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Asymptotes .pdf


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Résumé
Asymptôtes - Branches paraboliques

4èmeAnnée
2012-2013

Le plan est muni d’un repère (𝑂, 𝚤⃗, 𝚥⃗) et on note 𝐶𝑓 la courbe représentative de la fonction 𝑓 dans ce

repère. 𝑎 et 𝑏 sont deux réels.

1°) Asymptotes verticales ou parallèles à l’axe (𝑂, 𝚥⃗)

Si 𝐥𝐢𝐦+𝒇(𝒙) = ±∞ ou 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) = ±∞, alors la droite ∆: 𝒙 = 𝒂 est une asymptote
𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

verticale (ou parallèle à l’axe (𝑂, 𝚥⃗)) à 𝐶𝑓 .

2°) Asymptotes horizontales ou parallèles à l’axe (𝑂, 𝚤⃗)

 Si 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒃, alors la droite ∆: 𝒚 = 𝒃 est une asymptote horizontale (ou
𝒙→−∞

parallèle à l’axe (𝑂, 𝚤⃗)) à 𝐶𝑓 au voisinage de −∞.

 Si 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒃, alors la droite ∆: 𝒚 = 𝒃 est une asymptote horizontale (ou
𝒙→+∞

parallèle à l’axe (𝑂, 𝚤⃗)) à 𝐶𝑓 au voisinage de +∞.

3°) Asymptotes obliques

 La droite ∆: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0) est une asymptote oblique à 𝐶𝑓 au voisinage
de +∞ ssi 𝐥𝐢𝐦 [𝒇(𝒙) − (𝒂𝒙 + 𝒃)] = 𝟎.
𝒙→+∞

 La droite ∆: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0) est une asymptote oblique à 𝐶𝑓 au voisinage
de −∞ ssi 𝐥𝐢𝐦 [𝒇(𝒙) − (𝒂𝒙 + 𝒃)] = 𝟎.
𝒙→−∞

Remarques :
 Les valeurs de 𝑎 et de 𝑏 se calculent à l'aide des formules suivantes :
𝒂 = 𝐥𝐢𝐦

𝒇(𝒙)

𝒙→±∞ 𝒙

et 𝒃 = 𝐥𝐢𝐦 [𝒇(𝒙) − 𝒂𝒙]
𝒙→±∞

 Pour étudier la position relative de l’asymptote oblique ∆: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 et la courbe 𝐶𝑓 , on
étudie le signe de l’expression 𝒇(𝒙) − (𝒂𝒙 + 𝒃).

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4°) Branches paraboliques
 Si 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = ±∞ et 𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞

𝒇(𝒙)

𝒙→+∞ 𝒙

= ±∞, alors la courbe 𝐶𝑓 admet une

branche parabolique au voisinage de +∞ de direction celle de (𝑂, 𝚥⃗).

 Si 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = ±∞ et 𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞

𝒇(𝒙)

𝒙→+∞ 𝒙

= 𝟎, alors la courbe 𝐶𝑓 admet une branche

parabolique au voisinage de +∞ de direction celle de (𝑂, 𝚤⃗).

 Si 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = ±∞ et 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞

𝒇(𝒙)

𝒙→−∞ 𝒙

= ±∞, alors la courbe 𝐶𝑓 admet une

branche parabolique au voisinage de −∞ de direction celle de (𝑂, 𝚥⃗).
𝒇(𝒙)

= 𝟎, alors la courbe 𝐶𝑓 admet une branche

 Si 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = ±∞, 𝐥𝐢𝐦

𝒇(𝒙)

= 𝒂 (𝑎 ≠ 0) et 𝐥𝐢𝐦 [𝒇(𝒙) − 𝒂𝒙] = ±∞ alors

 Si 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = ±∞, 𝐥𝐢𝐦

𝒇(𝒙)

 Si 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = ±∞ et 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞

𝒙→−∞ 𝒙

parabolique au voisinage de −∞ de direction celle de (𝑂, 𝚤⃗).

5°) Direction asymptotique

𝒙→+∞

𝒙→+∞ 𝒙

𝒙→+∞

la droite ∆: 𝑦 = 𝑎𝑥 est une direction asymptotique à 𝐶𝑓 au voisinage de +∞.
𝒙→−∞

𝒙→−∞ 𝒙

= 𝒂 (𝑎 ≠ 0) et 𝐥𝐢𝐦 [𝒇(𝒙) − 𝒂𝒙] = ±∞ alors
𝒙→−∞

la droite ∆: 𝑦 = 𝑎𝑥 est une direction asymptotique à 𝐶𝑓 au voisinage de -∞.

6°) Centres de symétrie

Le point Ω(𝑎; 𝑏) est un centre de symétrie de la courbe 𝐶𝑓 ssi pour tout 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 on a :
(𝟐𝒂 − 𝒙) ∈ 𝑫𝒇 et 𝒇(𝟐𝒂 − 𝒙) = 𝟐𝒃 − 𝒇(𝒙)

7°) Axes de symétrie

Le repère (𝑂, 𝚤⃗, 𝚥⃗) est orthogonal.
La droite ∆: 𝑥 = 𝑎 est un axe de symétrie de la courbe 𝐶𝑓 ssi pour tout 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 on a :
(𝟐𝒂 − 𝒙) ∈ 𝑫𝒇 et 𝒇(𝟐𝒂 − 𝒙) = 𝒇(𝒙)

8°) Fonctions paires, fonctions impaires

1. 𝑓 est paire ssi pour tout 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 on a : −𝒙 ∈ 𝑫𝒇 et 𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙).

2. 𝑓 est impaire ssi pour tout 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 on a : −𝒙 ∈ 𝑫𝒇 et 𝒇(−𝒙) = −𝒇(𝒙).

Remarques :

 Si 𝑓 est paire, alors l’axe (𝑂, 𝚥⃗) est un axe de symétrie de sa courbe 𝐶𝑓 .

 Si 𝑓 est impaire, alors le point 𝑂 est un centre de symétrie de sa courbe 𝐶𝑓 .

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