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SYSTEMES A TEMPS DISCRET
Commande num´erique des proc´ed´es
Dimitri Peaucelle
7 avril 2003

2

Avant-propos
Ce document est con¸cu comme un support de cours destin´e a` des e´ l`eves ing´enieurs. Il a e´ t´e r´edig´e en particulier en vue
d’un enseignement de 15 heures a` l’ENSA (Ecole Nationale des Sciences Appliqu´ees) situ´ee sur le pˆole technologique de
l’Universit´e Ibn Zohr, Agadir, Maroc.
L’objectif de ce cours est d’aborder certains aspects de la commande num´erique des syst`emes et ne se veut en aucun cas
exhaustif. Les pr´e-requis concernent des aspects math´ematiques tels que la manipulation de fonctions et de suites, le calcul
int´egral et les s´eries, la transform´ee de Laplace; ainsi qu’une bonne connaissance de l’Automatique des syst`emes lin´eaires
a` temps continu. Partant de proc´ed´es physiques mod´elis´ees par des fonctions de transfert en p (variable de Laplace) nous
aborderons successivement la mod´elisation de syst`emes discrets et e´ chantillonn´es, leur analyse et pour finir la synth`ese
de lois de commande num´eriques.
Le premier chapitre est enti`erement d´edi´e a` la mod´elisation. Il pr´esente dans un premier temps la mod´elisation de signaux a` temps discret avant d’introduire la notion de fonction de transfert en z. Il porte une attention particuli`ere aux
syst`emes discrets obtenus par e´ chantillonnage de proc´ed´es continus et qui sont au centre de la probl´ematique de la commande num´erique.
Les deux chapitres suivants portent sur la description et l’analyse des comportements temporels d’un syst`eme a` temps
discret. Le chapitre 2 commence par d´ecrire et calculer les r´eponses d’un syst`eme a` la donn´ee d’une entr´ee. Le chapitre
3 quant a` lui, s’int´eresse a` la notion primordiale en Automatique de stabilit´e. Il propose des r´esultats th´eoriques pour
analyser cette propri´et´e.
Par la suite, deux chapitres sont consacr´es a` la synth`ese de lois de commande. Le chapitre 4 consid`ere le cas le plus
e´ l´ementaire d’une loi de commande statique constitu´ee de simples gains. Le chapitre 5 aborde une technique dite de
discr´etisation. Elle consiste a` transposer les m´ethodes de synth`ese sp´ecifiques aux syst`emes a` temps continu pour la
commande num´erique de syst`emes e´ chantillonn´es.
Il est important de pr´eciser que ce document doit beaucoup au polycopi´e de cours r´ealis´e par Bernard Pradin a` l’INSA
de Toulouse, [9]. De plus il s’inspire d’ouvrages pr´ec´edents tels que [1] [3] [4] [6] [7] [2] [5] [8].

Toulouse, 7 avril 2003

Dimitri Peaucelle

i

ii

BIBLIOGRAPHIE

iii

Bibliographie
[1] P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, and I. Zambettakis. Analyse et R´egulation des Processus
Industriels. Tome 1 : R´egulation continue. Technip, France, 1993.
[2] P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, and I. Zambettakis. Analyse et R´egulation des Processus
Industriels. Tome 2 : R´egulation num´erique. Technip, France, 1993.
[3] B. d’Andr´ea Novel and M. Cohen de Lara. Commande Lin´eaire des Syst`emes Dynamiques. Masson, France, 1994.
[4] E. Dieulesaint and D. Royer. Automatique Appliqu´ee : 1. Syst`emes lin´eaires de commande a` signaux analogiques.
Masson, France, 1987.
[5] E. Dieulesaint and D. Royer. Automatique Appliqu´ee : 2. Syst`emes lin´eaires de commande a` signaux e´ chantillonn e´ s.
Masson, France, 1990.
[6] R.C. Dorf and R.H. Bishop. Modern Control Systems. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., New-York, 1995.
[7] G.F. Franklin, J. D. Powell, and A. Emami-Naeini. Feedback Control of Dynamic Systems. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., New-York, 1994.
[8] D. Jaume, S. Thelliez, and M. Verg´e. Commande des Syst`emes Dynamiques par Calculateur. Eyrolles, France, 1991.
[9] B. Pradin. SYSTEMES A TEMPS DISCRET - Commande num´erique des proc´ed´es. INSA Toulouse, France, 1999.

iv

BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 1

Mod`eles des syst`emes a` temps discret
On examine ici des mod`eles qui peuvent eˆ tre utilis´es
pour repr´esenter des syst`emes a` temps discret, mono entr´ee mono sortie. Dans un premier temps, ces mod`eles
sont pr´esent´es dans leur g´en´eralit´e. Une attention particuli`ere est ensuite port´ee aux syst`emes a` temps discrets
obtenus par e´ chantillonnage, en vue de la commande par
calculateur, de syst`emes a` temps continu.

continu dont les valeurs sont nulles a` tout instant sauf a`
certains instants p´eriodiquement r´epartis. Soit T 0 cette
p´eriode qui peut eˆ tre quelconque a` ce stade. Dans certains
cas T est appel´ee la cadence du signal. Le signal a` temps
discret peut eˆ tre confondu par analogie avec le signal a`
temps continu suivant :



t

1.1 Signal a` temps discret

n




x t xk si t kT : k
x t 0 sinon



Nous verrons par la suite que cette repr´esentation correspond a` la mod´elisation du processus d’´echantillonnage.

1.1.1 Introduction
L’Automatique des syst`emes a` temps continu repose
sur une repr´esentation math´ematique des e´ changes d’´energies, de forces, d’informations en tant que fonctions du
temps a` valeurs r´eelles (´eventuellement espace vectoriel

de ) :

1.1.2 D´efinition de la transform´ee en z
La transform´ee de Laplace pour les signaux continus
s’´ecrit :

n




t

X p x t

x t

Cette repr´esentation ne tient pas compte de l’ensemble
des r´ealit´es des e´ changes de signaux rencontr´es en pratique. En particulier, l’emploi accru de calculateurs num´eriques conduit a` consid´erer des signaux, dit a` temps
discret, qui n’admettent des valeurs qu’a certains instants
r´eguli`erement espac´es. Math´ematiquement ils sont repr´esent´es par des suites :





k











0

x t e#

pt

dt

D`es lors, avec ce qui pr´ec`ede il est possible de d´efinir la
transform´ee de Laplace d’un signal discret a` la donn´ee
d’une p´eriode T :
X p $ x t

! "





0

x t e#

pt

dt

En ce cas, le signal X e´ tant non nul que pour certaines
valeurs discr`etes du temps on trouve :

n



! "

xk

X p

Sans entrer dans les d´etails, notons que les outils math´ematiques associ´es aux suites sont aussi riches que ceux
employ´es dans le cas de fonctions. Un grand nombre de
notions primordiales ont leur e´ quivalent telles que l’int´egration (
tT 0 ) qui correspond dans le cas de s´equences
discr`etes a` l’op´erateur somme (∑Nk 0 ), et la transform´ee
de Laplace ( x t X p ) dont l’´equivalent discret appel´ee transform´ee en z ( xk X z ) est d´ecrite dans ce
qui suit.
Il est possible sous certaines hypoth`eses de repr´esenter
les signaux a` temps discret comme des signaux a` temps





∑ xk e#

pkT



k 0

C’est a` partir de ce r´esultat que la transform´ee en z des
signaux discrets a e´ t´e propos´ee.
On appelle transform´ee en z de la s´equence % xk & k ' N la
s´erie enti`ere d´efinie par :
X z (% xk &





! ∑ xk z #
k 0

k

Des exemples de transform´ees en z fr´equemment utilis´ees sont donn´ees dans le tableau 1.1 de la page 5.
1

`
`
CHAPITRE 1. MODELES
DES SYSTEMES
A` TEMPS DISCRET

2

1.1.3 Propri´et´es de la transform´ee en z
La transform´ee en z est une simple variante de la transform´ee de Laplace et elle conserve ses propri´et´es a` quelques
modifications pr`es. Voici les principales propri´et´es :
– Lin´earit´e
Pour les signaux a` temps continu on rappelle que :

– Produit de convolution
La transform´ee de Laplace du produit de convolution f , g - t d´efini par :
0

f τ g t / τ dτ

"

0

z

f t / τ g τ dτ

f 0

t

lim f t C

A 0B

0 f , g - t ! F p G p
Dans le cas des signaux a` temps discret la convolution se d´efinit par :
k

f , g k ∑ f l gk # l ∑ f k # l gl
l 0
l 0

– Th´eor`eme du retard
On d´esigne par f t / a le signal identique a` f t
mais retard´e de la dur´ee a. On a :
ap

f t e#

ap

F p

De mˆeme, si f k l est le signal a` temps discret f k re#
tard´e de l p´eriodes :

(% fk # l & z# l
(% fk & ! z# l F z
Ce r´esultat permet de signaler que l’op´erateur z #
s’apparente a` l’op´erateur “retard d’une p´eriode”.

A



lim p F p

A

p 0

De mˆeme, si z # z 1 F z est une fraction rationnelle
dont les racines du d´enominateur sont dans le cercle

unit´e alors le signal f k converge pour r
) ∞ et on
a:
z/ 1
lim f k lim
F z
zA 1 z
kA ∞

1.1.4 Exemples de transform´ees en z
Exemple 1.1
Soit le signal discret tel que :
δ0 1

D7E k F 0 δk 0

1

– Th´eor`eme de l’avance
Si f k l correspond au signal f k avanc´e de l p´eriodes
et tel que f j 0 pour tout j 1 0, alors on a la relation
suivante :

(% fk l & ! zl 2 3% fk & 4/ ∑li # 01 fi z# i 5

zlim
A ∞ F z

lim f t

(% f , g & k . F z G z

A

– Th´eor`eme de la valeur finale
Si pF p est une fraction rationnelle dont les racines
du d´enominateur sont a` partie r´eelle n´egative alors le

) ∞ et on a :
signal f t converge pour t
t

et sa transform´ee en z est :

lim pF p

p ∞

La version discr`ete de ce th´eor`eme est donn´ee par :
f0

f t / a . e#

z

– Th´eor`eme de la valeur initiale
La valeur initiale d’un signal a` temps continu se d´eduit de sa transform´ee de Laplace comme suit :

est donn´ee par :

k

1
F p
p

f τ dτ89

k

α % fk & ) β % gk & α (% fk & +) β (% gk &

f , g - t . "

0

;:=< ∑ fl >@?
3% fk &
F z
z/ 1
z/ 1
l 0

De mˆeme, on a pour la transform´ee en z :

t

t

76 "

Pour les signaux a` temps discret on a :

α f t *) βg t + α f t +) β g t

t

– Th´eor`eme de la sommation
Pour les signaux a` temps continu on parle de th´eor`eme de l’int´egration et il s’´ecrit :

Le calcul de sa transform´ee en z est relativement direct.
En appliquant la d´efinition on trouve :


3% δk & ! ∑ δkz# k δ0 z0 1
k 0
Remarque : Le signal δk d´efinit ici est usuellement d´esign´e sous l’appellation de l’impulsion unitaire ou encore
dirac. Sa transform´ee en z vaut 1.
G

´
1.2. SIGNAL ECHANTILLONN


3

Exemple 1.2
A partir de l’exemple pr´ec´edent et des propri´et´es de la
transform´ee en z les relations suivantes sont obtenues.
Premi`erement consid´erons le dirac retard´e :
fh

1 DHE k F h fk 0

l’´enonc´e du th´eor`eme de la valeur finale. En effet, z # z 1 F z R
z 1
z # a est une fraction rationnelle dont la racine unique du
d´# enominateur est a. Dire que cette racine est dans le disque
unit´e reviens a` Q a QS1 1. La limite de la suite se calcule
alors comme suit :

On remarque que f k δk h, donc d’apr`es le th´eor`eme du
#
retard :

(% fk & ! 3% δk # h & . z# 3% δk & ! z#
h

k

z/ 1
lim ak lim
0
zA 1 z / a
A ∞

G

h

Consid´erons maintenant un signal du type e´ chelon :

1.2 Signal e´ chantillonn´e

E k I 0 ek 1
On remarque que ek
de la sommation :

∑kj 0 δk , donc d’apr`es le th´eor`eme
k

z

z

(% ek & . J (% ∑ δk &
(% δk & !
z/ 1
z/ 1
j 0
Prenons en suivant le signal du type rampe :

E k I 0 rk k
Il est possible de constater que rk H/ ek ) ∑kj 0 ek , donc
en combinant la lin´earit´e de la transform´ee en z et le th´eor`eme de la sommation on trouve :
k

3% rk & K L/M (% ek & )N (% ∑ ek &
j 0
z
L/M (% ek & )
(% ek &
z/ 1
z
H O/ 1 )
O (% ek &
z/ 1
1

(% ek &
z/ 1
z

z / 1 2

1.2.1 Introduction
Ce cours s’intitule “Commande Num´erique des Proc´ed´es” car l’objet principal concerne l’utilisation de calculateurs num´eriques utilis´es en temps r´eel pour commander, piloter, guider... des proc´ed´es physiques qui par essence sont le plus souvent a` temps continu. La probl´ematique est alors de repr´esenter les interactions entre des
signaux physiques mod´elis´es par des fonctions avec des
signaux assimilables par des calculateurs num´eriques qui
se pr´esentent sous forme de suites.
Sans entrer dans les d´etails du fonctionnement des diff´erents e´ l´ements, la commande par calculateur, ou processeur, d’un proc´ed´e n´ecessite la mise en œuvre d’un
certain nombre d’´el´ements (figure 1.1) :
– un actionneur, ou organe de commande qui re¸coit
les ordres du processeur a` travers un convertisseur
num´erique-analogique,
– un capteur, ou organe de mesure qui transmet au processeur les informations recueillies sur le proc´ed´e, a`
travers un convertisseur analogique-num´erique.

G
Exemple 1.3 Consid´erons le signal suivant :

E k I 0 f k ak

Action- u t
neur

Proc´ed´e

y t

Capteur

Par d´efinition, sa transform´ee en z se calcule comme suit :




(% fk & ∑ fk z# k ∑ ak z# k ∑ a P z k
k 0
k 0
k 0

Il s’agit d’une s´erie g´eom´etrique connue :
F z (% f k &

.

1
1 / aP z



CAN

CNA
yk

uk
Processeur

z

z/ a

La limite de la suite ak est tr`es bien connue. Elle existe
uniquement si Q a Q+1 1. Cette condition correspond bien a`

F IG . 1.1 – Structure g´en´erale d’une commande de proc´ed´e par calculateur

`
`
CHAPITRE 1. MODELES
DES SYSTEMES
A` TEMPS DISCRET

4

1.2.2 Conversion analogique num´erique

1.2.3 Conversion num´erique analogique

D’un point de vue mod´elisation, l’ensemble capteur
convertisseur analogique-num´erique peut eˆ tre assimil´e a`
une prise d’´echantillons de la sortie continue y t a` p´eriode fixe T (p´eriode d’´echantillonnage ). Si l’on fait l’hypoth`ese que le temps de codage est n´egligeable (´echantillonnage instantan´e) et qu’il n’y a pas d’erreur de quantification, on peut repr´esenter l’op´eration de conversion
analogique-num´erique selon le le sch´ema de la figure 1.2.

Le processeur calculant la commande a` appliquer au
proc´ed´e travaille de mani`ere s´equentielle et g´en`ere des
valeurs num´eriques uk avec la mˆeme p´eriode T que celle
qui a e´ t´e choisie pour l’´echantillonnage. L’op´eration de
conversion num´erique-analogique la plus courante consiste
a` produire un signal de commande u t en escalier a` partir
des valeurs uk selon le sch´ema de la figure 1.3.
u t

uk

y t

yk
uk

y t

yk

B0 p

u t

T
0 1 2
0

t

CAN

0 1 2

k

CNA

0 1 2

k

k
F IG . 1.3 – Convertisseur num´erique-analogique

F IG . 1.2 – Convertisseur analogique-num´erique
Math´ematiquement, l’op´eration d’´echantillonnage peut
eˆ tre assimil´ee a` la modulation du signal continu y t par
un train d’impulsions unitaires de p´eriode T not´e δT (parfois appel´e e´galement peigne de Dirac) :
y t y t δT t



δT t



∑ δ t /


Le mod`ele math´ematique que l’on associe alors a` la
conversion num´erique analogique est le bloqueur d’ordre
z´ero dont la fonction de transfert B0 p peut eˆ tre facilement calcul´ee. En effet, c’est la transform´ee de Laplace
de sa r´eponse impulsionnelle repr´esent´ee sur la figure 1.4.

kT

δ t

k 0

Il vient :
y t





∑ y t δ t /


k 0

kT



1


∑ yk δ t /


1
B0 p

kT

k 0

0

t

CNA

0

T

t

o`u y t est un signal a` temps continu e´gal a` y t aux
instants t kT et z´ero ailleurs et o`u yk y kT est la
valeur de l’´echantillon de y t a` l’instant kT . Le signal
e´ chantillonn´e est repr´esent´e par la s´equence des valeurs
y kT mesur´ees avec la p´eriode T :

La r´eponse impulsionnelle du bloqueur d’ordre z´ero
est de la forme :

% y kT &UT % yk &

Γ t ./ Γ t / T

L’´echantillonnage conduit a` une perte d’information au
regard du signal continu. Cette perte d’information est
d’autant plus grande que la fr´equence f 1 P T est petite. Id´ealement il faudrait donc e´ chantillonner a` une fr´equence infinie, cependant, le choix de la p´eriode d’´echantillonnage d´epend du type de proc´ed´e et des possibilit´es
offertes par les outils num´eriques. En tout e´ tat de cause,
l’´echantillonnage doit respecter le th´eor`eme de Shannon
qui pr´ecise que la fr´equence d’´echantillonnage f 1 P T
doit eˆ tre au moins e´gale a` deux fois la plus grande fr´equence contenue dans le spectre du signal que l’on veut
e´ chantillonner.
Le tableau 1.1 de la page 5 donne une collection de
signaux continus classiques ainsi que leurs transform´ees
de Laplace et leurs repr´esentations apr`es e´ chantillonnage.

F IG . 1.4 – Bloqueur d’ordre z´ero

o`u Γ t repr´esente l’´echelon de position unitaire. Il vient
donc :
1 e# T p
1 / e# T p
B0 p
/

p
p
p

´
1.2. SIGNAL ECHANTILLONN


5

Transform´ee de Laplace

Signal continu

Signal e´ chantillonn´e

Transform´ee en z

F p f t

f t

fk

F z V J f k

1

δ t

e#
e#

ap

δ t / a

hT p

δ t / hT

fh

1 D7E k F h fk 0

1

z#

Γ t

1

1
p2

t

kT

T

2
p3

t2

k2 T 2

T2

p) a
1

p ) a

2

b/ a
p ) a - p ) b

a
p p ) a

)

ω
ω2

p2

p2

1 D7E k F 0 fk 0

1
p

1



f0

)

p
ω2

e#

e#

at

te #

at

at

e#

/ e#

1 / e#

at

bt

e#

akT

z
z/ 1

akT

kTe#

h

z / 1 2
z z ) 1
z / 1 3
z
e#

z/

T ze#
z / e#

akT

/ e#

z

bkT

z e#
z / e#

aT
aT

aT
aT

/ e# bT
W z / e# bT

ak

z
z/ a

O/ a k

z

1 / e#

akT

sin ωt

sin ωkT

cos ωt

cos ωkT



aT 2

z) a
z 1 / e # aT
z / 1 W z / e# aT
z sin ωT
2z cos ωT

z2

/

z2

z z / cos ωT
/ 2z cos ωT ) 1

TAB . 1.1 – Signaux e´ chantillonn e´ s et leurs transform´ees de Laplace

) 1

`
`
CHAPITRE 1. MODELES
DES SYSTEMES
A` TEMPS DISCRET

6

1.3 Syst`eme a` temps discret
Un syst`eme a` temps discret se d´efinit comme un op´erateur entre deux signaux a` temps discret. Consid´erons le
syst`eme repr´esent´e sur la figure 1.5, o`u uk repr´esente le
terme g´en´eral de la s´equence d’entr´ee et yk le terme g´en´eral de la s´equence de sortie. Un mod`ele entr´ee-sortie,
appel´e aussi mod`ele externe, ne fait intervenir que les variables d’entr´ee uk et de sortie yk .

% uk &

% yk &

Syst`eme

de la transformation de Laplace a` son e´ quation diff´erentielle, on peut associer a` un syst`eme a` temps discret, une
fonction de transfert en z, par application de la transformation en z a` son e´ quation r´ecurrente (cf. Transformation en z dans la section 1.1.2). Sous l’hypoth`ese que les
conditions “initiales” sont nulles (y0 y1 a`Y`Y`b yn 1
#
u0 u1 7`Y`Y`Z um 1 0) il vient la relation suivante :

#
a0 ) a1 z )$`Y`Y`[) an# 1 zn# 1 ) an zn Y z
7 b0 ) b1 z )$`Y`Y`\) bm # 1 zm# 1 ) bm zm U z

soit encore :

N z
U z
D z

Y z
F IG . 1.5 – Syst`eme a` temps discret
Nous allons aborder dans ce cours deux types de mod`eles externes, compl´ementaires l’un de l’autre, que sont
les e´ quation r´ecurrentes et les fonctions de transfert.

1.3.1 Equation r´ecurrente
La mod´elisation initiale d’un syst`eme a` temps discret
conduit souvent a` l’´ecriture d’une e´ quation r´ecurrente entre
diff´erents termes des s´equences d’entr´ee et de sortie. La
forme g´en´erale d’une e´ quation r´ecurrente lin´eaire peut
eˆ tre donn´ee par :
an yk



) an# 1 yk n# 1 $
) XYXZX[) a1 yk 1 ) a0 yk
bm uk m ) bm 1 uk m 1 )$XYXYX\) b1 uk 1 ) b0 uk
#
#
n

(1.1)
Par hypoth`ese an F 0 et n est appel´e l’ordre du syst`eme.
Le syst`eme est dit causal si les sorties d´ependent uniquement des e´v`enements pass´es. Pour cela il doit obligatoirement v´erifier m ] n. Dans ce cas, il est possible d’´ecrire
l’algorithme qui d´etermine la sortie du syst`eme a` la donn´ee des entr´ees/sorties pr´ec´edentes:
an yk

7/ an# 1 yk # 1 /^XYXYX / a1 yk # n# 1 / a0 yk # n
(1.2)
) bm uk m# n )_XZXYX[) b1 uk # n# 1 ) b0 uk # n

Cette formulation de l’´equation r´ecurrente est bien adapt´ee au calcul num´erique. C’est la forme sous laquelle seront pr´esent´es les algorithmes de commande des proc´ed´es. Le syst`eme est enti`erement d´efini et l’´equation r´ecurrente peut eˆ tre r´esolue si l’on pr´ecise les conditions
“initiales” : y0 D y1 DY`Z`Y`[D yn 1 D u0 D u1 DY`Y`Y`\D um 1.

#

#

1.3.2 Fonction de transfert en z
De la mˆeme mani`ere que l’on associe a` un syst`eme a`
temps continu, une fonction de transfert, par application

avec :

c d G z b0 ) b1 z )_`Z`Y`[) bm # 1 zm# 1 ) bm zm
c d
a0 ) a1 z )$`Y`Y`[) an 1 zn# 1 ) an zn
#

N z
Dz

qui est d´efinie comme la fonction de transfert en z du
syst`eme.
Dans le cas g´en´eral o`u les condition initiales sont non
nulles la repr´esentation en z du syst`eme s’´ecrit plus exactement :
N z
I z
U z *)
Y z
D z
D z
o`u le polynˆome I z ne d´epend que des conditions initiales. Il influe sur la sortie du syst`eme sans modifier le
comportement dˆu au signal d’entr´ee U z .
La factorisation du num´erateur et du d´enominateur conduit
a` la forme pˆoles, z´eros, gain suivante :
G z

bm z / z1 - z / z2 R`Y`Z` z / zm
an z / p1 - z / p2 R`Z`Y`O z / pn

avec :
pi

1

e f f fge n : pˆoles

z j

1

k

e f f f e m : z´eros

bm
: gain
an

Par d´efinition les pˆoles du syst`eme sont les racines du
polynˆome d´enominateur et les z´eros du syst`eme sont les
racines du polynˆome num´erateur. Les uns et les autres
sont par d´efaut des nombres soit r´eels soit complexes.
Certains auteurs pr´ef`erent une formulation en z # 1 de
la fonction de transfert. On peut l’obtenir a` partir de la
formulation en z comme suit :
G z

bm m
z #
an

1 ) bm
#
1 ) an

) XZXYX[) b0 z#
# 1_
1 )_XZXYX[) a z
z
0 #
# 1 #

n

1z

avec les notations suivantes :
b j



bj
bm

ai



ai
an

m
n

(1.3)

`
´
1.4. SYSTEME
ECHANTILLONN


7

Elle correspond a` l’´equation (1.2) par opposition a` (1.1).
Son int´erˆet est de repr´esenter le syst`eme au plus pr`es de
sa r´ealit´e physique dans le sens o`u z # 1 repr´esente l’op´erateur “retard” qui est physiquement r´ealiste tandis que z
suppose de pr´evoir les instants futurs. Bien entendu, les
formulations en z et z # 1 sont e´ quivalentes. L’´ecriture (1.3)
fait apparaˆıtre non seulement le gain, les pˆoles, les z´eros
mais e´galement un retard pur zm # n entre une excitation en
entr´ee du syst`eme et son effet sur la sortie.
Notons e´galement que, comme dans le cas des syst`emes a` temps continu, le d´enominateur de la fonction
de transfert est appel´e e´galement polynˆome caract´eristique du syst`eme. Son degr´e n correspond a` l’ordre du
syst`eme et ses racines sont les pˆoles du syst`eme :
an zn ) an 1 zn#

)$XYXYX\) a1 z ) a0
an z / p1 W z / p2 R`Y`Z` z / pn
#

1

1.4 Syst`eme e´ chantillonn´e

a` temps discret obtenu a` la donn´ee du mod`ele continu du
proc´ed´e.
Avant cela il est important de revenir sur le choix de
la p´eriode d’´echantillonnage. Le th´eor`eme de Shannon
pr´ecise que la fr´equence d’´echantillonnage f 1 P T doit
eˆ tre au moins e´gale a` deux fois la plus grande fr´equence
contenue dans le spectre du signal que l’on veut e´ chantillonner. . Ce r´esultat est exploitable uniquement a` la
donn´ee d’un signal. Cependant, le signal de sortie d’un
syst`eme y t n’est pas connu dans la probl´ematique consid´er´ee.
Le v´eritable probl`eme envisag´e est celui de l’´echantillonnage en sortie d’un proc´ed´e dont on connaˆıt, par
exemple, sa fonction de transfert mais la sortie du syst`eme est inconnue car elle d´epend du signal d’entr´ee u t
qui n’est pas pr´ecis´e. La m´ethode consiste alors a` analyser les fr´equences transmises par le syst`eme. En tra¸cant le
diagramme de Bode il est possible de d´eterminer la fr´equence de coupure f c du syst`eme et donc d’indiquer que
toutes les fr´equences sup´erieures a` f c dans le spectre du
signal de sortie seront att´enu´ees.

1.4.1 Introduction
Comme nous l’avons vu dans la section 1.2, la commande par calculateur, ou processeur, d’un proc´ed´e n´ecessite la mise en œuvre de conversions num´erique-analogique
et analogique-num´erique (voir figure 1.1). La mod´elisation conduit donc a consid´erer simultan´ement dans la boucle
un (ou plusieurs) organes a` temps continu et un (ou plusieurs) e´ l´ements a` temps discret. Alors qu’il est mal ais´e
de faire l’analyse des syst`emes a` temps discret en tant que
syst`emes a` temps continu dont les entr´ees sorties sont non
nulles uniquement par instants, la d´emarche inverse se r´ev`ele eˆ tre tr`es riche.
Ainsi, l’analyse d’un syst`eme command´e par calculateur num´erique passe par la d´efinition d’un syst`eme a`
temps discret, comprenant le proc´ed´e command´e de nature g´en´eralement continue, et les convertisseurs num´eriqueanalogique et analogique-num´erique, que l’on peut respectivement assimiler au bloqueur d’ordre z´ero et a` l’´echantillonneur, selon le sch´ema de la figure 1.6.

Th´eor`eme 1.1 En pratique, il est recommand´e de choisir la fr´equence d’´echantillonnage dans une fourchette de
l’ordre de 6 a` 24 fois la fr´equence de coupure du proc´ed´e.
Exemple 1.4
Ainsi, pour un proc´ed´e d’ordre 1 :
1
1 ) τp

G p

la fr´equence de coupure est f c 1 P. 2πτ . La fr´equence
d’´echantillonnage f 1 P T sera choisie telle que :
6
2πτ

1

1
T

1

24
2πτ

soit approximativement :
τ
4

1 T1 τ
G

uk

B0 p

u t

Proc´ed´e

y t

yk
T

F IG . 1.6 – Proc´ed´e e´ chantillonn e´
Les mod`eles entre uk et yk sont du type de ceux pr´esent´es pr´ec´edemment. La suite de cette section s’int´eressera
au techniques de d´etermination du mod`ele e´ chantillonn´e

Exemple 1.5 Consid´erons cet autre syst`eme :
G p

p3

)

2p2

)

p/ 1
10 X 25p ) 9 X 25

Son diagramme de Bode est donn´e sur la figure 1.7.
La fr´equence de coupure est approximativement de ωc
5rad P s ou encore f c ωc P 2π. Le crit`ere de Shannon impose donc de choisir :
2π P. 24 , 5 1 T

1 2π P. 6 , 5 ih

0 X 05 1 T

1 0X 2

`
`
CHAPITRE 1. MODELES
DES SYSTEMES
A` TEMPS DISCRET

8

que l’´echantillonnage est tr`es dense en comparaison des
dynamiques observ´ees. Tout e´ chantillonnage plus rapide
demanderait des vitesses de capacit´e de traitement non
n´ecessaires.

Bode Diagram
0
−10

Magnitude (dB)

−20
−30
−40

Impulse Response

−50
0.2

−60
−70

0.15

−80
180
0.1

0.05

0
Amplitude

Phase (deg)

90

−90

−180
−2
10

−1

0

10

1

10
Frequency (rad/sec)

2

10

10

0

−0.05

−0.1

−0.15

F IG . 1.7 – Diagramme de Bode du proc´ed´e

−0.2

Nous choisissons T 0 X 2s pour observer le comportement quand l’´echantillonnage implique la plus grande perte
d’information. L’effet de cette p´eriode d’´echantillonnage
est observ´ee sur des exemples de signaux en sortie du
syst`eme. Nous avons trac´e deux telles r´eponses sur la
figure 1.8 pour une entr´ee impulsionnelle et une entr´ee
en e´ chelon. On observe que la p´eriode d’´echantillonnage
rend correctement compte de la r´ealit´e du signal a` temps
continu. Il n’y a pas de perte significative de l’information contenue dans le signal.
Step Response
0.2

0.15

−0.25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1
Time (sec)

1.2

1.4

1.6

1.8

2

F IG . 1.9 – Sorties a` temps continu et e´ chantillonn e´ es

G
1.4.2 Fonction de transfert e´ chantillonn´ee
Dans cette sous-section, la m´ethode de calcul qui permet a` la donn´ee d’une fonction de transfert d’un syst`eme
a` temps continu de d´eduire le mod`ele en z du syst`eme
a` temps discret obtenu par e´ chantillonnage est expos´ee.
Elle se r´esume au th´eor`eme suivant.

0.1

Th´eor`eme 1.2 Soit un proc´ed´e continu mod´elis´e par
une fonction de transfert Gc p . Ce proc´ed´e, e´ chantillonn e´
suivant le sch´ema de la figure 1.6 admet une fonction de
transfert en z telle que:

Amplitude

0.05

0

−0.05

G z j G p Bo p

−0.1

.

z/ 1

z

6

Gc p
p

8

−0.15

−0.2

−0.25

0

1

2

3

4
Time (sec)

5

6

7

F IG . 1.8 – Sorties a` temps continu et e´ chantillonn e´ es
Les observations peuvent e´galement se faire avec T
0 X 05s, quand l’´echantillonnage devient e´ lev´e au regard
des fr´equences non-att´enu´ees par le syst`eme. Pour ce cas
nous avons fait un grossissement des premiers instants
des r´eponses du syst`eme (voir figure 1.9). On constate

8

Avant de proc´eder a` la preuve de ce r´esultat il convient
de d´etailler l’´ecriture H p o`u H p est une fonction
de transfert d’un syst`eme continu. Cette notation recouvre
l’op´eration suivante:



H p N/kVl

1

h t

/



T

hk

/ m



H z

A la donn´ee d’une fonction de transfert H p il convient
en premier lieu de calculer sa r´eponse impulsionnelle h t ,
puis d’´echantillonner ce signal, % hk &UT % h kT & , et enfin

`
´
1.4. SYSTEME
ECHANTILLONN


9

de calculer sa transform´ee en hk n H z . Cette proc´edure est d´etaill´ee par la suite sur des exemples et un
tableau de conversion est fourni (tableau 1.2 page 10).
Preuve du th´eor`eme 1.2
Appelons u o t le signal a` temps continu constitu´e des
e´ chantillons uk u kT du signal de commande et qui
vaut z´ero partout ailleurs :



u t



∑ uk δ t /

kT



La transform´ee de Laplace de ce signal s’´ecrit:

"





0

u t e#

pt

dt


∑ uk e #
k 0

kT p



G z J B0 p Gc p





Gc p
p

ce qui en appliquant le th´eor`eme du retard donne :

kT p

t uk

G z

y lT ,


∑ hn # k uk
k 0

1

O v6

p

1
p2

)

)

1
p) 1

z/ 1
z

6/

z

z/ 1

G z K

Tz
z / 1

)

2

)

z
z / e#

T

8

yy

z / b
z / 1 - z / a

T
K e# T / 1 ) T
yy a e#
T 1 / e# T
b 1/
e# T / 1 ) T

G z 0 X 3679

z ) 0 X 7183
z / 1 W z / 0 X 3679

G

1 / e#
p

Tp

Gc p

8

Les propri´et´es des transformations de Laplace et en z permettent d’´ecrire :
G z 7 1 / z #

/ 1

r

! J Gc p B0 p

En introduisant l’expression de la fonction de transfert du
bloqueur d’ordre z´ero :

6

1
p2 p ) 1

Application num´erique :
Soit T 1s. Il vient :

qui est la convolution discr`ete des s´equences % uk & et % hk & .
Il vient donc Y z V G z U z avec :

G z



soit :

avec h t . u # 1 H p . Apr`es e´ chantillonnage, yl
le signal a` temps discret de sortie v´erifie donc:

G z H p

8

En utilisant le tableau 1.1, il vient :

y t p q

yl

z/ 1
G p
v6 c
z
p

avec la d´ecomposition en e´ l´ements simples suivante:

kT p

k 0

1
∞# Y p
∑ r# 1 s H p e#
k 0

∑ h t / kT uk
k 0

1
p p ) 1

Gc p

Ainsi en posant H p Gc p B0 p :

∑ H p uk e #

x

la fonction de transfert e´ chantillonn´ee est donn´ee par :

Y p Gc p U p

Y p H p U p

T

F IG . 1.10 – Syst`eme e´ chantillonn e´

Par d´efinition des fonctions de transfert les signaux continus U p et Y p v´erifient:
U p B0 p U p

yk

1
p p ) 1

B0 p

Exemple 1.6
Consid´erons le syst`eme e´ chantillonn´e repr´esent´e sur la
figure 1.10 et pour lequel on veut calculer la fonction de
transfert en z.
La fonction de transfert continue e´ tant :

k 0

U p

uk

Gc p
p

8w

z/ 1
G p
v6 c
z
p

8

1.4.3 Propri´et´es du mod`ele e´ chantillonn´e
Suite aux formules du tableau 1.2 de la page 10 qui
permettent de d´eterminer le mod`ele a` temps discret d’un
syst`eme continu e´ chantillonn´e, nous pouvons mettre en
avant quelques propri´et´es fondamentales de cette op´eration :
– Un syst`eme lin´eaire continu reste lin´eaire apr`es e´ chantillonnage.

`
`
CHAPITRE 1. MODELES
DES SYSTEMES
A` TEMPS DISCRET

10

Syst`eme continu

D´ecomposition en elt. simples

Gc p

Gc p
p

1

1
p

z/ 1

1
p

1
p2

Tz
z / 1

bP a
p

b

p) a
b1 p ) b0
τp ) 1
1
p τp ) 1

p1 / p2 p
p / p1 - p / p2

b0
p

/ τ
p

1
p2

)
1

p / p1

/

)

Syst`eme e´ chantillonn´e
G z Gc p B0 p

8

z

b z
az/ 1

b1 / τb0
τp ) 1

)

Gc p
p

6

bP a
p) a

/

Transform´ee en z

b0 z
z/ 1

τ2
τp ) 1
1

p / p2

)

1
T

z/ 1

2

b
z
a z / e#

/

z/

b 1 / e#
`
a z / e#

aT

b1 P τ / b0 z
z / e# T z τ

Tz
τz
/ τz
)
)
2
z / 1 z / 1
z / e# T z τ
z
e p1 T

/

z/

p1 / p2
p

)

p2
p / p1

/

p1
p / p2

aT

z

T τ

τe# T z τ / τ ) T z ) τ /^ τ ) T e# T z τ
z / 1 - z / e# T z τ
ep1 T / ep2 T - z / 1
z / ep1 T W z / ep2 T

z
e p2 T

p1 / p2 z
p2 z
p1 z
)
/
p
T
1
z/ 1
z/ e
z / e p2 T

aT

b1 P τ z / 1 R/ b0 1 / e #
z / e# T z τ

) b0
z/
W z / ep2 T
b1 p2 / p1 )$ 2p2 / p1 e p1 T
)$ p2 / 2p1 ep2 T

b0 H p1 / p2 e c p1 p2 d T
) p1 ep2 T ) p2 ep1 T
b1 z
p
e 1T

p1 / p2 p1 p2
p / p1 - p / p2



TAB . 1.2 – Calcul des fonctions de transfert des syst`emes e´ chantillonn e´ s

1.5. EXERCICES

11

– L’ordre du syst`eme est conserv´e.
– Les pˆoles du syst`eme e´ chantillonn´e se d´eduisent des
pˆoles du syst`eme continu comme suit:
pdi e pci T

E i 1 DYXYXYX[D n

o`u pci sont les pˆoles du syst`eme continu, pdi les
pˆoles du syst`eme e´ chantillonn´e et T la p´eriode d’´echantillonnage.
– La p´eriode d’´echantillonnage T conditionne fortement le mod`ele du syst`eme e´ chantillonn´e.
– L’´echantillonnage du produit de deux fonctions de
transfert n’est pas e´gal au produit de leurs mod`eles
e´ chantillonn´es respectifs. Cette derni`ere remarque
est tr`es importante. Le calcul d’un syst`eme e´ chantillonn´e n’a de sens que s’il correspond a` un transfert
entre un bloqueur d’ordre z´ero et un e´ chantillonneur
(voir l’exercice 1.3).

1.5 Exercices
Exercice 1.1
On souhaite mod´eliser l’´evolution du cheptel d’un e´ leveur de bovins. Soit :

Solution
Pour commencer on peut remarquer que le syst`eme
ainsi d´ecrit a une cadence T de un an. Cette cadence
peut e´galement s’interpreter comme une p´eriode d’´echantillonnage si on consid`ere que le proc´ed´e (´elevage) est en
r´ealit´e continu (les vaches existent entre deux mesures).
La notion d’´echantillonnage correspond au choix de compter les vaches une fois par an.
1. Les e´ quations correspondant a` l’´enonc´e s’´ecrivent :
x1k 1 0 X 8x2k ) 0 X 4x3k
B
x2k 1 x1k
B
x3k 1 x2k )$ 1 / 0 X 3 x3k ) uk
B
yk x1k ) x2k ) x3k
2. Pour obtenir la fonction de transfert on op`ere la transform´ee en z sur ce syst`eme d’´equation en supposant
que les conditions initiales sont nulles :
zX1 z 0 X 8X2 z *) 0 X 4X3 z
zX2 z X1 z
zX3 z X2 z !) 0 X 7X3 z *) U z
Y z V X1 z *) X2 z *) X3 z
Si on remplace dans ces e´ quations X1 z par zX2 z
on trouve :

– x1k : le nombre de vaches de 1 an,

z2 X2 z 0 X 8X2 z !) 0 X 4X3 z

– x2k : le nombre de vaches de 2 ans,

zX3 z X2 z !) 0 X 7X3 z *) U z

– x3k : le nombre de vaches de 3 ans et plus,
ces valeurs repr´esentant des nombres moyens au cours de
l’ann´ee k.
Les vaches de 1 an ne se reproduisent pas. Les vaches
de deux ans produisent en moyenne 0 X 8 veau par an, celles
de trois ans et plus 0 X 4 veau par an. D’autre part, seules
celles de trois ans et plus meurent de causes naturelles
avec un taux moyen de 30 % par an.
Enfin l’´eleveur s’autorise a` acheter ou vendre uniquement des vaches de trois ans et plus. Soit uk le nombre
de vaches achet´ees (uk 0) ou bien vendues (uk 1 0) au
cours de l’ann´ee k.
1. Etablir les e´ quations r´ecurrentes de ce syst`eme en
prenant pour sortie yk le nombre total de vaches au
cours de l’ann´ee k.
Y z
2. En d´eduire la fonction de transfert
.
U z
3. En d´eduire l’´equation r´ecurrente qui relie uniquement les entr´ees et les sorties du syst`eme.

Y z V zX2 z *) X2 z *) X3 z
On en d´eduite que X3 z V a 2 X 5z2 / 2 X2 z donc :
z 2 X 5z2 / 2 X2 z X2 z !)_ 1 X 75z2 / 1 X 4 X2 z !) U z
Y z zX2 z *) X2 z !)_ 2 X 5z2 / 2 X2 z
ce qui conduit aux e´ quations suivantes :

2 X 5z3 / 1 X 75z2 / 2z ) 0 X 4 X2 z U z
Y z V a 2 X 5z2 ) z / 1 X2 z
La fonction de transfert de ce syst`eme est donc de la
forme :
G z

2X

5z3

2 X 5z2 ) z / 1
/ 1 X 75z2 / 2z ) 0 X 4

3. L’´equation r´ecurrente d´ecrivant enti`erement l’´evolution entr´ee/sortie du troupeau est donc obtenue en
op´erant la transform´ee inverse en z :
2 X 5yk

3

/ 1 X 75yk 2 / 2yk 1 ) 0 X 4yk
2 X 5uk 2 ) uk 1 / uk

`
`
CHAPITRE 1. MODELES
DES SYSTEMES
A` TEMPS DISCRET

12

e2k

uk

B0 p

u t

y t

Proc´ed´e

yk

+-

B0 { p |

e3 { t |

G1 { p |

G2 { p |

T

e4k

e1k

T

T

H4 { z |

e7k

+

e6k

e5 { t |

G3 { p |

B0 { p |

F IG . 1.11 – Proc´ed´e e´ chantillonn e´

Exercice 1.2
On consid`ere le syst`eme e´ chantillonn´e repr´esent´e sur
la figure 1.11.
On suppose que la fonction de transfert du proc´ed´e est :
G p

H
1) p

1. Etablir les mod`eles (´equation r´ecurrente, fonction de
transfert en z) de ce syst`eme.
2. Mˆemes questions lorsque ce syst`eme est boucl´e par
un retour unitaire uk yck / yk .

F IG . 1.12 – Sch´ema de trois syst`emes interconnect´es et
r´egul´es par H4 z

Donner l’expression de la fonction de transfert de
ce syst`eme, F z , avec comme entr´ee e1k et comme
sortie mesur´ee e4k .
2. La p´eriode d’´echantillonnage est de T 1s et les
fonctions de transfert sont donn´ee par les expressions suivantes :
1
G1 p
p

Solution
1. Mod`eles du proc´ed´e :

G2 p

2 ln 2 - 1 / 2p *) 2p
p ) ln 2

G3 p

ln 2
p ) ln 2

– Equation r´ecurrente :
yk

1

H4 z K

/ e# T yk 7 1 / e# T Huk

Donner l’expression de la fonction de transfert F z
en fonction de K.

– Fonction de transfert en z :
G z H

1 / e#
z / e#

T

Solution

T

2. Mod`eles du syst`eme boucl´e :

1. La premi`ere chose a` faire est d’identifier les transfert entres les diff´erents bloqueurs et les e´ chantillonneurs. C’est uniquement entre ces deux op´erateurs
que l’on peut d´efinir des syst`emes e´ chantillonn´es. Le
premier transfert est donn´e par :

– Equation r´ecurrente :

1 ) H yk 1 / e# T yk Hyck
– Fonction de transfert en z :
G z H

z)

1 / e# T
H /^ 1 ) H e#

e4 z
e2 z

T

Exercice 1.3
Soit les syst`emes interconnect´es donn´es par la figure
1.12.

Ensuite du fait de la lin´earit´e de la transform´ee en z,
on peut e´ crire :
e6 z } q j B0 p G1 p e2 z *)N j B0 p G3 p e4 z

H1 z e2 z *) H3 z e4 z

1. On pose les notations suivantes :

Ainsi le syst`eme se r´ee´ crit comme indiqu´e sur la figure 1.13. Et la boucle ferm´ee est donn´ee par :

H1 z $ j B0 p G1 p
H2 z $ j B0 p G2 p

e4

H3 z $ j B0 p G3 p
H5 z $ j B0 p G1 p G2 p

J J B0 p G1 p G2 p H5 z

H5 e2 D e2 e1 / H4 H1 e2 / H4 H3 H5 e2

Ce qui conduit a` la fonction de transfert :



H6 z $ j B0 p G1 p G2 p G3 p



e4
e1

F

1)

H5
H4 H1 ) H3 H5

1.5. EXERCICES

13

e4k

H5 { z |
+
-

e2k

Le syst`eme en boucle ferm´ee peut donc eˆ tre calcul´e :
H5 z
1 ) H4 z W H1 z !) H3 z H5 z b

F z }

H1 { z |

XYXYX

e1k

e7k

H4 { z |



H3 { z |

+

e6k



F IG . 1.13 – Sch´ema e´ quivalent

2. Le calcul de F z n´ecessite le calcul pr´ealable des
fonctions de transfert e´ chantillonn´ees H1 z , H3 z
et H5 z . Commen¸cons par H1 z :
H1 z ~ q j B0 p G1 p



z/ 1
G p
6 1
z
p
z/ 1
1
6 28
z
p
z/ 1
Tz
`
z / 1 2
z
1
z/ 1






8

Puis maintenant H5 z :
H5 z ~ q j B0 p G1 p G2 p
z/ 1

z

6

G1 p G2 p
p



z/ 1

z

6



z/ 1

z

2 ln 2 - 1 / 2p *) 2p
8
p2 p ) ln 2 b

6








/ 4
p

)

2
p2

)

z / 1 / 4z
2T z
)
6
z
z / 1 z / 1
1
z / 1 - z / 1 P 2

8

p)

4
ln 2

2

)

8

4z
8
z / 1P 2

et enfin H3 z qui donne avec la mˆeme d´emarche :
H3 z ~ j B0 p G3 p





z/ 1
ln 2
6
z
p p ) ln 2 €
1P 2
z / 1P 2

8

z / 1 - 2z /
4z3 )_ 4K /

2 2z / 1
1 2 ) K € 2z / 1 2 ) 2
4z / 2
2
8 z )$ 5 / 4K z )$ 3K / 1

14

`
`
CHAPITRE 1. MODELES
DES SYSTEMES
A` TEMPS DISCRET

Chapitre 2

R´eponse des syst`emes a` temps discret
Ce chapitre fait le lien entre les diff´erents mod`eles des
syst`emes a` temps discret et leur comportement dynamique
en r´eponse a` des entr´ees connues. Dans un premier temps
le calcul des r´eponses en sortie est abord´e et dans un second temps la notion de modes est d´efinie et e´ tudi´ee.

On peut ici reconnaˆıtre (mais ce n’est pas toujours aussi
e´vident) la suite :
yk

1

E k 0

qui donne l’expression analytique de la r´eponse cherch´ee.

G

2.1 Calcul de la r´eponse

2.1.2 A partir de la fonction de transfert
Th´eor`eme 2.1 Soit G z une fonction de transfert et
U z ‚ uk la transform´ee en d’une s´equence d’entr´ee, sous l’hypoth`ese de conditions initiales nulles la r´eponse du syst`eme est donn´ee par :

2.1.1 A partir de l’´equation r´ecurrente
Un syst`eme a` temps discret peut eˆ tre repr´esent´e par une
e´ quation r´ecurrente :
an yk

H/ 1 ) 2k #

H/ an# 1 yk # 1 /^XYXYX / a1 yk # n# 1 / a0 yk # n
) bm uk m# n )$XYXZX[) b1 uk # n# 1 ) b0 uk # n

yk

# 1 G z U z

avec m ] n pour des raisons de causalit´e.
Cette mod´elisation est sous forme algorithmique directement adaptable a` l’implantation dans le processeur. Elle
est bien adapt´ee a` la formulation des lois de commande.
Le mod`ele par e´ quation r´ecurrente n’est pas celui que l’on
choisit g´en´eralement pour un calcul manuel de r´eponse. Il
peut toutefois eˆ tre utilis´e pour calculer point par point la
r´eponse comme le fait un calculateur. L’exemple suivant
illustre ce calcul.

Comme dans le cas des syst`emes a` temps continu, la
fonction de transfert permet un calcul ais´e des r´eponses
uniquement dans le cas des syst`emes initialement au repos. La m´ethode est illustr´e sur l’exemple du paragraphe
pr´ec´edent.

Exemple 2.1
Soit le syst`eme a` temps discret suivant :

La transform´ee en z du signal impulsionnel uk est ici :

yk

2

Exemple 2.2
La fonction de transfert du syst`eme s’´ecrit :
G z

U z 1

/ 3 yk 1 ) 2 yk uk

Il vient donc :

Il est suppos´e initialement au repos, soit :
yk

1
z2 / 3z ) 2
Le calcul de l’original peut se faire a` partir de tables de
transform´ees, ce qui n´ecessite g´en´eralement une d´ecomposition en e´ l´ements simples. Pour simplifier les calculs
il est recommand´e d’effectuer la d´ecomposition en e´ l´ements simples de Y czz d et non pas celle de Y z . En effet,
il vient ici :
Y z
1
11 1 1
1


)
/
2
z
z z / 3z ) 2
2 z 2z/ 2 z/ 1
Y z G z U z

0 E k] 0

et on applique une entr´ee impulsionnelle telle que
uk

0 E k F 0 et u0 1

L’application successive de l’algorithme conduit a` :
y1
y2
y3
y4

3y0 / 2y# 1 ) u #
3y1 / 2y0 ) u0
3y2 / 2y1 ) u1
3y3 / 2y2 ) u2

1

1
z2 / 3z ) 2

0
1
3
7
15

´
`
CHAPITRE 2. REPONSE
DES SYSTEMES
A` TEMPS DISCRET

16

Ainsi on obtient une d´ecomposition de Y z en e´ l´ements
qui sont tous des transform´ees de termes connus (voir tableau 1.1 page 5) :
1 1 z
)
2 2z/ 2

Y z

yk

J w#

1 z
2z/ 2

6 )

1

/

z

z/ 1

Y z
z

z
z/ 1

/

1
1 k
δk )
2 / 1k
2
2

8

d’o`u :

1 1 z
1 z
/
)
6 2z/ 2 3z/ 3
En utilisant le tableau de transform´ees, il vient :
Y z

Ce qui donne:
y0



yk ƒ



0

1
2

)

1 0
22
1 k
22

/

10

0

/ 1k 2k # 1 / 1
G

Exercice 2.1
On consid`ere le syst`eme r´egi par l’´equation r´ecurrente
suivante :
yk 2 / 5yk 1 ) 6yk uk
Calculer sa r´eponse indicielle et sa r´eponse impulsionnelle.
Solution
Le calcul de sa r´eponse indicielle (r´eponse a` une entr´ee
en train d’impulsions unitaires uk 1 D„E k I 0) peut se
calculer en partant des repr´esentation en z du signal d’entr´ee et du mod`ele :
U z

z
z/ 1

D

G z

1
z2 / 5z ) 6

On a donc :
Y z V G z U z

z

z / 1 - z / 2 - z / 3

Par d´ecomposition en e´ l´ements simples :
Y z
z

1



z / 1 - z / 2 - z / 3
1 1
2z/ 1



/

1
z/ 2

1 1
2z/ 3

)

d’o`u :

1 z
z
1 z
/
)
2z/ 1 z/ 2 2z/ 3
En utilisant le tableau de transform´ees 1.1 page 5, il vient :
Y z

yk



1 k
1 k
1 / 2k )
3
2
2

Le calcul de sa r´eponse impulsionnelle (r´eponse a` une
entr´ee u0 1 D uk 0 D…E k F 0, i.e. U z 1) se calcule
de la mˆeme fa¸con :
Y z G z U z

1

z / 2 W z / 3

1
z z / 2 W z / 3
11 1 1
1 1
/
)
6z 2z/ 2 3 z/ 3




La transform´ee inverse s’obtient directement par application des transform´ees de la table :
1
2

Par d´ecomposition en e´ l´ements simples :

y0



0

yk



/

1 k 1 k
2 )
3
2
3

E kI 1

2.2 R´eponses e´ chantillonn´ees
Comme e´voqu´e dans le chapitre 1, l’´echantillonnage
d’un signal continu conduit a` un perte d’information. Sans
entrer dans le d´etail nous allons observer ce ph´enom`ene
sur deux exemples de proc´ed´es continus e´ chantillonn´es
selon le mod`ele de la figure 2.1.

uk

B0 p

u t

Proc´ed´e

y t

yk
T

F IG . 2.1 – Proc´ed´e e´ chantillonn e´
On sait associer a` ce syst`eme un mod`ele de type discret entre la s´equence d’entr´ee % uk & et la s´equence de sortie % yk & . Ce mod`ele permet le calcul de % yk & pour % uk &
donn´e, mais ne permet absolument pas de retrouver le signal continu y t . La seule utilisation du mod`ele a` temps
discret ne pose g´en´eralement pas de probl`eme pour une
e´ tude en boucle ouverte, mais peut s’av´erer insuffisante
pour caract´eriser compl`etement un syst`eme fonctionnant
en boucle ferm´ee. Il est pr´ef´erable dans ce cas d’utiliser
aussi le mod`ele a` temps continu du proc´ed´e command´e
pour d´eterminer y t .
Les calculs devenant complexes, les courbes qui suivent
sont d´etermin´ees a` l’aide du logiciel Matlab.
Exemple 2.3
Consid´erons le proc´ed´e continu de fonction de transfert :
1
G p
1) p
Pour trois p´eriodes d’´echantillonnage diff´erente la figure
2.2 donne la r´eponse yk du syst`eme.

2.3. NOTION DE MODES

17

Sortie du systeme
1

0.5

0

0

1

2

3

4

5

6

Amplitude

1.5

1

0.5

1

0
0

1

2

3

0.5

4
Temps

5

6

7

8

5

6

7

8

Sortie du systeme
2
0

1

2

3

4

5

6

1

1
0.5

0.5

0

1.5

Amplitude

0

0
0
0

1

2

3

4

5

1

2

3

6

4
Temps

F IG . 2.2 – Trois e´ chantillonnages diff´erents

F IG . 2.4 – Echantillonnage a` la p´eriode de l’oscillation

Dans le premier cas, T 0 X 1s, l’´echantillonnage est
tr`es rapide devant la constante de temps du syst`eme τ
1s. La r´eponse du syst`eme e´ chantillonn´e se confond avec
la r´eponse du syst`eme continu. En premi`ere approximation on pourrait quasiment n´egliger l’effet de l’´echantillonnage.
Dans le troisi`eme cas, T 2s, l’´echantillonnage n’est
pas assez rapide pour respecter la r`egle de Shannon. Le
signal discret ne rend pas compte de la r´ealit´e du processus.
Le second cas, T 0 X 5s, est donc a` pr´ef´erer car l’´echantillonnage rend compte fid`element du comportement du
G
syst`eme sans multiplier des mesures inutiles.

temps continu. En particulier ici, l’´echantillonnage se fait
exactement a` la p´eriode d’un ph´enom`ene oscillant pour le
syst`eme a` temps continu faisant croire a` la convergence
du signal.
G

Exemple 2.4
Consid´erons le syst`eme e´ chantillonn´e boucl´e de la figure 2.3, avec une p´eriode d’´echantillonnage T 0 X 5 s et
un algorithme de commande repr´esent´e par la fonction de
transfert :
5z / 3
z) 1

ek Š

‡

5z † 3
z† 1

B0

1
p2

yˆ t‰

yk

T

2.3 Notion de modes
Nous avons e´ tabli que pour calculer la r´eponse d’un
syst`eme a` temps discret, il est possible de proc´eder par
d´ecomposition en e´ l´ements simples de Y z €P z. Nous allons maintenant observer cette d´ecomposition dans le cas
g´en´eral.
Soit G z la fonction de transfert d’un syst`eme comprenant n p pˆoles not´es p1 DYXYXZX D pn p . Chaque pˆole peut e´ventuellement apparaˆıtre plusieurs fois dans le d´enominateur. On parlera de mi , l’ordre de multiplicit e´ du pˆole pi
(i 1 DYXYXZX…D n p ).
Identiquement on d´efinit une entr´ee quelconque U z
pour le syst`eme. Sa transform´ee en z se caract´erise par un
polynˆome au d´enominateur avec un certain nombres de
racines r1 DYXYXZX…D rq .
Apr`es avoir effectu´e la d´ecomposition en e´ l´ements simples de Y z €P z G z U z €P z on trouve une repr´esentation de la forme suivante :
Y z V

np

∑ Gi z H)


i 1

F IG . 2.3 – Syst`eme e´ chantillonn e´ boucl´e
La figure 2.4 montre d’une part la r´eponse indicielle
de ce syst`eme obtenue a` partir des seuls mod`eles a` temps
discret, d’autre part la sortie y t du proc´ed´e calcul´ee a`
partir de son mod`ele a` temps continu.
La constatation est que si le capteur mesure y t avec
la p´eriode d’´echantillonnage T 0 X 5s, la mesure ne rend
pas compte enti`erement du comportement du syst`eme a`

q

∑ U j z


(2.1)

j 1

Chacun des termes de cette somme s’exprime en fonction soit d’un pˆole pi soit d’une racine du d´enominateur
de U z , r j . Nous ne nous int´eresserons pas a` ces derniers
termes dans cette partie du cours. Ils repr´esentent ce qui
est appel´e le r´egime forc´e du syst`eme et d´ependent essentiellement du type d’entr´ee envoy´ee au syst`eme. Par
contre, nous allons d´etailler les premiers termes Gi z
qui, mˆeme s’ils d´ependent du choix du signal d’entr´ee,
d´ecrivent des caract´eristiques intrins`eques au syst`eme G z .

´
`
CHAPITRE 2. REPONSE
DES SYSTEMES
A` TEMPS DISCRET

18

Plus pr´ecis´ement, les fonctions Gi z se d´ecomposent
comme suit :
mi
αiq z
Gi z ∑
q
q 1 z / pi
et leur transform´ee en z inverse s’´ecrit g´en´eriquement de
la forme suivante :

# 1 Gi z 7 β0 ) β1 k )$XYXYX ) βmi # 1 kmi # 1 pki Pi k pki
Ce terme ainsi formul´e est compos´e du produit d’un polynˆome en k avec la suite g´eom´etrique des puissances du
pˆole pi . On va voir que l’´evolution de ce type de terme
d´epend essentiellement de la valeur de pi . On parlera de
mode associ´e au pˆole pi et nous allons d´ecrire dans la
suite des cat´egories de comportement de ces modes en
fonction de la valeur (r´eelle ou complexe) de pi .
Par superposition, la r´eponse d’un syst`eme a` une entr´ee
quelconque comprends toujours une somme de termes
tels que :
np

np

# 1 ∑ Gi z . ∑ Pi k pki
i 1
i 1
dont d’´evolution temporelle est caract´eris´ee par chacun
des modes. Il y a autant de modes que le syst`eme a de
pˆoles distincts.
Nous allons maintenant envisager tour a` tour des cas
simples de modes associ´es a` diff´erentes valeurs des pˆoles
puis nous caract´eriserons la r´eponse globale du syst`eme
compos´ee de la superposition de tous les modes.

2.3.1 Mode r´eel
Un mode r´eel est associ´e a` un pˆole r´eel. Pour all´eger
les notations, soient p ce pˆole et % P k pk & la suite correspondant a` la contribution de ce pˆole a` la r´eponse du
syst`eme.
Ind´ependemment de ce que peut eˆ tre le polynˆome P k ,
l’´etude des suites nous enseigne que :

– Si Q p QY 1 et que P k P 0 est un polynˆome constant, alors la contribution de ce mode est un signal
qui ne diverge ni ne converge. On parle alors de
mode entretenu. Ce cas est possible uniquement si
P k est un polynˆome constant (i.e. de degr´e z´ero) ce
qui est possible uniquement quand l’ordre de multiplicit´e du pˆole est e´gal a` m 1.
– Si Q p Qb 1 et P k est de degr´e non nul, alors la suite

% P k pk & diverge quand k ) ∞. On parle de mode
divergent dont la divergence est port´ee par la suite
% km# 1 & (divergence polynˆomiale).
– Si p 0, alors la suite % P k pk & a tendance (au signe
de P k pr`es) a` eˆ tre du mˆeme signe (mode ap´eriodique).
– Si p 1 0, alors la suite % P k pk 7 O/ 1 k P k ‹Q p Q k & a
tendance (au signe de P k pr`es) a` changer de signe
a` chaque it´eration (mode oscillatoire).
– Si p 0, alors la suite % P k pk & converge vers 0 en
une seule it´eration (r´eponse pile).
Sans entrer plus dans les d´etails, voici quelques exemples
qui illustrent ces diff´erentes notions.
Exemple 2.5
Soient les deux syst`emes suivants compos´e d’un seul
et mˆeme pˆole.
1

G1 z

/ z2 ) 3z / 1 X 1
z / 2 3

G2 z

z/ 2

Les r´eponses a` un e´ chelon pour ces deux syst`emes sont
donn´ees sur la figure 2.5 ( Œ pour G1 et o pour G2 ). On
constate que la divergence mˆeme si elle n’est pas exactement identique se fait avec la mˆeme vitesse approximative. L’autre constatation est que le signe de la r´eponse
suit la courbe d’un polynˆome (mode ap´eriodique).
1600

1400

– Si Q p Q 1 1, alors la suite % P k pk & converge vers 0

) ∞. On parle alors de mode convergent
quand k
dont la convergence est port´ee par la suite g´eom´etrique % pk & . La vitesse de convergence d´epend essentiellement de la valeur de p. Plus la valeur de Q p Q
est faible, plus le mode converge vite vers l’origine
(convergence exponentielle).
– Si Q p Q 1, alors la suite % P k pk & diverge quand

k
) ∞. On parles alors de mode divergent dont la
divergence est port´ee par la suite g´eom´etrique % pk & .
La vitesse de divergence d´epend essentiellement de
la valeur de p. Plus la valeur de Q p Q est grande, plus
le mode diverge vite (divergence exponentielle).

1200

1000

800

600

400

200

0

−200

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

F IG . 2.5 – R´eponses de l’exemple 2.5

G

2.3. NOTION DE MODES

19

Exemple 2.6
Soient les deux syst`emes suivants compos´e d’un seul
et mˆeme pˆole.

2

1.8

1.6

1.4

G1 z V

1
z ) 0X 5

G2 z

z2 / 1z ) 1
z ) 0 X 5 2

1.2

1

Les r´eponses a` un e´ chelon pour ces deux syst`emes sont
donn´ees sur la figure 2.6 (o pour G1 et Œ pour G2 ). On
constate que la convergence est assez similaire mˆeme si
elle n’est pas exactement identique. L’autre constatation
est que le signe de la r´eponse alterne (mode oscillatoire).
2

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

F IG . 2.7 – R´eponses de l’exemple 2.7

1.5

n´ecessairement avec le mˆeme ordre de multiplicit e´ . Par
d´efinition un mode complexe est associ´e a` un couple de
pˆoles complexes conjugu´es l’un de l’autre. La contribution de ce mode est de la forme suivante :

1

0.5

Pa k pk ) Pb k W p

0

o`u Pa k et Pb k sont des polynˆomes a` coefficients complexes du mˆeme degr´e, mais il est possible de monter que
la contribution conjointe des puissances de pk et p Y k est
n´ecessairement r´eelle. D`es lors la contribution d’un mode
complexe peut e´galement s’´ecrire sous la forme suivante :

−0.5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

F IG . 2.6 – R´eponses de l’exemple 2.6

P k ρk sin kθ ) φ

G
Exemple 2.7
Soient les deux syst`emes suivants compos´e chacun d’un
seul et mˆeme pˆole de module e´gal a` un.
G1 z

1

z) 1

G2 z V

k

0 X 01
z / 1 2

Les r´eponses a` un e´ chelon pour ces deux syst`emes sont
donn´ees sur la figure 2.6 (o pour G1 et Œ pour G2 ). G1 a
une r´eponse oscillante ni divergente ni convergente (mode
entretenu oscillatoire) car le pˆole / 1 apparaˆıt dans la fonction de transfert avec un ordre de multiplicit e´ e´gal a` un.
G2 par contre diverge sans osciller car le pˆole ) 1 est positif et d’ordre de multiplicit e´ e´gal a` deux. La divergence
n’est pas exponentielle, mais tend vers une asymptote lin´eaire.

G
2.3.2 Mode complexe
Les racines d’un polynˆome a` coefficients r´eels sont soit
r´eelles soit complexes. Dans le second cas, pour chaque
pˆole p tels que Im p  F 0 il existe un autre pˆole p complexe conjugu´e de p. ces deux pˆoles p et p interviennent

o`u P k est un polynˆome a` coefficients r´eels, o`u φ est un
d´ephasage d´etermin´e par la situation, o`u ρ est le module
du pˆole et o`u θ est l’argument du pˆole. D’apr`es les formule d’Euler on a p ρe jθ et p Ž ρe# jθ .
Ind´ependemment de ce peut eˆ tre le polynˆome P k ,
l’´etude des suites telles que P k ρk sin kθ ) φ nous enseigne les caract´eristiques suivantes sur la contribution
d’un mode complexe :
– Si Q p QY ρ 1 la r´eponse transitoire diverge a` la vitesse de ρk (divergence exponentielle),
– Si Q p QY ρ 1 1 la r´eponse transitoire converge vers 0
a` la vitesse de ρk (convergence exponentielle),
– Si Q p QY ρ 1 la r´eponse transitoire diverge a` la vitesse du polynˆome P k et si le pˆole est de multiplicit´e e´gale a` 1 alors P k V α et le mode ne converge
ni ne diverge (mode entretenu),
– Si arg p θ F 0 est l’argument de p, la r´eponse du
syst`eme oscille a` cette fr´equence (oscillation “port´ee” par la convergence de ρk ). Le mode est oscillatoire.
Un r´esum´e de ces comportements dynamiques est donn´e
sur la figure 2.8 page 20.

20

´
`
CHAPITRE 2. REPONSE
DES SYSTEMES
A` TEMPS DISCRET

F IG . 2.8 – Allure des modes selon leur emplacement dans le plan de Laplace

2.3. NOTION DE MODES

21

Exemple 2.8
Consid´erons le syst`eme de fonction de transfert :
G z

b0
z2 ) a1 z ) a0



b0

b0
)
λ1 λ2

b0 z

z / λ1 λ1 λ1 / λ2

b0 z

)

z / λ2 λ2 λ2 / λ1

soit :
gk

b0
b0
δk )
λk #
λ1 λ2
λ1 / λ2 1



Amplitude

0.4
0.2
0
−0.2
0

/

1

#

λk2 1

Si les modes du syst`eme sont r´eels (4a0 ] a21 ), le syst`eme
est compos´e de deux modes r´eels dont le comportement
d´epend respectivement des valeurs de λ1 et λ2 .
Si les modes sont complexes conjugu´es (4a0 a21 ), il
vient :
sin k / 1 θ
g k ƒ 0 b 0 ρk # 2
sin θ
avec :
a1
ρ  a0
cos θ L/
2  a0
A la donn´ee de a0 et a1 , la r´eponse transitoire d’un syst`eme du second ordre est soit une somme de deux modes
r´eels soir un mode complexe dont la convergence est donn´ee par le module des pˆoles (ρ Q λ Q ) et l’oscillation est
donn´ee par leur argument (θ arg λ ).
Pour illustration les r´eponses impulsionnelle et indicielle pour les valeurs b0 0 X 5, a1 ‘/ 1 et a0 0 X 5 sont
G
donn´ees sur la figure 2.9.

2

4

6

8

10
12
No. of Samples

14

16

18

20

1.5

1

0.5

z / λ1 W z / λ2

La r´eponse impulsionnelle de ce syst`eme est obtenue en
calculant l’original de sa fonction de transfert en z :
G z .

0.6

Amplitude

Remarque 2.1 En pratique, on retiendra qu’un syst`eme
a` temps discret peut avoir deux sources d’oscillations : la
pr´esence de modes complexes et/ou la pr´esence de modes
a` partie r´eelle n´egative. Bien entendu, ces deux ph´enom`enes d’oscillations peuvent se superposer.

0
0

2

4

6
8
No. des echantillons

10

12

14

F IG . 2.9 – R´eponses impulsionnelle et indicielle
Le second syst`eme admet les pˆoles /  2 P 2 ) j  2 P 2 et

/ 2 P 2 / j  2 P 2. Le mode associ´e a` ce pˆole a les mˆemes
caract´eristiques que pour G1 si ce n’est que en plus de
l’oscillation li´ee a` θ F 0, s’ajoute une alternance due au
fait que la partie r´eelle est n´egative.
Le troisi`eme exemple est tel que le couple de pˆoles
(  2 P 2 ) j  2 P 2 ,  2P 2 / j  2 P 2) est d’ordre de multiplicit´e e´gale a` deux. Le syst`eme est donc oscillant avec les
mˆemes caract´eristiques que pour G1 mais a` la diff´erence
G
qu’il diverge avec une vitesse polynˆomiale.
20
15
10
5
0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1
0.5
0
−0.5
200
100
0
−100

F IG . 2.10 – R´eponses indicielles de l’exemple 2.9
Exemple 2.9
Consid´erons les syst`emes suivants :
G1

z2 ) 2z ) 3
2
z / 1 X 414z ) 1
G3



z4 /

D G2

z2 )

1
1 X 414z ) 1

z2 ) 2z ) 3
2 X 828z3 ) 4z2 / 2 X 828z ) 1

Le premier syst`eme admet deux pˆoles complexes conjugu´es  2P 2 ) j  2 P 2 et  2 P 2 / j  2P 2. Ces pˆoles complexes sont de module e´gal a` un et ils sont de multiplicit e´
simple donc la r´eponse indicielle est oscillante entretenue
(pas de convergence ni de divergence).

2.3.3 Caract´erisation des modes par analogie avec les syst`emes continus
On rappelle que les pˆoles des syst`emes continus peuvent
eˆ tre d´ecrits par :
pc

‘/ ζωn ’ jωn “ 1 / ζ2

Cette e´ criture g´en´erique pour les pˆoles complexes devient
dans le cas de pˆoles r´eels (ζ 1) :
pc

H/ 1 P τ

´
`
CHAPITRE 2. REPONSE
DES SYSTEMES
A` TEMPS DISCRET

22

Et les polynˆomes caract´eristiques des syst`emes a` temps
continu se factorisent avec des termes tels que :
p2 ) 2ζωn p ) ω2n

et

p ) 1P τ

Les diff´erents param`etres que nous venons de rappeler
caract´erisent les r´eponses des modes des syst`emes continus :
– τ 1 PR ζωn : temps de r´eponse du mode (le mode
converge a` 95% de sa valeur finale en 3τ secondes).
– ω p ωn ” 1 / ζ2 : pulsation propre (caract´erise la
pulsation de l’oscillation dans le cas d’un mode complexe).
– ωn : pulsation propre non amortie.
– ζ j 0 1 : coefficient d’amortissement (plus ζ est
faible plus le mode oscille avant de converger).
Ces propri´et´es sont maintenant reprises pour caract´eriser
les modes des syst`emes discrets.
Nous avons e´ tabli dans la section 1.4.3 que pour les
syst`emes continus e´ chantillonn´es que les pˆoles du syst`emes discret obtenu apr`es e´ chantillonnage se d´eduisent
du syst`eme continu original suivant la formule :
pd

e

pd

a• / 1 P τ
e# T z τ

L/ ζωn ’ • jωn ” 1 / ζ2
pd e# T z τ cos ω p T ’ j sin ω p T b
pc

Inversement un pˆole r´eel d’un syst`eme discret, pd
caract´erise par :

zr se

– un temps de r´eponse τ L/ T P ln zr , o`u T est la p´eriode de fonctionnement du syst`eme discret,
– des pulsation propres nulles et un amortissement ζ
1 (le mode est non oscillant).
Un pˆole complexe pd

zr ’ jzi se caract´erise par :

– un temps de r´eponse τ L/ 2T P ln
– une pulsation propre ω p



“ 1 ) ω2p τ2 .

Exemple 2.10
En reprenant l’exemple 2.8, le mode complexe est caract´eris´e par le polynˆome caract´eristique :
z2 / z ) 0 X 5

h

pd



1

2

j

Ce qui conduit a` :
– un temps de r´eponse τ 2 X 89T (la convergence a`
95% se fait au bout de 9 p´eriodes),
π
– une pulsation propre ω p 4T
(la p´eriode de l’oscillation est huit fois sup´erieure a` la p´eriode des e´ chantillons),

– une pulsation propre non amortie ωn

0 X 8585 P T,

– un amortissement ζ 0 X 4037 (l’amortissement est
ind´ependant de la p´eriode des e´ chantillons).
Le temps de r´eponse et la pulsation propre se retrouvent
G
sur la figure 2.9.

2.3.4 Superposition des modes

pc T

o`u T est la p´eriode d’´echantillonnage, pc les pˆoles du syst`eme continu et pd les pˆoles du syst`eme discret.
Ainsi partant du pˆole d’un syst`eme continu ayant certaines caract´eristiques en termes de temps de r´eponse,
d’amortissement et de pulsation propre on trouve le pˆoles
d’un syst`eme discret (fonctionnant a` la p´eriode T ) qui aurait les mˆemes caract´eristiques dynamiques :
pc

– un amortissement ζ 1 P

1
T

z2r

)

z2i

,

arctan zi P zr ,

– une pulsation propre non amortie ωn

“ ω2p ) 1 P τ2 ,

Pour les proc´ed´es rencontr´es en pratique, les pˆoles peuvent eˆ tres multiples et leur effets s’additionnent sur la sortie mesur´ee du syst`eme. L’ensemble des possibilit´es n’est
pas descriptible. Cependant il est parfois possible de discerner des allures dues aux diff´erents pˆoles quand les dynamiques (vitesses de convergence/divergence) sont tr`es
diff´erentes. Quelques exemples sont donn´es sur la figure
2.11.
14
12
10
8
6
4
2
0

0

5

10

15

20

25

30

7
6
5
4
3
2
1
0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

F IG . 2.11 – R´eponses indicielle avec un mode r´eel et un
mode complexe ayant des dynamiques diff´erentes
La premi`ere de ces courbes montre un syst`eme ayant
un pˆole r´eel a` convergence lente (plus de 30 it´erations
pour converger) et un mode fortement oscillant qui converge

2.3. NOTION DE MODES

rapidement (l’oscillation rejoint rapidement l’exponentielle convergente du mode r´eel).
La seconde courbe montre la situation inverse. Un mode
r´eel tr`es rapide converge dans les tout premiers instants
(mont´ee rapide vers un voisinage de l’´equilibre). A cette
convergence rapide s’ajoute un mode oscillant dont la
convergence est plus lente.
Dans tous les cas il est important de noter que la convergence globale d’un syst`eme se fait avec la constante de
temps du mode le plus lent. C’est a` dire a` la vitesse du
mode dont le pˆole a` le module le plus grand.

23

24

´
`
CHAPITRE 2. REPONSE
DES SYSTEMES
A` TEMPS DISCRET

Chapitre 3

Stabilit´e des syst`emes a` temps discret
Ce chapitre porte sur la stabilit´e des syst`emes a` temps
discret. Dans un premier temps nous replaceront la notion
de stabilit´e dans un cadre g´en´eral puis nous porterons plus
pr´ecis´ement notre attention sur la stabilit´e d´efinie au sens
d’un transfert born´e. La suite du chapitre porte sur des
techniques d’´evaluation de la stabilit´e et conclue sur le
cas des syst`emes e´ chantillonn´es.

de modifier la commande.
Ces points d’´equilibre se sont en g´en´eral pas uniques.
Par exemple si l’on consid`ere un pendule constitu´e d’une
barre rigide pouvant tourner dans un plan vertical, ce syst`eme admet deux points d’´equilibre quand la barre est
verticale soit vers le haut soit vers le bas. Ceci est illustr´e
sur la figure 3.1.

3.1 Stabilit´e interne des syst`emes
Positions d’équilibre pour
θ=π

Dans ce cours nous avons volontairement choisi de ne
pr´esenter les syst`emes que sous la forme de fonctions de
transferts et d’´equations r´ecurrentes. Une autre mod´elisation tr`es fr´equemment rencontr´ee s’´ecrit sous certaines
hypoth`eses comme suit:



xk

1

yk





θ=0

θ

f xk D uk
g xk D uk

mg

F IG . 3.1 – Positions d’´equilibre du pendule rigide

O`u u repr´esente le signal en entr´ee du syst`eme, y la sortie
mesur´ee et f et g sont des fonction quelconques d´ecrivant le fonctionnement du processus. Cette repr´esentation
a l’avantage de mettre en e´vidence un vecteur xk n appel´e e´ tat du syst`eme. Ce vecteur d´ecrit exactement a` l’instant k l’´etat (positions, vitesses, concentrations de produits, tensions e´ lectriques...) du syst`eme. D’usage diff´erent de la repr´esentation pr´esent´ee dans ce cours, elle va
au del`a d’une d´ependance entre les entr´ees et les sorties,
pour repr´esenter les comportements internes du processus.
La stabilit´e interne des syst`emes est d´efinie a` la donn´ee de ce type de mod`eles. Nous donnons ici uniquement quelques brefs e´ l´ements de cette th´eorie. Le premier d’entre eux est la d´efinition des points d’´equilibre.
On suppose que le syst`eme est plac´e en mode autonome
(uk ue est une constante le plus souvent nulle) et on d´efinit les e´ tats d’´equilibre xe comme les solution de l’´equation :
xe f xe D ue

Il est ais´e de remarquer que les deux points d’´equilibre
du pendule n’ont pas le mˆeme statut. On peut spontan´ement qualifier l’´equilibre θ π d’instable et la position
inverse de stable. Math´ematiquement la stabilit´e de d´efinit comme suit :
D´efinition 3.1 Un point d’´equilibre xe est :
simplement stable si quel que soit le voisinage Ω1 de xe ,
il existe un voisinage Ω2 de xe tel que, pour tout e´ tat
initial x0 Ω2 , xk Ω1 E k I 0.
asymptotiquement stable si il existe un voisinage Ω1 de

xe tel que, pour tout e´ tat initial x0 Ω1 , xk
xe

quand k ) ∞.
globalement asymptotiquement stable si pour tout e´ tat


initial x0 n , xk
xe quand k ) ∞.

Ils correspondent aux situations dans les quelles si le syst`eme est dans cet e´ tat alors il ne peut pas e´voluer a` moins

instable s’il n’est pas stable.
25

` TEMPS DISCRET
`
CHAPITRE 3. STABILITE´ DES SYSTEMES
A

26

Par d´efinition la stabilit´e indique que si le syst`eme a
un e´ tat initial suffisamment proche de l’´equilibre alors il
ne s’en e´ carte pas. La stabilit´e asymptotique ajoute a` cela
que l’´etat du syst`eme rejoint asymptotiquement l’´equilibre pour des conditions initiales suffisamment proches.
Le caract`ere global indique que la convergence vers l’´equilibre se fait pour tout condition initiale. Enfin l’instabilit´e
indique que aussi pr`es que l’´etat soit de l’´equilibre consid´er´e, il a tendance a` s’en e´ carter.
La probl´ematique est bien souvent pour les syst`emes
non-lin´eaires de d´eterminer des domaines de condition
initiales pour lesquelles le syst`eme est assur´e de converger vers un e´ quilibre. Pour ce qui est des syst`emes lin´eaires sur lesquels porte ce cours, la stabilit´e ou l’instabilit´e sont toujours des propri´et´es globales et le point
d’´equilibre est, sauf cas particulier, unique.
Nous ne d´etaillons pas plus la notion de stabilit´e interne ni la th´eorie de Lyapunov qui lui est associ´ee. Cependant, on peut noter qu’a peu de diff´erences pr`es, pour
les syst`emes envisag´es dans ce cours, la stabilit´e interne
et la stabilit´e BIBO sont e´ quivalentes.

3.2 Stabilit´e BIBO des syst`emes
BIBO vient de la d´efinition en anglais :“bounded input,
bounded output”. La caract´erisation des syst`emes stables
se fait en prouvant que la sortie du syst`eme est toujours
non divergente tant que le signal d’entr´ee est contenu
dans un certain domaine. La traduction de l’anglais dit
“`a entr´ee born´ee, sortie born´ee”. Math´ematiquement la
d´efinition est :
D´efinition 3.2 Un syst`eme d´efinit part ses entr´ees/sorties
tel que:

u
/ k F / yk

Les premiers termes ont e´ t´e e´ tudi´es dans le chapitre pr´ec´edent. Ils correspondent tous a` des signaux soit convergeant vers 0 (modes convergeant exponetiellement) soit
entretenus, soit divergeants. S’il existe au moins un mode
divergent, la sortie est non born´ee, le syst`eme n’est pas
stable. Si par contre tous les modes sont convergents alors
le premier terme est convergent et donc born´e.
Maintenant, en utilisant des arguments similaires si tous
les modes sont tels que Q pi Q 1 1 et sous l’hypoth`ese que
le signal d’entr´ee est born´e, il est possible de montrer que
le second terme d´ecrit un signal born´e :

˜˜

˜˜ #
˜

–

% uk &



sup Q uk Q+1 ∞
k ' —

la sortie est toujours born´ee

–

–

% yk &



sup Q yk Qo1 ∞
k ' —

Cette d´efinition tr`es g´en´erale, s’applique a` tout type de
mod`ele. Dans le cas des syst`emes lin´eaires, nous allons
voir qu’elle se particularise et revient a` e´ tudier les modes
du syst`eme. En effet, en reprenant les notations de la page
17 la transform´ee en z de la sortie du syst`eme pour toute
entr´ee U z est donn´ee par (2.1) :
Y z

np

∑ Gi z ‘)


i 1

q

∑ U j z


j 1

: ∑ U j z ? ˜˜
˜
j 1

1 ∞


Inversement, si il existe un mode tel que Q pi Qb 1 il est ais´e
de construire un signal d’entr´ee born´e tel que la sortie yk
diverge. Le r´esultat pour les syst`emes lin´eaires a` temps
discret est donc e´ nonc´e par le th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme 3.1 Soit F z un syst`eme a` temps discret et
soient p1 D p2 DY`Y`Y`\D pr ses r pˆoles distincts.
1. Si ™ i u% 1 DZ`Y`Y`[D r & tel que Q pi QSI 1, alors le syst`eme
est BIBO instable.
2. Si E j 1 DY`Y`Y`[D r, Q p j Q*1 1, alors le syst`eme v´erifie
la propri´et´e interne de stabilit e´ asymptotique et est
BIBO stable.
3. Si E j 1 DY`Y`Y`[D r, Q p j QS] 1 et ™ i ^% 1 DY`Y`Y`[D r & tel que
Q pi Q 1, alors le syst`eme peut e´ e´ventuellement v´erifier la propri´et´e interne de stabilit e´ mais n’est pas
BIBO stable.
Exemple 3.1
de transfert :

Soit le syst`eme caract´eris´e par la fonction
F z

est BIBO stable si pour toute entr´ee born´ee

–

˜˜

q

1

0 X 25z
z / 0 X 5 W z / 0 X 25

Les pˆoles sont de module inf´erieur a` 1. Le syst`eme est
stable. Par exemple, sa r´eponse a` une entr´ee impultionnelle (U z 1) s’´ecrit :
Y z F z R, 1

•

z
z / 0X 5

/

z/

z
0 X 25

#
yk f 1k ) f 2k 0 X 5k / 0 X 25k
1

et converge comme le montre l’´evolution de f 1k et f 2k sur
la figure 3.2.
G
Exemple 3.2
de transfert :

Soit le syst`eme caract´eris´e par la fonction
F z

z)

z
2 - z / 0 X 5

`
3.2. STABILITE´ BIBO DES SYSTEMES

27
(U z

0

z
z 1)

s’´ecrit :

#

zP 4
zP 4
zP 2
‘/
)
)
z ) 1 z / 1 z / 1 2
•
# 1
yk f 1k ) f 2k œ›…/ 14 O/ 1 k  )a› 14 1k ) 12 k 

−0.1

Y z F z R,

−0.2
−0.3
−0.4
−0.5

z
z 1

#

et l’une des composantes de la somme diverge comme le
montre l’´evolution de f 1k et f 2k sur la figure 3.4.

−0.6
−0.7

4

−0.8
k=7

3.5

−0.9
−1

3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1
2.5

F IG . 3.2 – Syst`eme asymptotiquement stable
2

L’un des pˆole est de module sup´erieur a` 1 ( Qš/ 2 QW 2). Le
syst`eme est instable. Par exemple, sa r´eponse a` une entr´ee
impultionnelle (U z 1) s’´ecrit :
Y z V F z R, 1 ‘/

•

zP 1 X 5
zP 2 X 5
)
z ) 2 z / 0X 5

#
yk f 1k ) f 2k L/ 11f 5 2k )

1.5

k=1

1

0.5

0

k=0

−0.25

−0.2

−0.15

1
2 50

f

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Par contre, sa r´eponse a` une entr´ee impultionnelle (U z .
1) s’´ecrit :
Y z V F z ., 1 L/

0.45

•

zP 1 X 5
zP 2 X 5
)
z ) 2 z / 0X 5

# 1
yk f 1k ) f 2k L/ 12 O / 1 k ) 12 1k 0 X 5 ) 0 X 5 O/ 1 k

0.4

0.35

0.3

et elle ne diverge pas mais alterne entre deux valeurs.

0.25

Exemple 3.4
de transfert :

0.2

0.1

)

0.05

0
0

50

100

F IG . 3.3 – Syst`eme instable
Soit le syst`eme caract´eris´e par la fonction
F z V

z

z z / 0 X 9 cos π P 4 b
z2 / 2 ` 0 X 9 cos π P 4 z ) 0 X 92
z z / 0 X 85 cos π P 5 €
z2 / 2 ` 0 X 85 cos π P 5 z ) 0 X 852

Les pˆoles sont complexes (0 X 9e jπ z 4, 0 X 9e # jπ z 4, 0 X 85e jπ z 5
et 0 X 85e # jπ z 5) de module inf´erieur a` 1. Le syst`eme est
stable. Par exemple, sa r´eponse a` une entr´ee impultionnelle indicielle (U z 1) s’´ecrit :
Y z V F z ., 1

z ) 1 - z / 1

Les pˆoles sont de module e´gaux a` 1. Le syst`eme est BIBO
instable. Par exemple, sa r´eponse a` une entr´ee indicielle

G

Soit le syst`eme caract´eris´e par la fonction

F z

0.15

Exemple 3.3
de transfert :

−0.05

F IG . 3.4 – Syst`eme de l’exemple 3.3 en r´eponse a` un e´ chelon

X 5k

et l’une des composantes de la somme diverge comme le
G
montre l’´evolution de f 1k et f 2k sur la figure 3.3.

−50

−0.1

1

zP 2
z / 0 X 9e jπ z

•
yk

f1k ) f2k 0 X

)

z

4

)

ž )

z 2
z 0 85e jπ 5
1

# f

zP 2
z / 0 X 9e#

z

z

jπ 4

z 2
z 0 85e jπ 5

# f

l

ž

#
kπ P 4 *) 0 X 85k cos kπ P 5

9k cos

` TEMPS DISCRET
`
CHAPITRE 3. STABILITE´ DES SYSTEMES
A

28

et les deux composantesconvergent en oscillant a` des p´eriodes diff´erentes et avec des vitesses de convergence diff´erentes comme le montre l’´evolution de f 1k et f 2k sur la
figure 3.5.
G

n y 4 :
y a )
a0 /
yy 02
a4 /
a0 /

a1 ) a2 ) a3 ) a4 0
a1 ) a2 / a3 ) a4 0
a20 /JQ a0 a3 / a1 a4 Qo 0
a4 2 a0 / a2 ) a4 *)$ a1 / a3 - a0 a3 / a1 a4 Ÿ 0

Exemple 3.5 Soit le syst`eme dont le polynˆome caract´eristique s’´ecrit :

1
k=0

P z z3 )_ K / 0 X 75 z / 0 X 25
L’application du crit`ere de Jury conduit a` l’ensemble d’´equations :

0.5

yy

a0 ) a1 ) a2 ) a3
K
/
)
/
)

)
a
a
a
a
K
0X 5
0
1
2
3
yy
a3 /JQ a0 Qn
1 / 0 X 25
a0 a2 / a1 a3 / a20 ) a23 „/ K ) 1 X 6875



k=8

k=20
0

dont l’intersection donne 0 1 K
tion de stabilit´e.
−0.5
−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

3.3 Crit`ere de Jury
Le crit`ere de Jury adresse la stabilit´e a` partir de la
connaissance du polynˆome caract´eristique :

#

1

)_`Z`Y` ) a1 z ) a0

Il est ainsi possible d’´evaluer la stabilit´e d’un syst`eme
partant d’une fonction de transfert en e´ tudiant le polynˆome au d´enominateur sans en calculer les racines.
Th´eor`eme 3.2 Un syst`eme lin´eaire a` temps discret est
asymptotiquement stable si et seulement si les coefficients
de son polynˆome caract´eristique v´erifient les relations
qui suivent. Les conditions d´ependent de l’ordre du syst`eme nous ne les donnons que pour n 2 ,3 et 4. Les
ordres sup´erieurs peuvent eˆ tre g´en´er´es sans difficult´e mais
sont fastidieux. Pour plus de simplicit´e on suppose que
an 0. Dans le cas contraire il suffit de multiplier tous
les coefficients par / 1.



a0 ) a1 ) a2 0
a0 / a1 ) a2 0
0
a2 / a0

n 2:

yy

n 3:


yy

a0 ) a1 ) a2 ) a3
/ a0 ) a1 / a2 ) a3
a3 /$Q a0 Q
a0 a2 / a1 a3 / a20 ) a23

0
0
0

1 1 X 6875 comme condiG

1

F IG . 3.5 – Syst`eme de l’exemple 3.4 en r´eponse a` une
impulsion

P z an zn ) an 1 zn #

0

3.4 Crit`ere de Routh
Le crit`ere de Jury donn´e dans la sous-section pr´ec´edente est un crit`ere qui atteste que les racines d’un polynˆome appartiennent au disque unit´e ( Q λ QY1 1) sans avoir a`
les calculer. Le crit`ere de Routh quant a` lui atteste que
les racines d’un polynˆome appartiennent au demi-plan
gauche (ℜ λ @1 0). Il n’est donc pas directement applicable pour les syst`emes a` temps discret.
Lemme 3.1 Soit P z un polynˆome de degr´e n et soit
P˜ w le polynˆome du mˆeme degr´e obtenu par la relation
suivante :
1) w
P˜ w 7 1 / w n P  
1 / w¡
Le polynˆome P z a toutes ses racines dans le disque
unit´e ( Q zi Qo1 1) si et seulement si les racines de P˜ w sont
dans le demi-plan gauche (ℜ wi V1 0).
Preuve
Soit la transformation bijective suivante :
1) w
1/ w

z

¢

h

w

z/ 1
z) 1

elle transforme la variable complexe z en une nouvelle
variable w telle que :

0
0
0
0

z

α)



¢

h

α2 ) β2 / 1 ) 2 jβ
α ) 1 2 ) β2

w

d’o`u :

Q z QW1 1
¢

h

α2 ) β2

1 1
¢

h

ℜ w V1 0

`
´
´
3.5. SYSTEMES
ECHANTILLONN
ES

Ce r´esultat appliqu´e aux racines de P z conclue la preuve.
Il est important de noter que la transformation en w des
polynˆomes caract´eristiques de syst`emes a` temps discret
permet uniquement d’appliquer le crit`ere de Routh. Aucune autre utilisation de cette transformation n’est conseill´ee. Il ne faut en aucun cas confondre ce r´esultat avec
des transformations donnant une e´ quivalence entre un syst`eme discret et un syst`eme continu. Le polynˆome P˜ w
n’a aucune interpr´etation en Automatique.
Th´eor`eme 3.3

Soit le polynˆome donn´e par :

P˜ w αn wn ) αn 1 wn #

#

1

)_XZXYX ) α1 w ) α0

ses racines appartiennent au demi-plan gauche (ℜ wi 1
0) si et seulement si tous ses coefficients αi sont du mˆeme
signe et que les coefficients de la premi`ere colonne du
tableau de Routh sont e´galement du mˆeme signe.
Soit q l’arrondi vers le bas de n P 2 (par exemple pour
n 5, on trouve q 2). Le tableau de Routh est compos´e
de n ) 1 lignes et q colonnes et se construit comme suit :
βn e 0
βn 1 e 0
#
βn 2 e 0
.. #
.
β2 e 0
β1 e 0
β0 e 0

βn e 1
βn 1 e 1
#
βn 2 e 1
.. #
.
β2 e 1
0
0

XYXZX βne q# 1
XYXZX βn# 1e q#
XYXZX βn# 2e q#

βn e 2
βn 1 e 2
#
βn 2 e 2

#

1
1

βn e q
βn 1 e q
#
0

0
0

αn#

2j

D

βn

# 1e j αn# 1#



βi

e

e / βi 1 e j 1 βi 2 e 0
βi 1 e 0

1 0 βi 2 j 1

e

20

e

4X 5 / K

0

3/ K

K

0


# 8K3
#

f

13 5
K

0

K

0

Le polynˆome en w aura toutes ses racines a` partie r´eelle
n´egative (et par cons´equent, le polynˆome P z aura ses racines de module inf´erieur a` 1) si tous ses coefficients sont
de mˆeme signe et si les e´ l´ements de la premi`ere colonne
de la table de Routh sont de mˆeme signe. Ceci conduit
a` la satisfaction simultan´ee de l’ensemble de conditions
suivantes :
yyy
0
K ) 0X 5
y
0
3/ K

4X 5 / K
0
yyyy
K
0
/ 8K ) 13 X 5 0
soit la condition de stabilit´e 0 1 K

1 1 X 6875.

G

3.5 Syst`emes e´ chantillonn´es
3.5.1 Etude en boucle ouverte

10

βi
βi

uk

B0 p

u t

Proc´ed´e

y t

yk
T

F IG . 3.6 – Proc´ed´e e´ chantillonn e´

symboliquement repr´esent´ee par le produit en croix :
βi
βi

K ) 0X 5

2j

et pour i ] n / 2 la relation suivante :
βi e j

La table de Routh correspondante s’´ecrit :

Consid´erons le syst`eme e´ chantillonn´e en boucle ouverte repr´esent´e sur la figure 3.6.

0

avec pour i n et i n / 1 les coefficients du polynˆome
rang´es de deux en deux tels que :
βn e j

29

x

e

2 j 1

e

1 j 1

Exemple 3.6
Reprenons l’exemple pr´ec´edent dont le
polynˆome caract´eristique s’´ecrit :

Le proc´ed´e continu est repr´esent´e par une fonction de
transfert Fc p et sa stabilit´e est d´etermin´ee par les pˆoles
λi . La condition n´ecessaire et suffisante de stabilit´e est
donn´ee par :
ℜ λi V1 0
E λi
Consid´erons maintenant le syst`eme e´ chantillonn´e dont la
fonction de transfert s’´ecrit Fd z J B0 p Fc p et notons ces pˆoles µi . La condition n´ecessaire et suffisante de
stabilit´e asymptotique est donn´ee par :

Q µi QW1 1

P z z3 )_ K / 0 X 75 z / 0 X 25
Par transformation bilin´eaire, il vient le polynˆome :
w3 K ) 0 X 5 !) w2 3 / K !) w 4 X 5 / K *) K

E µi

En raison de la correspondance :
ℜ λi Ÿ1 0

£

Q µi QW ¤Q eλi T Qo1 1

` TEMPS DISCRET
`
CHAPITRE 3. STABILITE´ DES SYSTEMES
A

30

on constate qu’un syst`eme continu stable en boucle ouverte est e´galement stable en e´ chantillonn´e. Ceci est par
ailleurs tout a` fait trivial. Les signaux born´es restent born´es quand ils sont e´ chantillonn´es et quand ils passent par
un bloqueur d’ordre z´ero.
La stabilit´e des syst`emes pris de fa¸con isol´ee n’est pas
altern´ee par l’´echantillonnage. Il en va autrement dans le
cas des syst`emes e´ chantillonn´es boucl´es, comme on va le
constater dans le paragraphe suivant.

e´ chantillonn´e a pour expression :
G z } q



c d

Sur un exemple nous montrons que la p´eriode d’´echantillonnage influe la stabilit´e ou non d’une boucle de r´etroaction. De mani`ere g´en´erale, il peut eˆ tre observ´e que
le fait de remplacer une r´egulation analogique par une
r´egulation num´erique demande de s’assurer que la p´eriode d’´echantillonnage choisie n’entraine pas une perte
des propri´et´es initiales.

e T T 1

/

uk

B0 { p |

u{ t |

K
¥
p { p 1|

/ Kba


e#

/ Kba ) Kb / 1 / e# T ) 1 0
e # / Kba / Kb ) 1 ) e # T ) 1 0
1 / e # T ) Kba
0
T
T

Ces conditions sont fortement conditionn´ees par la valeur
de l’´echantillonnage. Par exemple pour T 1s et T 10s
on trouve respectivement :

1s

T


K

12 X 2
2X 4

T

10s


K 0
0 X 25 K
1
K

0

K
K

Exercice 3.1
Soit le syst`eme F z de l’exercice 1.3 de la page 12 ;

Consid´erons le mˆeme syst`eme dans le cas d’une r´egulation e´ chantillonn´ee selon le sch´ema de la figure 3.8.

¥¦

T

3.6 Exercices

F IG . 3.7 – R´egulation continue

yck

z / a Kb
z2 )_ Kb / 1 / e# T z ) e #


On constate ainsi qu’une augmentation de K et/ou de T
conduisent a` l’instabilit e´ de ce syst`eme.
G

y t

K
p p ) 1

1

En appliquant le crit`ere de Jury le syst`eme est asymptotiquement stable si et seulement si :

Exemple 3.7
Consid´erons la r´egulation continue repr´esent´ee sur la figure 3.7. La fonction de transfert du
syst`eme en boucle ouverte est d’ordre 2. Le syst`eme est
asymptotiquement stable quel que soit K 0.

yc t +

t
c d
z 1
# z s p2 c Kp 1d t
z / a Kb
z / 1 W z / e# T
K
p p 1

avec a l e T T # 1 et b e# T / 1 ) T . La fonction de
# ferm´ee s’´ecrit alors comme suit :
l
transfert en boucle
G z
1 ) G z

3.5.2 Etude en boucle ferm´ee

s B0 p

y{ t |

yk

T

F z

4z3

)$ 4K / 8

z2

4z / 2
)$ 5 / 4K z )$ 3K / 1

Etudier la stabilit´e de F z en fonction du param`etre K a`
l’aide du crit`ere de Jury.
Solution On est en pr´esence d’un syst`eme du troisi`eme
ordre. Le crit`ere de Jury est donc compos´e de quatre conditions. La premi`ere est :
a0 ) a1 ) a2 ) a3

F IG . 3.8 – R´egulation e´ chantillonn e´ e
La fonction de transfert en boucle ouverte du syst`eme

0

ce qui correspond a` la somme de tous les coefficients du
polynˆome d´enominateur de la fonction de transfert. Pour
la fonction F z cette condition donne :
3K

0

h

K

0

3.6. EXERCICES

31

La seconde condition du crit`ere de Jury donne :

/ a0 ) a1 / a2 ) a3 0

h

K

1 18 P 11

La troisi`eme condition s’´ecrit :
a3 /JQ a0 Qo 0

h

/ 1 1 K 1 5P 3

Enfin la troisi`eme condition est :
a0 a2 / a1 a3 / a20 ) a23

0

h

3 K / 1

2

0

On en d´eduit que le syst`eme est stable pour toute valeur
de K comprise dans les intervalles suivants :

§

stab.

¨ 0 D 1 ~©ª 1 D

18
11



Les valeurs 0, 1 et 18
` des syst`emes a` la li11 conduisent a
mite de la stabilit´e. Par exemple pour K 1 on trouve un
syst`eme F z tel que :
F z

4z / 2
4z3 / 4z2 ) z ) 2

dont les pˆoles sont donn´ees sur la figure 3.9. Les deux
pˆoles complexes sont de module e´gal a` un et correspondent
a` un mode oscillant entretenu. Le syst`eme est BIBO instable mais v´erifie la stabilit´e interne dans ce cas.
Im(z)
0.75 + 0.6614i
−0.5

Re(z)

Mode oscillant
entretenu

0.75 − 0.6614i
Mode convergent alterné

F IG . 3.9 – Pˆoles du syst`eme pour K

1

32

` TEMPS DISCRET
`
CHAPITRE 3. STABILITE´ DES SYSTEMES
A

Chapitre 4

Synth`ese : Gain de r´etroaction
A ce stade, nous avons e´ tabli un ensemble de notions et
d’outils math´ematiques qui permettent de d´ecrire le fonctionnement des syst`emes. Les chapitres qui suivent sont
d´edi´es a` la synth`ese de correcteurs. L’objectif est d’obtenir par le calcul une loi de commande qui connaissant
les mesures en temps r´eel r´ealis´ees sur le syst`eme et les
consignes impos´ees par un utilisateur, agit sur les entr´ees
du syst`eme. Globalement, l’objet a` r´ealiser fonctionne en
temps r´eel en parall`ele du syst`eme comme d´ecrit sur le
sch´ema 4.1.

Consigne

commande
Kc

+


K

Procédé
mesure

F IG . 4.2 – Loi de commande par un gain de r´etroaction
et un gain de pr´e-commande
et en d´etaillant les polynˆomes au num´erateur et au d´enominateur de la fonction de transfert G z N z bP D z :

commande
appliquée
aux actinneurs

Consigne

Loi de commande

Loi de commande

Y z C

Procédé

mesure réalisée par les capteurs

KN z
V z
D z *) KN z

Y z C

Kc KN z
Yc z
D z *) KN z

4.2 Calcul du gain de r´etroaction

F IG . 4.1 – Loi de commande
Le gain de r´etroaction K permet essentiellement d’assurer la stabilit´e de la boucle ferm´ee. C’est ce gain uniquement qui agit sur le d´enominateur de la boucle ferm´ee
et donc sur les pˆoles. Au del`a de la stabilit´e, l’objectif
est d’imposer des dynamiques. La premi`ere sp´ecification
impose que les pˆoles du syst`eme boucl´e soient tous de
module inf´erieur a` l’unit´e, la seconde revient a` imposer
des contraintes plus strictes sur ces mˆemes pˆoles (voir
chapitre 2 et la notion de modes).

Dans ce cours nous aborderons uniquement des lois de
commande sous forme de mod`eles lin´eaires. Elles seront
repr´esent´ees soit par des e´ quations r´ecurrentes (c’est en
g´en´eral sous cette forme que les lois de commande sont
r´ealis´ees en pratique), soit par des fonctions de transfert.

4.1 Introduction

4.2.1 Crit`eres de Jury et Routh

Ce premier chapitre s’int´eresse au cas le plus simple
de synth`ese : la synth`ese d’un gain statique pour les syst`emes ayant une entr´ee et une sortie. Dans ce cas la loi de
commande se r´esume a` deux coefficients repr´esent´es sur
le sch´ema 4.2.
On note uk le signal de commande, yk le signal de
mesure, yck le signal de consigne et vk Kc yck . Partant
d’un proc´ed´e d´ecrit par une fonction de transfert Y z «
G z U z on trouve :
Y z

KG z
V z
1 ) KG z

Y z

Les crit`eres de Jury et de Routh abord´es dans le chapitre 3 permettent de donner des conditions pour la stabilit´e des syst`emes a` la donn´ee des coefficients du polynˆome caract´eristique. D`es lors en appliquant ces crit`eres au polynˆome D z .) KN z il est possible d’´ecrire
les conditions sur K pour que la boucle ferm´ee soit stable.
Une application du crit`ere de Jury dans cet objectif est
donn´ee dans l’exemple 3.7. De plus en choisissant :

Kc KG z
Yc z
1 ) KG z

D z z3 / 0 X 75z / 0 X 25
33

N z ¬ z

`
´
CHAPITRE 4. SYNTHESE
: GAIN DE RETROACTION

34

l’exemple 3.6 montre une application du crit`ere de Routh
pour la synth`ese du gain de r´etroaction.

– Une portion de l’axe r´eel appartient au lieu d’Evans
si le nombre de pˆoles et z´eros r´eels a` sa droite est
impaire.

4.2.2 Lieu d’Evans

– Les points de rencontre et d’´eclatement sont parmi
les solutions r´eelles de l’´equation :

D´efinition 4.1 Le lieu d’Evans d’un syst`eme G z ­
N z bP D z se d´efinit comme le lieu des racines du po®
lynˆome D z !) KN z pour toutes les valeurs de K
.
Par d´efinition le lieu d’Evans repr´esente l’ensemble des
configurations possibles pour les pˆoles de la boucle ferm´ee repr´esent´ee sur la figure 4.2. Nous choisissons de
donner uniquement quelques r´esultats de construction du
lieu d’Evans sans en d´etailler les preuves. Le plus souvent le lieu d’Evans est de nos jours trac´e ł’aide de logiciels comme par exemple M ATLAB. Dans la C ONTROL
TOOLBOX la fonction qui permet de tracer le lieu d’Evans
est rlocus.
Notations :
Le d´enominateur de G z est donn´e par

dN z
dD z
N z R/
D z V 0
dz
dz
Le lieu d’Evans admet une tangente verticale en ces
points.
– Les points d’intersection avec le cercle unit´e sont
obtenus comme solutions k D θ de l’´equation complexe :
D e jθ *) KN e jθ 0
– Au d´epart d’un pˆole complexe pk , le lieu d’Evans a`
une tangente d’angle :
π/

D z H z / p1 - z / p2 R`Z`Y` z / pn
o`u les pi sont les n pˆoles du syst`eme. Le num´erateur de
G z donn´e par
N z Kg z / z1 - z / z2 R`Z`Y` z / zm
o`u les zi sont les m z´eros du syst`eme et Kg est un gain.
Pour chaque pˆole et z´ero on note :
θi z V arg z / pi

φi z V arg z / zi

les arguments (ou phases) des vecteurs de ¯ reliant respectivement les pˆoles et les z´eros au point z.
M´ethode de construction pour Kg 0

Le lieu d’Evans de G z est constitu´e de n courbes
continues dans le plan complexe ¯ appel´ees e´galement
branches du lieu d’Evans. Globalement le lieu d’Evans
est sym´etrique par rapport a` l’axe r´eel.
– Les points de d´epart du pieu d’Evans sont les n pˆoles
pi repr´esent´es par une croix.
– Le lieu d’Evans comporte m branches qui convergent
vers les z´eros zi quand K devient grand.
– Le lieu d’Evans comporte n / m branches qui divergent asymptotiquement vers des droites caract´eris´ees par un point d’intersection r´eel unique :
σa

n

1

m

: pi / ∑ zi ?
n / m i∑
1
i 1

et qui font des angles avec l’axe r´eel tels que :
Φa

T n/

π


6
8
m n/ m

∑ θi pk *) ∑ φi pk
°

i

i k

– A l’arriv´ee sur un z´ero complexe zk , le lieu d’Evans
a` une tangente d’angle :
π/

∑ φi zk *) ∑ θi zk
°

i

i k

M´ethode de construction pour Kg 1 0
Dans ce cas la construction est quasiment identique.
Les diff´erences sont les suivantes :
– Angles des asymptotes aux branches infinies :
˜a T 0
Φ

6


8
n/ m

– Angle au d´epart d’un pˆole complexe pk :

/ ∑ θi pk *) ∑ φi pk
i
i ° k
– Angle d’arriv´ee sur un z´ero complexe zk :

/ ∑ φi zk *) ∑ θi zk
i
i ° k
Exemple 4.1 Reprenons l’exemple 3.6 qui correspond
a` l’analyse de la stabilit´e du syst`eme
G z

z3

/

z
0 X 75z / 0 X 25

boucl´e par une r´etroaction K.
Le lieu d’Evans de ce syst`eme est trac´e sur la figure 4.3
ainsi que sur la figure 4.4 (trac´e obtenu avec Matlab).

´
4.2. CALCUL DU GAIN DE RETROACTION

35

2

1.5

1

Imag Axis

0.5

0

−0.5

−1

−1.5

−2
−2

−1.5

−1

−0.5

0
0.5
Real Axis

1

1.5

2

F IG . 4.4 – Lieu d’Evans obtenu avec Matlab
F IG . 4.3 – Lieu d’Evans de G z

z
z3 0 75z 0 25

# f # f

Le lieu d’Evans a les caract´eristiques suivantes :
– Il y a autant de branches que le syst`eme G z contient
de pˆoles. Dans l’exemple le syst`eme est d’ordre 3,
les trois branches repr´esentent les valeurs prises par
les trois pˆoles du syst`eme boucl´e quand K croit de 0
a` ) ∞.

compos´e de deux mode. L’un r´eel devient de plus en plus
rapide a` mesure que K est grand (le pˆole se rapproche
de l’origine). Le second mode quand a` lui est de plus en
plus oscillant et de plus en plus lent a` mesure que K est
pris grand (partie imaginaire du pˆole et le module augmentent).
Root Locus
1.2

1

– le lieu d’Evans est sym´etrique par rapport a` l’axe
r´eel.

0.8
2.2

Imag Axis

– Chacune des branches part (K 0) d’un pˆole du
syst`eme en boucle ouverte (pˆoles de G z ) et tend

(K ) ∞) soit vers un z´ero de la boucle ouverte (racine du num´erateur de G z ) soit vers l’infini. Dans
l’exemple, l’un des pˆoles de la boucle ferm´ee est situ´e en fonction de la valeur de K entre le point z 1
(pˆole de la boucle ouverte) et le point z 0 (z´ero de
la boucle ouverte), les deux autres pˆoles sont complexes conjugu´es et sont situ´es en z œ/ 0 X 5 ’ j0
pour K 0 (pˆoles de la boucle ouverte) et suivent
une asymptote d’angle de π P 2 quand K prend de
grandes valeurs.

1.57
1.88
System: untitled1
Gain: 0.848
Pole: −0.292 + 0.592i
Damping: 0.201
Overshoot (%): 52.5
Frequency (rad/sec): 2.07

1.26
0.1
0.2
0.3

0.6

0.4
0.5
0.4

0.6
0.7
0.8

0.2

0.9

0

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0
Real Axis

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

F IG . 4.5 – Zoom sur le lieu d’Evans et choix d’un gain
A partir de ce trac´e on note que qu’a partir de la valeur K 1 X 6875 les pˆoles de la boucle ferm´ee sortent du
disque unit´e. On en d´eduit que a boucle ferm´ee est stable
uniquement si 0 1 K 1 1 X 6875.
En plus de ces informations, le lieu d’Evans permet de
conclure que quelle que soit la valeur de K le syst`eme est

De ces constations, il est possible de faire un choix de
K en vue d’assurer une rapidit´e globale au syst`eme et e´viter de trop grandes oscillations (voir section 2.3.3 pour la
d´efinition de ces propri´et´es). Si l’objectif du choix de K
est d’avoir un amortissement de ζ 0 X 2 il est possible de

`
´
CHAPITRE 4. SYNTHESE
: GAIN DE RETROACTION

36

choisir directement sur la courbe la valeur de K associ´ee.
Ceci est fait sur le zoom de la figure 4.5. Le point s´electionn´e est sur la courbe iso-amortissement ζ 0 X 2. Matlab renvoie la valeur du gain K 0 X 848 correspondant et
indique que la pulsation propre non amortie associ´ee est
de 2 X 07rad P s (en ayant fait le choix de T 1s pour la
G
p´eriode des e´ chantillons).
Exemple 4.2 Reprenons l’exemple 3.7. La stabilit´e du
mod`ele e´ chantillonn´e boucl´e d´epend du choix de l’´echantillonnage T . Ce r´esultat se retrouve quand on trace les
lieu d’Evans des deux syst`emes
G z $

1
p p ) 1

6 B0 p

obtenus avec les deux e´ chantillonnage T

Preuve Soit l’´echelon unit´e U z @ z z 1 , la r´eponse
du syst`eme a` cet e´ chelon est Y z ¬ F z U# z . D’apr`es le
th´eor`eme de la valeur finale la sortie du syst`eme converge
vers :
y∞ lim 1 / z #
z

A

1

1

Y z . lim 1 / z# 1 F z U z . lim F x z
zA 1
zA 1

Ce qui d’apr`es la d´efinition correspond au gain statique.
Comme nous l’avons indiqu´e, le gain de pr´e-commande
permet de r´egler le gain statique de la boucle en r´eponse
a` la consigne. En effet, la r´eponse du syst`eme r´egul´e pour
un signal de consigne yc s’´ecrit :

8
1s et T 10s.

T=1s

T=10s
1

Y z
Yc z



et son gain statique est donn´e par (la limite quand z tend
vers 1 est atteinte d`es lors que le syst`eme est asymptotiquement stable) :

0.8
1

Fs

0.6

On souhaite g´en´eralement r´egler ce gain statique a` l’unit´e.
Ainsi, quand l’utilisateur envoie une consigne constante,
yck yco , le syst`eme, stable par le choix de K, converge
kA ∞
vers la valeur de consigne, yk /
yco .
Pour assurer un gain statique unitaire on prend :

Imag Axis

0.2
Imag Axis

Kc KG 1
1 ) KG 1



0.4

0.5

0

0
−0.2

−0.5

−0.4
−0.6

−1

Kc

−0.8

−2

−1
0
Real Axis

1

−1

−1

−0.5

0
Real Axis

0.5

Les courbes 4.6 montrent que le choix de la p´eriode
d’´echantillonnage modifie fortement le type de comporG
tement atteignable par la boucle ferm´ee.

4.3 Calcul du gain de pr´e-commande
Un gain de r´etroaction K e´ tant choisi, le gain de pr´ecommande Kc est utilis´e pour r´egler le gain statique du
syst`eme en r´eponse a` la consigne.
D´efinition 4.2 Le gain statique d’un syst`eme est la valeur a` l’infini de la sortie du syst`eme en r´eponse a` un
e´ chelon unit´e. Il caract´erise e´galement le rapport entre
l’entr´ee et la sortie quand le syst`eme est a` l’´equilibre.
Th´eor`eme 4.1 Le gain statique d’un syst`eme d´ecrit par
sa fonction de transfert F z est donn´e par :

lim F z
zA 1



1 ) KG 1
KG 1

1

F IG . 4.6 – Lieu d’Evans pour diff´erentes valeurs de T

Fs

Kc KG z
1 ) KG z

4.4 Exercices
Exercice 4.1
On consid`ere le syst`eme de l’exercice 1.1 de la page
11. Il s’agit de l’´evolution du cheptel d’un e´ leveur de
bovins o`u l’action de commande consiste a` acheter ou
vendre des vaches et la mesure est la somme totale de
bovins. On rappelle que le mod`ele est donn´e par :
G z

2 X 5z2 ) z / 1
2 X 5z3 / 1 X 75z2 / 2z ) 0 X 4

1. Etudier la stabilit´e du syst`eme en boucle ouverte.
2. On consid`ere une loi de commande statique telle
que :
uk K Kc yc / yk
Etudier la stabilit´e et le comportement en r´egime
transitoire de ce syst`eme en fonction de K. Illustrer le comportement de ce syst`eme pour des valeurs
remarquables de K en consid´erant que la consigne
fix´ee par l’´eleveur est d’avoir un cheptel de trente
vaches (yc 30).

4.4. EXERCICES

37

K=0.4

Solution

30

1. Les pˆoles de G z sont :
λ2 1 X 24

λ3

0 X 18

Le syst`eme est donc instable. Il poss`ede deux modes
stables et un mode instable ap´eriodique (λ2 1).
Ceci signifie que toute initialisation non nulle du
troupeau conduit a` une augmentation tendant vers
l’infini de la population.

20
Nombre de vaches

λ1 H/ 0 X 72

25

15

10

5

0

2. Le trac´e du lieu d’Evans du syst`eme est donn´e sur
la figure 4.7. Il permet de voir que la stabilit´e est
atteinte uniquement pour 1 X 86 K 0 X 33. On peut
alors distinguer plusieurs types de choix de K qui
assure la stabilit´e :

0

λ1

System: G
Gain: 0.322
Pole: 1.01
Damping: −1
Overshoot (%): Inf
Frequency (rad/sec): 0.0113

0.4

50
60
annees (sec)

70

80

90

100

0X 4

0 X 82 λ2 ‘/ 0 X 55 λ3 H/ 0 X 27

K=0.7, K =0.5143
c

30

25

0
−0.2

20
Nombre de vaches

Imag Axis

0.2

−0.4

−1
−1.5

40

L’´evolution du troupeau est plus rapide (voir figure
4.9).

0.6

−0.8

30

la boucle ferm´ee sont alors :

Root Locus

0.8

20

F IG . 4.8 – Evolution du troupeau pour K

1

−0.6

10

System: G
Gain: 1.86
Pole: −0.874 − 0.464i
Damping: 0.00375
Overshoot (%): 98.8
Frequency (rad/sec): 2.65
−1

15

10

5

−0.5

0
Real Axis

0.5

1
0

0

5

10

15

20

25

annees (sec)

F IG . 4.7 – Lieu d’Evans

F IG . 4.9 – Evolution du troupeau pour K

a - Si K est pris assez proche de 0 X 33. Alors les trois
pˆoles sont r´eels et stables et l’un des pˆoles est oscillant car n´egatif. Ce qui domine dans ce cas c’est le
mode associ´e au pˆole proche z 1. Il est de module
e´ lev´e ce qui conduit a` un syst`eme boucl´e tr`es lent.
A titre d’illustration, la r´eponse du syst`eme a` l’´etat
initial x0 est repr´esent´ee sur la figure 4.8 avec K
0 X 4. Le trac´e est fait avec un choix de Kc 0 X 15 afin
d’assurer un gain statique unitaire et les pˆoles de la
boucle ferm´ee sont :
λ1 0 X 96 λ2 H/ 0 X 66 λ3

0

Ce choix de r´egulation ne convient pas a` l’´eleveur
qui ne souhaite pas attendre 100 ann´ees avant de
constituer son troupeau.
Pour acc´el´erer le processus on peut prendre K 0 X 7.
Cela implique de prendre Kc 0 X 5143 et les pˆoles de

0X 7

b - Si K est pris sup´erieur a` 0 X 76 (valeur pour laquelle un des modes devient complexe). Alors on
peut s’attendre a` des ph´enom`enes oscillant mais e´ventuellement avec une convergence du nombre de bˆetes
assez rapide.
A titre d’illustration, la r´eponse du syst`eme a` l’´etat
initial x0 est repr´esent´ee sur la figure 4.10 avec K
1. Le trac´e est fait avec un choix de Kc 0 X 66 afin
d’assurer un gain statique unitaire et les pˆoles de la
boucle ferm´ee sont :
λ1

0 X 72 λ2e 3 ‘/ 0 X 51 ’ j0 X 27

La figure 4.11 montre plus en d´etail l’´evolution exacte du nombre de vaches par cat´egories. On constate
une convergence rapide vers un e´ quilibre tel qu’il y a
environ 12 vaches de moins d’un an et 12 vaches de

`
´
CHAPITRE 4. SYNTHESE
: GAIN DE RETROACTION

38

K=1, K =0.66

K=1.86, K =0.8172

c

c

30

50
45

25
40
35
Nombre de vaches

Nombre de vaches

20

15

30
25
20

10
15
10
5
5
0

0

5

10

0

15

0

2

4

6

annees (sec)

F IG . 4.10 – Evolution du troupeau pour K

1

Moins de 1 an
2 ans

Nombre de vaches

12

14

16

18

20

1 X 86

Ce choix de r´egulation ne convient e´videment pas a`
l’´eleveur.

10
5

Exercice 4.2
On consid`ere le proc´ed´e d´ecrit par la fonction de transfert continue :
1
G p
p2 ) 1

0

10
5
0

plus de 3 ans

10
annees

F IG . 4.12 – Evolution du troupeau K

K=1, Kc=0.66

1. Etudier la stabilit´e et le comportement en r´egime
transitoire du proc´ed´e de fonction de transfert G p .

20
10

2. Calculer la fonction de transfert G z de ce proc´ed´e
e´ chantillonn´e selon le sch´ema de la figure 4.13, pour
une p´eriode d’´echantillonnage T π P 2 s.

0
20

achats

8

10
0
−10
0

2

4

6
annees

8

10

F IG . 4.11 – Evolution du troupeau pour K

12

uk

B0 p

u t

Proc´ed´e

yk
T

1

deux ans. Le nombre de vaches de trois ans et plus
converge vers 6 et l’´eleveur vend pr`es de 10 vaches
chaque ann´ee. La strat´egie semble eˆ tre de constituer d`es la premi`ere ann´ee un troupeau de 20 vaches
aˆ g´ees et ensuite tr`es vite l’´eleveur finit par vendre
les vaches en exc`es.

y t

F IG . 4.13 – Proc´ed´e e´ chantillonn e´
3. Ce syst`eme est boucl´e par un retour unitaire selon
le sch´ema de la figure 4.14. Etudier sa stabilit´e en
fonction de K 0.

c - Si K est pris proche de 1 X 86. Alors le syst`eme est
proche de l’instabilit e´ et le mode dominant est un
mode oscillant.
A titre d’illustration, la r´eponse du syst`eme a` l’´etat
initial x0 est repr´esent´ee sur la figure 4.12 avec K
1 X 86. Le trac´e est fait avec un choix de Kc 0 X 8172
afin d’assurer un gain statique unitaire et les pˆoles
de la boucle ferm´ee sont :
λ1

0 X 59 λ2e 3 ‘/ 0 X 88 ’ j0 X 46

+

ykc

/

K G z

F IG . 4.14 – Syst`eme boucl´e

yk

4.4. EXERCICES

39

Solution
1. Les modes du syst`eme sont p ’ j. Le syst`eme est
donc en limite de stabilit´e oscillatoire avec une pulsation propre ω 1rad P s.
2. La fonction de transfert du syst`eme e´ chantillonn´e est
donn´ee par :

# s Gcppd t

G z ~

z 1
z



z 1
z




# s pc p21 1d t
z 1
# z s 1p / p2p 1 t
/
#
#
z 1
z2 1



z 1
z
z
z 1



z2
z2 1

3. L’application du crit`ere de Jury conduit a` :

/ 11 K1 0
qui est incompatible avec la condition K 0. Le syst`eme boucl´e avec K 0 est donc toujours instable.

40

`
´
CHAPITRE 4. SYNTHESE
: GAIN DE RETROACTION

Chapitre 5

Synth`ese : Transposition des m´ethodes
analogiques
yc { t |

La synth`ese de correcteurs num´eriques par extension
de correcteurs analogiques est une approche couramment
utilis´ee dans le domaine industriel. Cela s’explique par
le fait que les techniques d’´etude des syst`emes continus
sont g´en´eralement bien maˆıtris´ees et que les sp´ecifications sont plus facilement interpr´etables sur des mod`eles
continus que sur des mod`eles e´ chantillonn´es.
On s’int´eresse d’abord a` des m´ethodes relevant de la
discr´etisation directe d’un correcteur analogique calcul´e
a` partir du mod`ele continu du proc´ed´e a` commander. On
examine ensuite des m´ethodes de synth`ese dans lesquelles
le correcteur est con¸cu a` partir d’un mod`ele prenant en
compte de mani`ere approch´ee l’existence du bloqueur en
amont du proc´ed´e. On examine ensuite de mani`ere d´etaill´ee la discr´etisation du correcteur analogique le plus
r´epandu, le r´egulateur P.I.D.

¥¦

y{ t|

G { p|

Rc { p |

discr´etisation

yck

¥¦
Rd { z |

uk

B0 { p |

G { p|

y{ t |

yk
T

F IG . 5.1 – Discr´etisation d’un correcteur analogique
ε t

5.1 Discr´etisation

Rc p

u t

εk
p

f z

uk

Rd z

Cette approche suppose que l’on ait r´ealis´e la synth`ese
d’un correcteur analogique par les m´ethodes d’´etude des
syst`emes continus. On recherche alors un algorithme num´erique qui se rapproche le plus possible du correcteur
analogique, en faisant des approximations de la variable
de Laplace p, ou sur les pˆoles et z´eros de la fonction
de transfert du correcteur analogique. Si on raisonne en
termes de fonctions de transfert, on cherche a` obtenir la
fonction de transfert R z d’un correcteur num´erique par
approximation de celle d’un correcteur analogique R p ,
comme illustr´e sur la figure 5.1.

Elle r´esulte de l’approximation de la d´eriv´ee d’une fonction entre deux instants d’´echantillonnage par la m´ethode
d’Euler :

5.1.1 Approximations de la variable p

# 1 pX p 4

F IG . 5.2 – Approximation de la variable p

Les approximations les plus utilis´ees sont les suivantes :
discr´etisation avant : p

Le principe de l’approche consiste a` d´eduire un correcteur Rd z du correcteur Rc p en choisissant une approximation de la variable p, selon le sch´ema de la figure
5.2.

dx t
dt

±

#

z 1
T

x t ) T R/ x t
T

discr´etisation arri`ere : p

² #

1

6

z/ 1
X z
T

#

z 1
zT

Elle r´esulte de l’approximation suivante de la d´eriv´ee
41

8

` : TRANSPOSITION DES METHODES
´
CHAPITRE 5. SYNTHESE
ANALOGIQUES

42

d’une fonction entre deux instants d’´echantillonnage :
dx t
dt

# 1 pX p 4

±

x t R/ x t / T
T

approximation de Tustin : p

u #

1

6

z/ 1
X z 8
zT

#

2 z 1
T z 1

" x t dt
/



Y p

1
X p
p

Par approximation entre deux instants d’´echantillonnage,
il vient :
yk

y kT yk # 1 )
³


1 / z# 1 Y z

T
2



xk 1 xk
T
2

l

1 ) z# 1 X z

soit la formule :
Y z

ωc z · 1
tg ω2c T z ¸ 1



il vient, pour la pulsation ωc :

Cette approximation, connue e´galement sous le nom
de transformation bilin´eaire, r´esulte de l’approximation
de l’int´egration num´erique par la m´ethode des trap`ezes.
En effet, soit :
y t

continu. En effet, si l’on choisit comme approximation de
Tustin adapt´ee (frequency prewarping) :

Rd ´ e jTωc µ ¶ Rc ´ j

Les deux correcteurs sont donc bien fr´equentiellement
e´ quivalents pour la pulsation ωc .

5.1.2 Adaptation des pˆoles et des z´eros
Cette approche (matched pole-zero method) consiste
a` appliquer la transformation z ¶ eT p aux pˆoles et aux
z´eros de la fonction de transfert du correcteur continu,
avec un facteur multiplicatif permettant de conserver le
gain aux basses fr´equences c’est-`a-dire pour p º
0 ou
bien z º 1.
Par exemple, le correcteur analogique :

En utilisant la relation z eT p e jT ω (voir section 1.4.3),
sa r´eponse fr´equentielle est d´etermin´ee par la fonction
complexe :

· 1 µ ¶
2 ωT µ­¶ ¹
2
Rd ´ e jT ω µ ¶ Rc ´
Rc ´ j tg
Rc ´ jωµ
jT
ω
¸
T e
1
T
2
e jT ω

Manifestement la discr´etisation induit des erreurs sur le
comportement fr´equentiel. Ceci peut eˆ tre corrig´e au voisinage d’une fr´equence particuli`ere. On peut mettre en
œuvre une adaptation pour que le gain en amplitude des
deux correcteurs (continu et e´ quivalent discret) soit identique a` une pulsation particuli`ere ωc choisie par l’utilisateur, par exemple la pulsation de coupure du correcteur

p¸ a
p¸ b

Rc ´ p µ ¶

T z) 1
X z
2 z/ 1

Un inconv´enient des approches par approximation de
la variable de Laplace p est qu’elles peuvent modifier
l’´echelle des pulsations de la r´eponse fr´equentielle du correcteur que l’on a discr´etis´e, ce qui peut eˆ tre gˆenant dans
le cas d’un filtre passe-bande par exemple. Cet effet est
connu sous le nom de distorsion fr´equentielle (frequency
warping).
Examinons ses cons´equences dans le cas de l’approximation de Tustin. Soit un correcteur analogique de fonction de transfert Rc p . Sa r´eponse fr´equentielle est d´etermin´ee par la fonction complexe Rc jω . Le r´egulateur
discret obtenu par la m´ethode de Tustin a pour fonction
de transfert
2 z/ 1
Rd z Rc

T z) 1

ωc
ωc T µ ¶
Rc ´ jωc µ
ωcT tg 2
tg 2

est approch´e par le correcteur discret :
Rd ´ z µV¶

a 1 · e»
b 1 · e»

bT
aT

z · e»
z · e»

aT
bT

Une pr´ecaution a` prendre lorsque le degr´e du num´erateur est inf´erieur a` celui du d´enominateur, consiste a`
introduire au num´erateur du correcteur discret des termes
´ z ¸ 1 µ pour conserver un gain nul aux hautes fr´equences
en r´etablissant des degr´es identiques. Ceci se justifie par
le fait que le th´eor`eme de Shannon limite la pulsation a`
ω ¶ π ¼ T , soit z ¶ e jTω ¶ · 1. La valeur z ¶ · 1 joue en
discret le mˆeme rˆole que ω ¶ ∞ en continu.
Ainsi, le correcteur analogique :
Rc ´ p µ ¶

p¸ a
¸
´ p b µ ´ p ¸ cµ

est approch´e par le correcteur discret :
a ´ 1 · e» bT µ ´ 1 · e»
2bc
1 · e» aT

cT

µ

´ z ¸ 1 µ ´ z · e» aT µ
´ z · e» bT µ ´ z · e» cT µ

5.1.3 Application
Position du probl`eme
On consid`ere le proc´ed´e repr´esent´e par la fonction de
transfert :
5
G ´ p µ ¶
p ´ p ¸ 1µ

´
5.1. DISCRETISATION

43

Le gain de boucle ayant e´ t´e fix´e a` 5 pour satisfaire des
conditions de pr´ecision. On veut faire la synth`ese d’un
r´eseau correcteur permettant d’obtenir pour le syst`eme
boucl´e une marge de phase φm ¶ 45o .

Calcul des correcteurs
Les correcteurs (sous forme de fonctions de transfert
en z) obtenus par les diff´erentes approximations sont donn´es ci-apr`es :

50

Gain dB

– discr´etisations directes de p.
Avec p ¶

0

-50 -1
10

0

10

Phase deg

-60

Avec p ¶

-90
-120
-150
-180
-1

0

1

10
Frequency (rad/sec)

10

F IG . 5.3 – R´eponse fr´equentielle de G ´ p µ

1 ¸ 0 ½ 53p
1 ¸ 0 ½ 21p

il vient :
Rd ´ z µ ¶

Rd ´ z µ ¶

0 ½ 83z · 0 ½ 53
0 ½ 51z · 0 ½ 21
1 ½ 89z · 1 ½ 06
z · 0 ½ 17

– m´ethode de Tustin avec e´ limination de distorsion
fr´equentielle (prewarp, en prenant wc ¶ 5rd ¼ s).
Rd ´ z µ ¶

1 ½ 81z · 0 ½ 87
z · 0 ½ 06

– m´ethode de conversion des pˆoles et des z´eros (matched pole-zero method).

50

Gain dB

»

z 1
zT ,

0 ½ 53z · 0 ½ 23
0 ½ 21z ¸ 0 ½ 09

– m´ethode de Tustin

A partir des courbes de r´eponse en fr´equence (figure 5.3)
dans le plan de Bode de la fonction de transfert G ´ p µ , on
d´etermine un r´eseau correcteur par avance de phase :
Rc ´ p µ ¶

il vient :
Rd ´ z µ ¶

1

10
Frequency (rad/sec)

10

»

z 1
T ,

0

Rd ´ z µ ¶

-50

-100 -1
10

0

1

10

10

2

1 ½ 76z · 0 ½ 99
z · 0 ½ 24

10

Frequency (rad/sec)

Etude du syst`eme boucl´e avec correcteur num´erique

Phase deg

-60
-90
-120
-150
-180
-1

10

0

1

10

10

2

10

Les r´eponses des syst`emes obtenues pour les diff´erents
correcteurs num´eriques sont donn´ees sur les figures suivantes :

Frequency (rad/sec)

F IG . 5.4 – R´eponse fr´equentielle de Rc ´ p µ G ´ p µ
Les courbes de r´eponse en fr´equence de Rc ´ p µ G ´ p µ (fi-

gure 5.4) permettent de v´erifier que l’on obtient bien la
marge de phase souhait´ee φm ¶ 45o .
La commande en sortie du correcteur Rc ´ p µ et la r´eponse en boucle ferm´ee du syst`eme ainsi corrig´e, pour
une consigne en e´ chelon unitaire, sont donn´ees figure 5.5.
On d´esire e´ tudier le comportement de ce syst`eme dans
le cas d’un r´egulateur num´erique calcul´e par discr´etisation du r´egulateur analogique pr´ec´edent, pour une p´eriode
d’´echantillonnage T ¶ 0 ½ 3s.

– discr´etisations directes de p : figures 5.6 et 5.7.
– m´ethode de Tustin : figure 5.8.
– m´ethode de Tustin avec e´ limination de distorsion
fr´equentielle (prewarp), en prenant wc ¶ 5rd ¼ s : figure 5.9.
– m´ethode de conversion des pˆoles et des z´eros (matched pole-zero method) : figure 5.10.
On note que les diff´erentes m´ethodes conduisent a` des
correcteurs relativement similaires mˆeme si dans l’ensemble
les syst`emes corrig´es par des r´egulateurs discrets sont
plus lents et plus oscillants que avec Rc ´ p µ .

` : TRANSPOSITION DES METHODES
´
CHAPITRE 5. SYNTHESE
ANALOGIQUES

44

Commande du systeme
2

2

1
Amplitude

Amplitude

Commande du systeme
3

1
0

0
-1

−1
0

0.5

1

1.5
Time (secs)

2

2.5

-2
0

3

1

2

Sortie du systeme
1.5

4

5

6

4

5

6

2
1.5

1

Amplitude

Amplitude

3
Temps
Sortie du systeme

0.5

1
0.5

0
0

0.5

1

1.5

2
Time (secs)

2.5

3

3.5

0
0

4

F IG . 5.5 – Commande et r´eponse indicielle de Rc ´ p µ G ´ p µ

1

2

3
Temps

F IG . 5.8 – R´eponses (m´ethode de Tustin)

Commande du systeme

Commande du systeme

3

2

Amplitude

Amplitude

2
1
0
-1
0

1

2

3
Temps

4

5

1

0

-1
0

6

1

2

Sortie du systeme
1.5

4

5

6

4

5

6

2
1.5

1

Amplitude

Amplitude

3
Temps
Sortie du systeme

0.5

1
0.5

0
0

1

2

3
Temps

4

5

F IG . 5.6 – R´eponses (correcteur discr´etis´e avec p ¶

0
0

6

»

z 1
T )

1

2

F IG . 5.9 – R´eponses (m´ethode de Tustin avec “prewarp”)

Commande du systeme
2

1

1
Amplitude

Amplitude

Commande du systeme
2

0
-1
-2
0

0
-1

1

2

3
Temps

4

5

-2
0

6

1

2

3
Temps

4

5

6

4

5

6

Sortie du systeme

2

2

1.5

1.5
Amplitude

Amplitude

Sortie du systeme

1
0.5
0
0

3
Temps

1
0.5

1

2

3
Temps

4

5

F IG . 5.7 – R´eponses (correcteur discr´etis´e avec p ¶

0
0

6

»

z 1
zT )

1

2

3
Temps

F IG . 5.10 – R´eponses (matched pole-zero method)


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