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´matiques
Cours de Mathe
´rivation, convexite
´ , De
´veloppements limite
´s
De
Sommaire


erivation, convexit´
e,

eveloppements limit´
es
Sommaire
I


erivabilit´
e d’une fonction num´
erique . . . . . . . . .
I.1
D´erivabilit´e en un point . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2
D´erivabilit´e `a gauche ou `a droite en un point . . . . .
I.3
Op´erations sur les applications d´erivables en un point
II

erivabilit´
e sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . .
II.1
Applications d´erivables, applications de classe C1 . . .
II.2
Extremums d’une fonction d´erivable . . . . . . . . . .
II.3
Rolle et accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . .
II.4
Monotonie des applications d´erivables . . . . . . . . .
III Applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1 D´eriv´ees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Op´erations sur les applications de classe Ck . . . . . .
III.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Applications convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1 D´efinitions ´equivalentes de la convexit´e . . . . . . . .
IV.2 R´egularit´e des applications convexes . . . . . . . . . .
IV.3 In´egalit´es de convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V

eveloppements limit´
es . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.1
Notion de d´eveloppement limit´e . . . . . . . . . . . . .
V.2
D´eveloppements limit´es usuels . . . . . . . . . . . . .
V.3
Op´erations sur les DL . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´matiques
Cours de Mathe
´rivation, convexite
´ , De
´veloppements limite
´s
De
Partie I : D´erivabilit´e d’une fonction num´erique

I


erivabilit´
e d’une fonction num´
erique

Dans tout ce chapitre, on consid`ere des applications qui sont d´efinies sur un intervalle I de IR
non r´eduit `a un point, et qui sont `a valeurs dans IR.

I.1


erivabilit´
e en un point


efinition (Nombre d´eriv´e en un point)
f (x) − f (a)
On dit que f est d´erivable en un point a de I si lim
existe dans IR.
x→a
x−a
df
Cette limite est appel´ee nombre d´eriv´e de f en a et est not´ee f 0 (a), ou D(f )(a), ou
(a).
dx
Interpr´
etation g´
eom´
etrique
Soient A = (a, f (a)) et M (x, f (x)) sur la courbe repr´esentative Γ de f .
f (x) − f (a)
Le taux d’accroissement
est le coefficient directeur de la corde AM .
x−a
Dire que f est d´erivable en a, c’est dire que la corde AM poss`ede une position limite non
verticale ∆, de coefficient directeur f 0 (a), quand x tend vers a, c’est-`a-dire quand M tend
vers A sur Γ. On dit que ∆ est la tangente `a Γ en son point d’abscisse a.
Dire que f est d´erivable en a, c’est donc dire que la courbe repr´esentative Γ de f pr´esente
au point A(a, f (a)) une tangente ∆ non verticale.
L’´equation de ∆ est y = f (a) + (x − a)f 0 (a).

Proposition (Une autre d´efinition de la d´erivabilit´e)
f est d´erivable en un point a de I ⇔ il existe un r´eel ` et une application x 7→ ε(x) de I
dans IR, v´erifiant lim ε(x) = 0 et ε(a) = 0, et tels que :
x→a

∀ x ∈ I, f (x) = f (a) + (x − a)` + (x − a)ε(x)
Le r´eel ` est alors ´egal `a f 0 (a).
La figure ci-dessus montre les quantit´es (x − a)f 0 (a) et (x − a)ε(x), relatives `a un point
M (x, f (x)) assez “´eloign´e” de A. Au voisinage de A, et si f 0 (a) 6= 0 (c’est-`a-dire si la tangente ∆ n’est pas horizontale), alors (x − a)ε(x) est n´egligeable devant (x − a)f 0 (a).

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Partie I : D´erivabilit´e d’une fonction num´erique

Remarques et exemples

f (a + h) − f (a)
.
h→0
h

– Une translation permet de se ramener `a un calcul `a l’origine : f 0 (a) = lim
– Si f d´erivable en a, f est continue en a. La r´eciproque est fausse.

Exemple : si f (0) = 0 et f (x) = x sin x1 si x 6= 0, f est continue mais non d´erivable en 0.
– Si f est constante sur I, alors : ∀ a ∈ I, f 0 (a) = 0.
– Si f est l’application x 7→ xn (avec n ∈ IN∗ ) alors : ∀ a ∈ IR, f 0 (a) = nan−1 .
– Pour tout a de IR, exp0 (a) = exp(a) et ln0 (a) = a1 .
– Pout tout a de IR, sin0 (a) = cos(a) et cos0 (a) = − sin(a).
Si a 6= π2 (π), alors tan0 (a) = 1 + tan2 (a).

I.2


erivabilit´
e`
a gauche ou `
a droite en un point

On compl`ete les d´efinitions pr´ec´edentes avec la notion de nombre d´eriv´e `a gauche ou `a droite.

efinition (Nombre d´eriv´e `a gauche)
Soit a un point de I, distinct de l’extr´emit´e gauche de I.
f (x) − f (a)
On dit que f est d´erivable `a gauche en a si lim
existe dans IR.
x→a, x<a
x−a
Cette limite est appel´ee nombre d´eriv´e `a gauche de f en a et est not´ee fg0 (a).

efinition (Nombre d´eriv´e `a droite)
Soit a un point de I, distinct de l’extr´emit´e droite de I.
f (x) − f (a)
On dit que f est d´erivable `a droite en a si lim
existe dans IR.
x→a, x>a
x−a
Cette limite est appel´ee nombre d´eriv´e `a droite de f en a et est not´ee fd0 (a).
Interpr´
etation g´
eom´
etrique
Dire que f est d´erivable `a droite (resp. `a gauche) en a, c’est dire que la courbe Γ de f admet
au point A(a, f (a)) une demi-tangente `a droite (resp. `a gauche) non verticale.
Le coefficient directeur de cette demi-tangente est fd0 (a) (resp. fg0 (a).)

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Partie I : D´erivabilit´e d’une fonction num´erique

Sur l’exemple de gauche, f est d´erivable `a gauche et `a droite en a, avec fg0 (a) = −1 (demitangente oblique, parall`ele `a y = −x) et fd0 (a) = 0 (demi-tangente horizontale.)
Sur l’exemple de droite, on a fg0 (a) = 0 (demi-tangente horizontale), mais f n’est pas d´erivable
`a droite en a (il y a bien une demi-tangente mais elle est verticale).
Remarques
– Soit a un point de I qui ne soit pas une extr´emit´e de I.
f est d´erivable en a ⇔elle est d´erivable `a gauche et `a droite en a et fg0 (a) = fd0 (a).
On a alors f 0 (a) = fg0 (a) = fd0 (a).
– Si f d´erivable en a, alors f est continue en a.
La r´eciproque est fausse (comme le montre l’exemple de x 7→ |x| en 0.)
Si f est d´erivable `a gauche (resp. `a droite) en a, elle y est continue `a gauche (resp. `a droite.)
– Si f co¨ıncide en a et `a droite de a avec une application g d´efinie au voisinage de a et d´erivable
en a, alors f est d´erivable `a droite en a et fd0 (a) = g 0 (a) (remarque analogue `a gauche de a.)
Par exemple, si f est d´efinie par f (x) = |x| + exp(x), elle co¨ıncide en 0 et `a droite de 0 avec
g(x) = x + exp(x) qui est telle que g 0 (0) = 2.
De mˆeme f co¨ıncide en 0 et `a gauche de 0 avec h(x) = −x+exp(x) qui est telle que h0 (0) = 0.
On en d´eduit que f est d´erivable `a droite et `a gauche en 0, avec fd0 (0) = 2 et fg0 (0) = 0.

I.3

Op´
erations sur les applications d´
erivables en un point

Proposition (Lin´earit´e de la d´erivation en un point)
Soient f et g deux applications d´erivables au point a. Pour tous scalaires α, β, l’application
h = αf + βg est d´erivable en a et h0 (a) = αf 0 (a) + βg 0 (a).
Proposition (Produit d’applications d´erivables en un point)
Soient f et g deux applications d´erivables en un point a.
Alors l’application h = f g est d´erivable en a et h0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a).
Proposition (D´eriv´ee de l’inverse)
1
g 0 (a)
0
Si g est d´erivable en a, avec g(a) 6= 0, alors h = est d´erivable en a, et h (a) = − 2 .
g
g (a)
Supposons de plus que f soit d´erivable en a.
f 0
f
f 0 (a)g(a) − f (a)g 0 (a)
Alors est d´erivable en a et
(a) =
.
g
g
g 2 (a)
Proposition (Composition et d´erivation)
Soit f : I → IR, une application d´erivable en un point a de I.
Soit J un intervalle contenant f (I) et non r´eduit `a un point.
Soit g : J → IR, une application d´erivable au point b = f (a) de J.
Alors g ◦ f est d´erivable au point a et (g ◦ f )0 (a) = f 0 (a)(g 0 ◦ f )(a).

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´s
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Partie I : D´erivabilit´e d’une fonction num´erique

Proposition (D´erivation et bijection r´eciproque)
Soit f : I → IR une application d´erivable, strictement monotone.
f est donc bijective de I sur un intervalle J. Soit a dans I tel que f 0 (a) 6= 0.
1
1
Alors g = f −1 est d´erivable en b = f (a) et g 0 (b) = 0
= 0
.
f (b)
f ◦ f −1 (a)

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Partie II : D´erivabilit´e sur un intervalle

II
II.1


erivabilit´
e sur un intervalle
Applications d´
erivables, applications de classe C1


efinition
On dit que f est d´erivable sur I si f est d´erivable en tout point de I.
L’application f 0 : I → IR qui `a tout a associe f 0 (a) est appel´ee application d´eriv´ee de f .
df
Cette application est ´egalement not´ee Df ou
.
dx
On note D(I, IR) l’ensemble des applications d´erivables de I dans IR.

efinition (Applications de classe C 1 )
On dit que f est de classe C 1 sur I si f est d´erivable sur I et si f 0 est continue sur I.
On note C 1 (I, IR) l’ensemble de ces applications.
Op´
erations sur applications d´
erivables sur un intervalle I
– Soient f et g deux applications d´erivables sur l’intervalle I.
Pour tous α, β dans IR, h = αf + βg est d´erivable sur I et h0 = αf 0 + βg 0 .
L’application f g est d´erivable sur I et (f g)0 = f 0 g + f g 0 .
1 0
f 0 f 0 g − f g 0
g0
Si g ne s’annule pas sur I, alors
= − 2 et
=
g
g
g
g2
– Soit f : I → IR et g : J → IR deux applications d´erivables, avec f (I) ⊂ J.
Alors g ◦ f est d´erivable sur I et (g ◦ f )0 = f 0 · (g 0 ◦ f )
– Soit f : I → IR une application d´erivable, strictement monotone.
L’application f r´ealise donc une bijection de I sur un intervalle J.
1
.
◦ f −1
– Tous les r´esultats pr´ec´edents s’´enoncent `a l’identique pour des applications de classe C 1 .
Si f 0 ne s’annule pas sur I, alors g = f −1 est d´erivable sur J et g 0 =

f0


erivation des fonctions trigonom´
etriques inverses
– La d´eriv´ee de x → sin x sur [− π2 , π2 ] est x → cos x, nulle en ± π2 . On en d´eduit :
1
1
1
∀ x ∈] − 1, 1[, arcsin0 x =
=
=√
0
sin (arcsin x)
cos(arcsin x)
1 − x2
– La d´eriv´ee de x → cos x sur [0, π] est x → sin x, nulle en x = 0 et x = π. On en d´eduit :
∀ x ∈] − 1, 1[, arccos0 x =

1
cos0 (arccos x)

=

−1
−1
=√
sin(arccos x)
1 − x2

– La d´eriv´ee de x → tan x sur ] − π2 , π2 [ est x → 1 + tan2 x, toujours non nulle. On en d´eduit :
1
1
1
∀ x ∈ IR, arctan0 x =
=
=
0
2
tan (arctan x)
1 + tan (arctan x)
1 + x2

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´veloppements limite
´s
De
Partie II : D´erivabilit´e sur un intervalle


erivation des fonctions puissances
– Par r´ecurrence sur n ≥ 1, on sait que (xn )0 = nxn−1 pour tout x de IR.
1 0
−nx−n−1
n 0
– Si n est un entier n´egatif, (x ) =
=

= nxn−1 .
x−n
x−2n
L’´egalit´e (xα )0 = αxα−1 est donc vraie pour les exposants α de ZZ.

– Soit f : x → n x, bijection r´eciproque de g : IR+ → IR+ d´efinie par g(x) = xn .
L’application g est d´erivable sur IR+ et sa d´eriv´ee g 0 (x) = nxn−1 est non nulle sur IR+∗ .
1
1
1 1 −1
Ainsi f est d´erivable sur IR+∗ et f 0 (x) = 0 √
=
xn .
n−1 =
n
n
g ( x)
nx n
1
La formule (xα )0 = αxα−1 est donc encore valable quand α est de la forme α = , o`
u n ∈ IN∗ .
n
p
1
p
p
Si α = (p ∈ ZZ, q ∈ IN∗ ), alors : (xα )0 = ((xp )1/q )0 = 1q (xp )0 (xp ) q −1 = q xp−1+ q −p = αxα−1 .
q
La formule (xα )0 = αxα−1 est donc encore valable quand α est un rationnel.
– Dans le cas d’un exposant α quelconque, en particulier non rationnel :
α
α
∀ x > 0, (xα )0 = (exp(α ln x))0 = exp(α ln x) = xα = αxα−1
x
x

II.2

Extremums d’une fonction d´
erivable

Proposition
Soit f : I → IR une application d´erivable. Soit a un point int´erieur `a I.
Si f poss`ede un extr´emum local en a, alors f 0 (a) = 0.
Remarques
– La r´eciproque est fausse : si f (x) = x3 , f 0 (0) = 0 mais f n’a pas d’extr´emum en 0.
– En fait, les extr´emums locaux d’une application f sur un intervalle I doivent ˆetre recherch´es
parmi les points o`
u f n’est pas d´erivable, parmi les extr´emit´es de I, et parmi les points
int´erieurs `a I o`
u f est d´erivable de d´eriv´ee nulle.
– Le graphe ci-dessous montre quelques cas possibles :

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Partie II : D´erivabilit´e sur un intervalle

II.3

Rolle et accroissements finis

Th´
eor`
eme (Th´eor`eme de Rolle)
Soit f : [a, b] → IR une application d´efinie sur le segment [a, b], avec a < b, `a valeurs r´eelles.
On suppose que f est continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[, et que f (a) = f (b).
Alors il existe c dans ]a, b[ tel que f 0 (c) = 0.
Th´
eor`
eme (Egalit´e des accroissements finis)
Soit f : [a, b] → IR une application d´efinie sur le segment [a, b], avec a < b, `a valeurs r´eelles.
On suppose que f est continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[.
Alors il existe c dans ]a, b[ tel que f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (c).
Propri´
et´
es et remarques
– Il n’y a pas n´ecessairement unicit´e du point c de ]a, b[ qui figure dans les deux th´eor`emes.
– Soit f : [a, b] → IR une application continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[ (a < b).
On suppose que : ∀ x ∈]a, b[, m ≤ f 0 (x) ≤ M . Alors m(b − a) ≤ f (b) − f (a) ≤ M (b − a).
– Si f est de classe C 1 sur [a, b], alors |f (b) − f (a)| ≤ M |b − a|, avec M = sup |f 0 (x)|.
x∈[a,b]
– On peut aussi ´ecrire, en posant b = a + h :
Soit f une application continue sur [a, a + h] et d´erivable sur ]a, a + h[.
Alors il existe θ dans ]0, 1[ tel que : f (a + h) = f (a) + hf 0 (a + θh).
Dans cette version du “TAF”, le signe de h est quelconque (si f est d´erivable sur un voisiange
de a) et on peut consid´erer θ comme une fonction de h.
Interpr´
etation g´
eom´
etrique
Soit Γ la courbe de f . Soient A, B les points d’abscisse a, b de Γ.
Avec les hypoth`eses du th´eor`eme de Rolle, il y a un point de Γ o`
u la tangente est horizontale.
Avec les hypoth`eses du th´eor`eme des accroissements finis, il existe un point de Γ o`
u la
tangente est parall`ele `a la corde AB.

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´rivation, convexite
´ , De
´veloppements limite
´s
De
Partie II : D´erivabilit´e sur un intervalle

Proposition (Caract´erisation des applications lipschitziennes)
Soit f une application continue de I dans IR, d´erivable sur l’int´erieur de I.
f est k-lipschitzienne sur I ⇔ pour tout x de I, |f 0 (x)| ≤ k.
Proposition (Prolongement d’une application de classe C 1 )
Soit f une application continue de [a, b[ dans IR, de classe C 1 sur ]a, b[.
On suppose que f 0 poss`ede une limite finie ` en a `a droite.
Alors f est de classe C 1 sur [a, b[, avec f 0 (a) = `.
On a bien sˆ
ur un r´esultat analogue au point b.
Remarque
Soit f : [a, b] → IR, continue sur [a, b[, de classe C 1 sur ]a, b[. On suppose que lim+ f 0 (x) = ∞.
x→a

Alors la courbe repr´esentative de f admet au point (a, f (a)) une demi-tangente verticale.

II.4

Monotonie des applications d´
erivables

Proposition (Caract´erisation des applications constantes)
Toute application constante f de I dans IR est d´erivable sur I et ∀ x ∈ I, f 0 (x) = 0.
R´eciproquement, si f est continue sur I, d´erivable sur l’int´erieur de I et si f 0 est l’application
nulle, alors f est constante sur I.
Proposition (Caract´erisation des applications monotones)
Soit f : I → IR une application d´erivable.
– L’application f est croissante sur I ⇔ ∀ x ∈ I, f 0 (x) ≥ 0.
– L’application f est d´ecroissante sur I ⇔ ∀ x ∈ I, f 0 (x) ≤ 0.
Proposition (Caract´erisation des applications strictement monotones)
Soit f : I → IR une application d´erivable et monotone.
L’application f est strictement monotone sur I si et seulement si sa d´eriv´ee f 0 n’est identiquement nulle sur aucun sous-intervalle de I d’int´erieur non vide (ou encore si et seulement
si f 0 ne s’annule qu’en des points isol´es de I.)
Proposition (Applications ayant la mˆeme d´eriv´ee)
Soient f, g : I → IR, d´erivables sur I. Les deux conditions suivantes sont ´equivalentes :
– Pour tout x de I, on a f 0 (x) = g 0 (x).
– Il existe une constante λ telle que : ∀x ∈ I, g(x) = f (x) + λ.
Remarque
Tout ce qui d´ecoule de Rolle est valable sur un intervalle, et pas sur une r´eunion d’intervalles.
Par exemple, si f (x) = x1 alors f 0 (x) = − x12 < 0 sur IR∗ , mais f n’est pas monotone sur IR∗ .
De mˆeme, si deux applications d´erivables sur IR∗ v´erifient f 0 = g 0 sur IR∗ , alors elles diff`erent
d’une constante λ sur IR−∗ et d’une constante µ sur IR+∗ .

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´matiques
Cours de Mathe
´rivation, convexite
´ , De
´veloppements limite
´s
De
Partie III : Applications de classe Ck

III

Applications de classe Ck

On rappelle que I d´esigne un intervalle de IR non r´eduit `a un point.

III.1


eriv´
ees successives


efinition (Applications n fois d´erivables sur un intervalle)
Soit f une application de I dans IR. On pose f (0) = f .
On suppose que l’application f (n−1) existe et est d´erivable de I dans IR.
On d´efinit alors l’application f (n) = (f (n−1) )0 .
Si l’application f (n) : I → IR existe, on dit que f est n fois d´erivable sur l’intervalle I, et
f (n) est appel´ee application d´eriv´ee n-i`eme de f sur I.
dn f
L’application f (n) est peut ´egalement ˆetre not´ee Dn f ou encore
.
d xn
Remarques
– On note souvent f 00 et f 000 les applications d´eriv´ee seconde et d´eriv´ee troisi`eme de f .
– Nombre d´eriv´e n-i`eme en un point :
Soit f une application de I dans IR, a un point de I et n un entier naturel.
On dit que f est n fois d´erivable en a si f est n − 1 fois d´erivable sur un voisinage de a et si
f (n−1) est d´erivable en a.
On note encore f (n) (a) cette d´eriv´ee, appel´ee nombre d´eriv´e n-i`eme de f au point a de I (il
n’est pas n´ecessaire que f (n) existe sur I tout entier.)
– Si f est n fois d´erivable sur I, alors pour tout k de {0, . . . , n}, l’application f (k) est n − k
fois d´erivable sur I (et en particulier continue si k < n).
Pour tout k de {0, . . . , n}, on a alors l’´egalit´e : f (n) = (f (k) )(n−k) .

efinition (Applications de classe C k )
Soit f une application de I dans IR, k fois d´erivable.
Si de plus l’application f (k) est continue sur I, on dit que f est de classe C k sur I.
On note C k (I, IR) l’ensemble des applications de classe C k de I dans IR.
On dit que f est de classe C ∞ sur I si f est k fois d´erivable sur I pour tout entier naturel
k (c’est-`a-dire en fait si f est de classe C k pour tout k).
On note C ∞ (I, IR) l’ensemble de ces applications.
Remarques
– C 0 (I, IR) d´esigne l’ensemble des applications continues de I dans IR.
On a les inclusions C 0 (I, IR) ⊃ C 1 (I, IR) ⊃ · · · ⊃ C k (I, IR) ⊃ · · · ⊃ C ∞ (I, IR).
\
De mˆeme on a : C ∞ (I, IR) =
C k (I, IR).
k∈IN

– On dit souvent d’une application de classe C k qu’elle est k fois continˆ
ument d´erivable.
(n)
– On a f ≡ 0 sur I ⇔ f est une application polynomiale de degr´e ≤ n−1 sur I.

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´ , De
´veloppements limite
´s
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Partie III : Applications de classe Ck

III.2

Op´
erations sur les applications de classe Ck

Dans les ´enonc´es suivants, k est un ´el´ement de IN ∪ {+∞}.
Les propri´et´es de ce paragraphe pourraient ˆetre ´enonc´ees de fa¸con analogue en termes de fonctions k fois d´erivables sur un intervalle I.
Proposition (Combinaisons lin´eaires d’applications de classe C k )
Soient f et g deux applications de classe C k de I dans IR. Soient α, β deux r´eels.
Alors αf + βg est de classe C k sur I et : (αf + βg)(k) = αf (k) + βg (k) .
Proposition (Formule de Leibniz)
Soit k un ´el´ement de IN ∪ {+∞}. Soient f et g deux applications de classe C k de I dans IR.
k
P
Alors f g est de classe C k sur I et : (f g)(k) =
C jk f (j) g(k−j) .
j=0

Proposition (Inverse d’une application de classe C k )
1
Si f : I → IR est de classe C k sur I et ne s’annule pas, alors est de classe C k sur I.
f
Proposition (Composition d’applications de classe C k )
Soit f une application de classe C k de I dans IR.
Soit J un intervalle de IR, non r´eduit `a un point et contenant f (I).
Soit g une application de classe C k de J dans IR.
Alors l’application g ◦ f est de classe C k de I dans IR.
Proposition (Bijection r´eciproque d’une application de classe C k )
Soit f une application de classe C k de I dans IR.
On suppose que f 0 (x) > 0 pour tout x de I, ou que f 0 (x) < 0 pour tout x de I.
L’application f r´ealise donc une bijection de I sur un intervalle J.
Dans ces condtions, la bijection r´eciproque f −1 est ´egalement de classe C k .
Exemples d’applications de classe C ∞
– Les fonctions polynˆomiales sont de classe C ∞ sur IR.
Il en est de mˆeme des fonctions rationnelles sur leur domaine de d´efinition.
– L’application x 7→ exp x est de classe C ∞ sur IR.
L’application x →
7 ln x est de classe C ∞ sur IR+∗ .
– De mˆeme les ´egalit´es sin0 = cos et cos0 = − sin montrent que les applications x 7→ sin x et
x 7→ cos x sont de classe C ∞ sur IR. Il en d´ecoule que l’application x 7→ tan x est de classe
C ∞ sur son domaine de d´efinition.
– Les applications x 7→ xα sont de classe C ∞ sur IR+∗ .
– Les applications x 7→ ch x, x 7→ sh x et x 7→ th x sont de classe C ∞ sur IR.

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– Les applications x 7→ arcsin x, et x 7→ arccos x sont de classe C ∞ sur ] − 1, 1[.
L’application x 7→ arctan x est de classe C ∞ sur IR.
– Les fonctions qui se d´eduisent des pr´ec´edentes par somme, produit, quotient, puissance et
composition sont de classe C ∞ sur leur domaine de d´efinition.

III.3

Formules de Taylor

Proposition (formule de Taylor avec reste int´egral)
Soit f : [a, b] → IR une application de classe C n+1 . On a l’´egalit´e :
Z b
n
X
(b − a)k (k)
(b − t)n (n+1)
f (b) =
f (a) +
f
(t) dt.
k!
n!
a
k=0
|
{z
}
Rn

Rn est appel´e le reste int´egral d’ordre n de la formule de Taylor de f sur [a, b].
Proposition (in´egalit´e de Taylor-Lagrange)
Soit f : I → IR une application de classe C n+1 .
Soient a et b deux points de I.
n

X


(b − a)k (k)
|b − a|n+1

Alors : f (b) −
f (a) ≤ M
, o`
u M = sup f (n+1) .
k!
(n + 1)!
[a,b]
k=0
Exemples
– Pour n = 0, on retrouve l’in´egalit´e des accroissements finis :
|f (b) − f (a)| ≤ M1 |b − a| o`
u M1 = sup |f 0 |
[a,b]

Pour n = 1, on trouve :
|f (b) − f (a) − (b − a)f 0 (a)| ≤ M2

(b − a)2
o`
u M2 = sup |f 00 |
2!
[a,b]

– Voici des exemples d’application de l’in´egalit´e de Taylor-Lagrange aux fonctions t 7→ sin t et
t 7→ cos t sur l’intervalle [0, x] :

|x|3


sin x − x ≤
3!

x2


cos x − 1 ≤
2!


x3

sin x − x + ≤
3!

x2

cos x − 1 + ≤
2!

|x|5
5!
x4
4!


x3 x5

− ≤
sin x − x +
3!
5!

x2 x4

− ≤
cos x − 1 +
2!
4!

|x|7
7!
x6
6!

– En posant h = b − a, l’in´egalit´e de Taylor-Lagrange au rang n s’´ecrit :
n

X


hk (k)
|h|n+1

f (a) ≤ M
, o`
u M = sup f (n+1)
f (a + h) −
k!
(n + 1)!
[a,a+h]
k=0

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Partie III : Applications de classe Ck

Proposition (formule de Taylor-Young)
Soit f une application de classe C n de I dans IR, et soit a un point de I.
Alors il existe une application ε d´efinie sur I, telle que :
n
X
(x − a)k (k)
∀ x ∈ I, f (x) =
f (a) + (x − a)n ε(x), avec lim ε(x) = 0.
x→a
k!
k=0

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Partie IV : Applications convexes

IV
IV.1

Applications convexes

efinitions ´
equivalentes de la convexit´
e

Comme d’habitude, I d´esigne un intervalle de IR non vide et non r´eduit `a un point.

efinition (application convexe)
Une application f : I → IR est dite convexe si :
∀ (a, b) ∈ I 2 , ∀ λ ∈ [0, 1], f (λa + (1 − λ)b) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b).
Interpr´
etation g´
eom´
etrique
Sur le sch´ema ci-dessous, on a fait figurer deux points A = (a, f (a)) et B = (b, f (b)) de la
courbe Γ de f , ainsi que les points Mλ et Nλ d’abscisse xλ = λa + (1 − λ)b et d’ordonn´ees
respectives f (xλ ) et λf (a) + (1 − λ)f (b).
La convexit´e de f signifie que pour tout λ de [0, 1], l’ordonn´ee de Mλ est inf´erieure ou ´egale `a
celle de Nλ . Or quand λ d´ecrit [0, 1], le point Mλ d´ecrit l’arc (AB) de la courbe Γ, alors que
le point Nλ (qui est le barycentre de A et B affect´es des poids respectifs λ et 1 − λ) parcourt
la corde [AB] :

Dire que l’application f est convexe sur I, c’est donc dire que pour tous points A(a, f (a)) et
B(b, f (b)) de la courbe Γ de f , la corde [AB] est “au-dessus” de l’arc (AB) de Γ.
Exemples et remarques
– Une application f : I → IR est dite concave si l’application −f est convexe.
Dans toute la suite de cette section on consid´erera surtout des applications convexes, les
propri´et´es des applications concaves s’en d´eduisant de mani`ere ´evidente.
– L’application x 7→| x| est convexe sur IR car | λa + (1 − λ)b | ≤ λ | a | +(1 − λ) | b |
– Les fonctions affines f : x 7→ αx + β sont `a la fois convexes et concaves sur IR, car elles
v´erifient en effet f (λa + (1 − λ)b) = λf (a) + (1 − λ)f (b). R´eciproquement si une application
est `a la fois convexe et concave alors elle est affine (sa courbe repr´esentative est une droite.)

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´s
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Partie IV : Applications convexes

– Soient f1 , f2 , . . . , fn des applications convexes, et α1 , . . . , αn des r´eels ≥ 0.
Alors l’application g = α1 f1 + α2 f2 + · · · + αn fn est convexe.

efinition (partie convexe du plan)
Soit Ω une partie non vide du plan IR2 . On dit que Ω est une partie convexe si, pour tous
points M, N de Ω, le segment [M, N ] est inclus dans Ω.
Proposition (caract´erisation par la convexit´e de l’´epigraphe)
Soit f : I → IR une application.
L’ensemble Ω = {(x, y) ∈ IR2 , y ≥ f (x)} est appel´e ´epigraphe de f sur I.
L’application f est convexe si et seulement si son ´epigraphe est une partie convexe de IR2 .
On a repr´esent´e ici l’´epigraphe Ω d’une application convexe f , deux points A et B de cet
´epigraphe, et le segment qui les joint, tout entier inclus dans Ω.

Remarque : f est concave sur I ⇔ la partie situ´ee sous la courbe y = f (x) est convexe.
Proposition (une autre caract´erisation de la convexit´e)
Une application f : I → IR est convexe si et seulement si :
f (b) − f (a)
f (c) − f (a)
f (c) − f (b)
Pour tout a < b < c de I,


b−a
c−a
c−b
Le sch´ema ci-dessous illustre la propri´et´e pr´ec´edente : l’application f est convexe si et seulement
si, pour tous points A, B, C de la courbe Γ (avec a < b < c), alors la pente de la corde [AB] est
inf´erieure `a celle de la corde [AC], elle mˆeme inf´erieure `a la pente de la corde [BC].

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Partie IV : Applications convexes

Proposition (encore une caract´erisation de la convexit´e)
Une application f : I → IR est convexe si et seulement si, pour tout a de I, l’application
f (x) − f (a)
Ta d´efinie sur I \ {a} par Ta (x) =
est croissante.
x−a

IV.2


egularit´
e des applications convexes

Proposition (d´erivabilit´e `a gauche et `a droite)
Soit f : I → IR une application convexe. Soit a un point int´erieur `a I.
Alors f est d´erivable `a droite et `a gauche au point a, et fg0 (a) ≤ fd0 (a).
De plus les applications fg0 et fd0 sont croissantes sur l’int´erieur de I.
Proposition (continuit´e des applications convexes)
Soit f : I → IR une application convexe. Alors f est continue en tout point int´erieur `a I.
Un contre-exemple
Une application convexe sur un intervalle I peut ne pas ˆetre continue aux extr´emit´es de I.

f (0) = f (1) = 1
On le voit bien avec l’application f d´efinie sur [0, 1] par
f (x) = 0 si x ∈]0, 1[
Proposition (caract´erisation de la convexit´e par la d´eriv´ee premi`ere)
Soit f une application d´erivable de I dans IR.
Alors f est convexe si et seulement si f 0 est croissante sur I.
Proposition (Tangente `a la courbe d’une application convexe)
Soit f une application d´erivable et convexe de I dans IR.
Alors pour tout a de I, on a : ∀ x ∈ I, f (x) ≥ f (a) + (x − a)f 0 (a).
Interpr´
etation g´
eom´
etrique
La courbe repr´esentative de f est, sur tout l’intervalle I, situ´ee “au-dessus” de n’importe
laquelle de ses tangentes.
On a en fait un r´esultat plus g´en´eral. On sait en effet qu’une application convexe sur I est
d´erivable `a droite et `a gauche en tout point int´erieur `a I. La courbe y = f (x) est alors partout
au-dessus de chacune de ses demi-tangentes `a gauche ou `a droite.

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Partie IV : Applications convexes

Pour les applications concaves
– Une application concave sur I est continue en tous les points int´erieurs `a I.
– Si f est d´erivable, f est concave⇔ f 0 est d´ecroissante.
– Si f est d´erivable et concave, la courbe y = f (x) est partout en dessous de ses tangentes.
Proposition (caract´erisation de la convexit´e par la d´eriv´ee seconde)
Soit f une application deux fois d´erivable de I dans IR.
Alors f est convexe si et seulement si f 00 (x) ≥ 0 pour tout x de I.
Propri´
et´
es et remarques
– Une application f : I → IR deux fois d´erivable est concave sur I ⇔ ∀ x ∈ I, f 00 (x) ≤ 0.
– L’application x 7→ ex est convexe sur IR. L’application x 7→ ln x est concave sur IR+∗ .
– Les applications x 7→ ax sont convexes sur IR.
L’application x 7→ xα est concave si α ∈ [0, 1] et convexe si α ∈ IR− ∪ [1, +∞[.
– L’application x 7→ sin x est concave sur [0, π2 ]. Il en d´ecoule : ∀ x ∈ [0, π2 ], π2 x ≤ sin x ≤ x.
– Soit f : I → IR une application deux fois d´erivable. Soit a un point int´erieur `a I.
On suppose que f 00 s’annule et change de signe au point a.
Il y a donc un changement de concavit´e en a : la courbe y = f (x) “traverse” sa tangente.
On dit que le point A(a, f (a)) est un point d’inflexion.

IV.3

In´
egalit´
es de convexit´
e

Proposition
Soit f : I → IR une application convexe. Soit x1 , x2 , . . . , xn une famille de n points de I.
n
P
On se donne ´egalement n scalaires λk de [0, 1] tels que
λk = 1.
k=1
P
P
n
n
λk x k ≤
λk f (xk ).
Alors on a l’in´egalit´e f
k=1

k=1

Remarques et exemples
– Un cas particulier classique est celui o`
u les λk sont tous ´egaux `a n1 .
P

n
n
P
1
On obtient alors f n
xk ≤ n1
f (xk ).
n
n
P
P
k=1
k=1

λk f (xk )
λk x k
k=1
k=1
– Si les λk sont ≥ 0 et non tous nuls, on peut ´ecrire : f

.
n
n
P
P
λk
λk
k=1
– Si f est concave, les in´egalit´es sont dans l’autre sens. k=1
Par exemple, l’application x 7→ ln x est concave sur IR+∗ .

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Partie IV : Applications convexes

P

n
n
P
On en d´eduit que pour tous x1 , x2 , . . . , xn de IR+∗ , on a : ln n1
xk ≥ n1
ln(xk ).
k=1
k=1
Q
1/n
n
n
1 P
On en d´eduit n
xk ≥
xk
en prenant l’exponentielle membre `a membre.
k=1

k=1

La moyenne arithm´etique des xk est donc sup´erieure ou ´egale `a leur moyenne g´eom´etrique.
– Des arguments de convexit´e permettent de d´emontrer l’in´egalit´e de Minkowski :
P
1/p P
1/p P
1/p
n
n
n
Pour tous xk , yk dans IR+∗ et p > 1, on a :
(xk + yk )p

xpk
+
ykp
k=1

k=1

k=1

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Partie V : D´eveloppements limit´es

V
V.1


eveloppements limit´
es
Notion de d´
eveloppement limit´
e


efinition
Soit f : I → IR une application, et soit x0 un r´eel ´el´ement ou extr´emit´e de I.
Soit n un entier naturel. On dit que f admet un d´eveloppement limit´e (en abr´eg´e un DL)
`a l’ordre n en x0 s’il existe des r´eels a0 , a1 , . . . , an et une fonction x 7→ ε(x) tels que :
n
P
∀ x ∈ I, f (x) =
ak (x − x0 )k + (x − x0 )n ε(x), avec lim ε(x) = 0.
x→x0

k=0

Avec les notations de Landau, cela peut s’´ecrire : f (x) =

n
P

ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ).

k=0

Proposition (unicit´e du d´eveloppement limit´e)
Soit f une application admettant un DL d’ordre n en x0 : f (x) =

n
P

ak (x − x0 )k + o((x −

k=0

x0 )n ).
Alors les coefficients a0 , a1 , . . . , an sont d´efinis de fa¸con unique.
n
P
Le polynˆome P (x) =
ak (x − x0 )k est appel´e partie principale du d´eveloppement limit´e.
k=0

Troncature d’un d´
eveloppement limit´
e
– Supposons que f admette un DL d’ordre n en x0 . Soit p un entier naturel, p ≤ n.
Alors f admet un DL d’ordre p en x0 , obtenu par troncature. Plus pr´ecis´ement :
p
n
P
P
f (x) =
ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ) ⇒ f (x) =
ak (x − x0 )k + o((x − x0 )p ).
k=0

k=0

Par exemple, si f (x) = 1 − x + 2x3 + x4 + o(x4 ), alors f (x) = 1 − x + 2x3 + o(x3 ).
– Il arrive qu’on utilise les notations “O” de Landau dans un d´eveloppement limit´e.
Par exemple, si f (x) = 1 + 2x2 + x3 − x4 + o(x4 ), alors f (x) = 1 + 2x2 + x3 + O(x4 ).
Cette derni`ere ´ecriture contient un peu plus d’informations que f (x) = 1 + 2x2 + x3 + o(x3 ).
DL et ´
equivalents
n
P
– On consid`ere le d´eveloppement f (x) =
ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ).
k=0

Si tous les ak sont nuls, alors f (x) est n´egligeable devant (x − x0 )n au voisinage de x0 .
Sinon, et si m est l’indice minimum tel que am 6= 0, alors f (x) ∼ am (x − x0 )m en x0 .
Inversement, si f (x) ∼ am (x − x0 )m en x0 , avec m ∈ IN, alors f (x) = am (x − x0 )m + o((x −
x0 )m ).
x2 x4
x2
x4
Par exemple : cos x = 1 −
+
+ o(x4 ) ⇒ cos x − 1 +

en 0.
2!
4!
2!
4!
– Dans la pratique, on utilisera souvent les ´equivalents dans les recherches de limites, et les
d´eveloppements limit´es lorsqu’on cherche plus de pr´ecision (par exemple non seulement l’existence d’une demi-tangente mais encore la position de la courbe par rapport `a celle-ci) ou
quand il est difficile d’utiliser des ´equivalents (notamment dans les sommes.)

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Partie V : D´eveloppements limit´es

DL `
a gauche ou `
a droite en un point
Soit f : I → IR une application d´efinie au voisinage d’un point x0 .
Il arrivera que seule la restriction de f `a I∩]a, +∞[ ou `a I∩] − ∞, a[ poss`ede un DL en x0 .
On parlera dans ce cas de d´eveloppement limit´e `a droite ou `a gauche en x0 .

efinition (d´eveloppement limit´e au voisinage de ±∞)
Soit f : I → IR une application d´efinie au voisinage de +∞ (ou de −∞.)
Soit n un entier naturel. On dit que f admet un d´eveloppement limit´e (en abr´eg´e un DL) `a
l’ordre n en +∞ (resp. en −∞) s’il existe des r´eels a0 , a1 , . . . , an et une fonction x 7→ ε(x)
n a
P
ε(x)
k
tels que : ∀ x ∈ I, f (x) =
+ n , avec lim ε(x) = 0.
k
x→∞
x
k=0 x
1
n a
P
k
Avec les notations de Landau, cela peut s’´ecrire : f (x) =
+
o
.
k
xn
k=0 x
Remarque
Tant pour les DL `a droite o`
u `a gauche que pour les DL en ±∞, on dispose de propri´et´es
analogues `a celles qui ont d´ej`a ´et´e vues (unicit´e, troncature, ´equivalents, etc.)
Importance des d´
eveloppements `
a l’origine
– f a un DL d’ordre n en x0 ⇔ g : x 7→ g(x) = f (x0 + x) a un DL d’ordre n en 0.
n
n
P
P
ak xk + o(xn ).
Plus pr´ecis´ement : f (x) =
ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ) ⇔ g(x) =
k=0

k=0


– De mˆeme, f a un DL d’ordre n en ±∞ ⇔ h : x 7→ h x1 a un DL d’ordre n en 0.
1
n a
n
P
P
k
Plus pr´ecis´ement : f (x) =
+
o

h(x)
=
ak xk + o(xn ).
k
n
x
x
k=0
k=0
– Ces deux remarques, et le fait que les calculs y sont plus simples, font que les DL sont
g´en´eralement form´es `a l’origine (c’est d’ailleurs le cas des DL usuels.)
DL et continuit´
e, DL et d´
erivabilit´
e
– Dire que f admet un DL f (x) = a0 + o(1) d’ordre 0 en x0 , c’est dire que f est continue (ou
prolongeable par continuit´e) en x0 .
Ce d´eveloppement s’´ecrit n´ecessairement f (x) = f (x0 ) + o(1).
– Dire que que f admet un DL f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + o(x − x0 ) d’ordre 1 en x0 , c’est dire
que f est d´erivable (apr`es prolongement ´eventuel en x0 ).
Ce d´eveloppement s’´ecrit n´ecessairement f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ).
– En revanche un DL d’ordre n ≥ 2 en x0 n’implique pas que f soit deux fois d´erivable en x0 .
Un contre-exemple est donn´e par l’application f : x 7→ x3 sin x1 en 0.
– Si f est de classe C n de I dans IR, et si x0 appartient `a I, alors l’´egalit´e de Taylor-Young
prouve l’existence du DL de f en x0 `a l’ordre n. Ce DL s’´ecrit :
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +

f 00 (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 )2 + · · · +
(x − x0 )n + o((x − x0 )n )
2!
n!

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´rivation, convexite
´ , De
´veloppements limite
´s
De
Partie V : D´eveloppements limit´es

Placement par rapport `
a une tangente ou `
a une asymptote
– On suppose que f admet un DL d’ordre n ≥ 3 en x0 :
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 )n )).
On sait que cela implique la d´erivabilit´e de f en x0 , avec f (x0 ) = a0 et f 0 (x0 ) = a1 .
L’´equation de la tangente ∆ `a la courbe y = f (x) en x = x0 est donc y = a0 + a1 (x − x0 ).
Remarque : si le DL n’est valable qu’`a gauche ou `a droite de x0 , c’est une demi-tangente.
Soit m l’indice minimum tel que m ≥ 2 et am 6= 0.
Alors f (x) − a0 − a1 (x − x0 ) ∼ am (x − x0 )m au voisinage de x0 .
On en d´eduit le placement local de la courbe y = f (x) par rapport `a ∆.
Si m est pair, le placement de y = f (x) par rapport `a ∆ est donn´e par le signe de am .
Si am > 0, la courbe est localement “au-dessus” de sa tangente.
Si am < 0, la courbe est localement “en-dessous” de sa tangente.
Si m est impair, la courbe y = f (x) “traverse” ∆ au voisinage de M0 .
∆ est donc une tangente d’inflexion.
f (x)
a1
an 1
– On suppose qu’au voisinage de ±∞ on a le d´eveloppement :
= a0 + +· · ·+ n +o n .
x
x
x
x
1
an
a2
Alors f (x) = a0 x+a1 + +· · ·+ n−1 +o n−1 (c’est un “d´eveloppement asymptotique”.)
x
x
x
Ainsi lim (f (x) − a0 x − a1 ) = 0. On en d´eduit que la droite ∆ d’´equation y = a0 x + a1 est
x→±∞

asymptote `a la courbe y = f (x) au voisinage de ±∞.
am
.
xm−1
On en d´eduit le placement de la courbe y = f (x) par rapport `a ∆ au voisinage de ±∞.

Soit m l’indice minimum tel que m ≥ 2 et am 6= 0. Alors f (x) − a0 x − a1 ∼

DL et parit´
e
– Soit f une application d´efinie sur un intervalle de centre 0.
On suppose que f admet un DL d’ordre n `a l’origine : f (x) =

n
P

ak xk + o(xn ).

k=0

Si f est paire, la partie principale du DL est paire.
Autrement dit les coefficients a2k+1 sont nuls : f (x) = a0 + a2 x2 + · · · + a2k x2k + · · ·
Si f est impaire, alors la partie principale du DL de f est un polynˆome impair.
Autrement dit les coefficients a2k sont nuls : f (x) = a1 x + a3 x3 + · · · + a2k+1 x2k+1 + · · ·
– Si on forme le DL d’une fonction paire ou impaire, il pourra ˆetre utile d’utiliser cette parit´e
et la notation “O” pour am´eliorer `a peu de frais la pr´ecision du d´eveloppement.
Supposons par exemple que f soit paire : f (x) = a0 + a2 x2 + a4 x4 + O(x6 ) est plus pr´ecis que
f (x) = a0 + a2 x2 + a4 x4 + o(x5 ), lui-mˆeme plus pr´ecis que f (x) = a0 + a2 x2 + a4 x4 + o(x4 ).
Une derni`
ere remarque
Dans un DL f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x)k + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 )n ), on ne
d´eveloppera jamais les termes ak (x − x0 )k , avec k ≥ 2.
En revanche, on rappelle que y = a0 + a1 (x − x0 ) = a1 x + (a0 − a1 x0 ) est l’´equation de la
tangente en M0 (x0 , f (x0 )) `a la courbe y = f (x).

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´veloppements limite
´s
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Partie V : D´eveloppements limit´es

V.2


eveloppements limit´
es usuels

Tous les d´eveloppements ci-dessous sont valables `a l’origine, et peuvent ˆetre obtenus par la
formule de Taylor-Young (ou par d’autres m´ethodes qui seront expos´ees plus loin.)
n

X xk
x2 x3
xn
e =1+x+
+
+ ··· +
+ o(xn ) =
+ o(xn )
2!
3!
n!
k!
k=0
x

n

2n+1
2k+1
X
x3 x5
k x
n x
2n+2
sin x = x −
+
+ · · · + (−1)
+ o(x
)=
(−1)
+ o(x2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
(2k + 1)!
k=0
n

cos x = 1 −

X
x2n
x2k
x2 x4
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+1 ) =
(−1)k
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
(2k)!
k=0
n

sh x = x +

X x2k+1
x3 x5
x2n+1
+
+ ··· +
+ o(x2n+2 ) =
+ o(x2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
(2k
+
1)!
k=0

ch x = 1 +

X x2k
x2n
x2 x4
+
+ ··· +
+ o(x2n+1 ) =
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
(2k)!
k=0

n

tan x = x +

x3 2x5
+
+ o(x6 )
3
15

th x = x −

x3 2x5
+
+ o(x6 )
3
15
n

X
1
= 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + o(xn ) =
(−1)k xk + o(xn )
1+x
k=0
n

X
1
= 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + o(xn ) =
xk + o(xn )
1−x
k=0
(1 + x)α = 1 + αx +

α(α − 1) 2
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
x + ··· +
x + o(xn )
2!
n!
n

X
x2 x3
xn
xk
ln(1 + x) = x −
+
+ · · · + (−1)n+1 + o(xn ) =
(−1)k+1 + o(xn )
2
3
n
k
k=1
n
X
x2 x3
xn
xk
n
ln(1 − x) = −x −

− ··· −
+ o(x ) = −
+ o(xn )
2
3
n
k
k=1
n

X
x3 x5
x2n+1
x2k+1
arctan x = x −
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+2 ) =
(−1)k
+ o(x2n+2 )
3
5
2n + 1
2k
+
1
k=0
arcsin x = x +

1 x3 1 · 3 x5 1 · 3 · 5 x7
+
+
+ · · · + o(x2n+2 )
2 3
2·4 5
2·4·6 7

arccos x =

π
− arcsin x = · · ·
2

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´ , De
´veloppements limite
´s
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Partie V : D´eveloppements limit´es

V.3

Op´
erations sur les DL

Pour simplifier, les r´esultats sont ´enonc´es pour des DL `a l’origine, mais on peut facilement les
adapter `a des d´eveloppements en un autre point, voire en ±∞.
Combinaisons lin´
eaires
– Soient f, g : I → IR telles que f (x) =

n
P

ak xk + o(xn ) et g(x) =

k=0

Alors, pour tous scalaires α, β, on a : (αf + βg)(x) =

n
P

n
P

bk xk + o(xn ).

k=0

(αak + βbk )xk + o(xn ).

k=0

– Exemples :




π
2
2
x2 x3 x4
sin x +
=
(sin x + cos x) =
1+x−

+
+ o(x4 ) .
4
2
2
2!
3!
4!




3
5
1
1+x
1
x
x
x2n+1

ln
=
ln(1 + x) − ln(1 − x) = x +
+
+ ··· +
+ o(x2n+2 ).
2
1−x
2
3
5
2n + 1
DL obtenu par primitivation
– Soit f : I → IR admettant un DL d’ordre n en 0 : f (x) =

n
P

ak xk + o(xn ).

k=0

Soit F une primitive de f sur l’intervalle I (donc une application d´erivable telle que F 0 = f .)
Alors F a en 0 un DL d’ordre n + 1 obtenu par int´egration terme `a terme de celui de f .
n
P
ak k+1
+ o(xn+1 ) (ne pas oublier F (0)...)
Plus pr´ecis´ement : F (x) = F (0) +
k+1 x
k=0

– Exemples :
x3 2x5
Si f (x) = ln cos x, alors f 0 (x) = − tan x = −x −

+ o(x6 ).
3
15
x2 x4 x6
On en d´eduit f (x) = − −

+ o(x7 ).
2
12 45
x+2
1
Si f (x) = arctan
, alors f 0 (x) =
= 1 − x2 + x4 − x6 + o(x7 ).
1 − 2x
1 + x2
x3 x5 x7
On en d´eduit f (x) = arctan 2 + x −
+

+ o(x8 ).
3
5
7
DL obtenu par d´
erivation
– Soit f une application de classe C n+1 au voisinage de 0. Alors le d´eveloppement limit´e de
f 0 en 0 `a l’ordre n s’obtient en d´erivant terme `a terme le d´eveloppement limit´e de f en 0 `a
l’ordre n + 1 (ces deux d´eveloppements r´esultent de la formule de Taylor-Young).
Ce r´esultat est surtout utilis´e pour des applications de classe C ∞ .
1
– Exemple : On sait que
= 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn ).
1−x
1
Par d´erivation, on en d´eduit :
= 1 + 2x + 3x2 + 4x3 · · · + (n + 1)xn + o(xn ).
(1 − x)2
1
Un nouvelle d´erivation donne :
= 1 + 3x + 6x2 + · · · + (n + 2)(n + 1)xn + o(xn ).
(1 − x)3

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´rivation, convexite
´ , De
´veloppements limite
´s
De
Partie V : D´eveloppements limit´es

Produit de deux DL
– Soient f, g : I → IR telles que f (x) =
Alors (f g)(x) =

n
P

n
P

ak xk + o(xn ) et g(x) =

k=0

bk xk + o(xn ).

k=0

ck xk + o(xn ), avec ck =

k=0

n
P

P

ai b j .

i+j=k

– Exemples :
1
x2 x3 x4
+
+
+ o(x4 ) et
= 1 + x + x2 + x3 + x4 + o(x4 ).
2!
3!
4!
1−x
5
8
65 4
ex
On en d´eduit
= 1 + 2x + x2 + x3 +
x + o(x4 )
1−x
2
3
24

On a ex = 1 + x +



1
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn ) ⇒
= 1 + 2x + 3x2 + · · · + (n + 1)xn + o(xn ).
1−x
(1 − x)2

Composition de deux DL
– Soient f, g : I → IR telles que f (x) =

n
P

ak xk + o(xn ) et g(x) =

k=1

n
P

bk xk + o(xn ).

k=0

Remarque : il est important que le coefficient constant a0 du DL de f soit nul. Autrement
dit l’application f doit ˆetre un infiniment petit quand x tend vers 0.
Dans ces conditions, l’application g ◦ f admet un DL d’ordre n en 0.
n
n
P
P
Si on note P =
ak xk et Q =
bk xk les parties r´eguli`eres des DL de f et g, alors la partie
k=1

k=0

r´eguli`ere de celui de g ◦ f est obtenue en conservant les termes de degr´e ≤ n dans Q ◦ P .
n
P
Dans la pratique, on pose g(X) =
bk X k + o(X n ) et on remplace X par le DL de f (x).
k=0

On calcule de proche en proche les DL des puissances successives X k = f (x)k , en ne gardant
`a chaque ´etape que les puissances xm avec m ≤ n.
– Exemple :
Supposons f (x) = x − x2 + 2x3 + x4 + o(x4 ) et g(X) = 1 + X + 3X 2 − X 3 − X 4 + o(X 4 ).
Posons X = f (x) = x − x2 + 2x3 + x4 + o(x4 ).
On trouve X 2 = x2 − 2x3 + 5x4 + o(x4 ), puis X 3 = x3 − 3x4 + o(x4 ) et X 4 = x4 + o(x4 ).
On en d´eduit le d´eveloppement limit´e de g ◦ f `a l’ordre 4 `a l’origine :
(g ◦ f )(x) = 1 + X + 3X 2 − X 3 − X 4 + o(X 4 ) = 1 + x + 2x2 − 5x3 + 18x4 + o(x4 )
Les calculs pr´ec´edents peuvent
avantageusement prendre place dans
un tableau comme indiqu´e ci-contre.
Un tel tableau est particuli`erement
indiqu´e quand aucun des deux DL `a
composer n’est pair ou impair.

2

3

4

X x −x
2x
x
X2
x2 −2x3
5x4
X3
x3 −3x4
X4
x4
x 2x2 −5x3 18x4

coeff
1
3
−1
−1

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´s
De
Partie V : D´eveloppements limit´es

Inverse d’un DL
– Soit f : I → IR admettant un DL d’ordre n en 0 : f (x) =

n
P

ak xk + o(xn ).

k=0

On suppose que a0 6= 0 (autrement dit f poss`ede une limite non nulle en 0.)
1
Dans ces conditions l’application x 7→
poss`ede un DL d’ordre n en 0.
f (x)

1
1
1
=
o`
u g(x) = −
a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + o(xn ) .
Pour cela on ´ecrit
f (x)
a0 (1 − g(x))
a0
1
On compose ensuite le DL de x 7→ g(x) par celui de x 7→
.
1−x
– Exemple :
1
On veut calculer le d´eveloppement limit´e de x 7→
`a l’origine, `a l’ordre 7.
cos x
2
4
6
x
x
x
On sait que cos x = 1 −
+

+ o(x7 ).
2!
4!
6!
1
x2 x4 x6
1
On pose donc
=
, avec X = g(x) =

+
+ o(x7 ).
cos x
1 − g(x)
2!
4!
6!
1
On utilise ensuite
= 1 + X + X 2 + X 3 + O(X 4 ).
1−X
4
x
x6
x6
On trouve X 2 =

+ o(x7 ) et X 3 =
+ o(x7 ).
4
24
8
x2 5x4 61x6
1
On obtient finalement :
=1+
+
+
+ o(x7 ).
cos x
2
24
720
Quotient de deux DL
– Soient f, g : I → IR telles que f (x) =

n
P

ak xk + o(xn ) et g(x) =

k=0

n
P

bk xk + o(xn ), avec b0 6= 0.

k=0

On suppose donc que l’application g ne tend vers 0 `a l’origine.
f
Dans ces conditions, admet un DL en 0 `a l’ordre n.
g
Ce d´eveloppement est obtenu en effectuant le produit de celui de f par celui de

1
.
g

– Exemple :
On peut obtenir le d´eveloppement limit´e de tan x en 0 par quotient.
x3 x5 x7
+

+ o(x8 ).
On sait que sin x = x −
3!
5!
7!
1
x2 5x4 61x6
On a vu pr´ec´edemment que
=1+
+
+
+ o(x7 ).
cos x
2
24
720
On en d´eduit le d´eveloppement limit´e de x 7→ tan x en 0, `a l’ordre 8 :



sin x
x2
x4
x6
x2 5x4 61x6
=x 1−
+

+ o(x7 ) 1 +
+
+
+ o(x7 )
cos x
6
120 5040
2
24
720
3
5
7
x
2x
17x
=x+
+
+
+ o(x8 )
3
15
315

tan x =

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´veloppements limite
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Partie V : D´eveloppements limit´es

Quelques remarques pour finir
– Soient f, g : I → IR deux applications admettant un DL en 0.
On suppose que f (x) = ap xp + ap+1 xp+1 + ap+2 xp+2 + · · ·, avec p ≥ 0.
De mˆeme, on suppose que g(x) = bq xq + bq+1 xq+1 + bq+2 xq+2 + · · ·, avec q ≥ 0.
Pour former le DL du produit f g `a l’ordre n, il suffit de former celui de f `a l’ordre n − q et
celui de g `a l’ordre n − p.
Par exemple, pour calculer le DL de (1 − cos x)(sin x − x) en 0 `a l’ordre 8 :
x2 x4
x3 x5
On ´ecrit 1 − cos x =

+ o(x5 ) et sin x − x = − +
+ o(x6 ).
2!
4!
3!
5!
On en d´eduit :
x2 x4
x3

x5
x5 x7
(1 − cos x)(sin x − x) =

+ o(x5 ) − +
+ o(x6 ) = − +
+ o(x8 )
2
24
6
120
12 90
– Soient f, g : I → IR deux applications admettant un DL en 0.
On suppose que f (x) = ap xp + ap+1 xp+1 + ap+2 xp+2 + · · ·, avec p ≥ 1.
De mˆeme, on suppose que g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · ·.
Pour former le DL de g ◦f en 0, on ´ecrit : (g ◦f )(x) = b0 +b1 f (x)+b2 f 2 (x)+· · ·+bk f k (x)+· · ·
Mais le d´eveloppement de f k (x) d´ebute par (ap xp )k = akp xpk .
On voit que pour obtenir le DL de g ◦ f en 0 `a l’ordre n, il faut porter celui de f `a un ordre
m tel que pm ≤ n < p(m + 1). Donc m = E( np ).
Par exemple, pour calculer le DL de ln(1 + x − arctan x) en 0 `a l’ordre 6 :
x3 x5
X2
On ´ecrit X = x − arctan x =

+ o(x6 ) et ln(1 + X) = X −
+ O(X 3 ).
3
5
2
x6
x3 x5 x6
On trouve X 2 =
+ o(x6 ) puis ln(1 + x − arctan x) =


+ o(x6 )
18
3
5
18
– Quand on doit calculer le DL `a un ordre d´etermin´e d’une application f qui s’exprime en
fonction d’autres applications g, h, . . . il faut prendre le temps de comprendre `a quel ordre
les DL de g, h, . . . doivent ˆetre calcul´es. Il y a en effet deux risques : celui de partir avec des
DL trop “longs” et de faire beaucoup de calculs inutiles, et celui au contraire de partir avec
des DL trop “courts” ce qui oblige `a tout recommencer.

1
Par exemple, pour calculer le DL en 0 (`a droite) de f (x) = ln(cos x) `a l’ordre 2 :
x

x2 x4 x6
x x2
x3
On ´ecrit cos x = 1 −
+

+ O(x8 ) puis cos x = 1 − +

+ o(x3 ).
2!
4!
6!
2 24 720
x x2 x3
X2 X3
3
On pose X = − + −
+o(x ) et on compose par ln(1+X) = X −
+
+o(X 3 ).
2 24 720
2
3
2
3

x x
x
Apr`es calcul, on trouve : ln(cos x) = − −

+ o(x3 ).
2 12 45
Finalement, la division par x fait chuter l’ordre du DL d’une unit´e.

1
1
x
x2
Le d´eveloppement cherch´e est donc : ln(cos x) = − −

+ o(x2 ).
x
2 12 45
Pour obtenir un r´esultat `a l’ordre 2, il a donc fallu d´evelopper x 7→ cos x `a l’ordre 6.

c
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´matiques
Cours de Mathe
´rivation, convexite
´ , De
´veloppements limite
´s
De
Partie V : D´eveloppements limit´es

– Quand on veut calculer le DL de g ◦ f en 0 en composant les d´eveloppements de f et de g `a
l’origine, il faut veiller `a ce que f (x) soit bien un infiniment petit lorsque x tend vers 0, afin
que la substitution de X par f (x) soit justifi´ee dans le d´eveloppement de g(X). Si ce n’est
pas le cas, on peut souvent s’y ramener, comme dans les exemples suivants :
exp f (x) = exp(a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·) = exp(a0 ) exp(a1 x + a2 x2 + · · ·).
X2
On pose alors X = a1 x + a2 x2 + · · · et on utilise exp(X) = 1 + X +
+ ···
2!


a2
a1
ln f (x) = ln(a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·) = ln(a0 ) + ln 1 + x + x2 + · · · .
a0
a0
a2 2
X2
a1
x + x + · · · et on utilise ln(1 + X) = X −
+ ···
On pose alors X =
a0
a0
2

α
a1
a2
f (x)α = (a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·)α = aα0 1 + x + x2 + · · · .
a0
a0
a1
a2 2
α(α − 1) 2
On pose alors X =
x + x + · · · et on utilise (1 + X)α = 1 + αX +
X +···
a0
a0
2
α(α − 1) · · · (α − k + 1)
.
– On sait que (1 + x)α = 1 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + o(xn ), o`
u ak =
k!
Si on doit former un tel d´eveloppement avec une valeur particuli`ere de α, et plutˆot que
d’utiliser la formule donnant ak , il est pr´ef´erable de calculer les ak de proche en proche, au
moyen d’un tableau comme indiqu´e ci-dessous :
∗α

1

∗(α − 1) ∗ 12 ∗(α − 2) ∗ 13 ∗(α − 3) ∗ 14 ∗(α − 4) ∗ 15

a0 = a1

= a2

Par exemple, pour d´evelopper f (x) =
∗ 12

1

= a3


1
∗ −1
2 ∗2

= a4

= a5

1+x :
1
∗ −3
2 ∗3

1
∗ −5
2 ∗4

1
∗ −7
2 ∗5

1
−5
7
= a0 = a1 = 12 = a2 = −1
= a3 = 16
= a4 = 128
= a5 = 256
8



x x2 x3 5x4 7x5

+

+
+ o(x5 )
2
8
16 128 256
– Il arrive qu’on ait besoin de d´eveloppements limit´es pour trouver un simple ´equivalent d’une
expression (notamment quand cette expression est constitu´ee de sommes).
Par exemple, pour un ´equivalent de sin(sh x) − sh (sin x) en 0, il faut d´evelopper sin x et sh x
`a l’ordre 7 (pour atteindre les premiers coefficients qui ne se simplifient pas) :
x5 x7
On trouve d’abord sin(sh x) = x −

+ o(x7 ).
15 90
x5 x7
On trouve ensuite sh (sin x) = x −
+
+ o(x7 ).
15 90
x7
x7
On en d´eduit : sin(sh x) − sh (sin x) = − + o(x7 ) ∼ − .
45
45
On en d´eduit :

1+x=1+

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