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DS2 4Maths 2012 .pdf



Nom original: DS2-4Maths-2012.pdf
Titre: DS2-4Maths-2012
Auteur: Rekik sabeur

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République Tunisienne
Ministère de l’éduction
et de la formation

Devoir de synthèse n°2

4 ième Mathématiques

Lycée : Aguereb 2

Epreuve : Mathématiques

Durée : 4 Heures

Prof : Mr Rekik Sabeur

Le : 06 – 03 – 2012

Année scolaire : 2011 - 2012

Exercice n°1 : (2 Pts)
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. L’élève indiquera sur la copie
le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
1/ La fonction f : x ֏ ln ( e (2x −1) − 1) est définie sur :
a/  1 , + ∞ 
 2


c/  1 + ln 2 , + ∞ 
 2


b/  3 , + ∞ 
 2


Ln(1 − x 2 )
2/ La limite de
lorsque x tend vers 0 est égale à :
x
a/ −1
b/ 0

(

)

c/ 1

3/ Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i , j . (C) est la courbe représentative de la
fonction f définie par f (x) = 1 + ln x . On fait tourner autour de l’axe des abscisses l’arc
de la courbe constitué des points de (C), d’abscisses comprises entre 1 et e. Le volume V du
solide engendré vaut :
a/ π

b/ π e

(

c/ π ( e −1)

)

4/ Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i , j .
L’ellipse d’équation 9x 2 + 4y 2 = 36 a pour excentricité
5
2
Exercice n°2 : (4 Pts)
a/

b/

5
3

c/

(

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O, i , j

3
2

)

Soit f l’application du plan dans lui-même qui a tout point M d’affixe z associe le point M′
d’affixe z′ tel que z′ = 1 (1 − i ) z − 2 + 2 i .
2

http://mathsaber.meximas.com/

1/ Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.
2/ a/ Caractériser f −1 .
b/ Déduire les coordonnées ( x , y ) du point M en fonction des coordonnées ( x ′ , y′ ) du point M′ .
3/ Soit C l’ensemble des points M ( z ) tels que : x y − 2x − 3y − 1 = 0
a/ Montrer que la courbe H image de C par f a pour équation : x 2 − y 2 − x + 3y − 9 = 0
b/ Déduire la nature de H et donner ses éléments caractéristiques.
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Voir suite au verso ⇒

Exercice n°3 : (3 Pts)
Dans un plan orienté, on donne un triangle équilatéral direct BCD.
On désigne par I le centre de gravité de BCD et par A le symétrique de I par rapport à la droite (BD).
Soit S la similitude directe qui envoie A sur B et B sur C.
1/ a/ Montrer que le rapport de S est 3 et qu’un angle de S est π .
2
b/ Prouver que S(I) = D .
2/ On désigne par J le milieu du segment [AI].
Déterminer S(J). En déduire le centre de S.
3/ On considère l’application σ = S S S(BD) .
a/ Montrer que σ est une similitude indirecte dont on précisera le rapport.
b/ Déterminer σ(J) et σ(I) .
c/ En déduire le centre et l’axe de σ .
Exercice n°4 : (6 Pts)

(

)

Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i , j . (Unité graphique : 2 cm)

( )


x + 1 si x ∈ 0, + ∞
]
[
f (x) = x ln x
f (0) = 0

Soit f la fonction définie sur [ 0,+ ∞[ par : 

On désigne par ( Cf ) sa courbe représentative.
1/ a/ Montrer que f est continue à droite en 0.
b/ Etudier la dérivabilité de f à droite en 0. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

(x)

2/ Soit g la fonction définie sur ]0,+ ∞[ par g(x) = ln x + 1 + x
a/ Montrer que g est dérivable sur ]0, + ∞[ et que g′(x) =

x +1

−1
2
x ( x + 1)

(x)

b/ Dresser le tableau de variation de g. En déduire que ln x + 1 >

1 pour tout x > 0 .
x +1

( )

3/ a/ Montrer que lim f (x) = 1 et que pour tout x > 0 on a f ′(x) = ln x + 1 − 1 .
x →+∞
x
x +1
b/ Dresser le tableau de variation de f sur [ 0,+ ∞[
c/ Etudier la position ( Cf ) par rapport à la droite ∆ d’équation y = x en précisant leurs points
d’intersection

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4/ Tracer la courbe ( Cf )
Page 2/3

Voir suite au verso ⇒

5/ a/ Montrer que f réalise une bijection de [ 0,+ ∞[ sur [ 0,1[ .
b/ Construire ( Cf −1 ) dans le même repère.

6/ Soit α un réel tel que 0 < α < 1 et A (α ) l’aire en cm2 de la partie du plan limitée par ( Cf ) ,
e −1
l’axe des abscisses est les droites d’équation x = α et x = 1
e −1

( )


1 2
x +1

F(x) = 2  x ln x + x − ln ( x + 1)  si x > 0
a/ Soit la fonction F définie par : 


F(0) = 0
Montrer que F est la primitive de f sur [ 0,+ ∞[ qui s’annule en 0.
b/ Calculer alors A (α ) , puis déduire lim+ A (α)
α→ 0

Exercice n°5 : (5 Pts)
I/ Soit f la fonction définie sur IR par : f (x) = 1 − 1 x −

2

2
ex + 1

(

)

On désigne par ( Cf ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé O , i , j .
1/ a/ Vérifier que pour tout réel x on a :

1 = 1− 1
e− x + 1
ex + 1

b/ En déduire que f est impaire.
2/ Calculer lim f (x) .
x →+∞

2

 x

3/ a/ Montrer que f est dérivable sur IR et que pour tout x ∈ IR , f ′(x) = − 1  ex − 1  .
2  e +1 
b/ Dresser le tableau de variation de f sur [ 0, + ∞[ .

c/ En déduire que pour tout x ∈ [ 0, + ∞[ , 1 −

2 ≤ 1x.
ex + 1 2

4/ Montrer que la droite ∆ : y = 1 − 1 x est une asymptote oblique à ( Cf ) au voisinage de + ∞ .
5/ Tracer ∆ et ( C f ) .

2

II/ Soit U la suite réelle définie sur IN par : U 0 = 1 et pour tout n ∈ IN : U n +1 = 1 −

2 .
e +1
Un

1/ Montrer par récurrence que pour tout n ∈ IN : U n > 0
2/ a/ Vérifier en utilisant la réponse de la question 3/c/ de la partie I/, que pour tout n ∈ IN : U n +1 ≤ 1 U n

2

b/ En déduire que la suite U est décroissante.

( 2)

3/ Montrer que pour tout n ∈ IN : U n ≤ 1

n

puis calculer lim U n .
n →+∞

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