Sujet de révision n°6 (1) .pdf

Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014

4ème Math
Tunis ,Tél :27509639

Sujet de révision n°6
Mai 2014

Exercice n°1 :
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
1) On considère dans l’ensemble des entiers relatifs l’équation : x 2  x  4  0 (modulo 6) .
a) toutes les solutions sont des entiers pairs. b) il n’y a aucune solution. c) les solutions vérifient x  2(6) ou x  5(6) .
2) On se propose de résoudre l’équation (E) : 24x + 34y = 2, où x et y sont des entiers relatifs.
a) Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (34k−7 ; 5−24k), k  .
b) L’équation (E) n’a aucune solution.
c) Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (17k−7 ; 5−12k), k  .
3) On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, les points A et B d’affixes respectives a et
b. Le triangle MAB est rectangle isocèle direct d’hypoténuse [AB] si et seulement si le point M d’affixe z est tel
que :
a)

b  ia
z
.
1 i

i





b) z  a  e 4 ( b  a) .

c) b  z  ( a  z ) .
2

4) On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB].
Soit f la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d’angle
centre A, de rapport

1
2

et d’angle

2
; soit g la similitude directe de
3


; soit h la symétrie centrale de centre I.
3

a) h g f transforme A en B et c’est une rotation.
b)

h g f est la symétrie orthogonale ayant pour axe la médiatrice du segment [AB].

c) h g f est la translation de vecteur AB .
Exercice n°2 :
1) Soit  un réel de l'intervalle 0,   . Résoudre l’équation z 2  2iz  1  e2i  0 .
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé

, on considère les points A, M et N

d’affixes respectives 1  i ; i  e et i  e où   0,   .
i

a) Montrer que les vecteurs

et

i

sont orthogonaux.

b) Montrer que lorsque  varie dans 0,   les points M et N varient sur le cercle C que l’on précisera.
3) a) Déterminer en fonction de  l’aire A (  ) du triangle AMN.
b) Déterminer la valeur de  pour laquelle A (  ) est maximale et placer dans ce cas les points M et N sur C.
Exercice n°3 :





Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O, i, j , on donne la conique

Cm  d'équation :

2mx2 + (m+1)y2 – 8(m – 1)x – 2m – 1 = 0 où m est un paramètre réel différent de -1.
1) Pour quelle valeur de m la conique Cm  est-elle une parabole ? Déterminer alors son sommet, son
foyer et sa directrice.
2) Dans cette question on prend m = 2 .
a) Déterminer la nature, le centre et les sommets de l’axe focal de  C2  .

b) La conique C2  coupe l’axe des ordonnées aux points G et L ; écrire des équations des tangentes à

C2  en ces

points. Calculer l'aire du domaine limité par C2  et son cercle principal .





3
 x 2 et (T) sa courbe représentative dans le repère O, i, j .
2
a) Démontrer que (T) est une partie d'une courbe Cm  ; déterminer dans ce cas la nature et les éléments de Cm  .
b) On désigne par (D) le domaine limité par (T) et l’axe des abscisses.
c) Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation de (D) autour de l'axe des abscisses.

3) Soit f la fonction donnée par f ( x ) 

Exercice n°4 :
Soient f et g les fonctions définies sur l’intervalle  0 ;    par : f  x   ln x et g  x    ln x 2 . On note C et C’ les
courbes représentatives respectives de f et g dans un repère orthogonal. Les courbes C et C’ sont données cidessous.
1) a) Étudier le signe de ln x  1  ln x  sur  0 ;    .
b) En déduire la position relative des deux courbes C et C’ sur  0 ;    .
2) Pour x appartenant à  0 ;    , M est le point de C d’abscisse x et N est le point de C’ de même abscisse.
a) Soit h la fonction définie sur  0 ;    par h  x   f  x   g  x  . Étudier les variations de la fonction h sur  0 ;    .
b) En déduire que sur l’intervalle [1 ; e], la valeur maximale de la distance MN est obtenue pour x  e .
c) Résoudre dans  0 ;    l’équation  ln x 2  ln x  1 .
d) En déduire que, sur  0 ; 1    1 ;    , il existe deux réels a et b (a < b) pour lesquels la distance MN est égale à 1.
3) a) À l’aide d’une intégration par parties, calculer



e

ln xdx .
1

b) Vérifier que la fonction G définie sur  0 ;    par G  x   x   ln x 2  2ln x  2  est une primitive de la fonction

g sur  0 ;    .
c) On considère la partie du plan délimitée par les courbes C, C’ et les droites d’équations x = 1 et x = e.
Déterminer l’aire A en unités d’aire de cette partie du plan.