Sujet de révision n°5 Bac Math (2) .pdf


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Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014

Sujet de révision n°5
Mai 2014

4ème Math
Tunis ,Tél :27509639

"L'excellence réussite est liée à la patience mais elle dépend également de beaucoup de bonne volonté "
[Gilbert Brévart]
Exercice n°1 :
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la
réponse choisie.
1) L’espace est rapporté au repère orthonormé
.
Soit (P) le plan dont une équation est : 2x + y − 3z + 1 = 0 . Soit A le point de coordonnées ( 1 ; 11 ; 7 ).
Proposition 1 : « Le point H, projeté orthogonal de A sur (P) a pour coordonnées ( 0 ; 2 ; 1 ) ».
2) On considère l’équation différentielle (E) : y' = 2 − 2y . On appelle f la solution de (E) sur ℝ vérifiant f ( 0 ) = 0 .
 ln 2  1
Proposition 2 : « f 
  ».
 2  2
3) Proposition 3 : « le reste de la division euclidienne par 7 de
est 2 ».
x
4) Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x)   x  1 e
Proposition 4 : « L’équation f ( x)  0 admet une unique solution sur IR.
Exercice n°2 :
L’espace est rapporté à un repère orthonormé
.On considère les points A(6,0,0) ; B(0 ,6 ,0) ; C(0,0,6) et
D(-2,-2,-2).
1) a) Vérifier que les points A,B et C déterminent un plan P d’équation x + y + z – 6=0.
b) Vérifier que la droite (OD) est perpendiculaire au plan P.
c) Donner un système d’équation paramétrique de la droite (OD).
d) Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan P. Vérifier que H a pour coordonnées (2,2,2) et
qu’il est équidistant de A ,B et C.
e) En déduire que (OD) est l’axe du cercle circonscrit au triangle ABC.
2) Soit Q le plan médiateur du segment [CD].
a) Montrer qu’une équation cartésienne de Q est x + y +4z - 6 =0.
b) Montrer que (OD) coupe Q en un point dont on déterminera les coordonnées.
3) Soit S la sphère de centre et de rayon
.
a) Ecrire une équation cartésienne de S.
b) Vérifier que S passe par A,B,C et D.
c) Quelle est alors l’intersection de S et P ?
1
4) Soit h l’homothétie de centre A et de rapport
tel que h (S)=S’.
2
a) Déterminer l’expression analytique de h.
b) Déterminer les cordonnées de point le centre de la sphère S’.
Exercice n°3 :
A) On considère un carré direct ABCD de centre I . Soit J , K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et
[DA].
Γ1 désigne le cercle de diamètre [AI ] et Γ2 désigne le cercle de diamètre [BK].
1) Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe S telle que s(A)= I et s(B) = K.

2) Montrer que les cercles Γ1 et Γ2 se coupent en deux points distincts : le point J et le centre de la similitude directe
3) a) Déterminer les images par S des droites (AC) et (BC). En déduire l’image du point C par S.
b) Soit E l’image par s du point I . Démontrer que E est le milieu du segment [ID].
4) Démontrer que les points A, et E sont alignés .
B) Désormais, on considère que le côté du carré mesure 10 unités et on se place dans le repère orthonormé direct
.
1) Donner les affixes des points A, B, C et D.
i
2) Démontrer que la similitude directe S a pour écriture complexe : z '  z  5  5i .
2
3) Calculer l’affixe z du centre de S.
4) Calculer l’affixe z E du point E et retrouver l’alignement des points A, et E.
Exercice n°4 :
1) Déterminer le reste de la division euclidienne de
par 5 ;
IN.
2) On pose
;
IN. Déterminer les restes de la division de
par 5.
3) Résoudre dans IN :
.
4) Déterminer le reste de la division euclidienne par 5 de
.
*
5) Montrer par récurrence que pour tout n de IN on a :
.
Exercice n°5 :
ln x
On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par : f ( x)  x 
. On note C sa courbe représentative dans un
x
repère orthonormé
.
1) Soit g la fonction définie sur [1 ; +∞[ par : g ( x)  x 2  1  ln x .Montrer que la fonction g est positive sur [1 ; +∞[.
g ( x)
2) a) Montrer que pour tout x  [1 ; +∞[ , f '( x)  2 .
x
b) En déduire le sens de variation de f sur [1 ; +∞[.
c) Montrer que la droite  : y  x est une asymptote à la courbe C .
d) Etudier la position relative de la courbe C et la droite .
3) Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note respectivement M k et N k les points d’abscisse k de C et
Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égale à 2, la distance M k N k entre les points M k et N k est donnée
ln k
par M k N k 
.
k
Exercice n°6 :
1) Soit f la fonction définie sur [0;
[ par :
.
a) Déterminer la limite de la fonction f en
et étudier le sens de variation de f.
b) Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution sur l’intervalle [0,
[.
-2
Déterminer une valeur approchée de à 10 près.
c) Déterminer le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
2) On note C la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction logarithme népérien
dans le plan muni d’un repère orthonormé
.
Les courbes C et sont données en annexe.
Soit x un nombre réel strictement positif. On note M le point de C d’abscisse x et N le point de
d’abscisse x. On rappelle que pour tout réel x strictement positif,
.
a)Montrer que la longueur MN est minimale lorsque x =
b)En utilisant la question 1), montrer que :

c)En déduire que la tangente à C au point d’abscisse et la tangente à au point d’abscisse sont
parallèles.
3) Soit h la fonction définie sur ]0,+ [ par h(x) = x ln(x) − x. Montrer que la fonction h est une primitive
de la fonction logarithme népérien sur ]0,+ [.
b)Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10-2 près, de l’aire (exprimée en unités
d’aire) de la surface hachurée sur la figure jointe en annexe .


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