Rapport CS1 .pdf
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Des sch´emas de type HLL pour les ´equations
d’Euler
Guillaume FOUCART
19 d´ecembre 2011
Les ´equations d’Euler s’´ecrivent :
∂t U + ∂x F (U ) = 0
q
ρ
q2
avec U = q et F (U ) = ρ + p
q
E
(E + p)
ρ
avec p = (γ − 1)ρe avec e =
q
E u2
−
avec u =
ρ
2
ρ
1)
q
q
q
E u2
q2
q2
q2
+ (γ − 1)ρ
−
+
(γ
−
1)ρe
+
p
F (U ) = ρ
= ρ
= ρ
ρ
2
q
q
2
q
E u
(E + p)
E + (γ − 1)ρe
E + (γ − 1)ρ
−
ρ
ρ
ρ
ρ
2
q 2
q
ρ
2
2
2
q
q
ρ
ρu
+ (γ − 1) E −
+ (γ − 1) E −
2
= ρ
2 = ρ
q 2
2
q
!
ρu
ρ
E + (γ − 1) E −
q
ρ
ρ
2
E + (γ − 1) E −
ρ
2
q
q
q
2
q2
q2
(γ − 1)E + 1 − 1 (γ − 1) q
+
(γ
−
1)
E
−
=
2ρ
2
ρ
=
ρ
2
2
q
q
q
1
q
E + (γ − 1) E −
γE − (γ − 1)
ρ
2ρ
ρ
2
ρ
1
q
2
(γ − 1)E + 1 (3 − γ) q
=
2
ρ
3
qE 1
q
γ
− (γ − 1) 2
ρ
2
ρ
∂F1 (U )
∂U1 − λ
∂F2 (U )
PF (U ) (λ) = det(JF (U ) − λI) =
∂U1
∂F (U
)
3
∂U1
∂F1 (U )
∂U2
∂F2 (U )
−λ
∂U2
∂F3 (U )
∂U2
∂F1 (U )
∂U3
∂F2 (U )
∂U3
∂F3 (U )
− λ
∂U3
∂q
−λ
∂ρ
1
q2
∂ (γ − 1)E + (3 − γ)
2
ρ
=
∂ρ
3
∂ γ qE − 1 (γ − 1) q
ρ
2
ρ2
∂ρ
∂q
∂q
1
q2
∂ (γ − 1)E + (3 − γ)
2
ρ
−λ
∂q
qE 1
q3
∂ γ
− (γ − 1) 2
ρ
2
ρ
∂q
0−λ
2
1
− (3 − γ) q
=
2
ρ2
qE
q3
−γ
+ (γ − 1) 3
2
ρ
ρ
1
∂q
∂E
1
q2
∂ (γ − 1)E + (3 − γ)
2
ρ
∂E
qE 1
3
q
∂ γ
− (γ − 1) 2
ρ
2
ρ
− λ
∂E
γ − 1
q
γ − λ
ρ
0
q
(3 − γ) − λ
ρ
E 3
q2
γ − (γ − 1) 2
ρ
2
ρ
−λ
1
0
1
− (3 − γ)u2
(3
−
γ)u
−
λ
γ
−
1
=
2
Eu
E 3
3
2
−γ
+
(γ
−
1)u
γ
−
(γ
−
1)u
γu
−
λ
ρ
ρ
2
1
1
E
E γ − 1
γ + ( γ − 1)
Eu
3
2
2
2
+ (γ − 1)u = −γu
−
u = −γu
−
u2
−γ
ρ
ρ
γ
ρ
γ
1
1
1
1
E
E u2
γ
γ−1
γ−1
γ−1
2
2
2
2
2
2
2
= −γu
−
u −
u = −γu
−
−
u = −γu e −
u2
ρ
γ
γ
ρ
2
γ
γ
1
= −γue + ( γ − 1)u3
2
2
3
2
3
3
1
E 3 γ − 1
E
E
γ−
γ+( γ− )
E 3
2 u2 = γ
2
2 u2
γ − (γ − 1)u2 = γ
−
u2 = γ
− 2
− 2
ρ
2
ρ
2 γ
ρ
γ
ρ
γ
1
3
3
3
E
E u2 γ −
γ
γ−
γ−
2 u2 = γ
2 u2 = γ e −
2 u2 = γe − (γ − 3 )u2
=γ
− 2 u2 −
−
−
ρ
γ
γ
ρ
2
γ
γ
2
−λ
1
0
1
2
(3
−
γ)u
(3
−
γ)u
−
λ
γ
−
1
−
PF (U ) (λ) =
2
1
3
−γue + ( γ − 1)u3 γe − (γ − )u2 γu − λ
2
2
− 1 (3 − γ)u2
(3 − γ)u − λ
γ
−
1
γ
−
1
1+2
2
= (−1)1+1 (−λ)
3 2
+ (−1) (1)
1
−γue + ( γ − 1)u3 γu − λ
γe − (γ − )u γu − λ
2
2
3
= −λ (3 − γ)u − λ (γu − λ) − γe − (γ − )u2 (γ − 1)
2
1
1
2
3
− − (3 − γ)u (γu − λ) − −γue + ( γ − 1)u (γ − 1)
2
2
3
= −λ γ(3 − γ)u2 − (3 − γ)uλ − γuλ + λ2 − γ(γ − 1)e + (γ − 1)(γ − )u2
2
1
1
1
− − γ(3 − γ)u3 + (3 − γ)u2 λ + γ(γ − 1)eu − (γ − 1)( γ − 1)u3 )
2
2
2
3
= −γ(3 − γ)u2 λ + (3 − γ)uλ2 + γuλ2 − λ3 + γ(γ − 1)eλ − (γ − 1)(γ − )u2 λ
2
1
1
1
+ γ(3 − γ)u3 − (3 − γ)u2 λ − γ(γ − 1)eu + (γ − 1)( γ − 1)u3
2
2
2
3
1
= −λ3 + (3 − γ) + γu λ2 + − γ(3 − γ)u2 + γ(γ − 1)e − (γ − 1)(γ − )u2 − (3 − γ)u2 λ
2
2
1
1
+ γ(3 − γ)u3 − γ(γ − 1)eu + (γ − 1)( γ − 1)u3
2
2
1
1
2
= −λ + 3uλ +
− γ(3 − γ) − (γ − 1)(γ − ) − (3 − γ) u + γ(γ − 1)e λ
2
2
1
1
+ γ(3 − γ) + (γ − 1)( γ − 1) u3 − γ(γ − 1)eu
2
2
3
2
3
3
3
3 1 2
= −λ + 3uλ +
− 3γ + γ − (γ − − γ + ) − + γ u + γ(γ − 1)e λ
2
2
2 2
1
1
1
+ (3γ − γ 2 ) + ( γ 2 − γ − γ + 1) u3 − γ(γ − 1)eu
2
2
2
3
2
2
2
3
3 3 1
= −λ3 + 3uλ2 + (−3γ + γ 2 − γ 2 + γ + γ − − + γ)u2 + γ(γ − 1)e λ
2
2 2 2
1 2 1 2
1
3
+( γ − γ + γ − γ − γ + 1)u3 − γ(γ − 1)eu
2
2
2
2
= −λ3 + 3uλ2 +
− 3u2 + γ(γ − 1)e λ + u3 − γ(γ − 1)eu
PF (U ) (u) = −u3 + 3u3 +
− 3u2 + γ(γ − 1)e u + u3 − γ(γ − 1)eu = 0
donc λ2 = u
2
2
PF (U ) (λ) = −(λ − u)P (λ) = −(λ − u)(aλ + bλ + c) = −(λ − u) λ − 2uλ + u − λ(λ − 1)e
2
R´esolvons P (λ) = 0 pour d´eterminer les autres valeurs propres
∆ = b2 − 4ac = 4u2 − 4 u2 − γ(γ − 1)e = 4γ(γ − 1)e ≥ 0
car γ = 1, 4 et e ≥ 0
λ1 =
1
2
−b − ∆
=
2a
1
2
−b + ∆
λ3 =
=
2a
1
2
2u − 2 γ(γ − 1)e
2
1
2
2u + 2 γ(γ − 1)e
2
1
2
= u − γ(γ − 1)e
1
2
= u + γ(γ − 1)e
4




