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Des sch´emas de type HLL pour les ´equations
d’Euler
Guillaume FOUCART
19 d´ecembre 2011

Les ´equations d’Euler s’´ecrivent :

∂t U + ∂x F (U ) = 0



q
 
ρ
 q2





avec U = q et F (U ) =  ρ + p 
q

E
(E + p)
ρ

avec p = (γ − 1)ρe avec e =

q
E u2
−
avec u =
ρ
2
ρ

1)




q





q





q

E u2 
q2
 q2
  q2
 


 
 
+ (γ − 1)ρ
−
+
(γ
−
1)ρe
+
p


F (U ) =  ρ
= ρ
 =  ρ
ρ
2


 
q
 q


2

q
E u
(E + p)
E + (γ − 1)ρe
E + (γ − 1)ρ
−
ρ
ρ
ρ
ρ
2





q 2


q



ρ
2


2
2
 q
  q

ρ
ρu

 

+ (γ − 1) E −
+ (γ − 1) E −




2
=  ρ
2  =  ρ

q 2


2

q

!
ρu




ρ
E + (γ − 1) E −
q

ρ
ρ
2
E + (γ − 1) E −
ρ
2




q



q





q




2

 q2

q2 

 (γ − 1)E + 1 − 1 (γ − 1) q 
+
(γ
−
1)
E
−


=
2ρ 
2
 ρ
=

ρ


2
2
q



q
q
1
q
E + (γ − 1) E −
γE − (γ − 1)
ρ
2ρ
ρ
2
ρ

1




q
2

(γ − 1)E + 1 (3 − γ) q 
=
2
ρ


3

qE 1
q 
γ
− (γ − 1) 2
ρ
2
ρ


∂F1 (U )

∂U1 − λ

∂F2 (U )
PF (U ) (λ) = det(JF (U ) − λI) =

∂U1
∂F (U
)
3


∂U1

∂F1 (U )
∂U2
∂F2 (U )
−λ
∂U2
∂F3 (U )
∂U2


∂F1 (U )


∂U3

∂F2 (U )


∂U3

∂F3 (U )
− λ
∂U3



∂q

−λ

∂ρ


1
q2
∂ (γ − 1)E + (3 − γ)

2
ρ
=
∂ρ


3

∂ γ qE − 1 (γ − 1) q

ρ
2
ρ2


∂ρ

∂q
∂q

1
q2
∂ (γ − 1)E + (3 − γ)
2
ρ
−λ
∂q
qE 1
q3
∂ γ
− (γ − 1) 2
ρ
2
ρ
∂q



0−λ

2

1
− (3 − γ) q
=
2
ρ2
qE
q3
−γ
+ (γ − 1) 3

2
ρ
ρ

1



∂q


∂E


1
q2

∂ (γ − 1)E + (3 − γ)
2
ρ

∂E

qE 1

3

q

∂ γ
− (γ − 1) 2

ρ
2
ρ
− λ
∂E





γ − 1


q
γ − λ
ρ
0

q
(3 − γ) − λ
ρ
E 3
q2
γ − (γ − 1) 2
ρ
2
ρ





−λ
1
0




1
− (3 − γ)u2

(3
−
γ)u
−
λ
γ
−
1
=

2

Eu
E 3
3
2

−γ
+
(γ
−
1)u
γ
−
(γ
−
1)u
γu
−
λ


ρ
ρ
2
1
1
E
E γ − 1
γ + ( γ − 1)
Eu
3
2
2
2
+ (γ − 1)u = −γu
−
u = −γu
−
u2
−γ
ρ
ρ
γ
ρ
γ
1
1
1
1
E
E u2

γ
γ−1
γ−1
γ−1
2
2
2
2
2
2
2
= −γu
−
u −
u = −γu
−
−
u = −γu e −
u2
ρ
γ
γ
ρ
2
γ
γ
1
= −γue + ( γ − 1)u3
2

2

3
2
3
3
1
E 3 γ − 1
E

E
γ−
γ+( γ− )
E 3
2 u2 = γ
2
2 u2
γ − (γ − 1)u2 = γ
−
u2 = γ
− 2
− 2
ρ
2
ρ
2 γ
ρ
γ
ρ
γ
1
3
3
3
E

E u2 γ −



γ
γ−
γ−
2 u2 = γ
2 u2 = γ e −
2 u2 = γe − (γ − 3 )u2
=γ
− 2 u2 −
−
−
ρ
γ
γ
ρ
2
γ
γ
2



−λ
1
0


1


2
(3
−
γ)u
(3
−
γ)u
−
λ
γ
−
1
−


PF (U ) (λ) =

2


1
3
−γue + ( γ − 1)u3 γe − (γ − )u2 γu − λ
2
2







− 1 (3 − γ)u2

(3 − γ)u − λ
γ
−
1
γ
−
1




1+2
2
= (−1)1+1 (−λ)
3 2
+ (−1) (1)

1
−γue + ( γ − 1)u3 γu − λ
γe − (γ − )u γu − λ


2
2





3
= −λ (3 − γ)u − λ (γu − λ) − γe − (γ − )u2 (γ − 1)
2




1
1
2
3
− − (3 − γ)u (γu − λ) − −γue + ( γ − 1)u (γ − 1)
2
2


3
= −λ γ(3 − γ)u2 − (3 − γ)uλ − γuλ + λ2 − γ(γ − 1)e + (γ − 1)(γ − )u2
2
1

1
1
− − γ(3 − γ)u3 + (3 − γ)u2 λ + γ(γ − 1)eu − (γ − 1)( γ − 1)u3 )
2
2
2
3
= −γ(3 − γ)u2 λ + (3 − γ)uλ2 + γuλ2 − λ3 + γ(γ − 1)eλ − (γ − 1)(γ − )u2 λ
2
1
1
1
+ γ(3 − γ)u3 − (3 − γ)u2 λ − γ(γ − 1)eu + (γ − 1)( γ − 1)u3
2
2
2




3
1
= −λ3 + (3 − γ) + γu λ2 + − γ(3 − γ)u2 + γ(γ − 1)e − (γ − 1)(γ − )u2 − (3 − γ)u2 λ
2
2
1
1
+ γ(3 − γ)u3 − γ(γ − 1)eu + (γ − 1)( γ − 1)u3
2
2


1
1
2
= −λ + 3uλ +
− γ(3 − γ) − (γ − 1)(γ − ) − (3 − γ) u + γ(γ − 1)e λ
2
2
1

1
+ γ(3 − γ) + (γ − 1)( γ − 1) u3 − γ(γ − 1)eu
2
2
3

2



3




3
3
3 1 2
= −λ + 3uλ +
− 3γ + γ − (γ − − γ + ) − + γ u + γ(γ − 1)e λ
2
2
2 2

1
1
1
+ (3γ − γ 2 ) + ( γ 2 − γ − γ + 1) u3 − γ(γ − 1)eu
2
2
2
3

2

2

2



3
3 3 1
= −λ3 + 3uλ2 + (−3γ + γ 2 − γ 2 + γ + γ − − + γ)u2 + γ(γ − 1)e λ
2
2 2 2
1 2 1 2
1
3
+( γ − γ + γ − γ − γ + 1)u3 − γ(γ − 1)eu
2
2
2
2

= −λ3 + 3uλ2 +




− 3u2 + γ(γ − 1)e λ + u3 − γ(γ − 1)eu

PF (U ) (u) = −u3 + 3u3 +




− 3u2 + γ(γ − 1)e u + u3 − γ(γ − 1)eu = 0

donc λ2 = u




2
2
PF (U ) (λ) = −(λ − u)P (λ) = −(λ − u)(aλ + bλ + c) = −(λ − u) λ − 2uλ + u − λ(λ − 1)e
2

R´esolvons P (λ) = 0 pour d´eterminer les autres valeurs propres


∆ = b2 − 4ac = 4u2 − 4 u2 − γ(γ − 1)e = 4γ(γ − 1)e ≥ 0

car γ = 1, 4 et e ≥ 0

λ1 =

1
2

−b − ∆
=
2a

1
2

−b + ∆
λ3 =
=
2a


1
2
2u − 2 γ(γ − 1)e
2

1
2
2u + 2 γ(γ − 1)e
2


1
2
= u − γ(γ − 1)e

1
2
= u + γ(γ − 1)e


4