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Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014

Sujet de révision n°4
Mai 2014

4ème Math
Tunis ,Tél :27509639

"L'excellence réussite est liée à la patience mais elle dépend également de beaucoup de bonne volonté "
[Gilbert Brévart]
Exercice n°1 :
Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte, on demande de la cocher :
1) Pour tout n IN* si un entier naturel n est congru a 1 modulo 7 alors le PGCD de 3n + 4 et de 4n + 3 est égale à :
a) 6
b) 4
c) 7
2) l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de l’équation 12x − 5y = 3 est l’ensemble des
couples :
a) (4 + 10k ; 9 + 24k) k
b) (21 + 12k ; 9 + 5k) k
c) (3+ 10k ; 7+ 24k) k
.
3) L’espace est rapporté à un repère orthonormé
. Soit la sphère (S) :
et le plan P : 2x-y-z =0.(S) et P sont :
a) Tangents
b) sécants
c) disjoints.
4)
est égale à :
a) 0
b) -1
c) 1.
Exercice n°2 :
A) 1) Déterminer le nombre complexe α tel que :

 1  i   1  3i
i 2  4  3i

2) Pour tout nombre complexe z, on pose f (z) = z 2  1  3i  z   4  3i  .
Montrer que f (z)= (z −α)(z −iα). En déduire les solutions sous forme algébrique de l’équation f (z) = 0.
B) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
, unité graphique : 5 cm.
1) On considère les points A et B d’affixes respectives a = 2+i et b = −1+2i. Placer A et B dans le repère .Montrer que

b = iα, en déduire que le triangle OAB est un triangle isocèle rectangle tel que
 .
2
1
2) On considère le point C d’affixe C = −1+ i . Déterminer l’affixe du point D tel que le triangle OCD soit un
2

triangle isocèle rectangle tel que
 [2 .
2
Aff OM
1
3) Soit M le milieu de [CB].Prouver que
 i.
2
Aff DA

 
 

4) Donner une mesure en radians de l’angle
.
1
5) Prouver que OM = DA .
2
6) On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB]. On admet que le quadrilatère JKLM
est un parallélogramme. Démontrer que c’est un carré.
Exercice n°3 :
Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC tel que AB  2, AC  1  5




2

1) a) Démontrer qu’il existe une seule similitude directe S transformant B en A et A en C.
b) Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de S.

[2 .

2) On appelle  le centre de S. Montrer que  appartient au cercle de diamètre [AB] et à la droite
(BC). Construire le point  .
3) On note D l’image du point C par la similitude S.
a) Démontrer l’alignement des points A,  et D ainsi que les droites (CD) et (AB) sont parallèles.
Construire le point D.
b) Montrer que CD = 3+ 5 .
4) Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).
a) Expliquer la construction de l’image F du point E par S et placer F sur la figure.
b) Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ?
Exercice n°4 :
On considère la suite  J n  définie, pour tout entier naturel n non nul, par : J n   e  t t  1 dt .
n

1

1) Démontrer que la suite  J n  est croissante.

2) On définit la suite  I n  , pour tout entier naturel n non nul, par : I n    t  1 e  t dt .
n

1

a) Justifier que, pour tout t  1 on a t  1  t  1 .
b) En déduire que J n  I n .

c) Calculer In en fonction de n. En déduire que la suite  J n  est majorée par un nombre réel.

d) Que peut-on en conclure pour la suite  J n  ?
Exercice n°5 :

 x+1  1
On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0,  par : f(x)  ln 
.
 x  x+1
1) Déterminer la fonction dérivée de la fonction et étudier le sens de variation de f.
2) Calculer lim f(x) ; lim f(x) .

I)

f

[

f

x 0

x 

3) Donner le tableau de variations de la fonction et en déduire le signe de f pour tout x appartenant à
0,  .
f

4) Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct
(C) représentative de la fonction f.
II)

l’unit´e graphique est 5cm. Tracer la courbe

 x+1 
On considère la fonction g définie sur l’intervalle 0,  par : g(x)  x ln 
.
 x 
f

1) Déterminer g’(x) pour tout x

[

0,  . Déduire

le sens de variation de g.

2) Vérifier que g=hoK avec h et K sont deux fonctions définies sur 0,  par : h(x)=

ln 1+x 
x

et K(x)=

1
x

.
En déduire limg(x) ; lim g(x) .
x 0

x 

3) Donner le tableau de variation de g sur 0,  .
III)

1) Soit  un nombre réel strictement supérieur à 1. On note A    l’aire en cm2 du domaine définie par
l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient : 1  x   ; 0  y  f(x)

a) Calculer A    en fonction de  .

b) Déterminer la limite de A    lorsque  tend vers  .
c) Justifier l’affirmation : “ L’équation A    =5 admet une solution unique notée 0

_0}


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