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4.Sc.C.3.FN 12.13 .pdf



Nom original: 4.Sc.C.3.FN_12.13.pdf
Titre: 4.Sc.C.3.FN_12.133

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Classe :4ème Sciences expérimentales1

Lycée secondaire Bach Hamba - Bizerte

Prof: Mme Bayoudh

A.S :2012/201
:2012/2013
/2013

Durée : 2 heures

Nom et prénom :

WxäÉ|Ü wx vÉÇàܨÄx Ç¥F
Ç¥F xÇ Åtà{°Åtà|Öâxá
Exercice 1 (7 points)
Le plan est muni d’un repère orthonormé

, , .

La courbe (C) ci-dessous est celle d’une fonction f définie et dérivable sur IR.


La courbe (C) admet une tangente horizontale au point A(0,2).



La droite d’équation



(C) admet au voisinage de ( ∞ une branche parabolique de direction celle de l’axe des ordonnées.

1 est une asymptote à (C) au voisinage de ( ∞ .

A

(C)

1) Répondre par vrai ou faux. Aucune justification n’est demandée.
a/
2

b/ 1
c/



1

d/ la valeur moyenne ̅ de sur 0,1 vérifie ̅

1.5

2) En utilisant le graphique et les données ci-dessus :
a/ Déterminer :

0 ,

’ 0 , lim

%→'(

et lim

%→ (

.

b/ Dresser le tableau de variation de .
c/ Justifier que l’équation

0 admet dans IR une solution unique ) comprise entre 1 et 2.

Page 1

1 + (1 − )* % .

3) On suppose dans la suite que est définie sur IR par :
1

a/ Vérifier que *) =
)−1
b/ On pose + =

,

*%

A l’aide d’une intégration par partie , montrer que + = 2
c/ Soit A l’aire du domaine limité par la courbe (C) , l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.
Montrer que A =

(,

)-

,

Exercice 2 (3 points)
On consdère l’équation différentielle :


(.) : ’ = −10 + 6

désigne une fonction dérivable sur IR.

1) a/ Résoudre l’équation (.).
b/ Vérifier que la solution

de l’équation différentielle (.) telle que (0) = 0 est :
2

:

↦ 3 (1 − *

%

)

2) Aux bornes d’une bobine de résistance 4 (exprimé en ohms) et d’inductance 5 (exprimée en henrys) ,
on branche , à l’instant 6 = 0 , un générateur de force électromotrice 7 (exprimée en volts).
L’unité de temps est la seconde.
L’intensité du courant dans le circuit (exprimé en ampères ) est une fonction dérivable du temps ,
notée 8 .A l’instant t=0 l’intensité est nulle.
Au cours de l’établissement du courant , la fonction 8 est solution de l’équation différentielle :
58’ + 48 = 7
Dans toute la suite , on prend 4 = 5 , 5 = , 7 = 3 .
a/ Déduire des questions précédentes l’expression de 8(6) pour 6 ≥ 0.
b/ Déterminer lim 8(6)
;→'(

Page 2

Execice 3 (10 points)
Partie A
On considère la fonction f définie sur 0, +∞ par ( ) = √ . *

%

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( , , ).
1) Déterminer lim

%→'(

( ) ( On pourra écrire ( ) =

=

√%

×

%

=?

)

Interpréter graphiquement le résultat
2) a/ Montrer que ’( ) =

%

√%

*

%

∈ 0, +∞

pour tout

b/ Dresser le tableau de variation de f
3) Tracer la courbe C (unité graphique 2 cm)

Partie B
B'
B

On considère la suite (AB ) définie sur IN* par AB =
1) Interpréter graphiquement AB

(6) 6

2) Montrer que pour tout entier naturel non nul C , (C + 1) ≤ AB ≤ (C)

3) En déduire que la suite (AB ) est décroissante.

4) Montrer que (AB ) est convergente .Calculer sa limite.

Partie C
On considère la fonction F définie sur 1, +∞ par :
E( ) = F
1) a/ Montrer que E est dérivable sur 1, +∞

%

(6) 6

et calculer E’( )

b/ En déduire le sens de variation de E.

2) a/ Montrer que pour tout réel positif 6 , 6 + 1 ≥ 2√6
b/ En déduire que pour tout

∈ 1, +∞

, E( ) ≤

%

(6 + 1)*

c/ à l’aide d’une intégration par parties , montrer que , pour tout
%

F (6 + 1)*
d/ En déduire que pour tout

∈ 1, +∞

;

6 = 3 − (2 + )*

;

6

∈ 1, +∞ ,
%

2

, 0 ≤ E( ) ≤ .

3) On note pour tout C ∈ +G ∗ , IB la somme des (C − 1) premiers termes de la suite (AB ).
a/ Justifier que IB = E(C) pour tout C ∈ +G ∗ .

b/ Montrer que la suite (IB ) est convergente .Donner un encadrement de la limite de IB .
Page3

Bon travail et bonne chance


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