,β,h (f ) = lim µΛn ,β,h (f ) = µβ,h (f )
n→∞

n→∞

⇐⇒
+
µ−
Λn ,β,h = µΛn ,β,h

14

(2)

(b) =⇒ (c)
+
µ−
Λn ,β,h = µΛn ,β,h

=⇒
+
∀f : R −→ R, locale µ−
Λn ,β,h (f ) = µΛn ,β,h (f )

=⇒
+
µ−
Λn ,β,h (σ0 ) = µΛn ,β,h (σ0 )

(c) =⇒ (b)
∀A ⊂ Zd f ini
∀i ∈X
A 0 ≤ ni ≤ 1
0≤
ni ≤ |A|
i∈A
Y
0≤
ni ≤ 1 c`ad 0 ≤ nA ≤ 1
i∈A

Si A 6= ∅
X
ni ≥ nA
i∈A
X

ni − nA %

i∈A

Donc d’apr`es (2) on a
X
X
+
µ−
(
n

n
)

µ
(
ni − nA )
i
A
Λn ,β,h
Λn ,β,h
i∈A

1∈A

donc
X
X
+

µ−
(
n
)

µ
(n
)

µ
(
n i ) − µ+
i
A
Λn ,β,h
Λn ,β,h
Λn ,β,h
Λn ,β,h (nA )
i∈A

i∈A

donc
X
X
+

(n
)

µ+
µ−
(n
)

µ
i
A
Λn ,β,h
Λn ,β,h (ni ) − µΛn ,β,h (nA )
Λn ,β,h
i∈A

i∈A

donc
15


µ+
Λn ,β,h (nA ) − µΛn ,β,h (nA ) ≤

X

µ+
Λn ,β,h (ni ) −

i∈A

X

µ−
Λn ,β,h (ni )

i∈A

donc

µ+
Λn ,β,h (nA ) − µΛn ,β,h (nA ) ≤

X



µ+
(n
)

µ
(n
)
i
i
Λn ,β,h
Λn ,β,h

i∈A

donc apr`es passage `a la limite

X

+

µ+
(n
)

µ
(n
)

µ
(n
)

µ
(n
)
A
A
i
i
β,h
β,h
β,h
β,h
i∈A

Or d’apr`es (2)

µ+
Λn ,β,h (nA ) ≥ µΛn ,β,h (nA )

donc apr`es passage `a la limite

µ+
β,h (nA ) ≥ µβ,h (nA )

donc

0 ≤ µ+
β,h (nA ) − µβ,h (nA )
±
Or ∀i ∈ A µ±
β,h (ni ) = µβ,h



σi +1
2



= µ±
β,h



θi (σ0 )+1
2



= µ±
β,h



σ0 +1
2



= µ±
β,h (n0 )

+
Or µ−
β,h (σ0 ) = µβ,h (σ0 )

donc
1
1 1
σ + 1
1 1 −
1
0


= µβ,h σ0 +
= µβ,h (σ0 ) + µβ,h
= µ−
=
β,h (σ0 ) +
2
2 2
2
2 2
2
1
1
1 +
1 +
1
1
σ0 + 1
+
+
+
+
= µβ,h (σ0 ) + = µβ,h (σ0 ) + µβ,h
= µβ,h σ0 +
= µβ,h
= µβ,h (n0 )
2
2
2
2
2
2
2

µ−
β,h (n0 )

µ−
β,h

donc


±
∀i ∈ A µ±
β,h (ni ) = µβ,h (n0 ) = µβ,h (n0 ) = µβ,h (ni )

c`ad ∀i ∈ A µ±
β,h (ni ) = µβ,h (ni )

c`ad ∀i ∈ A µ±
β,h (ni ) − µβ,h (ni ) = 0

16


donc ∀i ∈ A µ+
β,h (ni ) − µβ,h (ni ) = 0

X
+

donc
µβ,h (ni ) − µβ,h (ni ) = 0
i∈A

donc 0 ≤ µ+
β,h (nA ) − µβ,h (nA ) ≤

X



µ+
(n
)

µ
(n
)
=0
i
i
β,h
β,h

i∈A

donc

µ+
β,h (nA )



µ−
β,h (nA )

=0


c`ad µ+
β,h (nA ) = µβ,h (nA )

donc on a aussi ∀f : R −→ R, locale µ+
β,h (f ) = µβ,h (f )

c`ad µ+
β,h = µβ,h

17


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