Groupes, anneaux et arithmétique.pdf


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´matiques
Cours de Mathe
´tique
Groupes, anneaux, corps, arithme
Sommaire

Groupes, anneaux, corps, arithm´
etique
Sommaire
I

Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1
G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2
Partie stable pour une loi . . . . . . . . . . . . . .
I.3
Homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4
Commutativit´e et associativit´e . . . . . . . . . . .
I.5
Distributivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6
El´ement neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.7
Structure de mono¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . .
I.8
Sym´etrique d’un ´el´ement . . . . . . . . . . . . . .
I.9
El´ements simplifiables . . . . . . . . . . . . . . . .
I.10
Propri´et´es transport´ees par un morphisme surjectif
II
Groupes, sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1
Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2
Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3
Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . .
II.4
Sous-groupe engendr´e par un ´el´ement . . . . . . .
II.5
Groupes monog`enes, groupes cycliques . . . . . . .
III Le groupe sym´
etrique . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1 Le groupe sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Cycles et transpositions . . . . . . . . . . . . . . .
III.3 D´ecompositions d’une permutation . . . . . . . . .
III.4 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . .
IV Anneaux, sous-anneaux, corps . . . . . . . . . . . .
IV.1 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . .
IV.3 El´ements remarquables dans un anneau . . . . . .
IV.4 Sous-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.5 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
Arithm´
etique ´
el´
ementaire . . . . . . . . . . . . . .
V.1
Bases de num´eration dans N . . . . . . . . . . . .

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