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Cours fractions fin .pdf



Nom original: Cours fractions fin.pdf
Titre: Cours fractions fin
Auteur: admin

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Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Juin 2008

Les Fractions

SOMMAIRE :

Notions de fraction
1. Simplification d'une fraction
2. Comparaison de fractions
3. Additions et soustractions des fractions
4. Multiplications des fractions
5. Divisions des fractions

6. Résolutions de problèmes
Autocorrections

Formateur : Zwingelstein Sandra

1

Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Juin 2008

Les Fractions

Notions de fraction
Une fraction est en fait une division du numérateur par son dénominateur :

Trait de fraction

15
19

numérateur
dénominateur

La valeur, ici, de la fraction équivaut donc au résultat de la division de 15 par 19.
On peut lire 15 sur 19 ou quinze dix-neuvièmes.
Pour prendre les

3
d'un disque, on le coupe en quatre parts égales et on en prend
4

trois :

Lecture de quelques fractions :
1
: on lira un sur deux ou un demi
2

2
: deux sur trois ou deux tiers
3

3
: trois sur quatre ou trois quarts
4

4
: quatre sur cinq ou quatre cinquièmes
5

7
: sept sur dix ou sept dixièmes
10

3
: trois sur cinquante ou trois
50
cinquantièmes

Formateur : Zwingelstein Sandra
2

Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Juin 2008

Les Fractions
1.Simplification d'une fraction
Pour simplifier une fraction, il faut écrire le numérateur et le dénominateur sous
la forme de multiplications de nombres entiers les plus simples possibles, afin de
trouver un facteur commun (nombre identique au numérateur et au
dénominateur) que vous éliminerez.
Cas particuliers :

12
=1
12

3
=3
1

0
=0
8

et

5
n’existe pas !!!
0

Quelques exemples :
25 5 x 5 5
=
=
30 5 x 6 6

55 5 x 11 5
=
=
33 3 x 11 3

120 12 x 10 12 4 x 3 3
=
=
=
=
80
8 x 10
8 4x2 2

Vous devrez toujours présenter, dans les exercices, les fractions avec l'écriture
la plus simplifiée possible : on dit alors que la fraction est irréductible.
Vous devrez aussi les faire apparaitre sans virgule :
1,25 1,25 x 100 125 5 x 25
5
=
=
=
=
4,5
4,5 x 100 450 18 x 25 18

A vous d'agir :
Simplifier au maximum les fractions suivantes, et si nécessaire faire disparaître
les nombres décimaux :
13
=
13

1,2
=
10

225
=
110

15
=
2,1

21
=
49

240
=
640

2,5
=
4,25

9
=
36

81
=
45

18
=
30

0
=
21

48
=
24

Formateur : Zwingelstein Sandra

3

Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Juin 2008

Les Fractions
2. Comparaison de fractions
Pour pouvoir comparer des fractions, il faut obligatoirement qu'elles aient le
même dénominateur. Ainsi il suffira de comparer les numérateurs.

Quelques exemples :
Fractions à
comparer

Réduction au même
dénominateur

Comparaison et conclusion

1
3
et
4
2

1 1x2 2
3
=
= et a déjà le bon
2 2x2 4
4
dénominateur

2
4
et
3
5

2 2 x 5 10
4 4 x 3 12
=
=
et =
=
3 3 x 5 15
5 5 x 3 15

2 < 3, donc

10 < 12, donc

A vous d'agir : comparer les fractions suivantes
3
2
et
10
5

4
20
et
6
30

2
3
et
3
8

4
3
et
5
7
Formateur : Zwingelstein Sandra

4

2 3
1 3
< d'où <
4 4
2 4

10 12
2 4
<
d'où <
15 15
3 5

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Mise à jour :
Juin 2008

Les Fractions
3. Additions et soustractions des fractions
Avant de faire la somme ou la différence de deux fractions, il faut d’abord les
réduire au même dénominateur puis on additionne les numérateurs en gardant les
dénominateurs.
Quand on réduit au même dénominateur, il faut multiplier en haut et en bas par
le même chiffre. Le dénominateur commun le plus facile à trouver est celui qui
résulte de la multiplication des dénominateurs des deux fractions de départ.
Lorsque l’opération est effectuée, pour présenter le résultat final, il ne faudra
pas oublier de simplifier la fraction si cela est possible.

Quelques exemples :
1 3
+ =
5 5

4
5

5 10
+
=
6 6

15 5 x 3 5
=
=
6 2x3 2

3 4
+ =
5 7

3 x 7 5 x 4 21 20 41
+
=
+
=
5 x 7 5 x 7 35 35 35

11 5
– =
9 6

2 x 11 3 x 5 22 15 7
=

=
2 x 9 3 x 6 18 18 18

8+

2
=
3

8 x 3 2 24 2 26
+ =
+ =
1x3 3 3 3 3

A vous d'agir :
3 4

=
5 15
23 2
+ =
10 8
1 3 1
+ - =
2 4 7
11 7 2
+
+ =
30 10 5
Formateur : Zwingelstein Sandra

5

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Mise à jour :
Juin 2008

Les Fractions
4. Multiplications des fractions
Pour multiplier deux fractions entre elles, on multiplie les numérateurs entre eux
et les dénominateurs entre eux.
Le principe reste le même que pour les simplifications : on décompose les
nombres de la fraction en multiplications simples.
Le résultat sera là aussi à présenter sous sa forme irréductible!

Quelques exemples :
22
x 58 =
29

22 x 58 22 x 2 x 29 44
=
=
= 44
29
29
1

3 5
x =
4 7

3 x 5 15
=
4 x 7 28

2 2
x =
3 5

2x2 4
=
3 x 5 15

4 15
x
=
9 8

4 x 15
4x5x3
5
5
=
=
=
9x8 4x2x3x3 2x3 6

6 1
x =
8 4

6x1 2x3x1 3x1 3
=
=
=
8 x 4 2 x 4 x 4 4 x 4 16

3 5 24 2
3 x 5 x 24 x 2 5 x 3 x 3 x 4 x 2 x 2 5 x 2 x 2 20
x x
x =
=
=
=
4 9 7 11
4 x 9 x 7 x 11
3 x 3 x 4 x 7 x 11
7 x 11
77

A vous d'agir :
21 3
x
=
2 49
2 1 7
x x =
3 5 4
35 42
x
=
36 49
1 4
x x8=
5 3
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6

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Mise à jour :
Juin 2008

Les Fractions
5. Divisions des fractions
Pour diviser deux fractions entre elles, on multiplie la première par l'inverse de
la seconde.
Le résultat sera, là aussi, à présenter sous sa forme irreductible!

Rappel :
Chercher l'inverse d'une fraction, c'est échanger le numérateur et le
3
2
dénominateur (A ne pas confondre avec l'opposé).L'inverse de est , l'opposé
2
3
 3
3
1
7
de est - . Attention, l'inverse de 7 est , car 7 peut s'écrire en fraction .
2
7
1
 2

Quelques exemples :
2 4
: =
3 7
9
5
=
2
5
7
: 14 =
6

2 7 2x7
2x7
7
x =
=
=
3 4 3x4 2x2x3 6
9 2 9 5 9x5 9
: = x =
=
5 5 5 2 2x5 2
7 14 7 1
1x7
1
:
= x
=
=
6 1 6 14 6 x 2 x 7 12

A vous d'agir :
3 1
: =
4 4
7
2
=
5
2
25 0
: =
89 8
25 10
:
=
24 36
Formateur : Zwingelstein Sandra
7

Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Juin 2008

Les Fractions
6. Résolution de problèmes
Les énoncés type "problèmes" sont souvent difficiles, il faut les lire plusieurs fois et se
faire un dessin. Il faut ensuite traduire l’énoncé en français, dans un langage
mathématique. Pour se faire, il y a des mots cléfs à repérer :
Pour calculer la fraction d’une quantité (comme les trois quarts de 20kg), on multiplie
la fraction par la quantité. En maths les mots “de”, “du”, “des”, “d’ ” se remplacent
par le signe “x”. La multiplication se fait comme entre deux fractions (le nombre
entier a pour dénominateur 1).
Pour calculer 1 fraction “restante”, on commence toujours par : 1 “-” la fraction.
N’oubliez pas de présenter le résultat sous sa forme simplifiée accompagnée d’une
phrase énonçant le résultat !!!

Quelques exemples :
Enoncé

Calculs

400 candidats se présentent à un concours. 3/5 des 1. Calcul du nombre de candidats
candidats ont réussi l’épreuve écrite (ils sont
admissibles :
3
3x400
admissibles) et peuvent passer l’épreuve orale. Après
x 400 =
= 240
l’oral, ¾ des admissibles sont définitivement reçus.
5
5
candidats admissibles.
1. Combien y a-t-il d’admissibles?
2. Calcul du nombre de reçus?
3
3 x 240
x 240 =
= 180
2. Combien de candidats sont finalement reçus?
4
4
candidats reçus.
Laury part en week-end. Le premier jour, elle utilise Fraction de la pellicule restante :
3 5 3 2
3/5 des photos de sa pellicule.
1– = – = .
5 5 5 5
Quelle fraction de la pellicule reste-t-il pour le Il reste donc 2/5 des photos de
lendemain?
la pellicule!

A vous d'agir :
Michel a un jardin de 1500 m² ; le gazon occupe deux
tiers de la surface totale et le potager les trois
quarts de ce qui reste.
1. Quelle est la superficie à tondre?
2. Quelle est celle du potager?
Aude mange 3/8 d’une tablette de chocolat de 100g.
1. Quelle fraction de la tablette reste-t-il?
2. Quel poids de la tablette a été dévoré?

Formateur : Zwingelstein Sandra

8

Autocorrection
Pour vérifier : simplifications de fractions
13
=1
13

1,2 12
3
=
=
10 100 25

225 45
=
110 22

15 150 50
=
=
2,1 21
7

21 3
=
49 7

240 24 3
=
=
640 64 8

2,5 250 10
=
=
4,25 425 17

9 1
=
36 4

81 9
=
45 5

18 3
=
30 5

0
=0
21

48
=2
24

Pour vérifier : comparaison de fractions
2
3
et
10
5

3
2 2x2 4
3 4
3 2
a déjà le bon dénominateur et =
=
3 < 4, donc
<
d'où
<
10
5 5 x 2 10
10 10
10 5

20
4
et
6
30

4 2x2 2
20 2 x 10 2
=
= et
=
=
6 2x3 3
30 3 x 10 3

ici

2
3
et
3
8

2 2 x 8 16
3 3x3 9
=
=
et =
=
3 3 x 8 24
8 8 x 3 24

16 > 9 donc

3
4
et
7
5

4 4 x 7 28
3 3 x 5 15
=
=
et =
=
5 5 x 7 35
7 7 x 5 35

28 > 15, donc

4 2
20 2
4 20
= et
= donc =
6 3
30 3
6 30
16 9
2 3
>
d'où >
24 24
3 8
28 15
4 3
>
donc >
35 35
5 7

Pour vérifier : additions et soustractions de fractions
3 4

=
5 15

3x3 4
9 4
5 5x1 1

=

=
=
=
5 x 3 15 15 15 15 5 x 3 3

23 2
+ =
10 8

23 x 4 2 x 5 92 10 102 2 x 51 51
+
=
+
=
=
=
10 x 4 8 x 5 40 40 40 2 x 20 20

1 3 1
+ - =
2 4 7
11 7 2
+
+ =
30 10 5

1 x 14 3 x 7 1 x 4 14 21 4 31
+
=
+
=
2 x 14 4 x 7 7 x 4 28 28 28 28
11 7 x 3 2 x 6 11 21 12 44 2 x 22 22
+
+
=
+
+
=
=
=
30 10 x 3 5 x 6 30 30 30 30 2 x 15 15

Pour vérifier : multiplications de fractions
21 3
x
=
2 49

21 x 3 3 x 7 x 3 3 x 3 9
=
=
=
2 x 49 2 x 7 x7 2 x 7 14

2 1 7
x x =
3 5 4

2x1x7
1x7
7
=
=
2 x 2 x 5 x 3 2 x 5 x 3 30

35 42
x
=
36 49

35 x 42 5 x 7 x 7 x 6 5
=
=
36 x 49 7 x 7x 6 x 6 6

1 4
x x8=
5 3

1 x 4 x 8 32
=
5 x 3 x1 15

Pour vérifier : divisions de fractions
3 1
: =
4 4

3 4 3x4 3
x =
= =3
4 1 1x4 1

7 5
: =
2 2

7 2 2x7 7
x =
=
2 5 2x5 5

25 0
: =
89 8
25 10
:
=
24 36

Impossible car en maths il est interdit de diviser par zéro!!!
25 36 5 x 5 x 3 x 12 15
x
=
=
24 10 2 x 5 x 2 x 12 4

9

Pour vérifier : petits problèmes
Michel a un jardin de 1500 m² ; le gazon occupe deux tiers de la surface totale et le
potager les trois quarts de ce qui reste.
Commençons par faire un dessin :
Jardin

Potager

2. Quelle est la superficie à tondre?
Calculons la superficie du gazon à tondre :

2
2 x 1500 3000
x 1500 =
=
= 1000 m² à
3
3
3

tondre
3. Quelle est celle du potager?
Calculons dans un premier la surface restante : 1500 – 1000 = 500 m² restant
3
3 x 500 1500
Le potager occupe les ¾ de ce qui reste donc : x 500 =
=
= 375 m²
4
4
4

Aude mange 3/8 d’une tablette de chocolat
de 100g.
Commençons par un dessin :

3. Quelle fraction de la tablette reste-t-il?
Il est très facile de voir sur le dessin qu’il reste donc 5/8 de la tablette de chocolat.
3 8 3 5
Effectuons le calcul : 1 – = – =
8 8 8 8
4. Quel poids de la tablette a-t-elle dévoré?
3
3 x 100 300
Une tablette pesant 100g, elle a dévoré :
x 100 =
=
= 37,5 g de
8
8
8
chocolat ! ! !

10


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