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correc série 2 avec la méthode matricielle .pdf



Nom original: correc série 2 avec la méthode matricielle.pdf
Auteur: admin

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Télescope à deux miroirs

M1
M2
C1

C2

S1
O

S2
O'

Le système optique est formé de deux miroirs : Le premier M1 de sommet S1 est
concave (au sommet S1, il y'a une ouverture pour voir l'image) ; le second M2 est
convexe de sommet S2. Le système optique commence alors par O confondu avec S1 et
se termine par O' confondu avec S2. La matrice Moo' du système est composée de trois
matrices : Réflexion sur M1 suivie d'une translation D=OO' de O vers O', puis d'une
deuxième réflexion sur M2.
On va d'abord résoudre le problème du signe de R1, R2 et D.
D est la translation effectué par le rayon son signe est toujours positif quand la lumière
vient de la gauche pour aller vers la droite.
La matrice d'un miroir sphérique de rayon de courbure R est donnée par :

[ ]
1
0
2
−( ) 1
R

R est une grandeur algébrique , elle peut être >0 ou <0 .

Si le miroir est concave R < 0 , sa matrice est

Si le miroir est convexe R > 0 , sa matrice est

[ ]
[ ]
1
2
R

0
1

1
0
2
−( ) 1
R

Maintenant le signe de R est introduit dans la matrice et par la suit R est simplement une
grandeur positive.

Dans notre cas M1 est concave et M2 est convexe, la matrice du système est alors :
Moo' =

[

] [

a11 a12
=
a 21 a22

[

1
0
2/ R 1 1
1+

] [

1 −D
0 1

2D
R2

] [

−D

2
2
4D
2D
− +
1−
R1 R2 R1 R2
R1

]

1
0
=
−2 / R 2 1

]

On veut étudier ce système pour que son point focal image F' soit confondu avec S1
c-à-d O. Cela veut dire tous simplement que O'F' soit positif et egal à S2S1 = D.
Or O'F' peut être extrait de la matrice par la relation :
O'F' =

a22
a21

2D
)R R
R1 1 2
=D=
(2R 2 −2R 1 +4D)
(1−

pour R 2=k R 1 , 0<k<1

k=

−2D(2D−R 1 )
( R 1 (4D− R1 ))

Dans la pratique D est légèrement inférieur à f 1 =

R1
.
2

Télescope de Newton.

α
C1

F

S

1)L'objet AB qui est à l'infini, fait un angle α avec l'axe optique, (on dit qu'il est vu sous
un angle α .) sa hauteur est y. Son image A 1 B 1 de hauteur y' est sur le foyer F . Cette
image sera vu sous un angle β . Le rayon vient de AB et fait une translation de X après
il y a une réflexion sur le miroir concave suivie d'une translation de Y=SF. La matrice de
transfère de AB vers A 1 B 1 est :

M=

[

1 −X
0 1

on écrit aussi

] [

1
0
2/ R 1

[]

[

y
α

=

] [

1 −Y
0 1

]

Comme X ⇒ ∞ , Y =

[]
y
α

=

Le terme 1−

[

2X
2XY
− X−Y +
R
R
2Y
2/R
1−
R

1−

Si A 1 B 1 est l'image de AB alors le terme

0
0

[ ]
y'
β

]



2X
tend vers une valeur négative
R

]

[ ]
y'
β

−X−Y +

R
. La relation entre
2

[ ]
2X
R
2
R

1−

=

2X
2XY
− X−Y +
R
R
2Y
2/R
1−
R

1−

2XY
doit être nul.
R

y et y '
α
β

α=



2
y'
R

devient :

y '=αR /2 = 9 mm

y'
<0 ⇒ y' < 0.
y

2) Le miroir plan est placé entre S et F au point S2. Sa fonction est de donner une
image A 2 B 2 de A 1 B 1 symétrique par rapport au plan du miroir . Ensuite pour
voir cette image on utilise une lentille L de distance focale f0 et on déplace la
lentille jusqu'à ce que l'image A 2 B 2 soit sur le point focal objet de la lentille L.
La distance entre la lentille est l'axe optique est y= f0 +d . d est alors la distance

de A 2 B 2 au point S2 du miroir plan ce qui donne A1S2 = S2A2 =d .
Comme f0 = 2cm alors d = 10 cm et S2S1 = 90 cm.

S1

S2

F

C1

A1
B1
y
B2

A2

f0

L

Un télescope a pour but d'agrandir l'image de petits objets mais surtout de « séparer » les
images des objets très rapprochés donc d'augmenter l'angle sous lequel on voit ces
objets.
La relation entre l'objet et son image (Miroir sphérique, miroir plan, lentille L) :

[] [
y
α

=

A 11
A 21

A 12
A 22

][]
y'
α'

doit respecter la condition

A 21=0 pour un télescope.

Dans ce cas on a G = 1/ A 22=α ' /α .
Le début du système télescope commence par S1 miroir concave et se termine par la
lentille L. Entre S1 et la lentille L, le rayon de lumière subit un certains nombres de
transformations :

Réflexion sur S1 concave

[

] [
[

1
1/ f

[

]

1
0
2/ R 1

=

1 −DD
0
1

Translation de S1vers S2; S1S2 = DD
Réflexion sur S2

]
]

0
R et f sont des grandeurs positives
1

[ ]
1 0
0 1

Translation de S2 vers L ; S2L = y

1 −y
0 1

Refraction à travers la lentille L convergente

[

1
0
1/ f L 1

]

La matrice totale est :
Mtélescope =

[

[

1
1/ f

0
1

] [

1 −DD
0
1

( DD+ y )
−( DD+ y)
fL
( DD+ y )
1 1 ( DD+ y)
+ −
1−
fL f
ff L
f
1−

le terme

] [ ] [
1 0
0 1

1 −y
0 1

] [

]

1 1 ( DD+ y)
+ −
=0 ⇒ f L+f =DD+ y
fL f
ff L

le grossissement angulaire est

Finalement

G=

−f
=−50
fL

L'image finale est renversée.

G=

1
f
−f α '
=
= =
A 22 (f −( DD+ y )) f L α.

et α'=

-0.45 rad.

]

1
0
=
1/ f L 1

Appareil Photographique.

D,L

B
F '

F

d '

d

B '

1) Si l''objet est à l'infini, son image est au foyer image F'.
2) L'objet distant de 3 m est B, son image est B'. entre B et B' il ya une translation de
d suivie d'une réfraction sur L et d'une translation d'.
La matrice de l'ensemble est donnée par
M=

[

[

A 11
A 21

] [ ] [
]

A 12
=
A 22

1 −d
0 1

1
0
1/ f 0 1

] [

1 −d '
0
1

]

=

1−d / f 0 −d −d '+dd ' / f 0
1/ f 0
1−d ' / f 0

Si B' est l'image de B alors A 12 est nul ⇒ 1/ d '=1/ f 0 −1/ d ⇒ d' = 125mm
l'image est décalée à droite de F' de 5 mm.
3) Soit x la hauteur du rayon qui traverse la lentille de diamètre D ; x = D/2

[] [
x
=
α

1−d / f 0
0
1/ f 0
1−d ' / f 0

] []
x'
α'



x= x ' (1−d / f 0 )

⇒ x'= -1.0416 mm.

4) Connaissant x et x' = ± 0.2 mm, on peut déduire d+ et d- pour déterminer la
profondeur du champ de l'appareil photographique


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