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Aperçu texte


b) Le rectangle AMPN a pour dimensions x et 4 – x.
Ainsi f (x) = x(4 – x) = – x2 + 4x.
Cette expression est du type ax2 + bx + c avec a = –1, b = 1
et c = 0 donc f est un polynôme du 2nd degré .

c) Graphiquement, on conjecture que les solutions de
l’équation f (x) = 0 sont x = 4 et x = 7.
Vérifions par le calcul si ces valeurs conviennent :
f (4) = 42 – 11 × 4 + 28 = 0 ; f (7) = 72 – 11 × 7 + 28 = 0.
Les nombres 4 et 7 de l’intervalle de définition [0 ;11] sont
solutions de l’équation f (x) = 0, donc ce sont les solutions
du problème.

51 1. a) Le nombre x = AM varie entre 0 et 4, donc
l’ensemble de définition de f est l’intervalle [0 ; 4].

EXERCICES
2. Conjectures
a) a < 0 et c = 4.

b) a = – 0,2. Ainsi f (x) = – 0,2x(x – 8) + 4.
c) La condition de sécurité semble remplie. Le maximum
de f ne dépasse pas 8.
Méthode expérimentale
Tracer la droite d’équation y = 8, puis examiner si la
trajectoire parabolique est toujours au-dessous de cette
droite.
3. Démonstration
a) A(0 ; 4) est sur la trajectoire donc f (0) = 4.
Ainsi c = 4.

2

4

4
0

0

b) On conclut que l’aire du rectangle AMPN est maximale
lorsque x = 2, c'est-à-dire lorsque M est au milieu du côté
[AB]. Cette aire maximale vaut 4 cm2.

b) B(10 ; 0) est sur la trajectoire donc f (10) = 0.
D’où 10a(10 – 8) + 4 = 0 soit 20a + 4 = 0 donc a = – 0,2.
c) Ainsi, la trajectoire a pour équation :
y = – 0,2x(x – 8) + 4
y = – 0,2x2 + 1,6x + 4.
d) Cette expression est du type ax2 + bx + c avec a = – 0,2,
b = 1,6 et c = 4.
Comme a < 0, la parabole est tournée vers le bas. Le sommet
S a pour abscisse xs = – b = – 1,6 = 4.
2(– 0,2)
2a
Son ordonnée est ys = – 0,2 × 42 + 1,6 × 4 + 4 = 7,2.
Ainsi S(4 ; 7,2).
L’obus atteint la hauteur maximale de 720 m, donc la
condition de sécurité est remplie.
Ces résultats sont en accord avec l’expérimentation.

C(x) = 10x2 – 16x + 1.

57 a) Faux (P = 8 cm).

53 a) Vrai.
b) Faux. La réponse exacte est 2n2.
c) Faux. La réponse exacte est (n – 1)2.
d) Faux. La réponse exacte est (3n)2.
B(x) = 6x2 – 9x – 11 ;

2

C(x) = 6x – 17x + 12.

55 A(t) = 7t2 – 3t + 3 ;

f

0

Entraînement (page 81)

CALCUL LITTÉRAL

54 A(x) = x2 – 8x + 6 ;

x

Utiliser GeoGebra (page 80)

52 1. Réalisation de la figure avec GeoGebra.

EXERCICES

2. a) Comme a < 0, f est représentée par une partie de
parabole tournée vers le bas. L’extremum de f est obtenu
pour x = – b = – 4 = 2.
2(– 1)
2a
Tableau de variation

B(t) = 16t2 – 2t – 9 ;

b) Vrai (Ꮽ’ = 16 – x(4 – x) = 16 – 4x + x2 cm2).
5
49
cm2).
c) Vrai (si x = , alors Ꮽ’ =
2
4
58 Les aires sont exprimées en cm2.
1. a) Aire du carré rouge : (4 – 2x)2.
b) Aire du domaine constitué des cinq carrés :
Ꮽ = 4x2 + (4 – 2x)2.

C(t) = 19t – 25t + 10.

2. a) Aire d’un des rectangles : x(4 – 2x).

56 A(x) = 13x2 – 4x – 16 ; B(x) = 3x2 – 20x – 7 ;

b) Aire du domaine constitué des quatre rectangles :
Ꮾ = 4x(4 – 2x).

2

34