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Sujet de révision n°3 .pdf


Nom original: Sujet de révision n°3.pdf
Auteur: mak

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Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014

4ème Sc-exp
Tunis ,Tél :27509639

Sujet de révision n°3
Mai 2014

Exercice n°1 :
On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur    ;   : (E) : y '  1  t an x  y  cos x ,
 2 2
(E0) : y ' y  1 .
1) Donner l’ensemble des solutions de l’équation (E0).

2) Soient f et g deux fonctions dérivables sur    ;   et telles que f  x   g  x  cos x . Démontrer que
 2 2
la fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction g est solution de (E0).
3) Déterminer la solution f de (E) telle que f  0   0 .
Exercice n°2 :
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O ; i , j , k ) , on considère :

1)
2)
3)
4)

 les points A(1 ; 1 ; 1) et B( 3 ; 2 ; 0) ;
 le plan (P) passant par le point B et admettant le vecteur AB pour vecteur normal ;
 le plan (Q) d’équation : x  y  2 z  4  0 ;
 la sphère (S) de centre A et de rayon AB.
Montrer qu’une équation cartésienne du plan (P) est : 2x  y  z  8  0 .
Déterminer une équation de la sphère (S).
a) Calculer la distance du point A au plan (Q). En déduire que le plan (Q) est tangent à la sphère (S).
b) Le plan (P) est-il tangent à la sphère (S) ?
On admet que le projeté orthogonal de A sur le plan (Q), noté C, a pour coordonnées (0 ; 2 ; −1).
a) Prouver que les plans (P) et (Q) sont sécants.
b) Soit (D) la droite d’intersection des plans (P) et (Q).
xt
Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (D) est :  y  12  5 t avec t 
 z  4  3t


.

c) Vérifier que le point A n’appartient pas à la droite (D).
Exercice n°3 :
1) Résoudre dans

  l'équation: 2z²  (1 2cos  2i)z  cos  i  0
Montrer que l'équation  E  admet une racine réelle que l'on déterminera.

2) Soit    0,


a)



1
l'équation 2 z 2  2  1  i  z   i  0
2


et E
2 

b) Déduire l'autre racine en fonction de  .

1
3) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on considère les points A   et M (cos  i).
 2
Calculer AM en fonction de  et déduire la valeur de  pour laquelle AM est minimale.

Exercice n°4 :
Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus.
A) On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :

 La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test).
 La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l’événement « la personne est contaminée par le virus » et T l’événement « le test est positif ».
et désignent respectivement les événements contraires de V et T.
1) a) Préciser les valeurs des probabilités P(V), PV (T ) ,
.
Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
b) En déduire la probabilité de l’événement V T.
2) Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.
3) a) Justifier par un calcul la phrase :
« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40 % de « chances » que la personne soit contaminée ».
a) Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test
est négatif.
B) On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont
indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.
1) Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2) Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
Exercice n°5 :
Soit f la fonction définie sur l'intervalle  0 ;    par : f  x   x 

ln x
x2

.

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i , j ) (unité graphique 2 cm).

 par  
A) 1) Soit u la fonction définie sur l'intervalle 
.
0
;


a) Étudier le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle 
.
b) Calculer u  1  et en déduire le signe de u  x  pour x appartenant à l'intervalle  0 ;    .
2) a) Déterminer les limites de f en 0 et en  .
b) Déterminer la fonction dérivée de f et construire le tableau de variation de la fonction f.
3) a) Démontrer que la droite    d'équation y  x est asymptote oblique à la courbe (C).
b) Déterminer la position de (C) par rapport à    .
c) Tracer la courbe (C) et la droite    .
B) On note  un nombre réel strictement positif et on désigne par A    l'aire, exprimée en unités d'aire, de la
partie du plan délimitée par la courbe (C), la droite    et les droites d'équation x = 1 et x   .
1) On suppose dans cette question que   1 .
0 ;

u x  x 3  1  2 ln x

a) À l’aide d'une intégration par parties, démontrer que : A     1 
b) Déterminer la limite l de A    lorsque  tend vers
1
2) Démontrer que l  A   .
 e

 .

ln 





1



.


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