chap3.pdf
Aperçu texte
3. L’aire du domaine colorié est aussi la différence entre
l’aire du grand carré et celle du domaine constitué des
quatre rectangles : Ꮽ = 16 – Ꮾ.
D’où pour tout x de [0 ; 2] :
4x2 + (4 – 2x)2 = 16 – 4x(4 –2x).
Note : on peut aussi vérifier cette égalité en développant
chacun des membres.
59 1. Programme de calcul :
x
ajouter 3
x+3
élever
au carré
(x + 3)2 +
multiplier
par – 1
– (x + 3)2
Ainsi, on obtient en sortie : –(x + 3)2.
2. L’expression – x2 – 9 est définie par le programme :
x
x2
– x2
– x2 – 9
élever
au carré
multiplier
par – 1
ajouter – 9
L’expression – x2 + 3 est définie par le programme :
x
x2
– x2
– x2 + 3
élever
au carré
multiplier
par – 1
ajouter 3
60 1. Programme de calcul :
x
élever
au carré
x2
– x2
multiplier
par – 1
ajouter 2
2. L’expression (– x + 2)2 est définie par le programme :
x
–x
–x + 2
(– x + 2)2
ajouter 2
élever
au carré
L’expression – (x 2 + 2) est définie par le programme :
x
x2
x2 + 2
– (x2 + 2)
élever
au carré
ajouter 2
multiplier
par – 1
61 A(x) = x(3x – 8) ;
B(x) = 5x(5x – 1) ;
D(x) = 5x2(x – 2).
C(x) = 2x(1 – x) ;
62 A(x) = (x – 5)2 ;
B(x) = (3x + 1)2
D(x) = (7x – 4)(7x + 4).
2
C(x) = (6x + 5) ;
63 A(t) = (t + 1)(2t – 3) ;
C(t) = (3t + 5)(6t – 1) ;
ajouter – 1
Programme P2 :
x
x+4
ajouter 4
x
B(t) = (t – 4)(3t – 1) ;
D(t) = (5t – 1)(– 2t –1).
65 A(x) = (5x –1)(5x + 1) ;
B(x) = (3x + 2)(1 – 3x) ;
C(x) = (2 – x)(2x + 4) = 2(x + 2)(2 – x) ; D(x) = (x +2)(x – 1).
66 On développe les expressions a) et c) :
(x – 3)(x + 5) = x2 + 5x – 3x – 15 = x2 + 2x – 15 ;
(x + 1)2 – 16 = x2 + 2x + 1 – 16 = x2 + 2x – 15.
Les trois formes correspondent bien à une même expression.
Note : on peut aussi factoriser l’expression c) écrite sous
forme canonique et retrouver l’expression du a).
67 Corrigé dans le manuel.
68 On développe les expressions b) et c) :
(2x – 1)(x + 2) = 2x2 + 4x – x – 2 = 2x2 + 3x – 2 ;
2
2 x + 3 – 25 = 2 x2 + 3 x + 9 – 25 = 2x2 + 3x – 2.
4
8
2
16
8
Ainsi, les trois formes correspondent bien à une même
expression.
冣
冢
x+2
ajouter 2
(x – 1)2
élever
au carré
冧
ajouter – 9
(x – 1)2 – 9
(x + 4)(x + 2)
calculer le produit
2. Comparaison de P1 et P2
Entrée : x = – 2 ; sortie P1 : 0 ; sortie P2 : 0.
Entrée : x = 1 ; sortie P1 : – 9 ; sortie P2 : 15.
3. Par factorisation :
(x – 1)2 – 9 = (x – 1 – 3)(x – 1 + 3) = (x – 4)(x + 2).
D’où la modification du programme P2 :
x
x–4
ajouter – 4
x
x+2
ajouter 2
x
ajouter – 2
冣
x–2
Programme P2 :
x
– 4x
multiplier
par – 4
x
冧
calculer le produit
(x – 4)(x + 2)
(x – 2)2
élever
au carré
ajouter 1
– 4x + 1
x2
élever
au carré
ajouter 5
冧
5 + (x – 2)2
calculer
la somme
x2 – 4x + 1
2. Comparaison de P1 et P2
Entrée : x = – 2 ; sortie P1 : 21 ; sortie P2 : 13.
Entrée : x = 1 ; sortie P1 : 6 ; sortie P2 : – 2.
3. Par développement :
5 + (x – 2)2 = 5 + x2 – 4x + 4 = x2 – 4x + 9.
D’où la modification du programme P2 :
– 4x
– 4x + 9
x
multiplier
par – 4
x
élever
au carré
B(t) = (7t + 9)(– t – 3) ;
64 A(t) = 7t (– t + 2) ;
C(t) = (t + 1)(4t – 4) = 4(t – 1)(t + 1) ;
D(t) = 4t(2t + 1).
冢
x–1
70 1. Programme P1 :
– x2 + 2
Ainsi, on obtient en sortie : –x2 + 2.
multiplier
par – 1
69 1. Programme P1 :
x
冧
ajouter 9
x2
calculer
la somme
x2 – 4x + 9
COMPARAISON
71 a) 4 ⭐ x2 ⭐ 25 ; b)
72 a)
1
1
< x2 ⭐ ; c) 0 ⭐ x2 ⭐ 5.
9
4
1
⭐ x2 ⭐ 4 ; b) 0 ⭐ x2 ⭐ 9 ; c) 0 ⭐ x2 < 3.
4
73 a) x2 ∈ [0 ; + ∞[ ; b) x2 ∈ [0 ; 9[ ; c) x2 ∈ [0 ; + ∞[.
74 a) S = ]– ∞ ; – 5[ ∪ ]5 ; + ∞[ ; b) S = [– 12 ; 12] ;
c) S = ]– ∞ ; – 212[ ∪ ]212 ; + ∞[.
75 Corrigé dans le manuel.
76 a) S = [– 213 ; – 3] ∪ [3 ; 213].
b) S = [– 212 ; – 12] ∪ [12 ; 212].
77 1. A2 = 4 + 213 ; B2 = 4 + 213.
2. A et B sont positifs et A² = B² donc A = B.
78 X2 = 6 – 215 ; Y2 = 6 – 215.
Chapitre 3 ● Fonction carré. Problèmes du 2nd degré
35