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Solutions de viscosit´e et programmation dynamique
Guillaume FOUCART
21 juin 2008

Table des mati`
eres
1 Introduction
1.1 1er probl`eme : le sens de l’´equation (ici au sens des solutions
de viscosit´e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 2`eme probl`eme : Le sens des conditions au bord . . . . . . . .
1.3 3`eme probl`eme : L’unicit´e des solutions . . . . . . . . . . . .
1.4 4`eme probl`eme : Les passages `a la limite (stabilit´e) . . . . . .
2 Solutions de viscosit´
e continues des ´
equations du premier
ordre
2.1 Solutions de viscosit´e : pr´esentation et d´efinition . . . . . . .
2.2 R´esultats de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 R´esultats d’unicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 R´esultats d’unicit´e dans le cas des ouverts born´es . . .
2.3.2 R´esultats d’unicit´e dans le cas de Rn . . . . . . . . . .
2.4 R´esultats d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Cas des hamiltoniens coercifs dans Rn . . . . . . . . .
2.4.2 Le cas g´en´eral dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Application au probl`eme de Dirichlet . . . . . . . . . .

1
1
2
2
2

3
3
13
19
19
36
45
46
58
58

3 Probl`
emes de controle d´
eterministe dans Rn
62
3.1 Probl`eme de contrˆ
ole optimal d´eterministe en horizon infini :
le cas standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Solutions de viscosit´
e discontinues des ´
equations du premier
ordre
93
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Solutions de viscosit´e discontinues d’´equations discontinues . 95
4.3 Le r´esultat de stabilit´e discontinue . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4 Les r´esultats d’unicit´e forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1

4.4.1
4.4.2
4.4.3

Le principe du maximum pour les solutions
sit´e discontinues . . . . . . . . . . . . . . .
Les r´esultats d’unicit´e forte dans Rn . . . .
Conditions au bord de Dirichlet . . . . . . .

de visco. . . . . . 104
. . . . . . 105
. . . . . . 106

5 Probl`
eme de controle d´
eterministe dans le cas des ouverts
born´
es
107
5.1 Probl`emes de temps de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.1 Probl`emes de temps de sortie : l’approche continue . . 108
5.1.2 Probl`emes de temps de sortie : l’ approche discontinue 126

2


esum´
e

Chapitre 1

Introduction
Le but de ce cours est de pr´esenter la notion de solution de viscosit´e pour
les ´equations de Hamilton-Jacobi du premier ordre :

(1.1)



H x, u(.), ∇u(.) = 0 dans Ω

o`
u
Ω est un ouvert de Rn ,
u(.) ∈ C 1 (Ω) est la solution de viscosit´e,
h
∂u
i
∇u(.) est le gradient de u(.) ∇u(.) =
(.)
∂xi
i∈Nn
0
1
0
n
n
H(., ., .) ∈ C (Ω × R × R ) est l’hamiltonien
Il s’agit de montrer des r´esultats d’existence, d’unicit´e, de stabilit´e, de
controles d´eterministes, dans le cas d’ouverts born´es ou non et dans le
cas de solutions de viscosit´e et de hamiltoniens continus ou discontinus.

1.1

1er probl`
eme : le sens de l’´
equation (ici au sens
des solutions de viscosit´
e)

On a le choix entre C 1 (cas d´eterministe), C 2 (cas stochastique), C n,α ,
∞ , W n,p , les distributions.
H n , Wloc
On ira plutot vers des solutions plus faibles et plus g´en´eralis´ees qui posent
moins de probl`emes, on choisira ici les solutions de viscosit´e :
-continues et -discontinues.
1

Le choix de la notion de solution n’est pas anodin car il d´etermine les
propri´et´es de l’´equation.

1.2

2`
eme probl`
eme : Le sens des conditions au
bord

Il est bien connu par exemple qu’on ne peut pas toujours r´esoudre le
probl`eme de Dirichlet,
que dans ce type de questions les propri´et´es du bord de l’ouvert en
question jouent un role essentiel,
mais aucune th´eorie compl`ete n’existe.

1.3

3`
eme probl`
eme : L’unicit´
e des solutions

Une non-unicit´e aussi forte pour les solutions de viscosit´e, est imcompa
tible avec une utilisation raisonnable de ces solutions dans les applica
tions.
Il faut donc un crit`ere suppl´ementaire pour les trier et pouvoir dire, si
possible, quelle est ”la bonne solution”.

1.4

4`
eme probl`
eme : Les passages `
a la limite (stabilit´
e)

La CU n’est pas suffisante pour passer `a la limite.
Il s’agit d’un d´efaut majeur des solutions de viscosit´e.
Il faudrait donc poss´eder une notion de solution
faible
qui permette de


passer `
a la limite avec seulement la CU de uε (.) .
ε


Il faut obtenir la CV pp de ∇uε (.) ,
ε
la difficult´e essentielle ´etant de passer `a la limite dans la non-lin´earit´e
de H.
Mais dans la pratique, on ne peut prouver, en g´en´eral que ce type de
CV a lieu.

2

Chapitre 2

Solutions de viscosit´
e
continues des ´
equations du
premier ordre
2.1

Solutions de viscosit´
e : pr´
esentation et d´
efinition

On pr´esentera les solutions de viscosit´e du premier ordre.
On consid`ere l’´equation :


H x, u(.), ∇u(.) = 0 dans Ω (1.1)
au sens des solutions de viscosit´e
o`
u
Ω est un ouvert de Rn ,
u(.) ∈ C(Ω) est la solution de viscosit´e
h
∂u
i
∇u(.) est le gradient de u(.) ∇u =
(.)
∂xi
i∈Nn
0
1
0
n
n
H(., ., .) ∈ C (Ω × R × R ) est l’hamiltonien


efinition 2.1
1)
∇+ (x0 ) = {y ∈ Rn / lim sup
x→x0 ,x6=x0

u(x) − u(x0 ) − hy, x − x0 iRn
≤ 0}
kx − x0 kRn

2)
∇− (x0 ) = {y ∈ Rn / lim sup
x→x0 ,x6=x0

u(x) − u(x0 ) − hy, x − x0 iRn
≥ 0}
kx − x0 kRn

3

Th´
eor`
eme 2.2 (principe du maximum)

Soit u(.) ∈ C 1 (Ω)
u(.) solution classique de (1.1)
⇐⇒
∀v(.) ∈ C 1 (Ω)
∀x0 ∈ Ω point de maximum local (resp.point de maximum local strict)
de u − v
(c`
ad ∃V ∈ VΩ (x0 ) max(u − v)(x) = (u − v)(x0 )
x∈V

c`
ad ∇(u − v)(x0 ) = 0 et ∇2 (u − v)(x0 ) ≤ 0 (resp.< 0))
ou ∀x0 ∈ Ω point de minimum local (resp.point de minimum local strict)
de (u − v)(.)
(c`
ad ∃V ∈ VΩ (x0 ) min(u − v)(x) = (u − v)(x0 ),on a :
x∈V

(2.1)



H x0 , u(x0 ), ∇v(x0 ) = 0

D´emonstration :
Soit u ∈ C 1 (Ω), u solution classique de (1.1)
∀v ∈ C 1 (Ω), ∀x0 ∈ Ω point de maximum local (resp.point de maximum
local strict) de u − v


Or comme u solution de (1.1) on a H x0 , u(x0 ), ∇u(x0 ) = 0
et comme x0 ∈ Ω point de maximum ou de minimum local (resp.point de
maximum local strict) de u − v
on a ∇(u − v)(x0 ) = 0 c`
ad ∇u(x0 ) = ∇v(x0 )


donc H x0 , u(x0 ), ∇v(x0 ) = 0
R´eciproquement soit u ∈ C 1 (Ω)
Supposons que ∀v ∈ C 1 (Ω), ∀x0 ∈ Ω point de maximum ou de minimum
local de u − v

4



: H x0 , u(x0 ), ∇v(x0 ) = 0
En particulier comme u ∈ C 1 (Ω)
∀x0 ∈ Ω point de maximum ou de minimum local de u − u = 0


: H x0 , u(x0 ), ∇u(x0 ) = 0
Or ∀x0 ∈ Ω x0 point de maximum et de minimum local


donc ∀x0 ∈ Ω H x0 , u(x0 ), ∇u(x0 ) = 0
c`
ad u solution classique de (1.1)


efinition 2.3 (solution de viscosit´e)

Soit u ∈ C 0 (Ω)
u est solution de viscosit´e de (1.1)
⇐⇒d´ef
∀v ∈ C 1 (Ω)
∀x0 ∈ Ω point de maximum local (resp.point de maximum local strict)
de u − v
(c`
ad ∃V ∈ VΩ (x0 ) max(u − v)(x) = (u − v)(x0 )
x∈V

c`
ad ∇(u − v)(x0 ) = 0 et ∇2 (u − v)(x0 ) ≤ 0 (resp.< 0)),
on a :

(2.2)

H(x0 , u(x0 ), ∇v(x0 )) ≤ 0

et
∀x0 ∈ Ω point de minimum local (resp.point de minimum local strict) de
u−v
(c`
ad ∃V ∈ VΩ (x0 ) min(u − v)(x) = (u − v)(x0 )
x∈V

c`
ad ∇(u − v)(x0 ) = 0 et ∇2 (u − v)(x0 ) ≥ 0 (resp.> 0)),

5

on a :

(2.3)

H(x0 , u(x0 ), ∇v(x0 )) ≥ 0

Si u ne v´erifie que (2.2) (resp.(2.3)),on dit que u est une sous-solution
(resp.une sursolution) de viscosit´e

Remarque :
La d´efinition des solutions de viscosit´e 2.3 donne avec les r´esultats
d’existence un r´esultat analogue `a celui du th´eor`eme du principe du
maximum, mais en plus g´en´eral,
puisque ce dernier ne concerne que les solutions classiques
alors que les solutions de viscosit´e sont des solutions dans un sens plus
faible.

Remarque :
Les solutions de H = 0 ne sont pas n´ecessairement solutions de −H = 0 :
le signe de l’hamiltonien compte.
(`a compl´eter cf. p12)

Lemme-Proposition 2.4 (servant `
a d´emontrer le th´eor`eme 2.5)

Soit u ∈ C 0 (Ω)
u sous-solution de viscosit´e de (1.1)
Soient x0 ∈ Ω et y ∈ Rn
1) y ∈ ∇+ u(x0 )
⇐=
∃vy1 ∈ C 1 (Ω) : y = ∇vy1 (x0 ) et x0 maximum local de u − vy1

2)Soit x0 ∈ Ω
Soit r > 0 : f : BΩ (x0 , r) −→ R
On pose
f(x0 ,x0 ),1
= f (• + (x0 − x0 )) : BΩ (x0 , r) −→ R
f(x0 ,x0 ),2 = f(x0 ,x0 ),1 − f(x0 ,x0 ),1 (x0 )
= f (• + (x0 − x0 )) − f (x0 ) : BΩ (x0 , r) −→ R

6

f(x0 ,x0 ,y)
= f(x0 ,x0 ,y),3
= f(x0 ,x0 ),2 + hy, •i
= f(x0 ,x0 ),1 − f(x0 ,x0 ),1 (x0 ) + hy, •i
= f (• + (x0 − x0 )) − f (x0 ) + hy, •i : BΩ (x0 , r) −→ R

2.1)
Soit r >
S0
∀i ∈ N {∞}
i
∈ C i (BΩ (x0 , r))
wi ∈ C i (BΩ (x0 , r) ⇐⇒ w(x
0 ,x0 ,y)

2.2)y ∈ ∇+ u(x0 )
=⇒
∃r > 0 ∃wy : BΩ (x0 , r) −→ R : u(x0 ,0,y) (0) = lim wy (x0 ,0,y) (x) et u(x0 ,0,y) ≤
x−→0

wy (x0 ,0,y) dans BΩ (0, r)
o`
u wy (x0 ,0,y) = k•k ρ et ρ : BΩ (0, r) −→ R, ρ(x) −→ 0 quand x −→ 0

2.3)y ∈ ∇+ u(x0 )
=⇒
∃r > 0 ∃wy0 ∈ C 0 (BΩ (x0 , r)) : u(x0 , 0, y)(0) = lim wy0 (x
x−→0

wy0 (x ,0,y)
0

(x) et u(x0 ,0,y) ≤

dans BΩ (0, r)

o`
u wy0 (x

0 ,0,y)

= k•k ρ0 et ρ0 ∈ C 0 (BΩ (0, r)), ρ0 (x) −→ 0 quand x −→ 0

2.4)y ∈ ∇+ u(x0 )
=⇒
∃r > 0 ∃wy1 ∈ C 1 (BΩ (x0 , r)) : u(x0 ,0,y) (0) = lim wy1 (x
x−→0

wy1 (x ,0,y)
0

0 ,0,y)

0 ,0,y)

(x) et u(x0 ,0,y) ≤

dans BΩ (0, r)

o`
u wy1 (x

0 ,0,y)

= k•k ρ1 et ρ1 ∈ C 1 (BΩ (0, r)), ρ1 (x) −→ 0 quand x −→ 0

2.5)y ∈ ∇+ u(x0 )
=⇒
∃r > 0 ∃wy1 ∈ C 1 (BΩ (x0 , r)) : 0 maximum local de u(x0 ,0,y) − wy x0 ,0,y
o`
u wy1 (x

0 ,0,y)

= k•k ρ1 et ρ1 ∈ C 1 (BΩ (0, r)), ρ1 (x) −→ 0 quand x −→ 0

7

2.6)Soit y ∈ ∇+ u(x0 )
i)x0 maximum local de u(x0 ,x0 ,y) − wy (x0 ,x0 ,y)
⇐⇒
x0 maximum local de u − wy
ii)wy (x0 ,0,y) = k•k ρ o`
u ρ(x) −→ 0 quand x −→ 0 (ou ρ(0) = 0) =⇒
y = ∇wy (x0 )

2.7) y ∈ ∇+ u(x0 )
=⇒
∃r > 0 ∃wy1 ∈ C 1 (BΩ (x0 , r)) : y = ∇wy1 (x0 ) et x0 maximum local de
u − wy1

2.8) y ∈ ∇+ u(x0 )
=⇒
∃vy1 ∈ C 1 (Ω) : y = ∇vy1 (x0 ) et x0 maximum local de u − vy1

3)y ∈ ∇+ u(x0 )
⇐⇒
∃vy1 ∈ C 1 (Ω) : y = ∇vy1 (x0 ) et x0 maximum local de u − vy1

D´emonstration :
Soit u ∈ C 0 (Ω)
u sous-solution de viscosit´e de (1.1)
Soient x0 ∈ Ω et y ∈ Rn
1) Supposons que : ∃vy1 ∈ C 1 (Ω) : y = ∇vy1 (x0 ) et x0 maximum local de
u − vy1 .
∃V ∈ VΩ (x0 ) max(u − vy1 )(x) = (u − vy1 )(x0 )
x∈V

∃r > 0

max

(u − vy1 )(x) = (u − vy1 )(x0 )

x∈BΩ (x0 ,r)

∃r > 0 ∀x ∈ BΩ (x0 , r) (u − vy1 )(x) ≤ (u − vy1 )(x0 )
∃r > 0 ∀x ∈ BΩ (x0 , r) u(x) − vy1 (x) ≤ u(x0 ) − vy1 (x0 )
Or vy1 ∈ C 1 (Ω) donc diff´erentiable en x0 ∈ Ω



on a donc : ∀x ∈ BΩ (x0 , r) ⊂ Ω vy1 (x) = vy1 (x0 ) + ∇vy1 (x0 ), x − x0 +
o(kx − x0 k)
En combinant l’in´egalit´e et l’´egalit´e obtenues,on obtient :

8




∃r > 0 ∀x ∈ BΩ (x0 , r) u(x)−(vy1 (x0 )+ ∇vy1 (x0 ), x − x0 +o(kx − x0 k)) ≤
u(x0 ) − vy1 (x0 )



∃r > 0 ∀x ∈ BΩ (x0 , r) u(x)−vy1 (x0 )− ∇vy1 (x0 ), x − x0 −o(kx − x0 k) ≤
u(x0 ) − vy1 (x0 )



∃r > 0 ∀x ∈ BΩ (x0 , r) u(x) − u(x0 ) −
∇vy1 (x0 ), x − x 0 ≤ o(kx − x0 k)
∃r > 0 ∀x ∈ BΩ (x0 , r) u(x)−u(x0 )− ∇vy1 (x0 ), x − x0 ≤ kx − x0 k ε(x−
x0 ) o`
u ε(x − x0 ) −→ 0 quand x −→ x0
ce qui implique que ∇vy1 (x0 ) ∈ ∇+ u(x0 )
et comme y = ∇vy1 (x0 )
que y ∈ ∇+ u(x0 )
2) inachev´e
2.1)Soit y ∈ ∇+ u(x0 )
inachev´e
rab
u(x) − u(x0 ) − hy, x − x0 i ≤ o(kx − x0 k) = kx − x0 k ε(x − x0 ) o`
u ε(x −
x0 ) −→ 0 quand x −→ x0
h = x − x0
u(x0 + h) − u(x0 ) − hy, hi ≤ o(khk) = khk ε(h) o`
u ε(h) −→ 0 quand
h −→ 0
2.3)Soit y ∈ ∇+ u(x0 )
D’apr`es 2.2) ∃r > 0 ∃wy : BΩ (x0 , r) −→ R : ux0 ,0,y (0) = wy x0 ,0,y (0) et
ux0 ,0,y ≤ wy x0 ,0,y dans BΩ (0, r)
o`
u wy x0 ,0,y = k•k ρ et ρ : BΩ (0, r) −→ R, ρ(x) −→ 0 quand x −→ 0
On pose ∀t ≥ 0 ρ˜(t) = sup ρ(y)
kyk≤t

ρ˜ est croissante ,en effet ∀A ⊂ B sup ρ(y) ≤ sup ρ(y)
y∈A

y∈B

et ∀t ≤ s {kyk ≤ t} ⊂ {kyk ≤ s} ρ˜(t) = sup ρ(y) ≤ sup ρ(y) = ρ˜(s)
kyk≤t

Or x ∈ {kyk ≤ kxk}
donc ρ(x) ≤ sup ρ(y) = ρ˜(kxk)
kyk≤kxk

donc ux0 ,0,y (x) ≤ kxk ρ(x) ≤ kxk ρ˜(kxk)
inachev´e

2.6)
9

kyk≤s

i) Soit x0 maximum local de f ,f1 − f2
∃r > 0 : ∀x ∈ BΩ (x0 , r) f (x) ≤ f (x0 )
∀x ∈ BΩ (x0 , r) : xx0 ,x0 = x + (x0 − x0 ) ∈ BΩ (x0 , r)
f(x0 ,x0 ),1 (x) = f (x + (x0 − x0 )) = f (xx0 ,x0 ) ≤ f (x0 ) = f(x0 ,x0 ),1 (x0 )
donc x0 maximum local de f(x0 ,x0 ),1
donc x0 maximum local de f(x0 ,x0 ),2 = f(x0 ,x0 ),1 − f(x0 ,x0 ),1 (x0 )
et donc aussi x0 maximum local de (f1 − f2 )(x0 ,x0 ),2
= f1 (x0 ,x0 ),2 − f2 (x0 ,x0 ),2
Or f1 (x0 ,x0 ,y) − f2 (x0 ,x0 ,y)
= f1 (x0 ,x0 ,y),3 − f2 (x0 ,x0 ,y),3
= (f1 (x0 ,x0 ),2 + hy, •i) − (f2 (x0 ,x0 ),2 + hy, •i)
= f1 (x0 ,x0 ),2 − f2 (x0 ,x0 ),2
= (f1 − f2 )(x0 ,x0 ),2
Or x0 maximum local de (f1 − f2 )(x0 ,x0 ),2
donc x0 maximum local de f1 (x0 ,x0 ,y) − f2 (x0 ,x0 ,y) = (f1 − f2 )(x0 ,x0 ),2
La r´eciproque se montre de la meme fa¸con
donc
x0 maximum local de f1 − f2 ⇐⇒ x0 maximum local de f1 (x0 ,x0 ,y) −
f2 (x0 ,x0 ,y)
et
x0 maximum local de u − wy ⇐⇒ x0 maximum local de u(x0 ,x0 ,y) −
wy (x0 ,x0 ,y)

2.8)Soit y ∈ ∇+ u(x0 )
D’apr`es 2.4) ∃r > 0 ∃wy1 ∈ C 1 (BΩ (x0 , r)) : y = ∇wy1 (x0 ) et x0 maximum
local de u − wy1
Or ∃vy1 ∈ C 1 (Ω) : vy1 = wy1 dans BΩ (x0 , 2r ) et vy1 = 0 dans Ω \ BΩ (x0 , r)
et on a y = ∇vy1 (x0 ) et x0 maximum local de u − vy1
donc ∃vy1 ∈ C 1 (Ω) : y = ∇vy1 (x0 ) et x0 maximum local de u − vy1

10

Th´
eor`
eme 2.5
Soit u ∈ C 0 (Ω)
1) u est sous-solution de l’´equation (1.1)
⇐⇒

(2.4)

∀x ∈ Ω ∀y ∈ ∇+ u(x) H(x, u(x), y) ≤ 0

2) u est sursolution de l’´equation (1.1)
⇐⇒

(2.5)

∀x ∈ Ω ∀y ∈ ∇− u(x) H(x, u(x), y) ≥ 0

Remarque :
Le th´eor`eme 2.5 donne une m´ethode pour d´emontrer qu’une fonction
continue est sous-solution de viscosit´e.
Il est utile dans certains cas.

Id´ees g´en´erales de la d´emonstration
Dans la premi`ere implication :
On se donne les hypoth`eses du th´eor`eme suivant le sens de l’implication
`a d´emontrer :
u ∈ C 0 (Ω)
u est sous-solution de l’´equation (1.1)
∀x ∈ Ω ∀y ∈ ∇+ u(x)
on applique le lemme 2.4 `
a un point x0 quelquonque v´erifiant les
hypoth`eses et on obtient :
∃vy1 ∈ C 1 (Ω) : y = ∇vy1 (x0 ) et x0 maximum local de u − vy1
on applique la d´efinition de la solution de viscosit´e u :
H(x0 , u(x0 ), ∇vy1 (x0 )) = H(x0 , u(x0 ), y) ≤ 0
et on obtient l’implication.
Dans la seconde implication :
On se donne les hypoth`eses pour d´emontrer que u est sous-solution de
(1.1) :
∀v ∈ C 1 (Ω), x0 ∈ Ω point de maximum de u − v
on se donne les hypoth`eses du th´eor`eme dans le sens de cette implication :
∀x ∈ Ω ∀y ∈ ∇+ u(x) H(x, u(x), y) ≤ 0
on utilise le lemme 2.4 en l’appliquant `a x0 :
on montre que H(x0 , u(x0 ), ∇vy1 (x0 ) ≤ 0,
comme x0 point de maximum local de u − vy1 et u − v avec les propri´et´es
11

sur le gradient,
on montre que ∇vy1 (x0 ) = ∇v(x0 )
donc que H(x0 , u(x0 ), ∇v(x0 )) ≤ 0,
donc que u sous-solution de (1.1).

D´emonstration :la d´emonstration est fournie
On ne d´emontre que 1) : 2) se d´emontrant de mani`ere analogue
=⇒)
Soit u ∈ C 0 (Ω)
Soient x0 ∈ Ω, y ∈ ∇+ u(x0 )
Supposons u est sous-solution de l’´equation (1.1)
Comme x0 ∈ Ω
d’apr`es le lemme 2.4 comme y ∈ ∇+ u(x0 )
∃vy1 ∈ C 1 (Ω) : y = ∇vy1 (x0 ) et x0 maximum local de u − vy1
Or comme u est sous-solution de l’´equation (1.1)
on a ∀v ∈ C 1 (Ω), ∀x ∈ Ω point de maximum de u − v,
H(x, u(x), ∇v(x)) ≤ 0
donc H(x0 , u(x0 ), ∇vy1 (x0 )) ≤ 0
c`ad H(x0 , u(x0 ), y) ≤ 0
⇐=)
Soient v ∈ C 1 (Ω), x0 ∈ Ω point de maximum de u − v
Comme ∀x ∈ Ω ∀y ∈ ∇+ u(x) H(x, u(x), y) ≤ 0
d’apr`es le lemme pr´ec´edent :
∀x ∈ Ω ∃vy1 ∈ C 1 (Ω) : y = ∇vy1 (x) et x maximum local de u − vy1 H(x, u(x), y) ≤ 0
donc comme x0 ∈ Ω ∃vy1 ∈ C 1 (Ω) : y = ∇vy1 (x0 ) et x0 maximum local de u − vy1 H(x0 , u(x0 ), y) ≤ 0
c`ad H(x0 , u(x0 ), ∇vy1 (x0 )) ≤ 0
Or x0 ∈ Ω point de maximum de u − v
donc ∇(u − vy1 )(x0 ) = 0 = ∇(u − v)(x0 )
c`ad ∇u(x0 ) − ∇vy1 (x0 ) = ∇u(x0 ) − ∇v(x0 )

12

c`ad ∇vy1 (x0 ) = ∇v(x0 )
donc H(x0 , u(x0 ), ∇v(x0 )) ≤ 0
donc u est sous-solution de l’´equation (1.1)

2.2


esultats de stabilit´
e

Les r´esultats de stabilit´e sont, avec les r´esultats d’unicit´e,les deux types
de r´esultats fondamentaux pour les solutions de viscosit´e.
Il s’agit, en fait, de conditions suffisantes g´en´erales pour le passage `a la
limite dans les ´equations lorqu’elle est n´ecessaire.
Avant d’´enoncer et de d´emontrer les ou plutot le r´esutat de stabilit´e,nous
allons d’abord ´enoncer et d´emontrer le lemme suivant :
(On d´efinit une notion de CV sur C 0 (Ω) par :
uε −→ u dans C 0 (Ω)
⇐⇒d´ef
CU

∀K ⊂⊂ Ω uε −→ u dans K)
Lemme 2.6 (servant `
a d´emontrer le th´eor`eme 2.7)

Si (fε )ε ⊂ C 0 (Ω) : fε −→ f dans C 0 (Ω).
Si x0 ∈ Ω point de maximum local strict de f
Alors
∃(xε )ε ⊂ Ω : ∀ε > 0 xε point de maximum local de fε et xε −→ x0 dans Ω

Id´ees g´en´erales de la d´emonstration :
On de donne les hypoth`eses du lemme :
(fε )ε ⊂ C 0 (Ω) : fε −→ f dans C 0 (Ω).
x0 ∈ Ω point de maximum local strict de f
∀ε
La continuit´e de fε et la compacit´e du voisinage V de x0 dans Ω
implique l’existence d’un point de maximum xε de fε sur V
La compacit´e de V implique pour toute suite (xε )ε de V ,

13

l’existence d’une sous suite (xε0 )ε0 qui converge dans V ,
on en prend une qui converge vers un point point x ∈ V
On va montrer que x = x0 :
Grace `
a la continuit´e de fε ∀ε, la convergence uniforme de (fε )ε sur Ω
et la compacit´e
de V :
On montre que fε0 (xε0 ) 0 relativement compacte :
ε


Ce qui implique l’existence d’une sous-suite fε00 (xε00 ) 00 de la sous-suite
ε


fε0 (xε0 ) 00
ε

telle que fε00 (xε00 ) 00 converge vers un point y ∈ R
ε

On montre que y = f (x) :
En utilisant la convergence uniforme de fε00 vers f dans V ,
et la continuit´e de f au point x :
On montre que fε00 (xε00 ) converge vers f (x)
et que y = f (x)
Pour finir ce point de d´emonstration :
On utilise le fait que xε00 est un point de maximum de fε00 sur V ,
et les in´egalit´es obtenues pr´ec´edemment,
par un raisonnement par l’absurde en supposant que x 6= x0 ,
on aboutit `
a la contradiction : f (x) ≥ f (x0 ) > f (x),
qui montre que x = x0 ,
on en conclut que (xε00 )ε00 −→ x0 et fε00 (xε00 ) −→ f (x0 ).
Enfin on montre qu’il existe un voisinage de xε00 dans Ω :
xε00 est un point de maximum de fε00 sur ce voisinage.

D´emonstration :
Soit V ∈ VΩ (x0 ), V ⊂⊂ Ω : fε

CU
−→ f
V

Comme (fε )ε ⊂ C 0 (Ω) et V ⊂⊂ Ω
∃xε ∈ V : fε (xε ) = max fε (x)
x∈V

Comme V ⊂⊂ Ω : ∃(xε0 )ε0 ⊂ (xε )ε : ∃x ∈ V : xε −→ x
Montrons que x = x0
Comme (fε )ε ⊂ C 0 (Ω) et V ⊂⊂ Ω et fε CU
V :

fε0 (x) x∈V born´e, donc relativement compact,
ε0


en particulier fε (xε0 ) 0 est relativement compacte.
ε >0

Donc ∃(xε00 )ε00 ⊂ (xε0 )ε0 : ∃y ∈ R : fε00 (xε00 ) −→ y
On va montrer que y = f (x)

14

Comme (fε00 )ε00

CU
−→ f
V

Soit δ > 0
∃ε0 > 0 : ∀0 < ε00 < ε0 : sup |fε (x) − f (x)| ≤
x∈V

δ
2

D’autre part, comme f ∈ C 0 ({x}) :
∃η > 0 : |x − x| ≤ η =⇒ |f (x) − f (x)| ≤

δ
2

Soit 0 < ε0 0 ≤ ε0 : ∀0 < ε00 < ε0 0 : |xε00 − x| ≤ η
On a alors ∀0 < ε00 < ε0 0 :
|fε00 (xε00 ) − f (x)|



= | fε00 (xε00 ) − f (xε00 ) + f (xε00 ) − f (x) |
≤ |fε00 (xε00 ) − f (xε00 )| + |f (xε00 ) − f (x)|


δ δ
+
2 2


Ce qui prouve que fε00 (xε00 ) −→ v(x)
Or fε00 (xε00 ) −→ y
donc y = f (x)
D’autre part, comme xε00 point de maximum de fε00 : |fε00 (xε00 )| < +∞
Comme |fε00 (xε00 ) − f (x)| ≤ δ
on a fε00 (xε00 ) − δ ≤ f (x) ≤ fε00 (xε00 ) + δ
donc en particulier ∀x ∈ V
f (x)
≥ fε00 (xε00 ) − δ
≥ fε00 (x) − δ
Comme |fε00 (x) − f (x)| ≤

δ
<δ
2

On a fε00 (x) ≥ f (x) − δ
15

donc
f (x) ≥ fε00 (x) − δ ≥ f (x) − 2δ
c`ad f (x) ≥ f (x) − 2δ
δ ´etant arbitraire :
∀x ∈ V f (x) ≥ f (x)
donc si x 6= x0
comme x0 point de maximum local strict de f
On aurait : f (x) ≥ f (x0 ) > f (x) c`ad une contradiction.
Donc x = x0
Donc comme xε00 −→ x et fε00 (xε00 ) −→ f (x)
On a xε00 −→ x0 et fε00 (xε00 ) −→ f (x0 )
Il reste `
a montrer que :
∃Vε00 ∈ VΩ (xε00 ) : fε00 (xε00 ) = max fε00 (x) pour ε00 assez petit.
x∈Vε00

Comme xε00 −→ x0


on a xε00 ∈V pour ε00 assez petit.
Donc pour ε00 assez petit :
∃Vε00 ∈ VΩ (xε00 ) : Vε00 ⊂ V
or comme fε00 (xε00 ) = max fε00 (x) = max fε00 (x)
x∈V

x∈Vε00

Ce qui signifie que xε00 est bien un point de maximum local de fε00

Th´
eor`
eme 2.7
Si (uε )ε ⊂ C 0 (Ω) et ∀ε > 0 uε est une sous-solution
(resp. une sursolution) de viscosit´e de l’´equation :

(2.6)

Hε (x, uε , ∇uε ) = 0 dans Ω

16

o`
u (Hε )ε ⊂ C 0 (Ω × R × Rn ).
Si uε −→ u dans C 0 (Ω) et Hε −→ H dans C 0 (Ω × R × Rn )
Alors
u est une sous-solution (resp.une sursolution) de l’´equation :
H(x, u, ∇u) = 0 dans Ω

Id´ees g´en´erales de la d´emonstration :
On se donne les hypoth`eses du th´eor`eme :
On se donne les hypoth`ese pour d´emontrer que u est sous-solution de
(1.1) :
Soit v ∈ C 1 (Ω) et soit x0 un point de maximum local de u − v
On choisit une fonction w ∈ C 1 (Ω) telle que x0 point de maximum local
strict de u − (v + w) et ∇w(x0 ) = 0
en vu d’appliquer le lemme 2.6 `a fε = uε − (v + w) et f = u − (v + w).
On obtient une suite (xε )ε de Ω :
∀ε xε point de maximum local de fε et xε −→ x0 dans Ω.
On utilise la convergence pr´ec´edente, le fait que uε −→ u dans C 0 (Ω),
et le fait que u ∈ C 0 (Ω)
et on montre
que uε (xε ) −→ u(x0 )



Comme xε , uε (xε ), ∇(v + w)(xε ) −→ x0 , u(x0 ), ∇v(x0 )
en utilisant le fait que Hε −→ H dans C 0 (Ω × R × Rn )
et le fait que H ∈ C 0 (Ω × R × Rn )



on montre que Hε xε , uε (xε ), ∇(v + w)(xε ) −→ H x0 , u(x0 ), ∇v(x0 )


On utilise enfin le fait que uε est sous-solution de Hε x, uε , ∇uε = 0
et xε est un point
ε = uε − (u + w)
de maximum local de f
et on obtient Hε xε , uε (xε ), ∇(v + w)(xε ) ≤ 0


et donc que H x0 , u(x0 ), ∇v(x0 ) ≤ 0
et le fait que u sous-solution de H(x, u, ∇u)

D´emonstration :
Soit (uε )ε ⊂ C 0 (Ω) et ∀ε > 0 uε sous-solution de viscosit´e de l’´equation :
Hε (x, uε , ∇uε ) = 0 dans Ω (2.6)
o`
u (Hε )ε ⊂ C 0 (Ω × R × Rn )
:uε −→ u dans C 0 (Ω) et Hε −→ H dans C 0 (Ω × R × Rn )
Soient v ∈ C 1 (Ω),x0 ∈ Ω point de maximum local de u−v et w ∈ C 1 (Ω) :

17

∀x ∈ Ω w(x) = kx − x0 k2
x0 est aussi un point de maximum local strict de −w donc de (u − v) − w
c`ad de u − (v + w)
On utilise le lemme 2.7 avec fε = uε − (v + w) et f = u − (v + w)
∃(xε )ε ⊂ Ω : ∀ε > 0 xε point de maximum local de fε = uε − (v + w)
et xε −→ x0 dans Ω
Comme uε −→ u dans C 0 (Ω)
CU

c`ad ∀K ⊂⊂ Ω uε −→ u dans K
c`ad ∀x ∈ K ⊂⊂ Ω |uε (x) − u(x)| −→ 0
on a :∀x ∈ {(xε )ε } ⊂⊂ Ω |uε (x) − u(x)| −→ 0
c`ad ∀x ∈ {(xε )ε } ⊂⊂ Ω ∀ε0 > 0 ∃ε0 > 0 ∀0 < ε ≤ ε0 |uε (x) − u(x)| ≤ ε0
donc ∀ε0 > 0 ∃ε0 > 0 ∀0 < ε ≤ ε0 |uε (xε ) − u(xε )| ≤ ε0
c`ad |uε (xε ) − u(xε )| −→ 0
Comme u ∈ C 0 (Ω) et x0 ∈ Ω et xε −→ x0 dans Ω
on a : u(xε ) −→ u(x0 )
c`ad |u(xε ) − u(x0 )| −→ 0
on a donc
0
≤ |u
ε (xε ) − u(x0 )|

= | uε (xε ) − u(xε ) + u(xε ) − u(x0 ) |
≤ |uε (xε ) − u(xε )| + |u(xε ) − u(x0 )| −→ 0 + 0 = 0
c`ad uε (xε ) −→ u(x0 )
Comme v, w ∈ C 1 (Ω)
∇v, ∇w ∈ C 0 (Ω)
Or xε −→ x0 dans Ω
donc ∇v(xε ) + ∇w(xε ) −→ ∇v(x0 ) + ∇w(x0 ) = ∇v(x0 ) + 0 = ∇v(x0 )

18

Comme Hε ∈ C 0 (Ω × R × Rn ), (x0 , u(x0 ), ∇v(x0 )) ∈ Ω × R × Rn ,
(xε , uε (xε ), ∇v(xε ) + ∇w(xε )) −→ (x0 , u(x0 ), ∇v(x0 )) dans Ω × R × Rn
et Hε −→ H dans C 0 (Ω × R × Rn )
on d´emontre de mani`ere analogue que :
Hε (xε , uε (xε ), ∇v(xε ) + ∇w(xε )) −→ H(x0 , u(x0 ), ∇v(x0 ))
Comme uε est sous-solution de vicosit´e de (2.6),v + w ∈ C 1 (Ω)
et xε point de maximum local de uε − (v + w),on a :
Hε (xε , uε (xε ), ∇(v + w)(xε )) ≤ 0
c`ad
Hε (xε , uε (xε ), ∇v(xε ) + ∇w(xε )) ≤ 0
Avec ce qui pr´ec`ede on en d´eduit que H(x0 , u(x0 ), ∇v(x0 )) ≤ 0
c`ad u est une sous-solution de l’´equation :
H(x, u, ∇u) = 0 dans Ω
On d´emontre de meme que u est une sursolution de cette derni`ere ´equation
si ∀ε > 0 uε sursolution de viscosit´e de l’´equation (2.6).
Ce qui ach`eve la d´emonstration.

2.3


esultats d’unicit´
e

L’unicit´e a ´et´e ´evoqu´ee dans l’introduction.

2.3.1


esultats d’unicit´
e dans le cas des ouverts born´
es

Comme nous l’avons vu dans la partie pr´ec´edente,
les r´esultats d’unicit´e sont fondamentaux pour conclure apr`es un passage
`a la limite :
C’est une utilisation essentielle.
Dans les probl`emes de controle, ils permettront aussi d’identifier la
fonction-valeur comme l’unique solution de l’´equation de Hamilton-JacobiBellman.

19


efinition 2.8
On dit par abus qu’on a un r´esultat d’unicit´e si l’´enonc´e suivant est
vrai.
Soient u, v ∈ C 0 (Ω)
u, v respectivement sous- et sursolutions de viscosit´e de (1.1)
u ≤ v sur ∂Ω c`
ad max(u − v) ≤ 0
∂Ω

=⇒
u ≤ v sur Ω c`
ad max(u − v) ≤ 0


Remarque :
Le r´esultat d’unicit´e est un r´esultat de type principe du maximum.
Il implique imm´ediatement l’unicit´e dans le cas o`
u (1.1) est associ´e aux
conditions aux bords de Dirichlet :

(2.7)

u = ϕ sur ∂Ω

En effet,si u1 , u2 ∈ C 0 (Ω) sont solutions de (1.1)-(2.7),
en particulier u1 et u2 sont respectivement sous- et sursolutions de vis
cosit´e de (1.1) ;
comme u1 = u2 = ϕ sur ∂Ω
on a u1 ≤ u2 sur ∂Ω
donc le r´esultat d’unicit´e implique :
u1 ≤ u2 sur Ω
Puis en intervertissant les roles de u1 et u2 ,on obtient l’in´egalit´e oppos´ee :
u2 ≤ u1 sur Ω
donc que u1 = u2 sur Ω

20

Le premier r´
esultat d’unicit´
e

Pour formuler le premier r´esultat d’unicit´e,on utilise les hypoth`eses suivantes :
(H1) ∀R ∈ R∗+ ∀x ∈ Ω ∀u, v ∈ [−R, R], u ≥ v ∀z ∈ Rn
∃CR > 0 : H(x, u, z) − H(x, v, z) ≥ CR (u − v)
(H2) ∀R ∈ R∗+ ∀x, y ∈ Ω ∀u ∈ [−R, R] ∀z ∈ Rn
∃MR : R −→ R : MR (t) −→ 0 quand t −→ 0 :
|H(x, u, z) − H(y, u, z)| ≤ MR kx − yk (1 + kzk)
n
(H2’) ∀x ∈ Ω, ∀u ∈ R, ∀z
∈ R H est lipschitzienne en x

∂H
(x, u, z) ≤ CR (1 + kzk)
∃CR > 0 :
∂x

(H2’) =⇒ (H2)
Le r´esultat est le suivant :
Th´
eor`
eme 2.9
Sous les hypoth`ese (H1) et en supposant u, v ∈ C 0 (Ω)
r´esultat d’unicit´e pour (1.1).

T

C 1 (Ω),on a un

Id´ees g´en´erales de la d´emonstration :
On se donne T
les hypoth`eses de d´emonstration du r´esultat d’unicit´e :
0
u, v ∈ C (Ω) C 1 (Ω)
u, v respectivement sous- et sursolutions de viscosit´e de (1.1)
u ≤ v sur ∂Ω
On prend un point de maximum x0 de u − v
On distingue deux cas :
- Le cas o`
u x0 ∈ ∂Ω :
On a maxΩ (u − v) = (u − v)(x0 ) = max∂Ω (u − v) ≤ 0
et la conclusion.
- Le cas o`
u x0 ∈ Ω
On traduit le fait que u, v respectivement sous- et sursolutions de
viscosit´e de (1.1)
∀w1 ∈ C 1 (Ω)
∀x10 point de maximum local de u − w1 et H(x10 , u(x10 ), ∇w1 (x10 )) ≤ 0
∀w2 ∈ C 1 (Ω)
∀x20 point de minimum local de u − w2 et H(x20 , u(x20 ), ∇w2 (x20 )) ≥ 0
On remplace w1 par u et w2 par v
On remarque que tout point x ∈ Ω est `a la fois un minimum et
21

un maximum de la fonction constante nulle,
en particulier pour x = x10 = x20 = x0
H(x0 ), u(x0 ), ∇u(x0 )) ≤ 0 et H(x0 , v(x0 ), ∇v(x0 )) ≥ 0
On utilise le fait que x0 point de maximum local de u − v
On obtient l’´egalit´e ∇u(x0 ) = ∇v(x0 )
On remplace ∇v(x0 ) par ∇u(x0 )
On obtient l’in´egalit´e suivante en vu d’appliquer (H1) :
H(x0 , u(x0 ), ∇u(x0 ) − H(x0 , v(x0 ), ∇u(x0 )) ≤ 0
On raisonne par l’absurde en supposant u(x0 ) > v(x0 )
On applique (H1)
on obtient 0 < CR (u(x0 ) − v(x0 )) ≤ H(x0 , u(x0 ), ∇u(x0 ) − H(x0 , v(x0 ), ∇u(x0 )) ≤ 0
on obtient une contradiction
donc u(x0 ) ≤ v(x0 )
donc maxΩ (u − v) ≤ 0

D´emonstration :
Soient u, v ∈ C 0 (Ω)

T

C 1 (Ω)

u, v respectivement sous- et sursolutions de viscosit´e de (1.1)
Soit x0 ∈ Ω : (u − v)(x0 ) = max(u − v)


Deux cas se pr´esentent :
-soit x0 ∈ ∂Ω
On a (u − v)(x0 ) = max(u − v) ≤ 0
∂Ω

donc max(u − v) ≤ 0


-soit x0 ∈ Ω
Comme u, v respectivement sous- et sursolution de (1.1)
∀w ∈ C 1 (Ω),
∀x10 ∈ Ω point de maximum local de u − w H(x10 , u(x10 ), ∇w(x10 )) ≤ 0
∀x20 ∈ Ω point de maximum local de v − w H(x20 , v(x20 ), ∇w(x20 )) ≥ 0
En particulier u, v ∈ C 1 (Ω)
∀x10 ∈ Ω point de maximum local de u − u = 0 H(x10 , u(x10 ), ∇u(x10 )) ≤ 0
∀x20 ∈ Ω point de maximum local de v − v = 0 H(x20 , v(x20 ), ∇v(x20 )) ≥ 0
Comme x0 ∈ Ω
et comme ∀x ∈ Ω x point de maximum et de minimum local de u − u
=v−v =0
x0 point de maximum local de u − u = v − v = 0
et donc H(x0 , u(x0 ), ∇u(x0 )) ≤ 0, H(x0 , v(x0 ), ∇v(x0 )) ≥ 0
Or comme x0 point de maximum de u − v

22

on a ∇(u − v)(x0 ) = 0 c`
ad ∇u(x0 ) = ∇v(x0 )
et donc H(x0 , u(x0 ), ∇u(x0 )) ≤ 0, H(x0 , v(x0 ), ∇u(x0 )) ≥ 0
c`ad H(x0 , u(x0 ), ∇u(x0 )) − H(x0 , v(x0 ), ∇u(x0 )) ≤ 0
Supposons que u(x0 ) > v(x0 )
x0 ∈ Ω , ∃R ∈ R∗+ u(x0 ), v(x0 ) ∈]−R, R[, u(x0 ) ≥ v(x0 ) (R = max(kuk∞ , kvk∞ )),
∇u(x0 ) ∈ Rn
donc d’apr`es (H1) :
∃CR > 0
H(x0 , u(x0 ), ∇u(x0 )) − H(x0 , v(x0 ), ∇u(x0 )) ≥ CR (u(x0 ) − v(x0 ))
Or CR (u(x0 ) − v(x0 )) > 0
donc 0 ≥ H(x0 , u(x0 ), ∇u(x0 )) − H(x0 , v(x0 ), ∇u(x0 )) > 0
ce qui est absurde
donc u(x0 ) ≤ v(x0 )
c`ad max(u − v) = (u − v)(x0 ) ≤ 0


Lemme 2.10 (servant `
a d´emontrer le th´eor`eme 2.11)

Soient u, v ∈ C 0 (Ω)
kx − yk2
Soit ψε : Ω −→ R : ψε (x, y) = u(x) − v(y) −
ε2
2

max(u − v) ≤ 0
∂Ω

Soit Mε = max ψε
2



Soit M = max(u − v) > 0


Les propri´et´es suivantes ont lieu :
1) Mε −→ M
2)Si (xε , yε ) point de maximum de ψε ,on a
a) kxε − yε k −→ 0
b)

kxε − yε k2
−→ 0
ε2
23

c) u(xε ) − v(yε ) −→ M
d) ∃ε0 > 0 ∀ε0 > ε > 0 (c`
ad ε suffisamment petit) (xε , yε ) ∈ Ω

Id´ees g´en´erales de la d´emonstration :
On prend un point (xε , yε ) de maximum de ψε
Mε = max ψε


2

On montre que : M ≤ Mε ≤ M + mv (kxε − yε k)
o`
u mv (t) = sup |v(x) − v(y)|
kx−yk≤t

grace `
a la d´efinition de ψε et de Mε et d’un ajout et retranchement.
kxε − yε k2
On montre que
≤ 2R
ε2
en utilisant M ≤ Mε , l’expression de Mε et les majorations de
u et v qui sont born´es par R.
On revient `
a l’in´egalit´e : M ≤ Mε ≤ M + mv (kxε − yε k)
Comme mv (t) −→ 0 quand t −→ 0
on a Mε −→ M
de meme u(xε ) − v(yε ) −→ M

kxε − yε k2
On montre que

u(x
)

v(y
)
−M
ε
ε
ε2
2
kxε − yε k
donc que
−→ 0
ε2
Pour montrer que xε ∈ Ω pour ε suffisamment petit
on fait un raisonnement par l’absurde en supposant xε ∈ ∂Ω
on montre que u(xε ) − v(yε ) ≤ mv (kxε − yε k)
donc M ≤ 0
Ce qui est absurde pour ε suffisamment petit
donc xε ∈ Ω pour ε suffisamment petit
de meme yε ∈ Ω pour ε suffisamment petit
donc (xε , yε ) ∈ Ω2 pour ε suffisamment petit

D´emonstration :
2

Soit (xε , yε ) ∈ Ω un point de maximum de ψε
∀(x, y) ∈ Ω

2

ψε (x, y) = u(x) − v(y) −

kx − yk2
ε2

ψε (x, y) ≤ ψε (xε , yε ) = Mε
ψε (x, x) ≤ Mε
c`ad u(x) − v(x) ≤ Mε
24

donc M ≤ Mε
Soit mv (t) =

sup |v(x) − v(y)|
kx−yk≤t

M ≤ Mε
kxε − yε k2
ε2

kx − y k2
ε
ε
= u(xε ) − v(xε ) + v(xε ) − v(yε ) −
ε2

= u(xε ) − v(yε ) −

≤ u(xε ) − v(xε ) +

|v(x) − v(y)| + 0

sup
kx−yk≤kxε −yε k

= u(xε ) − v(xε ) + mv (kxε − yε k)
≤ M + mv (kxε − yε k)
c`ad M ≤ Mε ≤ M + mv (kxε − yε k)
Comme Ω compact et comme u, v ∈ C 0 (Ω), u, v sont born´ees sur Ω
donc kuk∞ ≤ Ru , kvk∞ ≤ Rv
Soit R = max(Ru , Rv )
on a kuk∞ , kvk∞ ≤ R
Or M ≤ Mε = u(xε ) − v(yε ) −

kxε − yε k2
ε2

donc 0 < M ≤ u(xε ) − v(yε ) −

kxε − yε k2
kxε − yε k2
kxε − yε k2

R
+
R

=
2R

ε2
ε2
ε2

donc 2R −
donc

kxε − yε k2
>0
ε2

kxε − yε k2
≤ 2R
ε2
1

c`ad kxε − yε k ≤ (2R) 2 ε
donc kxε − yε k −→ 0
Or M ≤ Mε ≤ M + mv (kxε − yε k)
Comme v continue sur Ω compact,v uniform´ement continue sur Ω
donc mv (t) −→ 0 quand t −→ 0
Or kxε − yε k −→ 0 donc mv (kxε − yε k) −→ 0
25

donc Mε −→ M
kxε − yε k2
Or M ≤ Mε = u(xε ) − v(yε ) −
≤ u(xε ) − v(yε )
ε 2


≤ u(xε ) − v(xε ) + v(xε ) − v(yε ) ≤ M + mv (kxε − yε k)
c`ad M ≤ u(xε ) − v(yε ) ≤ M + mv (kxε − yε k)
donc u(xε ) − v(yε ) −→ M
kxε − yε k2
ε2

kxε − yε k2
donc

u(x
)

v(y
)
−M
ε
ε
ε2


Or u(xε ) − v(yε ) − M −→ 0
Or M ≤ u(xε ) − v(yε ) −

donc

kxε − yε k2
−→ 0
ε2

Enfin supposons xε ∈ ∂Ω
On a max(u − v) ≤ 0
∂Ω

Or u(xε ) − v(yε ) ≤ u(xε ) − v(xε ) + mv (kxε − yε k)
≤ max(u − v) + mv (kxε − yε k) ≤ 0 + mv (kxε − yε k)
∂Ω

= mv (kxε − yε k)
c`ad u(xε ) − v(yε ) ≤ mv (kxε − yε k)
Or u(xε ) − v(yε ) −→ M et mv (kxε − yε k) −→ 0
donc M ≤ 0
ce qui est absurde pour ε suffisamment petit
donc xε ∈ Ω \ ∂Ω `
a partir d’un ε suffisamment petit
c`ad xε ∈ Ω `
a partir d’un ε suffisamment petit.
On raisonne de la meme fa¸con pour d´emontrer que yε ∈ Ω.
Donc (xε , yε ) ∈ Ω2 `
a partir d’un ε suffisamment petit

26

Th´
eor`
eme 2.11
Sous les hypoth`ese (H1)-(H2),on a un r´esultat d’unicit´e pour (1.1).
De plus on peut remplacer (H2) par : (”u ∈ W 1,∞ (Ω)” ou ”v ∈ W 1,∞ (Ω)”)

Id´ees g´en´erales de la d´emonstration :
On se place sous les hypoth`eses (H1)-(H2)
On se donne les hypoth`eses pour d´emontrer le r´esultat d’unicit´e
sauf l’hypoth`ese u ≤ v sur ∂Ω.
On raisonne par l’absurde en supposant M > 0
On utilise le lemme 2.10 :
On suppose les hypoth`eses de ce lemme :
Pour ε suffisament petit :
Soit (xε , yε ) ∈ Ω2 : (xε , yε ) point de maximum de psiε .
On a u(xε ) − v(yε ) −→ M
et on montre que u(xε ) − v(yε ) > 0
c`ad u(xε ) > v(yε ) (r´esultat utile par la suite).
On pose ψε1 = ψε (., yε ) = u − ϕ1ε
kx − yε k2
o`
u ϕ1ε (x) = v(yε ) −
ε2
Comme u sous-solution de viscosit´e de (1.1),
ϕ1ε ∈ C 1 (Ω)
et xε ∈ Ω point de maximum de ψε1 = u − ϕ1ε :
On a H(xε , u(xε ), ∇ϕ1ε (xε )) ≤ 0
c`ad H(xε , u(xε ), zε )
2(xε − yε )
o`
u zε = ϕ1ε (xε ) =
ε2
De meme on pose ψε2 = ψε (xε , .) = −v + ϕ2ε
kxε − yk2
o`
u ϕ2ε (y) = u(xε ) −
ε2
on obtient H(yε ), v(yε ), zε ) ≥ 0
On a H(xε , u(xε ), zε ) ≤ H(yε ), v(yε ), zε )
donc en vu d’appliquer les hypoth`ese (H1)-(H2) on retranche un meme
terme de chaque cot´e des deux membres :
H(xε , u(xε ), zε ) − H(xε ), v(yε ), zε ) ≤ H(yε ), v(yε ), zε ) − H(xε ), v(yε ), zε )
Comme u(xε ) ≥ v(yε ) et les conditions pour appliquer (H1) :
On applique (H1) au membre de gauche et (H2) au membre de droite.
On obtient :



2 kxε − yε k2
CR u(xε ) − v(yε ) ≤ MR kxε − yε k +
ε2
Comme d’apr`es le lemme 2.10
u(xε ) − v(yε ) −→ M
kxε − yε k −→ 0
kxε − yε k2
−→ 0
ε2
MR (t) −→ 0 quand t −→ 0
On obtient CR M ≤ 0
27

c`ad M ≤ 0 : Contradiction
donc M ≤ 0

D´emonstration :
Supposons que nous sommes sous (H1)-(H2)
Soient u, v ∈ C 0 (Ω)
u, v respectivement sous- et sursolutions de viscosit´e de (1.1)
Reprenons les notations du lemme 2.10
Supposons M > 0
D’apr`es le lemme 2.10
∃ε0 > 0 ∀ε0 > ε > 0 (xε , yε ) ∈ Ω et (xε , yε ) point de maximum de ψε
u(xε ) − v(yε ) −→ M


donc ∀ε0 > 0 ∃ε1 > 0 ∀ε1 > ε > 0 | u(xε ) − v(yε ) − M | < ε0


c`ad ∀ε0 > 0 ∃ε1 > 0 ∀ε1 > ε > 0 − ε0 < u(xε ) − v(yε ) − M < ε0
c`ad ∀ε0 > 0 ∃ε1 > 0 ∀ε1 > ε > 0 M − ε0 < u(xε ) − v(yε ) < M + ε0
En particulier ∃ε0 > 0 (prendre ε0 ≤ M ) ∃ε1 > 0 ∀ε1 > ε > 0 on a
0 < u(xε ) − v(yε )
Soit donc ε2 = min(ε0 , ε1 ) > 0 : ∀ε2 > ε > 0 (xε , yε ) ∈ Ω2 , (xε , yε ) point
de maximum de ψε
et u(xε ) − v(yε ) > 0
Soit ψε1 : Ω −→ R : x 7−→ ψε (x, yε ) = u(x) − ϕ1ε (x)
o`
u ϕ1ε (x) = v(yε ) −

kx − yε k2
ε2

Or u est sous-solution de viscosit´e de (1.1) et ϕ1ε ∈ C 1 (Ω) et xε ∈ Ω
point de maximum de ψε1 = u − ϕ1ε
donc H(xε , u(xε ), ∇ϕ1ε (xε )) ≤ 0
Or ∇ϕ1ε (x) =

2(x − yε )
2(xε − yε )
donc ∇ϕ1ε (xε ) =
= zε
2
ε
ε2

donc H(xε , u(xε ), zε ) ≤ 0

28

Soit ψε2 : Ω −→ R : y 7−→ ψε (xε , y) = −v(y) + ϕ2ε (y)
o`
u

ϕ2ε (y)

kxε − yk2
= u(xε ) −
ε2

Or v est sursolution de viscosit´e de (1.1) et ϕ2ε ∈ C 1 (Ω) et yε ∈ Ω point
de minimum de −ψε2 = v − ϕ2ε
donc H(yε , v(yε ), ∇ϕ2ε (yε )) ≥ 0
Or ∇ϕ2ε (y) =

2(xε − y)
2(xε − yε )
donc ∇ϕ2ε (yε ) =
= zε
2
ε
ε2

donc H(yε , v(yε ), zε ) ≥ 0
donc H(xε , u(xε ), zε ) − H(yε , v(yε ), zε ) ≤ 0
donc H(xε , u(xε ), zε ) ≤ H(yε , v(yε ), zε )
donc H(xε , u(xε ), zε )−H(xε , v(yε ), zε ) ≤ H(yε , v(yε ), zε )−H(xε , v(yε ), zε )
Or xε , yε ∈ Ω, ∃R ∈ R∗+ u(xε ), v(yε ) ∈ [−R, R] (prendre R = max(kuk∞ , kvk∞ )),
u(xε ) ≥ v(yε ), zε ∈ Rn
En appliquant (H1) au membre de gauche et (H2) au membre de droite,on
obtient :
∃CR > 0, ∃MR : R −→ R : MR (t) −→ 0 quand t −→ 0


CR u(xε ) − v(yε ) ≤ H(xε , u(xε ), zε ) − H(xε , v(yε ), zε )


≤ H(yε , v(yε ), zε ) − H(xε , v(yε ), zε ) ≤ MR kyε − xε k (1 + kzε k)


= MR kxε − yε k (1 + kzε k)

2 kxε − yε k2
= MR kxε − yε k +
ε2
donc



2 kxε − yε k2
CR u(xε ) − v(yε ) ≤ MR kxε − yε k +
ε2
Or d’apr`es le lemme 2.10
u(xε ) − v(yε ) −→ M
kxε − yε k2
kxε − yε k −→ 0
−→ 0
ε2
et MR (t) −→ 0 quand t −→ 0

29

donc CR M ≤ 0
ce qui est absurde
donc M ≤ 0

Le cas des hamiltoniens coercifs ou pseudo-coercifs
(H3) ∀R ∈ R∗+ ∀x ∈ Ω ∀u ∈ [−R, R]
CU

H(x, u, z) −→ +∞ quand kzk −→ +∞

Th´
eor`
eme 2.12 Sous les hypoth`ese (H1)-(H3),on a un r´esultat d’unicit´e
pour (1.1).

Id´ees g´en´erales de la d´emonstration :
On raisonne par l’absurde en supposant M > 0.
On se donne les hypoth`eses du th´eor`eme (H1)-(H3)
et les hypoth`eses pour d´emontrer le r´esultat d’unicit´e,
sauf l’hypoth`ese que : u ≤ v sur ∂Ω
On traduit formellement (H3).
On reprend la partie de la d´emonstration du th´eor`eme 2.11
o`
u n’interviennent pas encore les hypoth`ese (H1)-(H2) :
H(xε , u(xε ), zε ) ≤ 0
On d´eduit de ce qui pr´ec`ede que : ∃C > 0 kzε k ≤ C.
On utilise la continuit´e de H sur le compact Ω × [−R, R] × [−C, C]
et on montre que H est uniform´ement continue sur Ω×[−R, R]×[−C, C].
On utilise cette uniforme continuit´e pour montrer que
H(xε , u(xε ), zε ) − H(yε , v(yε ), zε ) −→ 0
En reprenant encore la partie de la d´emonstration du th´eor`eme 2.11
o`
u n’interviennent pas encore les hypoth`ese (H1)-(H2) :
H(xε , u(xε ), zε ) − H(xε , v(yε ), zε ) ≤ H(yε , v(yε ), zε ) − H(xε , v(yε ), zε )
Comme u(xε ) ≥
v(yε ) :

On obtient CR u(xε ) − v(yε ) ≤ H(yε , v(yε ), zε ) − H(xε , v(yε ), zε )
Or H(xε , u(xε ), zε ) − H(yε , v(yε ), zε ) −→ 0
et d’apr`es le lemme 2.10 :
u(xε ) − v(yε ) −→ M
donc CR M ≤ 0
c`ad M ≤ 0 : Contradiction
donc M ≤ 0

D´emonstration :
Supposons que nous sommes sous (H1)-(H3)
30

Soient u, v ∈ C 0 (Ω)
u, v respectivement sous- et sursolutions de viscosit´e de (1.1)
Reprenons les notations du lemme 2.10
Supposons M > 0
Supposons que kzε k −→ +∞
CU

alors d’apr`es (H3) H(xε , u(xε ), zε ) −→ +∞
c`ad ∀x ∈ Ω ∀u ∈ [−R, R]
∀M > 0 ∀C > 0 ∃ε0 > 0 ∀ε0 ≥ ε > 0
kzε k > C =⇒ |H(xε , u(xε ), zε )| > M
ce qui en reprenant la partie de la d´emonstration du th´eor`eme 2.11 o`
u
n’intervient pas encore les hypoth`eses (H1)-(H2), est absurde puisque
H(xε , u(xε ), zε ) ≤ 0
donc kzε k non −→ +∞
donc ∃C > 0 kzε k ≤ C
Comme H est continue sur Ω × [−R, R] × [−C, C] compact
H est uniform´ement continue sur Ω × [−R, R] × [−C, C]
0
c`
0 ∃η > 0 ∀(x,
u, z 1 ), (y, v, z 2 ) ∈ Ω × [−R, R] × [−C, C]
ad ∀ε >

(x, u, z 1 ) − (y, v, z 2 ) ≤ η =⇒ |H(x, u, z 1 ) − H(y, v, z 2 )| ≤ ε0

Or ∀ε0 ≥ 0 ∃ε2 > 0 (celui de la d´emonstration du th´eor`eme 2.11)
1

∀ε2 ≥ ε > 0 ∃η > 0 (η = (2R) 2 ε2 )
(xε , v(yε ), zε ), (yε , v(yε ), zε ) ∈ Ω × [−R, R] × [−C, C]
k(xε , v(yε ), zε ) − (yε , v(yε ), zε )k = k(xε − yε , 0, 0)k = kxε − yε k
1

1

≤ (2R) 2 ε ≤ (2R) 2 ε2 = η
donc |H(xε , v(yε ), zε ) − H(yε , v(yε ), zε )| ≤ ε0
c`ad ∀ε0 ≥ 0 ∃ε2 > 0 ∀ε2 ≥ ε > 0 |H(xε , v(yε ), zε ) − H(yε , v(yε ), zε )| ≤ ε0
31

donc H(xε , v(yε ), zε ) − H(yε , v(yε ), zε ) −→ 0
En reprenant encore la partie de la d´emonstration du th´eor`eme 2.11 o`
u
n’interviennent pas encore les hypoth`eses (H1)-(H2)
H(xε , u(xε ), zε ) − H(xε , v(yε ), zε ) ≤ H(yε , v(yε ), zε ) − H(xε , v(yε ), zε )
Or xε , yε ∈ Ω,
∃R ∈ R∗+ u(xε ), v(yε ) ∈ [−R, R]
(prendre R = max(kuk∞ , kvk∞ )),
u(xε ) ≥ v(yε ), zε ∈ Rn
En appliquant (H1) au membre de gauche ,on obtient :
∃CR > 0


CR u(xε ) − v(yε )
≤ H(xε , u(xε ), zε ) − H(xε , v(yε ), zε )
≤ H(yε , v(yε ), zε ) − H(xε , v(yε ), zε )


c`ad CR u(xε ) − v(yε ) ≤ H(yε , v(yε ), zε ) − H(xε , v(yε ), zε )
Or d’apr`es le lemme 2.10
u(xε ) − v(yε ) −→ M
et d’apr`es (H3)
H(yε , v(yε ), zε ) − H(xε , v(yε ), zε ) −→ 0
donc CR M ≤ 0
Ce qui est absurde ,donc M ≤ 0
(H4) ∀R ∈ R+ , ∀x, y ∈ Ω, ∀u ∈ [−R, R], ∀z ∈ Rn
∃MR : R −→ R : MR (t) −→ 0 quand t −→ 0,
∃ΦR ∈ C 0 (R, R+ ) :




QR (x, y, u, z) = max ΦR H(x, u, z) , ΦR H(y, u, z)
:


|H(x, u, z) − H(y, u, z)| ≤ MR kx − yk (1 + kzk) QR (x, y, u, z)
(H4’) ∀R ∈ R+ , ∀x, y ∈ Ω, ∀u ∈ [−R, R], ∀z ∈ Rn
32

∃CR > 0, ∃ΦR ∈ C 0 (R, R+ ) :





∂H

≤ CR (1 + kzk)ΦR H(x, u, z)
(x,
u,
z)
∂x

(H4’) =⇒ (H4)

Lemme 2.13 (sevant `
a d´emmontrer le th´eor`eme 2.14)

Soit u ∈ C 0 (Ω), u born´ee sur Ω
Soient C > 0, M > 0 : M > kuk∞
1)
u sous-solution (resp. sursolution) de (1.1)
⇐⇒
u sous-solution (resp. sursolution) de (2.8)
o`
u
˜ C (x, u, ∇u) = 0 dans Ω
H



˜ C (x, u, z) = max − CM, min H(x, u, z) − Cu, CM
avec H
+ Cu

(2.8)

˜ C satisfait (H1)
2) H satisfait (H1) =⇒ ∃C > 0 : H
˜ C satisfait (H2)
3) H satisfait (H4) =⇒ H
4) Si H satisfait (H1)-(H4)
et si u est solution de (1.1) alors u est l’unique solution de (2.8)

D´emonstration :
Soit u ∈ C 0 (Ω), u born´ee sur Ω
Soient C > 0, M > 0 : M > kuk∞
1)
=⇒) Supposons u sous-solution (resp. sursolution) de (1.1)
D’apr`es le th´eor`eme 2.5
∀x ∈ Ω ∀z ∈ ∇+ u(x)
33

H(x, u(x), z) ≤ 0
donc H(x, u(x), z) − Cu ≤ −Cu ≤ Ckuk∞ < CM
c`ad H(x, u(x), z) − Cu < CM


donc min H(x, u(x), z) − Cu, CM = H(x, u(x), z) − Cu


donc min H(x, u(x), z) − Cu, CM + Cu = H(x, u(x), z) − Cu + Cu = H(x, u(x), z)


c`ad min H(x, u(x), z) − Cu, CM + Cu = H(x, u(x), z)
˜ C (x, u(x), z)
H



= max − CM, min H(x, u(x), z) − Cu, CM
+ Cu




= max − CM + Cu, min H(x, u(x), z) − Cu, CM + Cu


= max − CM + Cu, H(x, u(x), z)
≤0
(car Cu < CM c`
adCu − CM < 0c`ad − CM + Cu < 0donc − CM + Cu ≤ 0
et H(x, u(x), z) ≤ 0)
˜ C (x, u(x), z) ≤ 0
c`ad H
donc u sous-solution (resp. sursolution) de (2.8)
⇐=) Supposons u sous-solution (resp. sursolution) de (2.8)
D’apr`es le th´eor`eme 2.5
∀x ∈ Ω ∀z ∈ ∇+ u(x)
˜ C (x, u(x), z) ≤ 0
H



max − CM, min H(x, u(x), z) − Cu, CM
+ Cu ≤ 0




max − CM + Cu, min H(x, u(x), z) − Cu, CM + Cu ≤ 0


donc min H(x, u(x), z) − Cu, CM + Cu ≤ 0


c`ad min H(x, u(x), z), CM + Cu ≤ 0
Or CM > −Cu donc CM + Cu > 0
34

donc H(x, u(x), z) ≤ 0
donc u sous-solution (resp. sursolution) de (1.1)
2) Supposons que H satisfasse (H1)
∀R ∈ R∗+ ∀x ∈ Ω ∀u, v ∈ [−R, R], u ≥ v ∀z ∈ Rn
∃CR > 0 : H(x, u, z) − H(x, v, z) ≥ CR (u − v)



H(x, u, z) − CR u − H(x, v, z) − CR v ≥ 0



H(x, u, z) − CR u ≥ H(x, v, z) − CR v




min H(x, u, z) − CR u, CR M ≥ min H(x, v, z) − CR v, CR M






max − CR M, min H(x, u, z) − CR u, CR M
≥ max − CR M, min H(x, v, z) − CR v, CR M



+ CR u − CR u
max − CR M, min H(x, u, z) − CR u, CR M



≥ max − CR M, min H(x, v, z) − CR v, CR M
+ CR v − CR v
˜ C (x, u, z) − CR u ≥ H
˜ C (x, v, z) − CR v
H
R
R
˜ C (x, u, z) − H
˜ C (x, v, z) ≥ CR u − CR v
H
R
R
˜ C (x, v, z) ≥ CR (u − v)
˜ C (x, u, z) − H
H
R
R
˜ C satisfait (H1)
donc H
R
˜ C satisfait (H1)
donc ∃C > 0 : H
3) La d´emonstration n’est pas fournie.
4) Supposons que nous sommes sous (H1)-(H4)
Soient u ∈ C 0 (Ω)
u solution de viscosit´e de (1.1).
Reprenons les notations des lemmes 2.10.
Supposons M > 0
˜ C satisfait (H1), d’apr`es 2).
H satisfait (H1) donc ∃C > 0 : H
˜ C satisfait (H2), d’apr`es 3).
H satisfait (H4) donc H
35

u solution de (1.1) =⇒ u solution de (2.8).
donc
H satisfait (H1)-(H4), u solution de (1.1)
=⇒
˜ C satisfait (H1)-(H2), u solution de (2.8)
∃C > 0 : H
˜C
donc on est ramen´e au cas du th´eor`eme 2.11 en rempla¸cant H par H
et on a la meme conclusion.

Th´
eor`
eme 2.14
Sous les hypoth`eses (H1)-(H4),on a un r´esultat d’unicit´e pour (1.1)

2.3.2


esultats d’unicit´
e dans le cas de Rn

On s’int´eresse `
a l’´equation :

(2.9)

H(x, u, ∇u) = 0 dans Rn

o`
u
u ∈ C 1 (Rn ) est la solution de l’´equation,
H ∈ C 0 (Rn × R × Rn ) est l’hamiltonien
On a un r´esultat d’unicit´e dans Rn
Evidemment, une diff´erence fondamentale dans ce contexte est l’absence
de bord et de conditions au bord :
Elles seront remplac´ees par des restrictions sur le comportement des
solutions `
a l’infini.
L’´enonc´e typique que l’on voudrait avoir est le suivant :
si u, v ∈ C 0 (Rn ) sont respectivement sous et sursolution de (2.9) alors

36

u ≤ v dans Rn

(2.10)

c`ad max
(u − v) ≤ 0
n
R

Mais on n’aura quasiment jamais un r´esultat aussi fort,
il faudra rajouter des conditions sur u et v

Lemme 2.15
Soient u, v ∈ BU C(Rn )
Soit ψε,α : (Rn )2 −→ R : ψε,α (x, y) = u(x) − v(y) −

kx − yk2
− α(kxk2 + kyk2 )
ε2

Soit Mε,α = max ψε,α
(Rn )2


Soit M = max
u(x) − v(y) > 0
(x,y)∈(Rn )2

Les propri´et´es suivantes ont lieu :
1) Mε,α −→ M
2)Si (xε,α , yε,α ) point de maximum de ψε,α ,on a
a)kxε,α − yε,α k −→ 0
b)

kxε,α − yε,α k2
−→ 0
ε2

c) α(kxε,α k2 + kyε,α k2 ) −→ 0
d) u(xε,α ) − v(yε,α ) −→ M

Id´ees g´en´erales de la d´emonstration :
La d´emonstration est analogue `a celle du lemme 2.10

D´emonstration :
Soit (xε,α , yε,α ) ∈ (Rn )2 un point de maximum de ψε,α
∀(x, y) ∈ (Rn )2
ψε,α (x, y) = u(x) − v(y) −

kx − yk2
− α(kxk2 + kyk2 )
ε2
37

ψε,α (x, y) ≤ ψε,α (xε,α , yε,α ) = Mε,α
ψε,α (x, x) ≤ Mε,α
c`ad u(x) − v(x) − 2αkxk2 ≤ Mε,α
Soit mv (t) =

sup |v(x) − v(y)|
kx−yk≤t

u(x) − v(x) − 2αkxk2
≤ Mε,α
kxε,α − yε,α k2
− α(kxε,α k2 + kyε,α k2 )
ε2

kx − y k2
ε,α
ε,α
= u(xε,α ) − v(xε,α ) + v(xε,α ) − v(yε,α ) −
− α(kxε,α k2 + kyε,α k2 )
ε2
= u(xε,α ) − v(yε,α ) −

≤ u(xε,α ) − v(xε,α ) +

sup

|v(x) − v(y)| + 0 + 0

kx−yk≤kxε,α −yε,α k

= u(xε,α ) − v(xε,α ) + mv (kxε,α − yε,α k)
≤ M + mv (kxε,α − yε,α k)
c`ad u(x) − v(x) − 2αkxk2 ≤ Mε,α ≤ M + mv (kxε,α − yε,α k)
Comme u, v ∈ BU C(Rn ), u, v sont born´ees sur Rn
donc kuk∞ ≤ Ru , kvk∞ ≤ Rv
Soit R = max(Ru , Rv )
on a kuk∞ , kvk∞ ≤ R
Or u(x) − v(x) − 2αkxk2 ≤ Mε,α
= u(xε,α ) − v(yε,α ) −

kxε,α − yε,α k2
− α(kxε,α k2 + kyε,α k2 ) + 2αkxk2
ε2

donc u(x) − v(x) − 2αkxk2
≤ u(xε,α ) − v(yε,α ) −
≤R+R−
= 2R −

kxε,α − yε,α k2
− α(kxε,α k2 + kyε,α k2 )
ε2

kxε,α − yε,α k2
+0
ε2

kxε,α − yε,α k2
ε2

38

kxε,α − yε,α k2
+ u(x) − v(x) − 2αkxk2 − 2R ≤ 0
2
ε


kxε,α − yε,α k2
2


u(x)

v(x)

2αkxk

2R
donc
ε2
h
i 1
2
2
c`ad kxε,α − yε,α k ≤ − u(x) − v(x) − 2αkxk − 2R
ε
donc

donc kxε,α − yε,α k −→ 0
On a u(x) − v(x) − 2αkxk2 ≤ Mε,α ≤ M + mv (kxε,α − yε,α k)
Comme u(x) − v(x) − 2αkxk2 ≤ Mε,α
Or −2αkxk2 −→ 0
donc u(x) − v(x) − 2αkxk2 −→ u(x) − v(x)
donc u(x) − v(x) ≤

lim
(ε,α)−→0

donc M ≤

lim
(ε,α)−→0

Mε,α

Mε,α

Comme v ∈ BU C(Rn ), v uniform´ement continue sur Rn
donc mv (t) −→ 0 quand t −→ 0
Or kxε,α − yε,α k −→ 0
donc mv (kxε,α − yε,α k) −→ 0
Comme Mε,α ≤ M + mv (kxε,α − yε,α k)
On a

lim
(ε,α)−→0

Mε,α ≤ M

donc Mε,α −→ M
Or Mε,α
= u(xε,α ) − v(yε,α ) −

kxε,α − yε,α k2
− α(kxε,α k2 + kyε,α k2 )
ε2

≤ u(xε,α ) − v(yε,α )



≤ u(xε,α ) − v(xε,α ) + v(xε,α ) − v(yε,α )
≤ M + mv (kxε,α − yε,α k)
c`ad Mε,α ≤ u(xε,α ) − v(yε,α ) ≤ M + mv (kxε,α − yε,α k)

39

Or Mε,α −→ M
et mv (kxε,α − yε,α k) −→ 0
donc u(xε,α ) − v(yε,α ) −→ M
Or M
≤ u(xε,α ) − v(yε,α ) −

kxε,α − yε,α k2
− α(kxε,α k2 + kyε,α k2 )
ε2

kxε,α − yε,α k2
ε2
2


kxε,α − yε,α k

u(x
)

v(y
)
−M
donc
ε,α
ε,α
ε2


Or u(xε,α ) − v(yε,α ) − M −→ M − M = 0
≤ u(xε,α ) − v(yε,α ) −

donc

kxε,α − yε,α k2
−→ 0
ε2

Or M
≤ u(xε,α ) − v(yε,α ) −

kxε,α − yε,α k2
− α(kxε,α k2 + kyε,α k2 )
ε2

≤ u(xε,α ) − v(yε,α ) − α(kxε,α k2 + kyε,α k2 )


donc α(kxε,α k2 + kyε,α k2 ) ≤ u(xε,α ) − v(yε,α ) − M


Or u(xε,α ) − v(yε,α ) − M −→ M − M = 0
donc α(kxε,α k2 + kyε,α k2 ) −→ 0

(H5) ∀R > 0 H ∈ U C(Rn × [−R, R] × BR )
o`
u BR = BRn (0, R)

Th´
eor`
eme 2.16

Sous les hypoth`ese (H1)-(H2)-(H5),on a un r´esultat d’unicit´e pour (2.9).

Id´ees g´en´erales de la d´emonstration :
La d´emonstration est analogue au th´eor`eme 2.11 jusqu’`a l’´etape
40

suivante :
H(xε,α , u(xε,α ), zε,α + 2αxε,α ) − H(xε,α , v(yε,α ), zε,α + 2αxε,α )
≤ H(yε,α , v(yε,α ), zε,α − 2αyε,α ) − H(xε,α , v(yε,α ), zε,α + 2αxε,α )
donc par ajouts et retranchements que :
H(xε,α , u(xε,α ), zε,α + 2αxε,α ) − H(xε,α , v(yε,α ), zε,α + 2αxε,α )
≤ H(yε,α , v(yε,α ), zε,α ) − H(xε,α , v(yε,α ), zε,α )
+H(xε,α , v(yε,α ), zε,α ) − H(xε,α , v(yε,α ), zε,α + 2αxε,α )
+H(yε,α , v(yε,α ), zε,α − 2αyε,α ) − H(yε,α , v(yε,α ), zε,α )
En appliquant (H1) au premier membre de gauche,(H2) au premier
membres de droite
et en majorant les deuxi`eme et troisi`eme membres de droite chacun par
un module de continuit´e l´egitim´e par (H ? ?) :
On obtient finalement en d´eveloppant le terme zε,α :



2kxε,α − yε,α k2
CR u(xε,α ) − v(yε,α ) ≤ MR kxε,α − yε,α k +
+ nε (k2αxε,α k) + nε (k2αyε,α k)
ε2
D’apr`es le lemme 2.15
u(xε,α ) − v(yε,α ) −→ M
kxε,α − yε,α k −→ 0
2kxε,α − yε,α k2
−→ 0
ε2
De plus on d´emontre que :
nε (k2αxε,α k), nε (k2αyε,α k) −→ 0
donc CR M ≤ 0
donc M ≤ 0 : Contradiction
donc M ≤ 0

D´emonstration :
Supposons que nous sommes sous (H1)-(H2)-(H5)
Soient u, v ∈ BU C(Rn )
u, v respectivement sous- et sursolutions de viscosit´e de (2.9)
Reprenons les notations du lemme 2.15
Supposons M > 0
D’apr`es le lemme 2.15
(xε,α , yε,α ) point de maximum de ψε,α
u(xε,α ) − v(yε,α ) −→ M

41

donc
∀ε0 > 0 ∃α1 > 0 ∃ε1 > 0 ∀α1 > α > 0 ∀ε1 > ε > 0

| u(xε,α ) − v(yε,α ) − M | < ε0
c`ad ∀ε0 > 0 ∃α1 > 0 ∃ε1 > 0


∀α1 > α > 0 ∀ε1 > ε > 0 −ε0 < u(xε,α ) − v(yε,α ) − M < ε0
c`ad ∀ε0 > 0 ∃α1 > 0 ∃ε1 > 0
∀α1 > α > 0 ∀ε1 > ε > 0 M − ε0 < u(xε,α ) − v(yε,α ) < M + ε0
En particulier ∃ε0 > 0 (prendre ε0 ≤ M )
∃α1 > 0 ∃ε1 > 0 ∀α1 > α > 0, ∀ε1 > ε > 0 on a 0 < u(xε,α ) − v(yε,α )
Soit donc ∀α1 > α > 0 ∀ε1 > ε > 0 (xε,α , yε,α ) ∈ (Rn )2 , (xε,α , yε,α ) point
de maximum de ψε,α
et u(xε,α ) − v(yε,α ) > 0
1 : Rn −→ R : x 7−→ ψ
1
Soit ψε,α
ε,α (x, yε,α ) = u(x) − ϕε,α (x)

o`
u ϕ1ε,α (x) = v(yε,α ) −

kx − yε,α k2
− α(kxk2 + kyε,α k2 )
ε2

Or u est sous-solution de viscosit´e de (2.9) et ϕ1ε,α ∈ C 1 (Rn ) et xε,α ∈ Rn
1 = u − ϕ1
point de maximum de ψε,α
ε,α
donc H(xε,α , u(xε,α ), ∇ϕ1ε,α (xε,α )) ≤ 0
2(x − yε,α )
+ 2αx
ε2
2(xε,α − yε,α )
donc ∇ϕ1ε (xε,α ) =
+ 2αxε,α = zε,α + 2αxε,α
ε2
2(xε,α − yε,α )
o`
u zε,α =
ε2
Or ∇ϕ1ε,α (x) =

donc H(xε,α , u(xε,α ), zε,α + 2αxε,α ) ≤ 0
2 : Rn −→ R : y 7−→ ψ
2
Soit ψε,α
ε,α (xε,α , y) = −v(y) + ϕε,α (y)
kxε,α − yk2
o`
u ϕ2ε,α (y) = u(xε,α ) −
− α(kxε,α k2 + kyk2 )
2
ε

Or v est sursolution de viscosit´e de (2.9) et ϕ2ε,α ∈ C 1 (Rn ) et yε,α ∈ Rn
2 = v − ϕ2
point de minimum de −ψε,α
ε,α
donc H(yε , v(yε,α ), ∇ϕ2ε,α (yε,α )) ≥ 0
2(xε,α − y)
− 2αy
ε2
2(xε,α − yε,α )
donc ∇ϕ2ε,α (yε,α ) =
− 2αyε,α = zε,α − 2αyε,α
ε2
Or ∇ϕ2ε,α (y) =

42

o`
u zε,α =

2(xε,α − yε,α )
ε2

donc H(yε,α , v(yε,α ), zε,α − 2αyε,α ) ≥ 0
donc H(xε,α , u(xε,α ), zε,α + 2αxε,α ) ≤ 0 ≤ H(yε,α , v(yε,α ), zε,α − 2αyε,α )
c`ad H(xε,α , u(xε,α ), zε,α + 2αxε,α ) ≤ H(yε,α , v(yε,α ), zε,α − 2αyε,α )
donc
H(xε,α , u(xε,α ), zε,α + 2αxε,α ) − H(xε,α , v(yε,α ), zε,α + 2αxε,α )
≤ H(yε,α , v(yε,α ), zε,α − 2αyε,α ) − H(xε,α , v(yε,α ), zε,α + 2αxε,α )
donc
H(xε,α , u(xε,α ), zε,α + 2αxε,α ) − H(xε,α , v(yε,α ), zε,α + 2αxε,α )
≤ H(yε,α , v(yε,α ), zε,α − 2αyε,α ) − H(yε,α , v(yε,α ), zε,α )
+H(yε,α , v(yε,α ), zε,α ) − H(xε,α , v(yε,α ), zε,α )
+H(xε,α , v(yε,α ), zε,α ) − H(xε,α , v(yε,α ), zε,α + 2αxε,α )
c`ad
H(xε,α , u(xε,α ), zε,α + 2αxε,α ) − H(xε,α , v(yε,α ), zε,α + 2αxε,α )
≤ H(yε,α , v(yε,α ), zε,α ) − H(xε,α , v(yε,α ), zε,α )
+H(xε,α , v(yε,α ), zε,α ) − H(xε,α , v(yε,α ), zε,α + 2αxε,α )
+H(yε,α , v(yε,α ), zε,α − 2αyε,α ) − H(yε,α , v(yε,α ), zε,α )
En appliquant (H2) on a :


CR u(xε,α ) − v(yε,α ) ≤ H(xε,α , u(xε,α ), zε,α + 2αxε,α ) − H(xε,α , v(yε,α ), zε,α + 2αxε,α )
En appliquant (H1) on a :


H(yε,α , v(yε,α ), zε,α )−H(xε,α , v(yε,α ), zε,α ) ≤ MR kxε,α −yε,α k(1+kzε,α k)
1
On pose Sε = max(R, )
ε
2(xε,α − yε,α )
zε,α =
ε2
2kxε,α − yε,α k
kzε,α k =
ε2

43

kzε,α k2 =

4kxε,α − yε,α k2
4
4 kxε,α − yε,α k2
= 2 o(1)
=
4
2
2
ε
ε |
ε{z
} ε
h(ε,α)−→0

2
1
1
1
kzε,α k = o(1) = o(1) ≤ < 1+ ≤ Sε pour (ε, α) suffisamment petit.
ε
ε
ε
ε
u(xε,α ) − v(yε,α ) −
u(xε,α ) − v(yε,α ) −
et M > 0

kxε,α − yε,α k2
− α(kxε,α k2 + kyε,α k2 ) = Mε,α ≥ M > 0
ε2
kxε,α − yε,α k2
− α(kxε,α k2 + kyε,α k2 ) ≥ M
ε2

4R = 2R + 2R + 0 ≥ u(xε,α ) − v(yε,α ) − M −

kxε,α − yε,α k2
≥ α(kxε,α k2 + kyε,α k2 )
ε2

α(kxε,α k2 + kyε,α k2 ) ≤ 4R
4α2 (kxε,α k2 + kyε,α k2 ) ≤ 16αR
4α2 kxε,α k2 + 4α2 kyε,α k2 ≤ 16αR
4α2 kxε,α k2 , 4α2 kyε,α k2 ≤ 16αR
1

2αkxε,α k, 2αkyε,α k ≤ 4(αR) 2 et ≤ R ≤ Sε pour α suffisamment petit.
On pose :
nε (t) =

|H(x1 , u1 , z1 ) − H(x2 , u2 , z2 )|

sup
(x1 ,u1 ,z1 ),(x2 ,u2 ,z2 )∈Rn ×[−Sε ,Sε ]×BSε , k(x1 ,u1 ,z1 )−(x2 ,u2 ,z2 )k≤t

=

|H(x1 , u1 , z1 ) − H(x2 , u2 , z2 )|

sup
(x1 ,u1 ,z1 ),(x2 ,u2 ,z2 )∈Rn ×[−Sε ,Sε ]×BSε , k(x1 −x2 ,u1 −u2 ,z1 −z2 )k≤t

=

|H(x1 , u1 , z1 ) − H(x2 , u2 , z2 )|

sup




(x1 ,u1 ,z1 ),(x2 ,u2 ,z2 )∈Rn ×[−Sε ,Sε ]×BSε , max k(x1 −x2 k,ku1 −u2 k,kz1 −z2 )k ≤t

Comme


max kxε,α − xε,α k, kv(yε,α ) − v(yε,α )k, kzε,α − (zε,α + 2αxε,α )k ≤ k2αxε,α k
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
0

0

k2αxε,α k

on a :
H(xε,α , v(yε,α ), zε,α ) − H(yε,α , v(yε,α ), zε,α + 2αxε,α ) ≤ nε (k2αxε,α k)
Comme


max kyε,α − yε,α k, kv(yε,α ) − v(yε,α )k, kzε,α − 2αyε,α − zε,α k ≤ k2αyε,α k
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
0

0

k2αyε,α k

on a :

44

H(yε,α , v(yε,α ), zε,α − 2αyε,α ) − H(yε,α , v(yε,α ), zε,α ) ≤ nε (k2αyε,α k)




CR u(xε,α ) − v(yε,α ) ≤ MR kxε,α − yε,α k(1 + kzε,α k) + nε (k2αxε,α k) + nε (k2αyε,α k)



2(xε,α − yε,α )
k) + nε (k2αxε,α k) + nε (k2αyε,α k)
CR u(xε,α ) − v(yε,α ) ≤ MR kxε,α − yε,α k(1 + k
ε2



kxε,α − yε,α k
CR u(xε,α ) − v(yε,α ) ≤ MR kxε,α − yε,α k(1 + 2
) + nε (k2αxε,α k) + nε (k2αyε,α k)
ε2



kxε,α − yε,α k2
CR u(xε,α ) − v(yε,α ) ≤ MR kxε,α − yε,α k + 2
+ nε (k2αxε,α k) + nε (k2αyε,α k)
ε2
d’apr`es le lemme 2.15
kxε,α − yε,α k −→ 0
kxε,α − yε,α k2
−→ 0
ε2
α(kxε,α k2 + kyε,α k2 ) −→ 0
u(xε,α ) − v(xε,α ) −→ M
et de plus
k2αxε,α k, k2αyε,α k −→ 0
donc
nε (k2αxε,α k), nε (k2αyε,α k) −→ 0
donc si on reprend l’in´egalit´e ci-dessus
et qu’on fait (ε, α) −→ 0 :
on obtient CR M ≤ 0
donc M ≤ 0
Ce qui est absurde
donc M ≤ 0

2.4


esultats d’existence

45

2.4.1

Cas des hamiltoniens coercifs dans Rn

(H6) : ∃M > 0 : H(x, −M, 0) ≤ 0 ≤ H(x, M, 0) dans Rn
H de (2.9) est dit coercif ssi il satisfait (H3)-(H6)

Lemme 2.17 (servant dans la d´emonstration du th´eor`eme 2.22)

Soit S = {v ∈ W 1,∞ (Rn )|v sous-solution de(2.9) et v ∈ [−M, M ] dans Rn }
1) S =
6 ∅


2) (H3) =⇒ ∀u ∈ C 0 (Rn ) solution de (2.9), born´ee dans Rn =⇒ u ∈ W 1,∞ (Rn ) .
De plus v ∈ S : ∃CH,M > 0 : k∇vkL∞ (Rn ) ≤ CH,M

Incompr´ehension dans la premi`ere du 2) :
Normalement u lipschitzienne dans Rn implique que
que u ∈ W 1,∞ (Rn ).
En fait d’apr`es Wikip´edia et une autre source :
u lipschitzienne dans Rn implique u uniform´ement continue donc
continue dans Rn ,
de plus u est diff´erentiable presque partout.

D´emonstration :
1) Soit v = −M dans Rn
v ∈ [−M, M ]
v ∈ C 1 (Rn ) =⇒ v ∈ W 1,∞ (Rn )
∀x ∈ Rn : x point de minimum local de v − φ
∀φ ∈ C 1 (Rn ) : H(x, v(x), ∇φ(x)) = H(x, −M, ∇φ(x)) = H(x, −M, 0)


car ∇ v(x) − φ(x) = 0 et ∇φ(x) = ∇v(x) = ∇(−M ) = 0
Or d’apr`es (H6) : H(x, v(x), ∇φ(x)) = H(x, −M, ∇φ(x)) = H(x, −M, 0) ≤ 0
donc v sous-solution de (2.9)

46


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