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Nom original: chifaaaaaa.pdfTitre: Systèmes et asservissements linéaires échantillonnésAuteur: Frédéric Gouaisbaut

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Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Syst`emes et asservissements lin´eaires ´echantillonn´es
Fr´
ed´
eric Gouaisbaut
LAAS-CNRS
Tel : 05 61 33 63 07
email : fgouaisb@laas.fr
webpage: www .laas.fr / ∼ fgouaisb, fredgouaisbaut.free.fr

February 28, 2008

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Sommaire
1

Introduction
Origines
Probl´ematique

2

Les signaux discrets
Transform´ee en Z
Th´eor`eme de Shannon

3

La mod´elisation des syst`emes lin´eaires discrets
D´efinition des syst`emes lin´eaires discrets
Un syst`eme vu comme un produit de convolution
Les ´equations aux r´ecurrence
La Fonction de transfert en Z
La Fonction de transfert ´echantillonn´ee

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Origines
- Depuis 30 ans, commandes implant´ees sur un calculateur num´erique.
- Mode de r´egulation appel´ee num´erique par opposition a` la commande
analogique.
- En g´en´eral, processus continu (variables ´evoluant d’une mani´ere
continue), exemples : avion, lanceur, dirigeable, etc...
- Syst`emes intrins`equement discrets (´economie, finance ...)
Pour/contre
- Souplesse d’emploi, pr´ecision, insensibilit´e aux bruits, fiabilit´e.
- Pertes de performances dynamiques, probl`emes de compatibilit´e,
n´ecessit´e des conversions analogiques, num´eriques.
Utilisation des commandes continues : discr´etisation
Th´eorie appropri´ee `a la nature num´erique

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Principe de la r´egulation “num´erique”

- Processus `a asservir : g´en´eralement `a temps continu.
Algorithme de r´esolution implant´e sur un calculateur num´erique qui va
r´ealiser une commande num´erique (suite de nombre cadenc´ee `a une
periode d’echantillonnage).
C.A.N : Echantillonnage des variations mesur´ees sur le processus
continu, transmis au calculateur.
C.N.A : transforme le signal discret en signal continu (transmis au
processus continu).

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Exemple
Example
23
Soit le syst`eme G (p) = p+23
asservi par l’interm´ediaire d’un correcteur
1
˙
= (t).
int´egral K (p) = p . La loi de commande `a concevoir est ainsi u(t)
Celle ci est soit r´ealis´ee de mani`ere analogique a` l’aide d’A.O., soit r´ealis´ee
par l’interm´ediaire d’un calculateur.Dans ce dernier cas, on discr´etise la loi de
)
. Nous obtenons alors les
commande en choisissant que u(t)
˙
= u(t)−u(t−T
T
diff´erentes courbes de simulation:
1.4

1.4
commande
numerique
T=0.5

1.2

amplitude de la commande

amplitude

1

0.8
commande
numerique
T=0.1

0.6

commande numerique, T=0.5

1.2

0.4

1

0.8
commande numerique, T=0.1
0.6

commande analogique

0.4

commande analogique
0.2

0

0.2

0

1

2

3

4

5
temps

6

7

8

9

10

0

0

1

2

3

4

5
temps

6

7

8

9

10

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Exemple

Probl`eme du choix de T
Probl`eme du choix de la m´ethode de discr´etisation du correcteur.
D’une mani`ere plus g´en´erale, probl`eme de la synth`ese de correcteurs
adapt´es au num´erique.
Probl`eme du m´elange entre les signaux discrets et continus.
→ Cons´equence sur les r´eponses temporelles,
sur les performances du syst`eme asservi.

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

diff´erentes architectures
mod`ele dynamique `a temps continu :
horloge

r(t)

+ e(t)
_

CAN

e(k)

calculateur

u(k) CNA
(B0Z)

u(t) procédé
continu

y(t)

régulateur

mod`ele dynamique `a temps discret (´echantillonn´e)
horloge

r(k)

+ e(k)
u(k)
calculateur
_

CNA u(t)
(B0Z)

procédé
continu

y(t)

procédé discrétisé

CAN

y(k)

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

D´efinitions d’un signal analogique
Fonction de f : R → R.

x:

R → R
t → x(t)

f(t)

t

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

D´efinitions d’un signal discret

Un signal discret correspond a` un signal qui ne prend des valeurs que pour
des instants discrets, c’est `a dire en des points distincts.

I → R
x:
i → x(i )
o`
u I est un ensemble prenant des valeurs discr`etes I = {1, 2, 3, 4, 5, 6...} ou
I = {1.1, 3.3, 5.5, 7.7, 9.9, ...}. Remarquons que ce signal n’est pas d´efini
pour des valeurs diff´erentes de tk .

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

D´efinitions d’un signal ´echantillonn´e
Signal continu observ´e `a des instants discrets I = {tk , k ∈ N}, on obtient un
signal discret. Dans ce cas, on parle plutˆot de signaux ´echantillonn´es, c’est `a
dire provenant de l’´echantillonnage d’un signal continu.

Un signal ´echantillonn´e : l’observation a`
des instants discrets f : tk , k ∈ Z → R de
signaux continus. Signal discret

N → R
xe :
i → x(ti ) = xi

f(t)

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t8

t

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Les instants discrets sont appel´es instants d’´echantillonnage.
En g´en´eral, la dur´ee entre 2 instants d’´echantillonnage est constante:
tk+1 − tk = T
o`
u T est appel´ee p´eriode d’´echantillonnage. Dans la suite du cours, on
consid`erera ainsi que
tk = kT
et on notera sans ambiguit´e x(tk ) = x(kT ) = x(k) = xk

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Description temporelle des signaux discrets
Par convention l’´echantillonnage d’une impulsion est d´efini par le poids de
l’impulsion.
Ainsi, par exemple : l’´echantillonnage de x(t) = xk0 δ(t − tk0 ) avec δ(t − tk0 ),
la distribution de Dirac `a l’instant tk0 donne :
xk = xk0 δ(k − k0 ) avec
δ(k − k0 ) = 0 si k = k0 et δ(k − k0 ) = 1 si k = k0
xk
x k0
k
0 1 2 3

k0

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Description temporelle des signaux discrets

Un signal discret quelconque peut donc ˆetre repr´esent´e par une suite
d’impulsion :
{xk } =

+∞

k=0

xi δ(k−i ) =

+∞

k=0

(xi − xi −1 )Γ(k−i ) avec

Γ(k − i ) = 0 si k < i et Γ(k − i ) = 1 si k i

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

La transform´ee en Z
Definition
La description qui utilise la transform´ee en z est ´equivalente pour les signaux
discrets a` la repr´esentation fr´equentielle (bas´ee sur la transform´ee de
Laplace) utilis´ee pour les signaux continus. Elle est parfois appel´ee par abus
de language “repr´esentation fr´equentielle”.

Definition
La transform´ee en z du signal discret xk (ou x(KT )) est not´ee Z(xk ) et est
d´efinie par :
+∞

xk z −k
Z(xk ) =
k=0

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Description d’un signal ´echantillonn´ee
u(t)

u*(t)
u(t)

u*(t)
T
CAN

t
1

0

kT

T

t

La suite uk correspond au signal u ∗ (t) (´echantillonn´e de u(t) a` la
p´eriode T ) et est d´efini par:


u (t) = u(t)δT (t) =

+∞


u(kT )δ(t − kT )

k=0

U ∗ (p)

=

L[u ∗ (t)]

2

Sa transform´ee de Laplace s’´ecrit :

=

3

En posant z = e Tp on reconnaˆıt la Transform´ee en z :

+∞

k=0

U(z) =

+∞


u(kT )z −k

u(kT )e −kTp

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Th´eor`eme de Shannon

Theorem (Th´eor`eme de Shannon)
Un signal continu u(t) de fr´equence maximale f0 est ´equivalent a` sa
repr´esentation ´echantillonn´ee si la fr´equence d’´echantillonnage fe est le
ee pulsation de Nyquist.
double de f0 . La pulsation ωN = 2π
fe est appel´
fe 2f0

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Utilisation du th´eor`eme de Shannon
Remarque
Pour que l’observation ´echantillonn´ee d’un signal soit significative, il est
n´ecessaire que la fr´equence d’´echantillonnage soit suffisamment ´elev´ee. En
effet, si la p´eriode d’´echantillonnage est trop ´elev´ee, l’information contenue
dans le signal analogique peut ˆetre irr´em´ediablement d´etruite.

Remarque
En pratique, on pr´ef`ere un rapport de fr´equence, au moins sup´erieur a` 10
entre la fr´equence d’´echantillonnage et la fr´equence de coupure du signal
analogique. En temporelle, on choisira une p´eriode d’´echantillonnage au
moins 10 fois inf´erieure au temps de mont´e du signal analogique.

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Quelques d´efinitions
Definition
Un syst`eme est dit discret ssi ces entr´ees et ses sorties dont discrets. Il est
dit dynamique si la valeur de la sortie y (k) d´epend non seulement de l’entr´ee
`a l’instant k mai aussi des valeurs pass´ees de l’entr´ee. (possiblement des
valeurs futures)
Definition
Un syst`eme est dit lin´eaire si celui ci respecte les propri´et´es de lin´earit´e et de
superposition.
Definition
UN syst`eme discret est dit causal si sa sortie y (k) au temps kT ne d´epend
que des valeurs prises par l’entr´ee pour des instants inf´erieures `a kT

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Exemples

Example
Soit l’int´egrateur num´erique :
y (k + 1) = y (k) + u(k)T
ou
y (kT + T ) = y (kT ) + u(kT )T
Ce syst`eme d´efinit un syst`eme discret lin´eaire, causal.

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

La r´eponse impulsionnelle
Soit l’impulsion unit´e d´efini par :
δ(k) = δk =



1 si k = 0
0 sinon

On d´efinit par ailleurs l’impulsion de Dirac a` l’instant k0 par

1 si k = k0
δ(k − k0 ) = δk−k0 =
0
sinon
Definition
La r´eponse d’un syst`eme discret `a une impulsion unit´e inject´ee `a l’instant k0
est appel´ee r´eponse impulsionnelle et est not´ee
g (k, k0 ) = g (kT , k0 T )
On peut remarquer que la r´eponse impulsionnelle est une suite qui d´epend de
deux variables, la premi`ere concerne le temps d’observation du signal. La
seconde concerne l’instant d’application de l’impulsion unit´e.

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Example
Soit l’int´egrateur num´erique :
y (k + 1) = y (k) + u(k)T
ou
y (k) =


k−1


u(i )T

i =0

1 si i = k0
et donc nous obtenons
0
sinon

T si k k0 + 1
g (kT , k0 T ) =
0
sinon

si y (0) = 0. Or u(i ) =

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Stationnarit´e d’un syst`eme lin´eaire discret

Definition
Un syst`eme est dit stationnaire si
g (kT , k0 T ) = g (kT + dT , k0 T + dT )
On peut alors montrer que la r´eponse impulsionnelle peut s’´ecrire
g (kT , k0 T ) = g (kT − k0 T ) = g (k − k0 )

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Theorem
Soit un syst`eme discret, lin´eaire, causal, stationnaire, alors sa sortie s’exprime
comme un produit de convolution entre l’entr´ee et sa r´eponse impulsionnelle
y (kT ) =

k


u(lT )g (kT − lT )

l=0

Example
Calculons la r´eponse d’un int´egrateur num´erique :
y (kT ) =

k


u(lT )g (kT − lT )

l=0



or
g (kT − lT ) =
et donc y (kT ) =

k−1


T
0

si l k − 1
sinon

u(lT )T On retrouve bien la formule de l’int´egrateur.

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Les ´equations r´ecurrentes
Mod´eliser : ´etablir un mod`ele math´ematique reliant les entr´ees et les sorties
d’un syst`eme.
{uk }

Σ

{yk }

Discret

Definition
Un syst`eme lin´eaire `a temps discret peut ˆetre d´ecrit par un ensemble
d’´equations r´ecurrentes, d´efinit comme suit `a l’ordre n (m n, les sorties
d´ependent uniquement des ´evemements pass´es) :
an y(k) + an−1 y(k−1) + · · · + a0 y(k−n) = bm u(k+m−n) + · · · + b0 u(k−n)

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Formulation adapt´
ee au calcul num´
erique
Remarque
Le syst`eme peut ˆetre enti`erement d´efini et l’´equation r´ecurrente peut ˆetre
r´esolue si l’on pr´ecise les condtions initiales : y0 , y1 , · · · , yn−1 , u0 , · · · , um−1
Exemples
- Int´egrateur : yk = yk−1 + Tuk−1

yk0 = y0 +

k
0 −1
k=0

- Retard pur : yk = uk−d

uk T

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

La fonction de transfert
Propri´et´es des transform´ees en Z
- Lin´earit´e : Z(axk + byk ) = aX (z) + bY (z),

∀a, b ∈

z −1 Z(x

- Retard : Z(x(k−1) ) =
k)
G´en´eralisation : Z(x(k−r ) ) = z −r Z(xk )
- Avance : Z(x(k+1) ) = zX (z) − zx0
- Th´eor`eme de la valeur initiale : lim X (z) = x0
z→∞

- Th´eor`eme de la valeur finale : lim (z − 1)X (z) = x∞
z→1




- Th´eor`eme de la somme :

0



- Convolution discr`ete : Z(

i =0

x(k) = lim X (z)
z→1

x(i ) y(k−i ) ) = X (z)Y (z)

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

D‘’efinitions de la fonction de Transfert en Z
Equivalent de la fonction de transfert en continu.
Y (z) = Z[yk ]
Op´erateur retard : z, transform´ee en z :
U(z) = Z[ul ]
u(k)

Suite recurrente

y(k)

Z
U(z)

F(z)

yk → Y (z)
yk−i → z −i Y (z)
ul → U(z)
ul−j → z −j U(z)
En appliquant le th´eor`eme de convolution :
Y (z) = F (z)U(z)

Y(z)

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Le lien entre la fonction de transfert et l’´equ. r´ecu.
Rappel Eq. Rec.
an y(k) + an−1 y(k−1) + · · · + a0 y(k−n) = bm u(k+m−n) + · · · + b0 u(k−n)
Transform´ee en z :

an Y (z)+an−1 Z(y(k−1) )+· · ·+a0 Z(y(k−n) ) = bm Z(u(k+m−n) )+· · ·+b0 Z(u(k−n) )
et donc
(an + an−1 z −1 + · · · + a0 z −n )Y (z) = (bm z m−n + · · · + b0 z −n )U(z)
Fonction de transfert en z :
F (z) =

bm z m + · · · + b0
Y (z)
=
U(z)
an z n + · · · + a0

Fonction de transfert en z −1 :
F (z) =

bm z m−n + · · · + b0 z −n
Y (z)
=
U(z)
an + · · · + a0 z −n

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Introduction
T
u(t)
U(p)

T

y*(t)
Y*(p)

u*(t)

G(p)

U*(p)

y(t)
Y(p)

La sortie :
+∞
+∞


u(kT ) e −(kT )p = G (p)
u(kT ) z −k
Y (p) = G (p)U ∗ (p) = G (p)
k=0

k=0

Probl`eme pour manipuler cette expression avec a` la fois des p et des z
Th´eor`eme de convolution discr`ete
+∞

−1
u(kT )g (t − kT )
y (t) = $ [Y (p)] =
k=0

et aux instants d’´echantillonnage :
y (nT ) =

+∞


u(kT )g ((n − k)T )

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

F.T. Echantillonn´ee
Remarque
:
- Fonction de transfert : G (p)
- R´eponse impulsionnelle : g (t) = L−1 [G (p)]
- Fonction de transfert discr`ete :
G (z) = Z[L−1 [G (p)]]
Utilisation du Th´eor`eme de Shannon
Recommandation : fe = 6 a` 24 fois fc , fc ´etant la fr´equence coupure du
proc´ed´e.
1
Exemple : G (p) = 1+τ
p
Fr´equence de coupure : fc =
6
1
6
2πτ < T < 24πτ

1
2πτ

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Conv. Num´erique Analogique (C.N.A) - Bloqueur d’ordre 0

1

Le signal fourni par le calculateur est un signal en escalier.

2

Le syst`eme command´e par l’interm´ediaire d’un ´echantilloneur bloqueur.

3

Le but : conserver l’information du signal pendant une p´eriode.

La fonction de transfert B0 (p) du bloqueur d’ordre 0 repr´esente la
transform´ee de Laplace de sa r´eponse impulsionnelle.
Soit Γ(t), un ´echelon de position unitaire :
B0 (t) = Γ(t) − Γ(t − T ), (B0∗ (t) = δ(t) − δ(t − T ))
B0 (p) =

1 − e −Tp
p

Repr´esentation en z : B0 (z) = 1 − z −1 =

z−1
z

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Conv. Num´erique Analogique (C.N.A)
uk

u(t)
uk

0

1 2 3 4 5

B0(p)

u(t)

k

0

1 2 3 4 5

k

Bloqueur d’ordre 1
B1 (p) =

(1 + Tp)(1 − e −Tp )2
Tp 2

uk

u(t)
uk

0

1 2 3 4 5

k

B1(p)

u(t)

0

1 2 3 4 5

k

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Fonction de transfert : bloqueur+processus
T
Y*(p)
U*(p)

B0 (p)

U(p)

G(p)

Y(p)

Z [B0(p)G(p)]=G(z)


1 − e −Tp
G (p)
G (z) = Z[B0 (p)G (p)] = Z
p




G (p)
Z
G (z) = (1 − z −1 )Z G p(p) = z−1
z
p


Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Exemple

uk

B 0(p)

1
p(p+1)

T
yk



Gc (p)
z −1
Z
G (z) = Z[B0 (p)Gc (p)] =
z
p
d´ecomposition en ´el´ements simples
1
−1
1
1
Gc (p)
= 2
=
+ 2+
p
p (p + 1)
p
p
p+1
Utilisation d’un tableau de transform´ees ´el´ementaires


z
Tz
z
z −1

+
+
G (z) =
z
z − 1 (z − 1)2 z − e −T )
G (z) =

K (z−b)
(z−1)(z−a) ,

K = e −T − 1 + T , a = e −T , b = 1 −

T (1−e −T )
e −T −1+T

Introduction

Les signaux discrets

La mod´
elisation des syst`
emes lin´
eaires discrets

Composition de F.T.
Theorem
La transform´ee en z d’un groupement d’´el´ements ne peut ˆetre d´efinie
qu’entre deux ´echantillonneurs.
T
U*(p)

T

G 1(p)

T

G2(p)

Y*(p)

Y (z) = G2 (z)G1 (z)U(z) = G (z)U(z)
T
U*(p)

T

G 1(p)

G2(p)

Y*(p)

G2(p)G1 (p)=G(p)

Y (z) = G (z)U(z) = Z[G2 (p)G1 (p)]U(z)


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