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chap1 .pdf



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Aperçu du document


CHAPITRE

1
ACTIVITÉS

Fonctions,
équations,
inéquations
(page 23)

Activité 1

b) C’est une fonction décroissante (lorsque le temps
augmente, la quantité d’eau diminue).

1 a) f(2) < f(5).
f(4,2) > f(1,6).
b) g(1) > g(3,5).
g(2,6) < g(1,9).

2

a) S est une fonction croissante (lorsque le rayon r
augmente, l’aire S augmente).

Activité 2
Pas de corrigé.

PROBLÈME OUVERT
• Piste 1 : Exprimez le volume en fonction de x et de h.
• Piste 2 : Déduisez-en l’expression de h en fonction de x.
• Piste 3 : Exprimez l’aire des parois en fonction de x.
• Piste 4 : Justifiez que l’aire des parois est A(x) = x2 + 16 .
x
• Piste 5 : Programmez la table de valeurs de A pour des
valeurs de x allant de 0 à 10 avec un pas de 0,5.
• Piste 6 : Réduisez le pas.
• Piste 7 : Conjecturez une valeur de x permettant d’utiliser
le minimum de peinture.
Correction : Dans tout ce qui suit x > 0.
Le volume est V = x2h, ce volume vaut 4, donc x2h = 4 et
h = 42 .
x
L’aire des parois latérales est A(x) = x2 + 4xh (le carré
de base et quatre rectangles de dimensions x et h).
Puisque h = 42 , on obtient :
x
A(x) = x2 + 4x × 42 = x2 + 16 .
x
x

10

On représente la courbe de A à l’aide de GeoGebra, par
exemple, et on conjecture que x = 2 (en mètres) est la valeur
de x qui permet d’utiliser le minimum de peinture.
Pour obtenir une solution algébrique, on peut former la
différence A(x) – A(2), puis étudier son signe pour justifier
que A(2) est le minimum de A.
A(x) – A(2) = x2 + 16 – 12
x
3
x

12x
+ 16 .
=
x
Il s’agit donc de déterminer le signe de x3 – 12x + 16
puisque x > 0.
En utilisant le logiciel XCas, on obtient la factorisation
suivante :
x3 – 12x + 16 = (x – 2)2 (x + 4).
Comme x > 0, alors x + 4 > 0 et (x – 2)2 0
et ainsi A(x) – A(2) 0.
Ce qui prouve que A(x) A(2) et x = 2 est bien la valeur
qui minimise la quantité de peinture à utiliser.

Application (page 27)

EXERCICES
1

b) – 2 ∉ ]– ∞ ; – 1[.
3
d) 7 ∉ ]0 ; 7[.

a) – 1 ∈ [– 1 ; 2[.

c) 5,9 ∈ ]5,8 ; + ∞[.

2

1.

Intervalle : ]3 ; + ∞[.

3

2. a) x – 2.

]– ∞ ; – 2]

–2
b) – 1 < x 0

]– 1 ; 0]
–1

0

2

5

c) 2 x 5
d)

[2 ; 5]

1

e)

2

3

3

a)

c)

5

2. f(2t) = 3 × (2t)2 – 2 = 3 × 4t2 – 2 = 12t2 – 2.

7
x ∈ [7 ; + ∞[.

c) x 9.

d) x > 2.
4
]– 3 ; 4[

b)

1
3

1
2

c) ]– ∞ ; + ∞[
d) – ∞ ; 1
2

6

b) f(x) = – 1 a comme solutions – 5 ; ≈ – 2,4.

1. f(– 3) = – 2 ; f(1) ≈ 2,4.

1. f(– 4) ≈ – 1,4 ; f(– 1) ≈ 2,3 ; f(1) = 0.

a) Faux.

d) Vrai.

9

b) Vrai.

c) f(x) = 0 a comme solutions – 2,1 et 4.
2. les antécédents de 3 sont ≈ – 1,5 et ≈ 2.

2. f(– 3) = 0 ; f(0) ≈ 1,1 ; f(2) = – 1.

8

2. a) h(12) = 2 × 122 – 16 × 12 – 168
= 288 – 192 – 168
= – 72.
h(– 6) = 2 × (– 6)2 – 16 × (– 6) – 168
= 2 × 36 + 96 – 168
= 0.

14 1. a) f(x) = 1 a comme solutions – 2 et 3.



2. f(0) ≈ 2,8 ; f(– 1) ≈ 2 ;
f(2) = 2 ; f(– 2) = 0.

7

13 1. h(12) ≈ – 70 ; h(– 6) ≈ 0.

b) Cela confirme la valeur de h(– 6), mais pas h(12). La
lecture graphique manquait de précision.

冥– ∞ ; 13 冥


1
= 1 = 1.
(– 1)2 + 2 1 + 2 3
g(2) = 2 1 = 1 = 1 .
2 +2 4+2 6
1
g(13) =
= 1 = 1.
(13)2 + 2 3 + 2 5
1
= 1 .
2. g(1t) =
(1t)2 + 2
t+2

12 1. g(– 1) =

b) – 1 < x 0.

–3

11 1. f(1) = 3 × 12 – 2 = 1.

]2 ; 3[

a) 7 x 7,5.

a)

冢 冣

f(2) = 3 × 22 – 2 = 10.
f(3) = 3 × 32 – 2 = 25.

4
x ∈ ]– ∞ ; 4[

4

冢 冣

]– ∞ ; 1[

b)

– 10
15
x ∈ ]– 10 ; 15].

2. f(6) = – 3 × 62 + 5 × 6
= – 78.
10 1. f(3) = – 32 + 6 = – 7.
3
6
2
= – 16 – 3 = – 35 .
f(– 4) = – (– 4) +
–4
2
2
2. f(2) = – 22 + 6 = – 4 + 3 = – 1.
2
2
6
1
1
f
=–
+ = – 1 + 6 × 2 = 47 .
2
2
4
4
1
2

c) Faux.

e) Vrai.

1. f(1) = – 3 × 12 + 5 × 1 = 2.
f(– 3) = – 3 × (– 3)2 + 5 × (– 3) = – 3 × 9 – 15
= – 27 – 15 = – 42.
f(103) = – 3 × (103)2 + 5 × 103
= – 3 × 106 + 5 × 103
= – 2 995 × 103.

15 • f(x) = 5
8x + 3 = 5
8x = 2
x= 2 = 1
8 4
5 a pour antécédent 1 par f.
4
• g(x) = 5
– 5x – 7 = 5
– 5x = 12
x = 12 .
–5
5 a pour antécédent – 12 par g.
5

• f(x) = – 2
8x + 3 = – 2
8x = – 5
x = – 5.
8
– 2 a pour antécédent – 5 par f.
8
• g(x) = – 2
– 5x – 7 = – 2
– 5x = 5
x = 5 = – 1.
–5
– 2 a pour antécédent – 1 par g.

Chapitre 1 ● Fonctions, équations, inéquations

11

16 • f(x) = 2

• f(x) = – 3
1
– x–3=2
– 1 x – 3 = –3
5
5
1
– 1x=0
– x=5
5
5
x = 5 × (– 5)
x = 0 × (– 5)
x = – 25.
x = 0.
2 a pour antécédent – 25 par f. – 3 pour antécédent 0 par f.
• g(x) = – 3
3x+5=–3
8
3x=–8
8
x = – 8 × 8 = – 64
3
3

• g(x) = 2
3x+5=2
8
3x=–3
8
x = – 3 × 8 = – 8.
3

– 3 a pour antécédent – 64 par g. 2 a pour antécédent – 8 par g.
3
17 1. a) x = – 5.

2
24 1. f 冢 1 冣 = 冢 1 冣 + 1 – 2 = 1 + 1 – 2 = – 5 = yA, donc

2

A ∈ .

2

2

4

2

4

2. f(1) est-il égal à 0 ?
f(1) = 12 + 1 – 2 = 0. coupe bien l’axe des abscisses au
point d’abscisse 1.

25 1. f(– 5) = 2. 2. f(0) = – 1.
3. f(– 2) = 0.

26 L’ensemble de définition est [– 6 ; 6].
x

–6

–4

4

6

6

4

f
3

–2

27 L’ensemble de définition est ]– 3 ; + ∞[.

b) x ∈ [– 2 ; 2].

x

c) x = 4.

–3

+∞

2
3

2. 0 a pour antécédent ≈ – 4.
f

18 1. Les antécédents de 0 par h sont x ≈ 10 et x ≈ 70.
2. a) On résout (x – 10)(70 – x) = 0.
x – 10 = 0 ou 70 – x = 0
x = 10 ou – x = – 70
x = 10 ou x = 70.
0 a bien deux antécédents par h : 10 et 70.
b) Oui, cela confirme les résultats du 1.

19 1. [– 5 ; 6]

La double-barre indique que f n’est pas définie en – 3.

28 1 → tableau B.
2 → tableau C.
3 → tableau A.
29 a)

x

b)
x

–2

f(x) < 0 ; ensemble de solutions : [– 4 ; – 3[ ∪ ]4 ; 5].

21 f(x) 0 ; ensemble de solutions : [0 ; + ∞[.

冢 冣

12

erreur : 9 > 2
4
et 9 > 1,5
4

9
4

erreur : 5 > 2
2
5
2
2
2

8
26

g

0 f(x) < 10 ; ensemble de solutions : [– 3,2 ; 0[.

f(3) = 2 × 3 – 5 = 6 – 5 = 1 = yB, donc B ∈ .
f 1 = 2 × 1 – 5 = 1 – 5 = – 4 = yC, donc C ∈ .
2
2
2
23 1. f(0) = 0 + 12 = 3 ≠ y0, donc O ∉ .
4
2
2
+
12
16
f(2) =
=
= 4 = yA, donc A ∈ .
4
4
2. L’ordonnée de B est :
2
f(– 4) = (– 4) + 12 = 16 + 12 = 28 = 7.
4
4
4
2
x
+
12
2
= 0 ; x + 12 = 0 × 4 = 0 ;
3. On résout
4
x2 = – 12. Il n’y a pas de solution ; il n’y a pas de point
d’ordonnée 0.

10
1,5

–4

20 f(x) 1 ; ensemble de solutions : [– 2 ; 3].

22 f(– 2) = 2 × (– 2) – 5 = – 4 – 5 = – 9 ≠ yA, donc A ∉ .

5

f (x)

b) 2 solutions.
d) Aucune solution.

3
2

2. a) 3 solutions.
c) 1 solution.

1

3
erreur : 3 > 2

30

t 0

–1

12

16 20 58

200 200

200 200

64

70 72

80

95 100

180

220 220

v
150

135

150

200

31 f = [– 5 ; 4].
4

y

1
–5

O

1

4

x

32 f = ]– ∞ ; 9].
y
1
O 1

33

9

x

2. • Sur [– 6 ; – 4[, g(x) < g(– 4), donc g(x) < 2.
• Sur ]0 ; 7], f(x) < f(0), donc f(x) < 2.
• Sur [– 4 ; 0], le minimum est 2, atteint en – 4 et 0.
Ainsi f(x) 2.
Conclusion : f(x) 2 équivaut à x ∈ [– 4 ; 0].

y
5

–4

1 1
O
–2

de – 4 à 8, donc 0 est atteint. Il est atteint une seule fois car f
est strictement croissante. Donc 0 a un seul antécédent dans
[– 6 ; – 1].
On raisonne de la même façon sur chacun des intervalles
[– 1 ; 2] et [2 ; 7] où les images varient, respectivement, de 8
à – 2 et de – 2 à 1.
Ainsi, 0 a trois antécédents par f.

10
x

34 1. • Maximum 2 atteint en – 2 car le point (– 2 ; 2) est
le plus haut de la courbe.
• Minimum – 4 atteint en – 1 et 3 car les points (– 1 ; – 4) et
(3 ; – 4) sont les plus bas de la courbe.
2. • Maximum – 7 atteint en 0 car A est le point le plus
4
haut de la courbe sur [– 1 ; 0].
• Minimum – 4 atteint en – 1 car (– 1 ; – 4) est le point le
plus bas sur [– 1 ; 0].
35 1. Minimum – 68 : c’est la plus petite des images
atteinte en 25.
Maximum 35 : c’est la plus haute des images atteinte en 0.
2. Minimum – 40 atteint en – 10.
Maximum 35 atteint en 0.
3. a) – 2 ∈ [– 10 ; 0], donc f(– 10) f(– 2) f(0) d’après
le tableau.
Ainsi – 40 f(– 2) 35.
b) 2 ∈ [0 ; 11], donc f(11) f(2) f(0) d’après le tableau.
Ainsi 12 f(2) 35.

36 1. a) 0 atteint en 8.
b) Puisque le maximum est 0, alors pour tout nombre x de
]– ∞ ; 8], f(x) 0 et ainsi f(x) est négatif.
2. a) Si x 22, alors f(x) f(22) d’après le tableau.
Or f(22) = 0 donc f(x) 0 et est donc négatif.
b) 12 atteint en 15, donc pour tout nombre x, f(x) 12.
Comme 12 < 2, alors l’équation f(x) = 2 n’a pas de solution.

37 1. D’après ce tableau, f(4) f(3) f(1), donc
– 1 f(3) 2.
Ainsi f(3) n’est pas nécessairement négatif.
2. f(– 2) = 0, donc la courbe rencontre l’axe des abscisses
en – 2. De plus, sur [1 ; 4], – 1 f(x) 2, donc 0 a un
antécédent, donc la courbe rencontre l’axe des abscisses
entre 1 et 4.

38 1. Sur l’intervalle [– 6 ; – 1], les images augmentent

39 1. 4 est le maximum de f atteint en x = 1, donc 4 a un
seul antécédent : 1.
2. a) 2 ∈ [1 ; 3], donc f(3) f(2) f(1), donc – 1 f(2) 4.
b) – 1 ∈ [– 2 ; 0], donc f(– 2) f(– 1) f(0), donc
– 5 f(– 1) – 1.
3. Non car le maximum sur [– 9 ; – 2] est – 3.
4. Sur les intervalles [– 9 ; 0[ et ]3 ; + ∞[, f(x) < – 1.
Sur l’intervalle [0 ; 3], f(x) – 1.
Donc f(x) – 1 a pour ensemble de solution : [0 ; 3].

40 • A(6 ; – 8) ∈ car 6 ∈ [3 ; + ∞[, donc f(6) f(3),
donc f(6) 0. Or – 8 vérifie cette condition.
• B(0 ; – 2) ∈ car f(0) = – 2.
• C(– 4 ; 7) ∉ à car – 4 ∈ [– 8 ; 0]
donc f(0) f(– 4) f(– 8), d’où – 2 f(– 4) 6.
Or 7 ne vérifie pas cette condition.
41 1. – 6 – 3 < 1 2 et f est strictement croissante sur
[– 6 ; 2] donc f(– 3) < f(1) car f conserve l’ordre sur [– 6 ; 2].
En revanche, 2 < 3,001 < 3,002 10 et f est strictement
décroissante sur [2 ; 10], donc elle change l’ordre et
f(3,001) > f(3,002).
2. f est strictement croissante sur [– 6 ; 2], donc elle
conserve l’ordre. Ainsi si – 6 a < b 2, alors f(a) < f(b).
3. f est strictement décroissante sur [2 ; 10], donc elle
change l’ordre. Ainsi si 2 a < b < 10, alors f(a) > f(b).

42 1. f est strictement croissante sur [1 ; 3] et

冢 冣 冢 冣

1 3 < 9 3, donc f 3 < f 9 .
2 4
2
4
2. f est strictement décroissante sur [– 1 ; 1], donc a < b
implique f(a) > f(b).
3. Sur [– 3 ; 1].

43 a) Faux car f est strictement croissante sur [0 ; 5].
b) Vrai car f est strictement décroissante sur [– 3 ; 0].
c) Vrai car f est strictement croissante sur [– 5 ; – 3], donc
f(– 4) < f(– 3). Or f(– 3) = 5, donc f(– 4) < 5.
d) Vrai car sur [5 ; 10], f(x) f(10) c’est-à-dire f(x) 1,
donc f(x) > 0.
e) Vrai car f 1 < f(2) : f est strictement croissante sur
2
[0 ; 5].

冢 冣

Chapitre 1 ● Fonctions, équations, inéquations

13

Apprendre à chercher (page 41)

EXERCICES

48 1. Il y a trois points d’intersection de coordonnées
(– 2 ; – 18) ; (0 ; 10) et (5 ; 10).

50 1er cas : a) A(x) = (x + 2)2 – 3(x + 1)

2. Les solutions sont – 2 ; 0 et 5.
3

2. a) et b) Ce sont les nombres x tels que :
x ∈ ]– ∞ ; – 2] ∪ [2 ; + ∞[.



2

3. f(– 2) = (– 2) – 5(– 2) + 10 = – 18.
donc f(– 2) = g(– 2).
g(– 2) = – 2(– 2)2 + 10(– 2) + 10 = – 18.
De la même façon, on vérifie que f(0) = g(0) et f(5) = g(5).

49 1. Sur le graphique, ce sont les parties de f en trait
épais.

y

f

x

1

55 Corrigé dans le manuel.

INTERVALLES

56 1.

52 a) 3 ∈ [– 1 ; 5] ∪ [10 ; + ∞[.

– 10
4
2. Pour qu’un produit soit nul, il n’est pas nécessaire que
tous les facteurs soient nuls.
« ab = 0 si, et seulement si, a = 0 ou b = 0 ».

Remarque : 3 ∉ [10 ; + ∞] mais 3 ∈ [– 1 ; 5].
b) – 8 ∉ ]– ∞ ; – 9] ∪ [0 ; 3].
c) 7 ∈ ]0 ; 7[ ∪ [2 ; 20[.
Remarque : 7 ∉ ]0 ; 7[ mais 7 ∈ [2 ; 20[.
–5

x 8
x > –5

54 a)
b)
c)
d)

14

0

– 1,9

Attention : dans ce développement,
(2x) × (2x) = 2 × 2 × x × x
= 4x2.

Entraînement (page 43)

EXERCICES

–5 x<2

b) B(x) = (2x – 5)(2x + 1)
= 4x2 + 2x – 10x – 5
= 4x2 – 8x – 5.

c) A(x) et B(x) ont la même forme développée, donc
A(x) = B(x) pour tout nombre x.

g

53

b) D’après le a), A(x) = x2 + x + 1 = B(x) donc A(x) = B(x)
pour tout nombre x.
2e cas :
a) A(x) = 4(x2 – 2x + 1) – 9
= 4x2 – 8x + 4 – 9
= 4x2 – 8x – 5.

1
O

= x2 + 4x + 4 – (3x + 3)
= x2 + 4x + 4 – 3x – 3
= x2 + x + 1.

2
8

–5

5
3,5

0

5

–2

2

3. a) n = 6 ; 12 ; 300 ; 9 000 ; 72.
[– 5 ; 2[
]– ∞ ; 8]
x ∈ ]– 5 ; + ∞[
y ∈ ]5 ; + ∞[

y ∈ ]– 1,9 ; 3,5]
y ∈ ]– ∞ ; 0] ∪ ]5 ; + ∞[
y ∈ ]– ∞ ; – 2] ∪ ]2 ; + ∞[

b) n = 5 non : ce n’est ni pair, ni multiple de 3.
Toutes les autres valeurs conviennent.

57 1. a) Vrai.
Tout nombre supérieur à 6,7 est nécessairement supérieur
à 6.
b) Faux.
Exemple : – 2,5 ∈ ]– 3 ; 4[ mais – 2,5 ∉ [– 2 ; 5].
2. Oui.
3. ]1 ; 2] ; [– 3 ; 2[ ; ]– ∞ ; 0[.

NOTION DE FONCTION
58 Corrigé dans le manuel.

2. k(x) 0 lorsque x ∈ ]– ∞ ; – 1] ∪ [3 ; + ∞[.

59 1. f(3 + 15) = 3(3 + 15) –1
3 + 15 – 3
9 + 315 – 1
=
15
8 + 315
.
=
15

3. L’ensemble de définition de f est ]– ∞ ; – 1] ∪ [3 ; + ∞[.

66 1 → B ; 2 → A ; 3 → C.
67 1. = aire carré + aire triangle

base × hauteur
= coté × coté +
2
a×h
=a×a+
2
1
= a2 + ah.
2
1
2
2. = 4 + × 4h = 16 + 2h.
2
f(h) = 16 + 2h.
h 7 et h 0, donc l’ensemble de définition de f est [0 ; 7].
1
3. h = 6 ; = a2 + × a × 6
2
= a2 + 3a.
g(a) = a2 + 3a
a 0 et a 5, donc l’ensemble de définition de g est [0 ; 5].

3× 7 –1
7–1
7
3
f
=
=
7
3
7 – 9
–3
3
3 3
–3
6
=
=6×
= – 9.
2
2

3
2. g(– 2) = – (– 2)2 + 4 × (– 2) – 3
= – 4 – 8 – 3 = – 15.
g(1 – 12) = – (1 – 12)2 + 4(1 – 12) – 3
= – (1 + 2 – 212) + 4 – 412 – 3
= – 3 + 212 + 4 – 412 – 3
= – 212 – 2.

冢 冣

60 2. f(– 2,8) ≈ 1,44.
f(– 1,6) ≈ 0,97.

COURBES REPRÉSENTATIVES

3. • f(– 3) = 1,5, donc a = – 3.
• f(– 1,4) = 0,875, donc b = – 1,4.

68 a) f(– 2) = 5.
b) f(0) = – 1.

61 f(26) ≈ 5,7.

c) f(0) = 0.

f(31) ≈ 6,1.
f(41) ≈ 6,9.
f(51) ≈ 7,5.

d) f(– 2) = f(3) = 0.

69 a) La courbe coupe l’axe des ordonnées au point
d’ordonnée 5.

62 1. f(x) = 3x2.
1
pour x < 3.
x–3
1
3. f(x) = + 1 pour x ≠ 0.
x
63 1. a) 8x – 4 = 0 équivaut à 8x = 4 donc à x = 4 = 1 .
8 2
4
donc
b) 8x – 4 0 équivaut à 8x 4 équivaut à x
8
1
àx .
2
1
1
2. a) Ensemble de définition de g : – ∞ ;
;+∞ .

2
2
1
;+∞ .
b) Ensemble de définition de h :
2
64 1. • Pour x = – 3, on obtient 7.
Pour x = 1, on obtient 2.
Pour x = 4, on obtient 17.
2. f(x) =





冤 冥





2. Oui car alors la 1re condition (x < – 2) de l’algorithme est
vérifiée et – 2*x + 1 signifie – 2x + 1.
3. C’est la 3e condition qui est vérifiée donc f(x) = 1x + 15.

65 1. a) Les antécédents de 0 sont – 1 et 3.
b) k(– 1) = (– 1)2 – 2 × (– 1) – 3
=1+2–3
= 0.
k(3) = 32 – 2 × 3 – 3
=9–6–3
= 0.

b) La courbe coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 5.
c) La courbe passe par les points de coordonnées (3 ; – 1)
et (7 ; – 1).

70 1. 冢0 ; – 1 冣 ; 冢1 ; 5 冣 ; (5 ; 17).

2
–3
1
, donc M ∈ .
2
3 × 15 + 2 47
f(15) =
=
≠ 4,27, donc N ∉ .
15 – 4
11
3× 1 +2
1+2
3
1
3
=
=
f
=
1 –4
3
1 – 12 – 11
3
3 3
3
–3 –9
=3×
=
.
11 11
P ∈ .
2. f(0) = –

冢 冣

71 1 → g.

2 → f.
3 → h.

72 2. Oui.

1
1
3. f(0) = – 03 + 7 × 0 +
=–
0–6
6
f(0) ≠ 0, donc 0 ∉ .

73 Saisir :
a ; b : coordonnées du point
Traitement :
y ← f(a)
Chapitre 1 ● Fonctions, équations, inéquations

15

Si b = y
Afficher : « le point est sur la courbe »
Sinon afficher : « le point n’est pas sur la courbe »
FinSi
Fin

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS

• Lorsque le pourcentage p est inférieur à 10 %, l’âge de
l’organisme est supérieur à 18 500 ans.

SENS DE VARIATION –
MINIMUM – MAXIMUM
81 2. Elle semble strictement décroissante.
3. On constate qu’elle n’est pas strictement décroissante
puisque la « courbe monte » sur [– 0,2 ; 0].

74 Corrigé dans le manuel.
75 a) x ∈ [– 5 ; – 4[ ∪ ]0 ; 3].

82 1. a) f(– 6) < f(– 4) car f est strictement croissante sur
[– 7 ; – 3].

b) x = – 4 ou x = 0.
c) x ∈ ]– 4 ; 0[.

76 2. a) x = 0 ou x = 3 (équation g(x) = 1).

b) f(– 2) > f(– 1) car f est strictement décroissante sur [– 3 ; 1].
c) f(4) > f(5) car f est strictement décroissante sur [3 ; 8].

b) x = 0 ou x = 2 ou x = 4.

d) f(– 4) > f(2) car f(– 4) > 1 et f(2) < 0.

c) x ∈ ]0 ; 2[ ∪ ]4 ; + ∞[.

2. a) Le maximum de f sur [– 7 ; 8] est 5 atteint en x = – 3.

77 1. b) Les antécédents de 0 sont – 2 ; – 1 et 2.
2. a) (x2 – 4)(x + 1) = x2 × x + x2 × 1 – 4 × x – 4
= x3 + x2 – 4x – 4
= f(x).
b) f(x) = 0 ⇔ (x2 – 4)(x + 1) = 0
⇔ (x – 2)(x + 2)(x + 1) = 0
x–2=0
x=2
ou
ou

x+2=0

x=–2
ou
ou
x+1=0
x=–1
Cela confirme la réponse au 1. b).





3. On résume le signe dans un tableau.
x –∞
f(x)



–2

–1

2

0 + 0 – 0

+∞
+

78 1. Pour x = 10, l’offre est supérieure à la demande.
2. Le marché est équilibré pour x = 5.
3. Il faut choisir x ∈ [1 ; 5[.

79 1. Pour une abscisse égale à 100, l’ordonnée est
environ 900 sur la courbe du coût de production et 1 000
sur la courbe de la recette.
Le bénéfice réalisé pour la vente de 100 outils est donc
1 000 – 900, soit 100 euros.
2. L’ensemble des solutions est [0 ; 20] ∪ [120 ; 140].
3. Cela revient à résoudre R(x) f(x) et on obtient
l’ensemble précédent.

80 1. Si p = 30, alors l’âge est approximativement de
10 000 ans.
2. • Lorsque le pourcentage p est compris entre 30 et 40 %,
l’âge de l’organisme est approximativement compris entre
7 500 et 10 000 ans.

16

b) Le maximum de f sur [1 ; 8] est 0 atteint en x = 3.
c) Le minimum de f sur [– 7 ; 8] est – 4 atteint en x = 8.

83 1. Parce que la courbe passe par le point de
coordonnées (1 980 ; 800).
En 1980, il y a eu 800 000 naissances en France.
2. Non, la courbe « ne monte » pas tout le temps ; il y a des
intervalles sur lesquels elle « descend ».
3. a)

x 1912
780
f

1916

1920
840

380

Ici, les valeurs sont très approximatives car la lecture de ce
graphique n’est pas précise. L’objectif n’est pas la précision
mais la comparaison des données.
Le minimum vaut ≈ 380 et le maximum vaut ≈ 840.
b) f(x) < 500 équivaut à x ∈ ]1914 ; 1919[.
c) Cela s’explique par la Première Guerre mondiale.
4. Parce que la courbe se situe autour de l’horizontale
passant par la graduation 750 de l’axe des ordonnées.

84 1. Environ 2 jours.
2. Sensiblement 3,15 m le 24 /01 vers 15 h 00.
3. Saint-Jean-de-Côle (l’eau commence à monter sur la
courbe bleue avant la courbe rouge).
Presque 12 h 00.

85 Corrigé dans le manuel.
86 1.
x –8 –1 0

0,5

3
g

1

2

4
0

3

0
–1

4

0

2.

4

y

On réalise la 3e injection au bout de 15 heures, et la 4e
injection au bout de 23 heures.

89 Partie A
1. Oui le point de coordonées (2 ; 11,31) est plus bas de la
courbe, donc le minimum est 11,31.
1
–8

O 1 2

2. C’est le minimum précédent.
x

4

Partie B
D

1.

Choisissez les unités à votre convenance.

87 a) y 3 ; b) z > 4.
c) f est une fonction telle qu’il existe un x de [0 ; 1] tel que
f(x) ≠ 2.
d) f et g sont deux fonctions telles qu’il existe x de [1 ; 2]
tel que f(x) g(x).

AVEC LES TICE
88 2. La concentration diminue de 20 % par heure ;
autrement dit, elle est multipliée par 1 –
3. Vue écran.

20
= 0,8.
100

A
B

I

E

C

A’
La symétrie axiale conserve les longueurs donc AE = A’E,
ainsi P = DE + EA = DE + EA’.
2. DE + EA’ est minimale lorsque E ∈ [DA’], donc lorsque
E = I.
IB IA’ BA’
3. (DC) // (BA’) donc d’après Thalès
=
=
.
IC ID DC
IB BA’ BA 2 1
Ainsi,
=
=
= = , c’est-à-dire IC = 3IB.
IC
DC DC 6 3
Or I ∈ [BC] et BC = 8, donc IC = 8 – IB.
On en déduit que 8 – IB = 3IB donc que IB = 2 et s = 2.
Cette valeur est donc sensiblement égale à celle de la
conjecture.

PRENDRE TOUTES LES INITIATIVES

4. À l’aide de la vue d’écran précédente, on lit que la
concentration a diminué de moitié au bout de 4 heures.
5. a) À l’aide de la vue d’écran précédente, on lit que la
concentration est inférieure à 1 mg/L au bout de 7 heures et
alors, on réalise la 2e injection.
b)

90 Notons la largeur et L la longueur en mètres de ce
champ. La 1re phrase se traduit par + L = 130.
Après modification du champ, le demi-périmètre est :
– 3 + L + 5 et l’aire est ( – 3)(L + 5).
Or ( – 3)(L + 5) = L + 5 – 3L – 15.
La différence entre les deux aires est donc 5 – 3L – 15.
Or + L = 130 donc = 130 – L et ainsi :
5 – 3L – 15 = 5(130 – L) – 3L – 15
= 650 – 8L – 15
= 650 – (8L + 15).
Or L > 0 puisque c’est une longueur, donc 8L + 15 > 0 et
650 – (8L + 15) < 650.
Ainsi, la différence entre les deux aires est strictement
inférieure à 650, donc il a tort.
91 Le périmètre de ABCD est 8r puisque c’est un carré
de côté le diamètre du demi-cercle.
Celui du demi-cercle est πr, donc celui de la porte est
8r + πr.
Les contraintes imposées se traduisent par 6 < 8r + πr 7
6
7
<r
.
c’est-à-dire 6 < (8 + π) r 7 ou encore
8+π
8+π
6
7
L’ensemble de définition de y est donc
;
.
8+π 8+π



Chapitre 1 ● Fonctions, équations, inéquations



17

Distance de Thouars (en km)

92 L’idée est de représenter graphiquement la distance
qui les sépare de Thouars au cours du temps.

15

10
6
3
t (en heures)
9h 9h10 9h30

10h

10h30

Ils se rencontrent à 10 h à 5 km de Thouars.

EXERCICES

Approfondissement (page 50)

93 1. On applique la formule avec V = 50 :
• f = 0,8 pour la route sèche, on obtient DA ≈ 26,2 m ;
• f = 0,4 pour la route mouillée, on obtient DA ≈ 38,5 m.
2. On procède comme au 1. avec V = 90. On obtient :
• sur route sèche : DA ≈ 64,86 m ;
• sur route mouillée : DA ≈ 104,72 m.
3. a)

95 1. On obtient une courbe dont l’allure est la suivante.
t (en s)

4
3
2
1
O

p (en mètres)
19

43

76

2. On se déplace sur la courbe :
a) Pour une ordonnée égale à 2, on a p ≈ 19 m.
b) Pour une ordonnée égale à 3, on a p ≈ 43 m.
c) Pour une ordonnée comprise entre 3 et 4, on a
43 p 76.
b) Sur route sèche ≈ 58 m.
Sur route mouillée ≈ 76 m.
4. Plus la vitesse est élevée, plus l’écart entre les deux
courbes est important. Donc, sur route mouillée, la distance
de freinage augmente plus vite que sur route sèche lorsque
la vitesse augmente.

96 1. • f strictement croissante sur I signifie : pour tous
u et v de I, u < v implique f(u) < f(v).
En prenant la négation, on obtient :
• f non strictement croissante sur I signifie : il existe u et v
de I tels que u < v et f(u) f(v).

94 1. 1 700 × 1,20 = 2 040. Son chiffre d’affaires est
2 040 €.

2. De même, on obtient :
f non strictement décroissante sur I signifie : il existe u et v
de I tels que u < v et f(u) f(v).

2. Quantité récoltée : 1 700 + 30 × 75 = 3 950 kg.
Après 30 jours, le prix au kg est 1,20 – 0,03 × 30 = 0,3 €.
Son chiffre d’affaires est alors 3 950 × 0,3 = 1 185 €.

3. f(c) est le maximum de f sur J signifie : pour tout x de J,
f(x) f(c).
La négation est alors : il existe x de J tel que f(x) > f(c).

3. a) Q(n) = 1 700 + 75n.
b) P(n) = 1,2 – 0,03n.
c) R(n) = Q(n) × P(n) = (1 700 + 75n) × (1,2 – 0,03n)
= 2 040 – 51n + 90n – 2,25n2
= – 2,25n2 + 39n + 2 040.
5. La valeur de n est 9 et alors le chiffre d’affaires est
2 208,8 €.

18

97 Pour i de 0 jusque 100 faire
x reçoit – 2 + i × 1
25
3
y reçoit x – x + 1
2
Placer le point (x ; y).

98 1. a) L’inégalité triangulaire AB + AC BC entraîne

8 + 8 x soit x 16. Or x 0 puisque c’est une longueur.
Ainsi x ∈ [0 ; 16].
1
b) L’aire de ABC est BC × AH.
2
• Si x = 4, dans le triangle AHC rectangle en H, on obtient
AB2 = AH2 + BH2, soit 82 = AH2 + 22 c’est-à-dire AH2 = 60,
1
donc f(4) = × 4 × 460 = 2460 = 2915 × 4 = 2 × 2415
2
= 4415.
1
2
• Si x = 8, on obtient AH = 48, donc f(8) = × 8 × 448
2
= 493 × 16
= 4 × 413
= 1613.
2. a) Si BC mesure x, on obtient de même :
x 2
x2
= 64 – .
AH2 = 64 –
2
4
1
x2
Ainsi, f(x) = × x × 64 –
2
4
2
1
256 – x 1 9256 – x2 1 9256 – x2
= x
= x
= x
14
2
2
2
2
4
x
= 9256 – x2.
4
X
b) Paramétrage Xmin = 0, Xmax = 16 ; Y1 = × 9256 – X2
4
Ymin = 0, Ymax = 40.
On obtient la courbe suivante :

冢 冣

9

9

Dans ce carré, le segment le plus long est l’une des
diagonales de mesure 412.
La longueur du chemin augmente de A jusqu’à C, puis
diminue jusqu’à D.
2.

x 0

4

8

12

16

20

413
f

412
0

412

4

4

Dans le cube, le segment le plus long est l’une des
diagonales de mesure 413.
La longueur du chemin augmente de A jusqu’à G, puis
diminue jusqu’à E.
Remarque : on peut rappeler les résultats suivants
concernant les mesures des diagonales dans un carré et
dans un carré et dans un cube.
a
a

–2
a√

a
a

a

a

–3
a√

a

a

100 À l’aller, il parcourt AB à 25 km · h– 1. Le temps t1 en
AB
.
25
Au retour, il parcourt AB à x km · h– 1. Le temps t2 en heure
AB
mis pour cela est t2 =
.
x
Sur l’ensemble du trajet, il parcourt 2AB et il met pour
cela (t1 + t2) heure(s). Sa vitesse moyenne f(x) est donc
2AB
f(x) =
AB + AB
25
x
2
2
=
=
.
1 + 1
x + 25
25
x
25x
2 × 25x
Ainsi f(x) =
x + 25
50x
=
x + 25
x
= 50 ×
.
x + 25
Or x > 0 donc x + 25 > x > 0
x
<1
donc 0 <
x + 25
x
et ainsi 50 ×
< 50.
x + 25
En conclusion, f(x) < 50.
heure mis pour cela est t1 =

c) Le maximum semble être proche de 32 atteint en x0 ≈ 11,2.
1
1
3. a) Aire ABC = AC × BI = × 8BI = 4BI.
2
2
b) C’est lorsque BI est un rayon, donc lorsque I = A auquel
cas B est sur tel que BAC est rectangle en C.
c) Il est rectangle par choix de B et isocèle par hypothèse.
Alors d’après Pythagore BC2 = AB2 + AC2 = 82 + 82 = 128
donc BC = 5128 = x0.
Or 5128 = 864 × 2 = 812 donc r0 = 812 ≈ 11,31.

PRENDRE TOUTES LES INITIATIVES
99 1. x 0

4

8

12

412
f

4
0

4

Chapitre 1 ● Fonctions, équations, inéquations

19


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