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CHAPITRE

11

Les vecteurs

ACTIVITÉS

(page 225)

Activité 1

Activité 2

1 L’image de B est G et celle de E est J.

2 a) v (6, 2).

2 a) Oui.

b) Les coordonnées de v sont le double des coordonnées
de u. 3 × 2 = 1 × 6 : 3 6 est un tableau de proportionnalité.
12
b)
Dire
que
les
coordonnées de u et v sont propor3
tionnelles équivaut à dire que C appartient à la droite (AB).

b) ADIF est un parallélogramme et [AI] et [DF] ont le
même milieu.
c) RAF = RBG = RCH = AEJ = ADI.

冢 冣

PROBLÈME OUVERT
Avec l’outil vecteur :
Dans le repère (A ; RAB, TAC), les points de la figure ont pour
coordonnées :
A(0 ; 0), B(1 ; 0), C(0 ; 1), R 0 ; – 1 , P 1 ; 0
3
4
et Q 4 ; 3 .
7 7







EXERCICES
1

冣 冢



冣 冢



2

1. RAE et RDC ; 2. RDF et RFC. 3. RDC et REA.

3

1.

ROA = EBP = RCO ; RAB = RMD = RDC = RCN ; RAC = RBN.

5

c) RAF = RDC ; RAE = RFB.

u

J

v
w
N

A

u

v

w

C

B

–v

M

A

D

114



4

b) RED est opposé à RCB ; et RBE est opposé à RAF.

b) RDC = AAJ. Le quadrilatère
DCJA est un parallélogramme.



Application (page 231)

a) RAE = EEF ; ECF = RDA.

a) RAC = RBD donc ABDC est un
parallélogramme. Il en résulte
que RDC = RBA. Or A est le milieu
de [BJ], donc RBA = AAJ.
Ainsi RDC = AAJ.



D’où les coordonnées des vecteurs RRP 1 ; 1 et
4 3
RPQ 4 – 1 ; 3 = 9 ; 3 .
7 4 7
28 7
1 × 3 = 9 × 1 : les vecteurs ZRP et ZPQ sont colinéaires ;
4 7 28 3
les points P, Q et R sont alignés.

P

u
B

6

17 Le vecteur RAB a pour coordonnées (2 ; 6), RAC (7 ; 0),
RCB (– 5 ; 6), RBD (5 ; – 2) RDC (0 ; – 4).

F
A

E

RAC a pour coordonnées (– 1 – (– 5) ; 4 – 2) = (4 ; 2).
YAM a pour coordonnées (8 – 3 × 4 ; – 2 – 3 × 2) = (– 4 ; -8).

C

B
D

7

1. RAC – RAO = RAC + ROA = ROA + RAC = ROC.





2. eu = RAB + RBC + RCB + RBD
RAC

RCD

=

+

eu = RMA + RBM + RDM + RMC = RBM + RMA + RDM + RMC
= RBA + RDC = RDC – RAB.
Or ABCD est un parallélogramme, donc RAB = RDC, soit
eu = e0.
a) RAB = – 3RAE.
3
d) RCD = – RAB.
2

10
11

b) RAD =

5
RAE.
2

1
a) RAC = – RAB.
2

3
b) RBC = – RAB.
2

K

I B

A

c) REC = RAB.

c) RCB = – 3RAC.
J

12

M
D

19 1. RAB (2 – 3 ; 0 + 1)
= (– 1 ; 1).
RAC (1 – 3 ; 4 + 1) = (– 2 ; 5).
YAM a pour coordonnées
(2 × (– 1) – (– 2) ; 2 × 1 – 5)
= (0 ; – 3).



P

O N

A

–4

2
2
N 5 + 1 ; 3 + 6 soit 3 ; 9 .
2
2
2







M

2



2. RBC (1 – (– 1) ; 6 – 0) d’où RBC (2 ; 6).
YMN 3 – 2 ; 9 – 3 , soit YMN (1 ; 3) et 2 YMN (2 ; 6).
2 2
Les vecteurs RBC et 2 RMN ont des coordonnées égales : ils
sont égaux.





冦 3 – y = 3y + 3

– 3 - x = 3 (x - 5)

soit

冦y = 0 .
x=3

M a pour coordonnées (3 ; 0).
2.
A

B

13 RAB (–2 ; 2), RAC (7 ; – 8), RBC (9 ; – 10) et RCA (– 7 ; 8).

3
J 1

14 Notons (x ; y) les coordonnées de B : RAB a pour

–3

coordonnées (x + 1 ; y – 3).
x+1=3
x=2
RAB = eu donc
soit
et B (2 ; 1).
y – 3 = –2
y=1

O
–1

M
3

1
I

5
B



15 1. a) RAB (7 ; – 5) et RAC (12 ; – 3).
b) RAB + RAC a pour coordonnées (19 ; – 8).
2. ABDC parallélogramme ⇔ RAD = RAB + RAC, donc RAD a
pour coordonnées (19 ; – 8).
Notons (x ; y) les coordonnées de D : RAD (x + 5 ; y – 3),
x + 5 = 19
x = 14
soit
donc
y – 3 = –8
y = –5
et D a pour coordonnées (14 ; – 5).



B 3

20 1. M 冢 5 – 1 ; 3 + 0 冣 soit 冢2 ; 3 冣.

RMA = 3 RBM ⇔



O

1
I

21 1. RMA (– 3 – x ; 3 – y) ; YBM (x – 5 ; y + 1).

C

A

J 1

Il en résulte :
x–3=0
x=3
soit
.
y + 1 = –3
y = –4
Les coordonnées de M sont
(3 ; – 4).



C

4

2. YAM (x – 3 ; y + 1) = (0 ; – 3) .

= RAD.

8

9

18 RAB a pour coordonnées (3 – (– 5) ; 0 – 2) = (8 ; – 2).

22 1. RNA (1 – x ; 2 – y) ; RNB (4 – x ; 3 – y).
3RNA – 2RNB = e0 ⇔

3(1 – x) – 2(4 – x) = 0

x = –5

.

N a pour coordonnées (– 5 ; 0).
2.

3
2



16 1. RAB (3 ; – 5) et RDC (3 ; – 5).

冦 3(2 – y) – 2(3 – y) = 0 soit 冦 y = 0

N
–5

J 1
O

A
1
I

B

4

2. RAB = RDC, ABCD est un parallélogramme.
Chapitre 11 ● Les vecteurs

115

23 1. RMA (2 – x ; –1 – y) ; RMB (– 4 – x ; 3 – y) ;
YCM (x – 7 ; y - 5).
(2 – x) + (– 4 – x) = 2(x – 7)
RMA + YMB = 2 YCM ⇔
(– 1 – y) + (3 – y) = 2(y – 5)
x=3
.
soit
y=3
M a pour coordonnées (3 ; 3).
RNA (2 – x ; –1 – y) ; RNB (– 4 – x ; 3 – y) ; RNC (7 – x ; 5 – y).
(2 – x) = (– 4 – x) – (7 – x)
x = 13
soit
.
RNA = RNB – RNC ⇔
(– 1 – y) = (3 – y) – (5 – y)
y=1
N a pour coordonnées (13 ; 1).









2. Figure à exploiter (en particulier RNA = RNB – RNC d’où
RAN = RBC).
C

5
B

M
J 11
O I

–5

N
7

A

13

24 1. RMA (5 – x ; 1 – y) ;
YMB (– 2 – x ; 1 – y) ;
YMC (0 – x ; 4 – y).
(5 – x) + (– 2 – x) + (– x) = 0
RMA + RMB + RMC = e0 ⇔
(1 – y) + (1 – y) + (4 – y) = 0
x=1
.
soit
y=2
M a pour coordonnées (1 ; 2).





2. Remarque : M est le centre de gravité du triangle ABC.
C4

J

–2

O

6
.
5
– x × x = 1 × 3 ; – x2 = 3.
Pas de solution, les vecteurs ne peuvent pas être colinéaires.
soit x =

27 1. YMN a pour coordonnées (7 – 4 ; – 3 + 1) soit
YMN (3 ; – 2).
RMP a pour coordonnées (– 5 – 4 ; 5 + 1) soit RMP (– 9 ; 6).
3 × 6 = 18 = – 2 × (– 9). Les coordonnées des vecteurs YMN
et RMP sont proportionnelles : ils sont colinéaires et les
points M, N et P sont alignés.
Remarque : RMP = – 3YMN.
2. ÚMN (– 3 + 2 ; 7 – 3) = (–1 ; 4) ;
YMP (– 5 + 2 ; 14 – 3) = (– 3 ; 11).
–1 × 11 ≠ – 3 × 4. Les coordonnées des vecteurs YMN et RMP
ne sont pas proportionnelles : ils ne sont pas colinéaires et
les points M, N et P ne sont pas alignés.

28 1. RAB (5 ; – 2) ; RAC (15 ; – 6). RAC = 3RAB. Les vecteurs

RAB et RAC sont colinéaires et les points A, B et C sont
alignés.





2. RAD 10 ; – 9 ; – 9 × 5 ≠ – 2 × 10 : RAB et RAD ne sont pas
2
2
colinéaires, D n’appartient pas à la droite (AB).

29 YMN (– 5 ; 8) ; RPQ (– 8 ; 13) ; – 5 × 13 ≠ – 8 × 8 : (MN)
et (PQ) ne sont pas parallèles.
ERS (– 13 ; 21) ; – 5 × 21 ≠ –13 × 8 : (MN) et (RS) ne sont
pas parallèles.
– 8 × 21 ≠ –13 × 13 : (PQ) et (RS) ne sont pas parallèles.
30 1. RMI (– 4 ; 4) ; RMJ (– 5 ; 5) ; EMI = 4 RMJ. Les vecteurs

5
EMI et RMJ sont colinéaires : M appartient à la droite (IJ).

M
B

26 a) eu et ev sont colinéaires si, et seulement si, 2 × 3 = 5x

1

A

1
I

5

2. oIP (– 4 ; 3) ; – 4 × 1 ≠ –1 × 3. oIP et uIJ ne sont pas colinéaires :
P n’appartient pas à la droite (IJ).

31 1. RAC (2 ; – 4) ; RBD (3 ; – 6) : – 6 × 2 = – 4 × 3 :
(AC) // (BD).

25 1. RAB (8 ; 1) et RDC (8 ; 1) : RAB = RDC, le quadrilatère
ABCD est un parallélogramme.
2. RMA (– 2 – x ; –1 – y) ; YMB (6 – x ; – y) ; YMC (8 – x ; 5 – y) ;
YMD (–x ; 4 – y).
RMA + RMB + RMC + RMD = e0
(– 2 – x) + (6 – x) + (8 – x) + (– x) = 0
x=3

soit
.
(–1 – y) + (– y) + (5 – y) + (4 – y) = 0
y=2
M a pour coordonnées (3 ; 2).



2. RAB (9 ; 4) ; RCD (10 ; 2) : 9 × 2 ≠ 4 × 10 : (AB) et (CD)
sont sécantes.
3. ABDC est un trapèze.

32

B

4



J 1

3. M est le centre du parallélogramme.
C

5
4D

A

116

J 1
O

O

A
5

C
M

–2

–4

1
I

1
I

–3 D
6
B

RAB (– 9 ; 3) et RCD (3 ; –1) sont colinéaires car RAB = – 3RCD.
RBC (1 ; – 6) et RDA (5 ; 4) ne sont pas colinéaire car
1 × 4 ≠ – 6 × 5 : (BC) et (DA) sont sécantes.
ABCD est un trapèze.

33 RAB (– 3 ; 3). Les coordonnées de P sont (0 ; p), d’où
RAP a pour coordonnées (– 4 ; p).
P est un point de (AB) : les vecteurs RAB et RAP sont
colinéaires et donc – 3 × p = 3 × (– 4) et p = 4.

34 RAB (2 ; 5). YAM a pour coordonnées (m + 2 ; 1).
M est un point de (AB) : les vecteurs RAB et YAM sont
colinéaires.
8
Donc 2 × 1 = 5 ≠ (m + 2) soit 2 = 5m + 12 et m = – .
5

Apprendre à chercher (page 239)

EXERCICES
39 1. a) YMC = RMA + RAC.

41 A Sans repère

b) RMA = 2RBC + 3(RMA + RAC)
= 2RBC + 3RMA + 3RAC.

A

1.

E

3
R C.
soit – 2 RMA = 2RBC + 3RAC soit YAM = RBC + A
2
c)
A

B

C

B

C

M
F

40

A
K
B

L



冣 冢

I
C



1. a) I 0 ; 1 ; K 3 ; 0 .
2
5
b) RBL (x – 1 ; y) ; 2RCB (2 ; – 2).
x – 1 = 2 ; y = – 2 donc L(3 ; – 2).
2. a) ZIK 3 ; – 1 ; AIL 3 ; – 5 .
5
2
2
3
5
1
b) × – – – (3) = – 3 + 3 = 0 donc les points I, K,
5
2
2
2 2
L sont alignés.



冣 冢
冢 冣 冢 冣

EXERCICES



2. a) ZCF = ZCA + ZAF et ZBE = ZBA + ZAE.
1
b) ZCF = – RAC + 3ZAB et ZBE = RAC – RAB.
3
3. a) – 3RBE = – RAC + 3RAB = ZCF.
b) Les vecteurs RBE et ZCF sont colinéaires, donc les droites
(CF) et (BE) sont parallèles.
B Avec un repère





1
1
RAC donc E 0 ; .
3
3
1
et RCF(3 ; – 1).
2. a) RBE a pour coordonnées – 1 ;
3
Il en résulte que RCF = – 3RBE.
1. RAF = 3RAB donc F(3 ; 0), RAE =





b) RCF et RBE sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.

Utiliser GeoGebra (page 240)

42 2. a) L’égalité résulte de la relation de Chasles.
b) RBE = RBF + RFG + RGE.
c) RFH = RBE + RCD = (RBF + RFG + RGE) + (RCF+ RFG + RGD)
= 2 RFG + RCF + RBF + RGE + RGD.
F étant le milieu de [BC] : RCF + RBF = e0.
De même, G étant le milieu de [DE] : RGE + RGD = e0.
Il en résulte RFH = 2RFG.
d) Les vecteurs RFH et RFG sont colinéaires, les points F, G et

H sont alignés et de plus, G est le milieu du segment [FH].
3. b) D(d ; 0) et E(0 ; e).
c) F 1 + 0 ; 0 + 1 = 1 ; 1 ; G d + 0 ; 0 + e = d ; e .
2
2
2 2
2
2
2 2
1
1
d
e
d) RFG
– ; – ; RBE (–1 ; e) et RCD (d ; –1).
2 2 2 2



冣 冢



冣 冢

冣 冢





e) RFH (d – 1 ; e – 1). On retrouve bien RFH = 2 RFG.
f) G est le milieu de [FH].
Chapitre 11 ● Les vecteurs

117

Entraînement (page 241)

EXERCICES

VECTEURS ET SOMME DE VECTEURS

b) ROB – ROC = ROB + RCO = RCO + ROB = RCB donc b est vraie.
c) ROC + RBA = RBA + RAO = RBO = ROD donc c est vraie.

43

d) ROB + RBA = ROA ≠ ROC donc d est fausse.

u

u
v

u

D

B

C

A

D

E
–v

v

u

v

47 1. a) RAG = yJI = RFD.
E
–v D

u

–v
Figure 1

Figure 2

e0

e0

donc e est vraie.

A C v
B

E



v C

A

B

u

u

v



e) ROB + ROC + ROD + ROA = ROB + ROD + ROC + ROA = e0
u

Figure 3

b) pJA = pIG = RCD.

2. a) RGA + ZGI = ZGJ.

b) RGK + RGH = ZGJ.

c) EFE + RCB = RFG.

d) RAB + RBC + RCE = RAE.

48 eu = RAB + RBC + RCA = RAC + RCA = RAA = e0 ;
ev = RAB + RCA + RBC + RAB = RCA + RAB + RAB + RBC,
soit ev = RCB + RAC = RAC + RCB = RAB ;
uw = RMA + RBM + RBA = RBM + RMA + RBA = 2RBA.

49 RAB + RDC + RCA = RCA + RAB + RDC = RCB + RDC

44 1.

= RDC + RCB = RDB.

D

50 a) RBA + RDC = RBA + RAB = e0.
b) RAB + RCB = RAB + RDA = RDA + RAB = RDB.

A

N

c) RDC + RBC = RDC + RAD = RAD + RDC = RAC.
C

B

51 1. ev = – 1 eu. 2. ev = – 1 eu. 3. ev = 4 eu. 4. ev = – 3 eu
2

M
Avec la règle du parallélogramme, on obtient M. On
construit D tel que RAD = – RAC, puis N tel que ABND soit
un parallélogramme.
2. On construit D et E tels que RAD = RBA et RAE = RCA.
P est tel que ADPE est un parallélogramme.
• RAQ = RAC – RAB = RAC + RBA = RBA + RAC = RBC.
Donc Q est l’image de A dans la translation de vecteur RBC.
P

D

E

PRODUIT D’UN VECTEUR
PAR UN NOMBRE

52

9

3

7

C
E

B

A

D

1. RAC = 1 A
R B, RAC et RAB sont de même sens et AC = 2 cm.
3
RBD = 1 RAB, RBD et RAB de même sens donc BD = 3 cm.
2
RAE = – 1 RAB donc RAE et RAB sont de sens contraires et
2
AE = 3 cm
2. RAD = 3 RAB ; RBE = – 3 RAB ; RCD = – 7 RBE.
2
2
9

53 Corrigé dans le manuel.
54
Q

A

C
E

D
A

B

C

45 Corrigé dans le manuel.
46 a) O est le milieu de [AC] donc ROA + ROC = e0 donc a
est vraie.

118

B

1. On a placé D et E sur la figure (la droite (ED) est parallèle
à (AB)).
2. RDE = RDC + RCE = – 2RAB – 3RAB = – 5RAB.

55 1. Voir figure.

w

1. RAB + RAD = RAC donc RAE = 2RAC et C est le milieu de
[AE].

v

2) A, O, C sont alignés, donc RAO et RAE sont colinéaires.

F

u

O 2u Z

–2
t

t

3. RAE = 4RAO.

– 3w

–2

w

G

C –4u

B

–2v

E
2w

D
2. et = – (eu + 2ev) = – eu – 2ev.
uw = – 2eu + ev.
3. a) ROG = ROA + RAB + RBC + RCD + RDE + ZEF + ZFG.
ROG = 2eu – 2uw – 4eu – 2ev + 2uw – 2et – 3uw.
ROG = – 2eu – 2ev – 3 uw – 2et.
Or et = – eu – 2ev et uw = – 2uu + ev
donc ROG = – 2eu – 2ev + 6 eu – 3ev + 2eu + 4ev, soit OG = 6eu – ev.

60 Corrigé dans le manuel.
61 1.

Les propositions P et Q sont
N équivalentes.
(YMN = 2RMI équivaut à ZIN + EIM = e0).
M

I

2) Si RMA et RMB sont opposées, M est le milieu de [AB]
donc MA = MB soit P ⇒ Q.
M
Mais si MA = MB, les vecteurs RMA et
RMB ne sont pas nécessairement opposés.
3. Si RAB = 3RCD, alors (AB) // (CD) donc
A
B
ABDC est un trapèze, soit P ⇒ Q.
Si AB = 3CD et si (AB) // (CD), ABCD est un trapèze.
4. Les propositions sont équivalentes.

b) Ce résultat correspond au dessin.

56

VECTEURS ET COORDONNÉES
62 Corrigé dans le manuel.

M
u

63 Corrigé dans le manuel.

v

A

I
1
—u
2

64 1. M, N et P sont alignés : YMN et RMP sont colinéaires.
2. Les coordonnées de P sont (0 ; p).
YMN (5 ; 1), RMP (3 ; p). La colinéarité se traduit par l’égalité
3
5p = 3, d’où p = .
5
3. RMP = 4 RMN.

v

2
–—
3 v

N
P

RAN = 1 ue – 2 ev = ZAI + RAP, donc d’après la règle du
2
3
parallélogramme : AINP est parallélogramme.

57 1. RIM + ZIN = 0.
2.

A
3. RAB = 3RDC.

M
B
D 2 C

YAM = + 3RMB.

65 1. A, B et C sont alignés.
2. Notons y l’ordonnée de C. RAB (– 3 ; – 2) et RAC (3 ; y – 5).
La colinéarité se traduit par l’égalité – 3(y – 5) = – 2 × 3
soit y = 7.

C

7
A

6

B

5

58 RAB = 2 RAC donc RAB et RAC sont colinéaires et A, B,
C alignés.

3

A

B

59

C

C
O

A

D

3
J 1

E
D

B

A

–1 O

1
I 2

5

D

3. A est le milieu de [BC] car RAC = – RAB.

66 RAB (2 ; – 2) et YAM (x – 2 ; y – 3) sont colinéaires
équivaut à 2 × (y – 3) = – 2 × (x – 2) soit 2y – 6 = – 2x + 4
ou encore 2x + 2y – 10 = 0 et x + y – 5 = 0.
Chapitre 11 ● Les vecteurs

119

67 Un seul alignement : RAB (6 ; – 3) et RAC (10 ; – 5) sont
colinéaires : A, B et C sont alignés.
RBD 1 ; 13 et EFB 1 ; 6 ne sont pas colinéaires.
2 2
2
RBE (4 ; – 9) et RBG (– 2 ; – 5) ne sont pas colinéaires.
RAD 13 ; 7 et RAG (4 ; 2) ne sont pas colinéaires.
2 2











2. RCE (x ; y – 1) ; REA (– x ; – y).
x = 1 (– x)
x=0
1
3
3
RCE = REA ⇔

3 d’où E 0 ; .
y
=
1
3
4
y – 1 = (– y)
4
3
3. RBC (– 1 ; 1) ; RDE – 3 ; 3 . RDE = 3 RBC. Les vecteurs RBC et
4 4
4
RDE sont colinéaires, les droites (BC) et (DE) sont parallèles.



A

B

J 1

C
–3

D

F

O





冢 冣



2. RCD (8 ; – 5) et RCE (– 13 ; 8) ne sont pas colinéaires car
8 × 8 ≠ – 5 × (–13) : C, D et E ne sont pas alignés.





76 RAB (2 ; – 6), RDC (5 – x ; 3 – y).
RAB = RDC ⇔

冦 – 6 = 3 – y ⇔ 冦 y = 9 d’où D (3 ; 9).
2=5–x

2. Notons (x ; y) les coordonnées du point M.
x –3 = – 6
x = –3

et M (– 3 ; 2).
YAM (x – 3 ; y + 1) donc
y+1=3
y=2



72 1. RAB (5 ; 2) et RMC (5 – x ; – 3 – y).
ABCM parallélogramme ⇔ RAB = RMC
5=5–x
x=0

⇔ M (0 ; – 5).

2 = –3 – y
y = –5
2. M a pour coordonnées (x ; 0). YCM (x – 5 ; 3).
RAB et RCM colinéaires ⇔ 5 × 3 = 2 × (x – 5) ⇔ 15 = 2x – 10
⇔ x = 25 ⇔ M 25 ; 0 .
2
2









78 1. et 2.
5
B
–8

J 11
O I

A
4

13



71 Corrigé dans le manuel.



x=3

77 1. RAB (– 4 ; 3), RAC (– 1 ; 3), YAM (– 6 ; 3).

x=5



2

3. M est le centre du parallélogramme donc le milieu de
[AC] soit M 5 ; – 3 .
2

C



2

2. RAB = RDC donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

b) Notons (x ; y) les coordonnées de F.
2 = x + (–1) et 2 = y + 3 d’où F(5 ; 1).
2
2
c) RAG (x + 1 ; y – 3) ; RAD (4 ; 1).
x+1= 3 ×4
x=5
3
9
2
RAG = RAD ⇔

9 d’où G 5 ; .
y
=
3
2
2
y–3=
2
2
2. Ayant la même abscisse (5), E, F et G sont alignés.

120



冦 y – 3 = 3 × (– 2) ⇔ 冦 y = – 3 d’où E (5 ; – 3).





75 1. RAB (– 9 ; 7), RDC (– 9 ; 7), RAD (– 2 ; – 9) et RBC(– 2 ; – 9).

70 1. a) RAE (x + 1 ; y – 3) ; RAB (2 ; – 2).
x+1=3×2







69 1. C (13 ; 5).

RAE = 3 RAB ⇔



et RBC + RBA – 7 ; – 13 .
2

4 5

On peut conjecturer les alignements de A, B et C d’une
part, et de A, D et E d’autre part.
RAB (– 4 ; – 3) ; RAC – 6 ; – 9 ; – 4 × – 9 = 18 et – 3 × (– 6) = 18.
2
2
Les vecteurs RAB et RAC sont colinéaires, ce qui confirme
l’alignement de A, B et C.
RAD (1 ; – 2) ; RAE (2 ; – 4). RAE = 2 RAD : les vecteurs RAD et
RAE sont colinéaires, ce qui confirme l’alignement de A, D
et E. Plus précisément, D est le milieu de [AE]. Reste à
vérifier B, F et D ne sont pas alignés.
RBD (5 ; 1) et EBF 2 ; 1 ne sont pas colinéaires car 5 × 1 ≠ 1 × 2.
2
2





74 RAB (3 ; 2), RAC 冢– 1 ; – 5 冣, RBC冢– 4 ; – 9 冣, RBA(– 3 ; – 2)

E

1
I



4

68

3



73 1. A (0 ; 0) ; B (1 ; 0) ; C (0 ; 1) ; D 冢 3 ; 0冣.



5

3. RBM (x – 2 ; y – 4), RCB (– 3 ; 7).
x – 2 = –3
x = –1
M = SB(C) ⇔ YBM = RCB ⇔

y–4=7
y = 11
⇔ M (– 1 ; 11).

–9

M

3. RAB (– 6 ; – 1) ; RAC (– 7 ; 3) ; YAM (9 ; – 11).
Notons (x ; y) les coordonnées du point M.
YAM (x – 4 ; y – 2). Il résulte de l’unicité des coordonnées :
x–4=9
x = 13
, soit
.
y – 2 = – 11
y = –9
M a pour coordonnées (13 ; – 9).





79 1. a) K 冢 5 ; 7 冣.
2 2

b) RAG = 2 A
R K.
3









c) RAK 9 ; 13 d’où RAG 3 ; 13 . Notons (x ; y) les coor2 2
3
données du point G.
RAG (x + 2 ; y + 3). Il résulte de l’unicité des coordonnées :
x+2=3
x=1
, soit
. G a pour coordonnées 1 ; 4 .
13
3
y+3=
y= 4
3
3
2. RGA – 3 ; – 13 , RGB 4 ; – 4 et RGC – 1 ; 17
3
3
3
et RGA + RGB + RGC = e0.





























AIE a pour coordonnées x – 1 ; y et AID – 1 ; 1
2
2
donc x – 1 = 1 – 1 et y = 1 , donc EAE a pour coordonnées
2 3 2
3
1 ; 1 . Or EAC a pour coordonnées (1 ; 1), d’où EAC = 3EAE
3 3
et les points A, E, C sont alignés.



冢 冣



85 On peut choisir le repère (A ; EAB, EAD).
F

80 Seuls, eu et uw sont colinéaires (uw = – 2 uu).
81 a) 3 × 2 = – 1 × k ⇔ k = – 6.

b) – 2 × k = 5 × 3 ⇔ k = – 15 .
2
4
c) – 2 × 0 = 0 × k ; vrai pour tout nombre k.

D

C

82 1. a) a = xB – xA ; b = yB – yA.
E

b) c = xC – xA ; d = yC – yA.
2. RAB et RAC colinéaires équivaut à a × d = b × c ou à
ad – bc = 0.
3. a reçoit xB – xA ; b reçoit yB – yA ; c reçoit xC – xA ; d reçoit
yC – yA.
Si a × d = b × c alors… ou Si a × d – b × c = 0 alors…

CHOIX D’UN REPÈRE
83 On choisit le repère (O ; AOI ; AOJ).

B



G



I
1
A a pour coordonnées ; 0 ; B 0 ; 1 et K (1 ; 1).
2
3
On note (x ; y) les coordonnées de G.
Donc RAG a pour coordonnées x – 1 ; y et RAB – 1 ; 1 .
2
2 3
1
3
1
3
1
1
3
Soit x – =
– et y = × , donc x = –
= 1 et
2 5 2
5 3
2 10 5
y= 1.
5
ROG a pour coordonnées 1 ; 1 et ROK (1 ; 1) donc ROK = 5ROG
5 5
et les points O, K, G sont alignés.



冣 冢





























88 Choisissons le repère (O ; ZOI, ZOJ).
D







84 On choisit le repère (A ; RAB, RAD).
D

C



M

B

I a pour coordonnées 1 ; 0 ; D(0 ; 1) ; C(1 ; 1).
2
Notons (x ; y) les coordonnées de E.

J

O
I

A

B









M a pour coordonnés – 1 ; 0 et N 0 ; – 1 .
4
3
C a pour coordonnées (– 1 ; 1) ; D (– 1 ; – 1) ; B (1 ; 1).
Donc RCM a pour coordonnées 3 ; – 1 et RCN 1 ; – 4 .
4
3
1. Les vecteurs YCM et RCN sont colinéaires car
3 × – 4 – (– 1)(1) = – 1 + 1 = 0, donc C, M, N sont alignés.
4
3
2. YDM a pour coordonnées 3 ; 1 et RBN – 1 ; – 4 .
4
3
Les vecteurs YDM et RBN sont colinéaires car
3 – 4 – (1)(– 1) = 0 donc les droites (DM) et (BN) sont
4 3
parallèles.









冢 冣



E
I

C
N

冢 冣





87 Corrigé dans le manuel.
A

A



B a pour coordonnée (1 ; 0) donc E – 1 ; 0 ; D(0 ; 1) et
2
F(1 ; 3).
Donc RED 1 ; 1 et AEF 3 ; 3 donc E
Z F = 3ZED et les points
2
2
E, D, F sont alignés.

冢 冣

K

O

B

86 Choisissons le repère (B ; ZBA ; ZBC).
Le point A a pour coordonnées (1 ; 0) ; C(0 ; 1) donc K milieu
de [AC] a pour coordonnées 1 ; 1 . Il en résulte que I a
2 2
1
1
pour coordonnées
; . De plus J a pour coordonnées
4 4
0 ; 1 . Donc ZAI a pour coordonnées – 3 ; 1 et uIJ – 1 ; 1 ,
3
4 4
4 12
soit ZAI = 3uIJ, donc les points A, I, J sont alignés.

4. A, B et C ne sont pas alignés.

J

A







冢 冣

89 Corrigé dans le manuel.
Chapitre 11 ● Les vecteurs

121

90 1. On construit E tel que RAE = 3RAB et F tel que

RAF = – 2RAC donc RAD = RAE + RAF (règle du parallélogramme).
F

b) RMA – RMC = RMA + RCM = RCA
et RMB – RMC = RMB + RCM = RCB
donc eu = RCA + RCB vecteur indépendant de M.

94 a) Il semble que la droite (MN) passe par un point
fixe.
A
D

b) Le rapport

B

AC
semble égale à 0,75.
AB

2. a) • 4RAC = 3RAB donc 4RAC = 3RAC + 3RCB,
soit – 4RAC + 3 RAC + 3 RCB = e0 donc RCA + 3RCB = e0.
• RMN = RMA + 3RMB
= RMC + RCA + 3RMC + 3RCB
= 4RMC + RCA + 3 RCB.

C

E
2. a) B(1 ; 0) ; C(0 ; 1) ; E(3 ; 0) ; F(0 ; – 2) donc D(3 ; – 2).

b) Or RCA + 3 RCB = e0 donc RMN = 4RMC et ces vecteurs sont
colinéaires donc la droite (MN) passe par le point fixe C.

b) Ainsi RBD(2 ; – 2) et RBC(– 1 ; 1) donc RBD = – 2RBC et B,
C, D sont alignés.

91 1. Voir figure.




冣 冢




2. a) M 1 ; 0 et N 0 ; 1 .
M
3
3
1
1
b) YMN – ; et RBC(– 1 ; 1) donc
3 3
RBC = 3YMN et les droites (BC) et B
(MN) sont parallèles.

92 1re méthode
E

I

D

G

J

PRENDRE TOUTES LES INITIATIVES

A

95 On construit S l’image de O dans la translation de

N

vecteur eu : ROS = eu.

A

C



1. a) C (1 ; 1) ; E (– 1 ; 1) ; I – 1 ; 1 .
2
2
1
b) RAG = ZAI. Or AAI – ; 1 donc RAG – 1 ; 2 , soit G a
3
2
3 3
1
2
pour coordonnées – ; .
3 3
2. REG 2 ; – 1 ; REB(2 ; – 1). Il résulte que REB = 3REG.
3 3
Les points E, G, B sont alignés.















e

2 méthode
1. a) RED = RDC et RDC = RAB donc RED = RAB.
b) RED = RAB équivaut à EDBA est un parallélogramme.
2. a) Les diagonales du parallélogramme EDBA se coupent
en leur milieu J.
b) (EJ) est une médiane du triangle AED, donc E, G, J
d’une part et E, J, B d’autre part sont alignés. Il en résulte
que E, G, B sont alignés.

AVEC LES TICE
93 1. En déplaçant M, il semble que le vecteur eu reste
indépendant de M.
2. a) eu = RMA + RMB – RMC – RMC
= (RMA – RMC) + (RMB – RMC).

122

S
B

B



u
u

O

A



d1

C

d2
Puis on trace par S les parallèles à d1 et d2 qui coupent
respectivement d2 en B et d1 en A.
D’après la règle du paralèlogramme ROA + ROB = ROS = eu.

96 Choisissons le repère (A ; RAB, RAC).





D 0 ; 2 ; RBF = 3 RBD ; RBE = 1 RBC.
3
7
3
Or RBD a pour coordonnées – 1 ; 2 et RBC (– 1 ; 1).
3
3
Donc RBF a pour coordonnées – ; 2
7 7
et ZBE – 1 ; 1 .
3 3
Notions (xF ; yF) les coordonnées de F et (xE ; yE) celles de E.
xF – xB= – 3 et yF – yB = 2 soit xF = – 3 + 1 = 4 et yF = 2 .
7
7
7
7
7
1
1
2
1
xE = – xB = – et yE – yB = soit xE = et yE = .
3
3
3
3
2
1
Il résulte que RAE a pour coordonnées ;
3 3
4
2
et RAF ; .
7 7
Ces vecteurs sont colinéaires car 2 × 2 – 1 × 4 = 0 et les
3 7 3 7
points A, E, F sont alignés.





















Approfondissement (page 246)

EXERCICES
97 A. 1.

100 1. a) RAB (9 ; 1) et RCD (– 8 ; 3) ne sont pas colinéaires

A

car 9 × 3 ≠ 1 × (– 8).

M

b) RAD (– 1 ; – 4) et RBC (– 2 ; – 8) sont colinéaires car
RBC = 2 RAD. Les côtés [AD] et [BC] sont parallèles.

D

B

E

I

c) ABCD est un quadrilatère non croisé ayant deux côtés
parallèles : c’est un trapèze.

C

2. Il semble exister une seule position de M répondant au
problème posé.
AM
⯝ 0,33.
AB
B. 1. Les vecteurs RAM et RAB sont colinéaires. Il existe donc
λ tel que RAM = λ RAB.
Comme M ∈ [AB] alors λ ∈ [0 ; 1].
AD AM
=
=λ.
AC AB
Donc AD = λ AC. De plus RAD et RAC sont de même sens
donc RAD = λ RAC.
2. a) D’après Thalès

2. RAB (3 ; –1) et RCD (– 9 ; 3) sont colinéaires car
RCD = – 3 RAB.
RAD (– 5 ; – 1) et RBC (1 ; – 3) ne sont pas colinéaires car
(– 5) × (– 3) ≠ 1 × (–1).
Le quadrilatère non croisé ABCD est un trapèze.
3. Deux relations sont à vérifier. On doit répondre
positivement à une seule des deux.
4. Avec Algobox, après avoir déclaré les variables xA, xB,
yA, yB, xC, yC, xD, yD, a, b, c, d, e, f, g, h :

b) RCE = RDM
=R DA + RAM
= – λ RAC + λ RAB
= λ (RAB + RCA)
= λ RCB.
3. a) A (0 ; 0) ; B(1 ; 0) ; C(0 ; 1) ; M(λ ; 0) ; D(0 ; λ).
b) I milieu de [BC] a pour coordonnées 1 ; 1 .
2 2
RCE a pour coordonnée (xE ; yE – 1) et RCB(1 ; – 1). De plus
RCE = λRCB donc xE = λ et yE – 1 = – λ, soit E (λ ; 1 – λ).
ZAI 1 ; 1 et RDE (λ ; 1 – 2λ).
2 2
c) (AI) et (DE) parallèles équivaut à RAI et RDE colinéaires.
1 (1 – 2λ) – 1 × λ = 0 ; 1 – λ – 1 λ = 0 ; 3 λ = 1 et λ = 1 .
2
2
2
2
2
2
3
1
Le résultat est conforme à la conjecture ≈ 0,33.
3
1
1
98 I a pour corrdonnées ; 0 et J ; 1 donc yIJ 1 ; 1 .
4
2
4
1
1
1
RAD(0 ; 1) ; RAB(1 ; 0) soit RAB ; 0 donc yIJ = RAD + RAB.
4
4
4











冣 冢
冢 冣







99 1. Voir la figure
D

C

F

E

A



冣 冢

B



2. E 1 ; 0 ; F 0 ; 1 .
4
4
Donc ZEF a pour coordonnées – 1 ; 1 et RAC(– 1 ; 0) donc
4 4
RAC = 4 ZEF.
Il en résulte que les droites (AC) et (EF) sont parallèles.





101 1. I冢 1 ; 0冣 ; C(0 ; 1)
2





donc M a pour coordonnées 1 ; 1 .
4 2
2. a) La droite (AM) a pour équation y = 2x et la droite
(BC) a pour équation y = – x + 1.
Chapitre 11 ● Les vecteurs

123

b) N est l’intersection des droites y = 2x et y = – x + 1 donc
2x = – x + 1 et x = 1 .
3
y = 2 donc N a pour coordonnées 1 ; 2 .
3
3 3
1
Donc RCN a pour coordonnées ; – 1 et RCB(1 ; – 1).
3 3
c) Il résulte de la question précédente que RCB = 3RCN ou
RCN = 1 RCB.
3





N





A

M

102 1.
E

C

B

B
H
C

D

• 2 RNA = RNA + RAB + RAC
soit RNA = RAB + RAC donc
RAN = – (RAB + RAC) = – RAD.

A
D

107 1. Voir figure.
A

2. a) RAB + RAC = RAE donc RAD = – RAE.
b) RDA = RAE = 2 RAH.
1013
Or AH =
= 513
2
donc AD = 1013 cm.

N

M

C

B

103 1. RMA + RMB = RMC. Or I est le milieu de [MC] donc

R C
2. a) RAN = 3 A
4

2. A’ est le milieu de [BC],
donc RGB + RGC = 2RGA’.
3. a) On sait que AG = 2 AA’ ou GA = 2GA’. Les vecteurs
3
RGA et RGA’ sont de sens contraires donc RGA = – 2RGA’.

b) RMN = RMA + RAN
= 3 RBA + 3 RAC
4
4
= 3 (RBA + RAC)
4
= 3 RBC.
4
Il en résulte que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

RMA + RMB = 2RMI.

b) Il en résulte que RGB + RGC = – RGA
soit RGA + RGB + RGC = e0.

104 1. RMN = RMA + RAN = RAN – RAM = 1 RAC – 1 RAB

2
2
1
1
1
R C.
= (RAC – RAB) = (RBA + RAC) = B
2
2
2
2. a) On trace [BD]. Dans le triangle BAD, yIJ = 1 RBD. De
2
même dans le triangle BCD, RLK = 1 RBD. Il en résulte que
2
yIJ = RLK.

108 1. Voir figure

D

A

E

M
C

B
F

b) IJKL est donc un parallélogramme.

105 1. AEI + AEF = REH.
2. AEI + RGF = AFE + AEI = AFI.

2. RMD + RME + RMF = RMA + RBC + RMB + RCA + RMC + RAB
=M
R A+M
R B+M
R C + (RBC + C
R A+A
R B).
Or RBC + RCA + RAB = e0 d’où le résultat.

3. AIH + AJC = AIH + AHJ = uIJ.

106 1. • RMA + 2 RMA + 2 RAB = 2 RAC donc
3 RMA = 2(RAC – RAB) = 2(RBA + RAC) = 2 RBC
soit RAM = – 2 RBC.
3

124

PRENDRE TOUTES LES INITIATIVES
109 RAK + RBI + RCJ = 1 (RAB + RBC + RCA] = e0.

2
RAI + RBJ + RCK = RAB + RBI + RBC + RCJ + RCA + RAK
= RAB + RBC + RCA + RBI + RCJ + RAK = e0 d’où l’égalité.



5. RBH + REG + AJF = RBH + RHC + RCG = RBG.



4. AFJ – AEI = AFJ + RHF = AHJ.

e0

e0

110

A

F

B

REF force du nageur.
RFG force du courant donc REG donne la direction et le sens
du déplacement.
Ainsi le nageur doit partir de B.
G

E

Chapitre 11 ● Les vecteurs

125


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