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INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE
LA HOMOTOPÍA
D. Francisco Medrano

1

Índice
1. Introducción
1.1. Ejemplos de espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Deformaciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Homotopía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Teoría básica de la homotopía
2.1. Problemas típicos en teoría de la homotopía . . . . .
2.1.1. Problema de clasificación . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Problemas de extensión . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Problemas de levantamiento (lifting problems)
2.2. Resultados básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Un ejemplo interesante . . . . . . . . . . . . .
2.3. Pareja de espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Propiedades de la homotopía y algunas construciones
métricas
3.1. Productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Pegar/adjuntar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Ramo de espacios (wedge sum/one-point-union) . . . . .
3.4. Producto Smash (Smash product) . . . . . . . . . . . . .
3.5. Suspensión y construcción de conos . . . . . . . . . . . .
3.6. Espacios de aplicaciones (Mapping Spaces) . . . . . . . .
Contenido

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24

1.

Introducción

Comenzaremos esta sección definiendo los espacios topológicos que encontraremos con frecuencia en este curso. Muchos de ellos son posiblemente
familiares para el lector.

1.1.

Ejemplos de espacios

(1) Esferas: Para cada n ∈ N, definimos la n-esfera:
n

n

S = {(x1 , ..., xn ) ∈ R |

n
X

x2i = 1}

i=1

(2) Espacios euclidianos: Rn = {(x1 , ..., xn )|xi ∈ R, i = 1, ..., n}.
(3) Superficies:

Figura 1: Botella de Klein
Una superficie es un espacio topológico que localmente se comporta como un espacio euclídeo bidimensional. Para más detalles de la definición
de superficie, ver un curso de Geometría Diferencial.
(4) Grupos de matrices: Tomemos dos ejemplos clásicos:
GLn (R) = {A ∈ Mn (R) | detA 6= 0}
SOn (R) = {A ∈ Mn (R) | AT A = AAT = I, detA = 1}
GLn (R) es el Grupo especial Lineal, SOn (R) es el Grupo especial
Ortogonal. Las matrices Mn (R) se identifican naturalmente al espacio
euclidiano Rn×n , por lo que la topología sobre los subconjuntos citados
arriba no es otra que la inducida por estos sobre el espacio euclidiano
Rn×n .

3

(5) Espacios proyectivos: Para cada n ∈ N, el espacio proyectivo RPn es
el conjunto de espacios 1-dimensionales de Rn+1 . Para ser más precisos,
podemos definirlo como sigue:
RPn := Rn+1 − {0}/ ∼
donde ∼ es la relación de equivalencia siguente: x ∼ y ⇔ ∃λ ∈ R
tal que x = λy. Por construcción, la topología sobre este espacio es
la topología cociente sobre Rn+1 dada por la relación ∼. De manera
completamente similar, podemos definir CPn el espacio proyectivo
complejo.
(6) Configuración de k-tuplas de puntos distintos de R2 :
Xk := {(x1 , ..., xk ) | xi ∈ R2 , xi 6= xj si i 6= j}
(7) Espacio de polinomios cúbicos sin raíces múltiples:
X = {P = ax3 +bx2 +cx+d | a 6= 0; a, b, c, d ∈ C; P tiene 3 raíces diferentes}
(8) Espacios producto: Dados dos espacios topológicos X e Y , definimos
el espacio producto:
X × Y := {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }
Las propiedades de este espacio dependen naturalmente de las propiedades de X e Y , así por ejemplo este espacio es compacto si X, Y lo
son (teorema de Tykhonov).
(9) Espacio de bucles: Consideremos dos espacios X, Y y fijemos x0 ∈ X,
y0 ∈ Y , a los que llamaremos puntos de base de X e Y respectivamente. Una based map entre X e Y es una aplicación continua
f : X → Y tal que f (x0 ) = y0 . De manera más general se puede considerar A ⊂ X, B ⊂ Y en lugar de x0 , y0 . La condición sería entonces
f (A) ⊂ B.
Denotamos por Y X al conjunto de todas las based maps de X a Y .
Fijemos sobre el conjunto Y X el punto de base dado por la aplicación
constante x 7→ y0 para todo x ∈ X. Introducimos la siguente topología
sobre Y X considerando como subbase de los conjuntos abiertos a todos
los subconjuntos de Y X de la forma:
WK,U = {f : X → Y | f (K) ⊂ U }
4

donde K es subespacio compacto de X y U un subespacio abierto de Y .
Esta topología sobre Y X es llamada la topología compacta-abierta.
Dado un espacio (con punto base x0 ) el espacio de bucles ΩX de
1
X es ΩX := X S (sobre S 1 hemos precisado tácitamente un punto de
base, por ejemplo (1, 0)).

1.2.

Deformaciones continuas

Definición 1. Dos espacios (topológicos) X, Y son homeomorfos si existen
funciones continuas f : X → Y y g : Y → X tales que g ◦ f = idX y
f ◦ g = idY . Si X e Y son homeomorfos escribiremos X ∼
= Y.
Ejemplo 1.
SO2 (R) ∼
= S1


a
b
En efecto, definamos f : SO2 (R) → S 1 por f
= (a, c) y g : S 1 →
c
d


x1 −x2
SO2 (R) por g(x1 , x2 ) =
. No es dificil verificar que f y g están
x 2 x1
bien definidas, son continuas e inversas una de la otra.
La relación “ser homeomorfo” es una relación de equivalencia sobre la categoria de espacios topológicos Top (en esta categoría los morfismos son las
aplicaciones continuas). El problema central de la topología es la clasificación
de espacios bajo homeomorfimos, es decir nos interesamos en las clases de
heomeomorfismos de espacios topológicos.

1.3.

Homotopía

Consideremos los siguentes espacios:

5

Figura 2: Dos espacios con el “mismo tipo de homotopía”
Estos dos espacios no pertenecen a la misma clase de heomeomorfismo,
sin embargo podemos decir que ambos espacios son “iguales” si introducimos una noción de equivalencia más debil. Modifiquemos la definición de
homeomorfismo cambiando “g ◦ f = idX y f ◦ g = idY ” por “g ◦ f puede ser
deformada en idX ” y “f ◦ g puede ser deformada en idY ”.
Necesitamos entonces una noción de deformación para funciones.
Definición 2. Dos funciones continuas f, g : X → Y son homótopicas si
existe una función continua H : X × [0, 1] → Y tal que
H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x) ∀x ∈ X
Escribiremos f ' g y diremos que H es una homotopía entre f y g.
Remarca Una homotopía define una familia de funciones X → Y , una por
cada t ∈ [0, 1].

Figura 3: Homotopía entre dos aplicaciones f y g
Ejemplo 2.
Sean f, g : Rn → Rn definidas por f (x) = 0, g(x) = x ∀x ∈ Rn . Afirmamos
que f ' g.
6

En efecto, definamos H : Rn × [0, 1] → Rn por H(x, t) = tx. H es continua y satisface H(x, 0) = 0 = f (x), H(x, 1) = x = g(x), por lo tanto H es
una homotopía entre f y g.
Definición 3. Dos espacios X e Y son homotópicamente equivalentes si
existen funciones continuas f : X → Y y g : Y → X tales que f ◦ g ' idY y
g ◦ f ' idX . Escribimos X ' Y y decimos que f es la inversa homotópica
de g (y viceversa), también que tanto f como g son una equivalencia de
homotopía entre los espacios X e Y .
Ejemplo 3.
Rn ' ∗ (∗ es el espacio topológico que consiste en un singlenton).
En efecto, definamos las funciones:
f : Rn −→ ∗ g : ∗ −→ Rn
,
x 7−→ ∗
∗ 7−→ 0
f y g son continuas, además f ◦ g = id∗ y por el ejemplo precedente g ◦ f '
idRn .
Ejemplo 4.

Figura 4: Espacio homotópicamente equivalente a una esfera
Sean X = S 2 , Y = S 2 ∪ {(0, 0, z) ∈ R3 | 1 ≤ z ≤ 2}. Es decir Y se obtiene
añadiendo una varilla al polo norte de S 2 . La idea de deformación continua
nos lleva a suponer que X e Y son homotópicamente equivalentes o de manéra

7

sinónima que tienen el mismo tipo de homotopía. En efecto, sean f : X → Y
la inclusión y g : Y → X definida como sigue:

y
y ∈ S2
g(y) =
(0, 0, 1) sino
Observemos que la aplicación g “colapsa” la varilla de Y . Se puede verificar
que f y g son continuas. Afirmamos que f y g son inversas homotópicas una
de la otra.
En efecto
• g ◦ f = idX y en particular g ◦ f ' idX con la homotopía trivial
H(x, t) = x.
• f ◦ g ' idY via la homotopía:

y
y ∈ S2
H(y, t) =
(0, 0, 1 + t(z − 1)) si y = (0, 0, z)
Hay que verificar que H está bien definida, es decir que si 1 ≤ z ≤ 2 entonces 1 + t(z − 1) ≤ 2 para todo t ∈ [0, 1], que es fácil de ver. También
hay que verificar que H es continua (utilizando los resultados aprendidos en cursos de topología general). H es entonces una homotopía y
luego X ' Y .
Definición 4. Un espacio X se llama contráctil si X ' ∗.
Proposición 1. Si X ∼
= Y , en particular X ' Y .

8

2.
2.1.
2.1.1.

Teoría básica de la homotopía
Problemas típicos en teoría de la homotopía
Problema de clasificación

Esencialmente se trata de determinar si dos espacios dados tienen el mismo tipo de homotopía o no. La relación “ser homotopicamente equivalente”
es una relación de equivalencia (proposición 2). Muchos de los invariantes topológicos (característica de euler, etc) son también invariantes homotópicos.
2.1.2.

Problemas de extensión

Ejemplo 5.
¿Es posible extender la aplicación indentidad S 1 → S 1 en una aplicación del
disco D2 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x21 + x22 ≤ 1} a S 1 ?
S _ 1


/

id

=S

1

∃?

D

2

La respuesta a este ejemplo es no. Para aquellos que tienen conocimientos
de grupo fundamental o homología, este es un ejercicio fácil de hacer
(se muestra por el absurdo que es posible encontrar tal funcion que vuelva
el diagrama de arriba conmutativo y se utiliza la funtorialidad de π1 o de H∗ ).
Así pues, de forma más general, un tipo de problema importante en topología es saber si dadas i : A ,→ X y f : A → Y ¿es posible encontrar g que
extienda f sobre X?
A
_


f

/

>Y

∃g?

X
Ejemplo 6.

9

Figura 5: Extensión de una aplicación
Supongamos que queremos definir una aplicación S 2 → X. Podemos empezar por definir una tal aplicación (si existe) sobre los vertices en azul (ver
figura 5) y luego la extendemos a los triángulos. La teoría de la homotopía
puede ayudarnos a hacer efectiva una tal extensión, la idea es la siguente:
• Deformar f en una aplicación f 0 , es decir que f 0 ' f
• Habiendo ya “simplicado” el problema, encontrar una extension g 0 tal
que
f

A _ 0


/

>Y

g0

X
En buenos casos esto implica la existencia de g.
2.1.3.

Problemas de levantamiento (lifting problems)

Dadas dos aplicaciones f : X → B y h : Y → B ¿es posible encontrar
una aplicación g : Y → X que vuelva el siguiente diagrama
>X

∃g?

Y

h

/



f

B

conmutativo?
Una situación típica en la que aparece un problema de levantamiento es
cuando X es el espacio recubridor (ver curso sobre grupo fundamental y
espacios recubridores) de un espacio B. Por ejemplo si Y = [0, 1], es decir si
h es un camino en B, es frecuente preguntarse si existe un levantamiento
de este camino en el espacio recubridor X.
10

Ejemplo 7.
Sea p : R → S 1 , t 7→ e2πit ( la tripleta [R, S 1 , p] no es otra que el recubridor universal de S 1 ) ¿existe g tal que el siguiente diagrama
>R

∃g?

S1

id

/



p

S1

sea conmutativo?
La respuesta es no (de nuevo, esto se ve fácilmente con argumentos de grupo fundamental u homología). En otras palabras no es posible “levantar” la
applicación identidad sobre S 1 en una aplicación de S 1 a R.

2.2.

Resultados básicos

Proposición 2.
i) La relación entre aplicaciones de X a Y de “ser homotópicas” es una relación de equivalencia.
ii) Dadas f0 , f1 : X → Y y g0 , g1 : Y → Z tales que f0 ' f1 y g0 ' g1 ,
entonces g0 ◦ f0 ' g1 ◦ f1 .
iii) La relación entre espacios de “tener el mismo tipo de homotopía” es
una relación de equivalencia.
Demostración. i) y ii) son ejercicios fáciles.
iii)
• X ' X ya que X es en particular homeomorfo a si mismo.
• X ' Y ⇒ Y ' X, por definición.
• X ' Y , Y ' Z ⇒ X ' Z.
En efecto X ' Y implica que existen aplicaciones f : X → Y ,
f 0 : Y → X inversas homotópicas una de la otra. Del mismo modo para
Y ' Z existen g : Y → Z, g 0 : Z → Y . Definamos h = g◦f y h0 = f 0 ◦g 0 ,
luego h0 ◦h = (f 0 ◦g 0 )◦(g◦f ) = f 0 ◦(g 0 ◦g)◦f ' f 0 ◦idY ◦f = f 0 ◦f ' idX .
De manera similar h ◦ h0 ' idZ .

11

Definición 5. Sean A ⊂ X e i : A ,→ X la inclusión. A es una retracción
de X si existe r : X → A tal que r ◦ i = idA .
Ejemplo 8.

Figura 6: Retracción de A ⊂ X

Figura 7: A ⊂ X no es un retracción de X
Si además i ◦ r ' idX , se dice que A es una retracto por deformación
de X. Sigue inmediatamente de esta definición que A como espacio tiene el
mismo tipo de homotopía que X. A menudo el término retracción es utilizado
también para referirse a la aplicación r.
Ejemplo 9.
X = S 1 × [0, 1], A = S 1 ⊂ X vía la inclusión x 7→ (x, 0). Definamos r : S 1 × → S 1 como la proyección. Por construcción r es una retracción y además i ◦ r ' idX . En efecto, consideremos la homotopía H :
(S 1 × [0, 1]) × [0, 1] → (S 1 × [0, 1]) dada por H((x, s), t) = (x, st).
Remarca No todas las retracciones son por deformación. Por ejemplo, considerar X = {a, b}, A = {a}. Se tiene la retracción r : X → A definida por
r(a) = r(b) = a pero i ◦ r 6' idX .
Proposición 3. Si A es un retracto por deformación de X, entonces A ' X.

12

2.2.1.

Un ejemplo interesante

Consideremos S = {(z, w) ∈ C2 | |z|2 + |w|2 = 2} ⊂ C2 la 3-esfera de
radio 2 en C2 ∼
= R4 y W = {(z, w) ∈ C2 | z 3 = w2 }.
Resultado: K := S ∩ W es un nudo de trèfle en S 3 .

Figura 8: Nudo de trèfle en R3
Sean
Z =S\K
y
X = {h(x) = x3 + ax2 + bx + c | a, b, c ∈ C, h(x) no tiene raices múltiples}
Proposición 4. X ' Z.
Demostración. La prueba se hará en 3 etapas:
i) Econtrar un espacio más pequeño X 0 ⊂ X tal que X 0 es un retracto
por deformación de X.
ii) Encontrar un espacio Y ⊃ Z tal que Z es un retracto por deformación
de Y .
iii) Mostrar que X 0 ∼
= Y (homeomorfos).
Paso i)
Definamos X 0 = {h(x) = x3 + px + q | p, q ∈ C, h(x) sin raices múltiples} ⊂
X. Sea i : X 0 ,→ X la inclusion.
Para un polinomio de la forma h(x) = x3 +ax2 +bx+c definamos r : X 0 → X
por r(h(x)) = h(x − a3 ). Debemos verificar que r está bien definida, es decir:

h x − a3 no tiene términos en x2 .

Si h(x) no tiene raices múltiples, entonces h x − a3 tampoco.

13

r así definida es continua (la topología sobre X es la inducida
por C3 . Sea

a
h(x) ∈ X, tenemos que r ◦ i(h(x)) = r(h(x)) = h x − 3 = h(x) ya que
a = 0, luego r ◦ i = idX 0 y entonces r es una retracción.

Definamos ahora H : X × [0, 1] → X 0 por H(h(x), t) = h x − ta3 . Se tiene
H(h(x), 0) = h(x) = idX (h(x)) y H(h(x), 1) = h x − a3 = i ◦ r(h(x)), luego
i ◦ r ' idX , por lo tanto r es un retracto por deformación.
Paso ii)
Consideremos los espacios
Y = {(z, w) ∈ C2 | z 3 6= w2 }
Z = {(z, w) ∈ C2 | |z|2 + |w|2 , z 3 6= w2 } ⊂ Y
Afirmación: Z es un retracto por deformación de Y .
Pa probar esta afirmación necesitamos el siguente lema:
Lema 1. Sea (z, w) ∈ C2 . Si z 3 6= w2 , existe un único λ ∈ R+ tal que
|λ2 z|2 + |λ3 w|2 = 2. Además λ depende continuamente de z y w.
Demostración. La prueba es un ejercicio de Análisis.
Definamos r0 : Y → Z por r(z, w) = (λ2 z, λ3 , w), donde λ es como en
el lema 1. Si |z|2 + |w|2 = 2 entonces λ = 1, luego r ◦ i = idZ y también i ◦ r ' idY usando la homotopía F definida por F : Y × [0, 1] → Y ,
F ((z, w)), t) = (β 2 z, β 3 w) donde β = (1 − t) + tλ.
Paso iii)
Un resultado del álgebra elemental nos dice que el polinomio x3 + µx + δ
tiene raices múltiples si y sólo si 4µ3 + 27δ 2 = 0. Definamos f : Y → X 0 por
f (z, w) = x3 − 3zx + 2w. Esta aplicación está bien definida, además podemos
verificar que es una biyección continua con inversa continua g dada por
p q
g(x3 + px + q) = − ,
3 2

14

2.3.

Pareja de espacios

Definición 6. Una pareja de espacios consiste en un espacio X y en un
subespacio A de X. Escribimos (X, A) para indicar una tal pareja.
Definición 7. Una aplicación de parejas f : (X, A) → (Y, B) o map of
pairs en inglés, es una aplicación f : X → Y tal que f (A) ⊂ B.

Figura 9: Aplicación de parejas de espacios
Definición 8. Dos aplicaciones de parejas f, g : (X, A) → (Y, B) son homotópicas si existe una aplicación de parejas
F : (X × I, A × I) → (Y, B)
tal que F (−, 0) = f y F (−, 1) = g. Observemos que I = [0, 1].
Si adicionalmente F (a, t) = f (a) = g(a) ∀a ∈ A, ∀t ∈ I, decimos que
f y g son homótopas relativamente a A. Escribimos f ' g rel A o bien
f 'A g.
Remarca Una homotopía relativa a A significa que la homotopía esta fija en A.
Definición 9. Dos parejas de espacios tienen el mismo tipo de homotopía
(X, A) ' (Y, B) si existen aplicaciones de parejas f : (X, A) → (Y, B),
g : (Y, B) → (X, A) tales que
g ◦ f ' id(X,A) , f ◦ g ' id(Y,B)
Un caso especial de pareja de espacios es el par (X, A) donde A = {x0 }
es un singleton y x0 es el punto base de X. En tal caso hablamos de un
espacio punteado (based space, pointed space en inglés). Una based map es
una aplicación entre espacios punteados. Del mismo modo, podemos hablar
de homotopía entre espacios punteados (based homotopies en inglés).
Definición 10. Una based map f : (X, x0 ) → (Y, y0 ) es nula-homotópica
si es homotópa a la aplicación constante c : X → Y , c(X) = {y0 }.
15

3.
3.1.

Propiedades de la homotopía y algunas construciones geométricas
Productos

Sean X1 , X2 dos espaces punteados con puntos base x1 , x2 respectivamente. El producto X1 × X2 tiene como punto base (x1 , x2 ).
Proposición 5. Sean X1 , X2 , Y1 , Y2 espacios punteados. Para i = 1, 2 sean
fi , gi : X → Yi aplicaciones tales que fi ' gi . Entonces fi × f2 ' g1 × g2
Demostración. Ejercicio.
Remarca Esta proposición puede ser extendida a familias {Xλ }λ∈I , {Yλ }λ∈I
de espacios Q
punteados
Q tales que para cada fλ , gλ : Xλ → Yλ se tiene fλ ' gλ ,
en tal caso fλ ' gλ .
Proposición 6. Si X1 ' Y1 y X2 ' Y2 , entonces X1 × X2 ' Y1 × Y2 .
Demostración. Ejercicio.
Ejemplo 10.

En efecto, el espacio I es contráctil (ver ejemplo 4), luego por la proposition
6 : S1 × I ' S1 × ∗ ∼
= S 1.

3.2.
3.2.1.

Cocientes
Pegar/adjuntar

Recordemos que dada una relación de equivalencia ∼ sobre un espacio X,
el espacio de clases de equivalencia X/ ∼ es un espacio dotado de la topología
cociente, para la cual un subconjunto U ⊂ X/ ∼ es abierto si y sólo si p−1 (U )
es abierto en X (p : X → X/ ∼ es la proyección canónica). El espacio X/ ∼
es un espacio de identificación.
Remarca Usaremos este espacio de identificación para dar sentido a la operación de pegar o adjuntar espacios.
16

Idea: Una esfera puede ser obtenida a partir de dos semiesferas si “identificamos” sus bordes. Identificar quiere decir, geométricamente hablando,
que vamos a pegarlos o adjuntarlos:

De manera formal, esta acción de pegar/adjuntar no es otra que la consideración del espacio de identificación D t D0 / ∼, donde la relación de equivalencia ∼ está definida a partir del homeomorfismo f : ∂D → ∂D0 como
sigue
x ∼ x0 ⇔ x ∈ ∂D, x0 ∈ ∂D0 y f (x) = x0
3.2.2.

Cociente

Sea A ⊂ X, el espacio cociente X/A es definido por X/A := X/ ∼ donde
x ∼ x0 si y sólo si x = x0 o x, x0 ∈ A.
Remarca X/A colapsa A. Los puntos de X/A son X \ A y otro punto (que
representa a A)
Ejemplo 11.

Dada una aplicacion de parejas f : (X, A) → (Y, B), existe una aplicacion
inducida f¯ : X/A → Y /B, [x] 7→ [f (x)]. Esta aplicación está bien definida.
Proposición 7. Sean f, g : (X, A) → (Y, B) aplicaciones de parejas tales
que f ' g, entonces f¯ ' g¯.

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Nota. f y g no son necesariamente aplicaciones entre espacios punteados,
pero si tomamos como puntos de base de X/A, Y /B los puntos a los cuales
A, B son respectivamente identificados, entonces f¯, g¯ y la homotopía entre
ellas son aplicaciones entre espacios punteados (based maps).
Demostración. La homotopía F : (X × I, A × I) → (Y, B) entre f y g induce
una función F¯ : (X/A) × I → Y /B, ([x], t) 7→ [F (x, t)]
Afirmación: F¯ es continua.
Sean p : X → X/A, q : Y → Y /B las proyecciones canónicas. Podemos
verificar que F¯ ◦ (p × 1) = q ◦ F , es decir que el diagrama siguente

p×1

/Y

F

X ×I


(X/A) × I



/



q

Y /B

es comutativo.
Lema 2. Sea ∼ una relación de equivalencia sobre X, f : X/ ∼→ Z tal que
p

f

X → X/ ∼→ Z es continua, entonces f es continua.
Demostración. Ejercicio de topología general.
De regreso a la afirmación, podemos definir una relación de equivalencia ∼
en X ×I tal que (X/A)×I puede ser identificado con X ×I/ ∼ con proyección
p × 1. Sabemos que q ◦ F es continua, entonces F¯ ◦ (p × 1) también. Pero
p × 1 es una aplicación de identificación (una proyección para un espacio de
identificación), sigue entonces por el lema 2 que F¯ es continua y por lo tanto
una homotopía entre f¯ y g¯.
Proposición 8. Si f : (X, A) → (Y, B) es una equivalencia de homotopía
de parejas de espacios (es decir, la inversa homotópica de f existe), entonces
f : X/A → Y /B es una equivalencia de homotopía (de espacios punteados).
Demostración. Aplicar la proposition 7.
Ejemplo 12.
Existe una equivalencia de homotopía de parejas (X, A) → (S 1 , S 1 )

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luego por la proposition 7: X/A ' S 1 /S 1 ' ∗.
Pregunta. Supongamos que A, B ⊂ X y A ' B. ¿Es cierto que X/A '
Y /B?
Respuesta. No siempre.
Contra-ejemplo: Sean X = S 1 y A = S 1 \ {pN } (pN = (0, 1) es el polo norte
de S 1 ). El espacio X/A consta de dos elementos {N, [A]}. Un argumento de
grupo fundamental muestra que {N, [A]} no puede tener el mismo tipo de
homotopía que S 1 . Si embargo, podemos pasar de este recurso y mostrar por
el absurdo que si X ' X/A, entonces X = S 1 tendría que ser contráctil, lo
que daría una contradiccion (lo detalles son dejados como ejercicio).

3.3.

Ramo de espacios (wedge sum/one-point-union)

En esta sección todos los espacios considerados (salvo mención contraria)
serán punteados. Así por ejemplo los espacios X, Y tienen como puntos base
x0 , y0 respectivamente.
Definición 11. La suma wedge de X, Y , que escribimos X ∨ Y es definida
por
X ∨ Y := X t Y /{x0 , y0 }

Nota. Este proceso puede ser extendido a familias de espacios {Xα }α∈I y
definir

_
G
Xα =
Xα {todos los puntos base}
α∈I

α∈I

19

Dadas dos aplicaciones punteadas (based maps) f1 : X1 → Y1 y f2 : X2 → Y2 .
Existe una aplicación natural f1 ∨f2 : X1 ∨X2 → Y1 ∨Y2 . La aplicación f1 ∨f2
es inducida por la aplicación union disjunta f1 t f2 : X1 t X2 → Y1 t Y2 por
paso al cociente.
Proposición 9.

i) X1 ∨ X2

f1 ∨f2

/ Y1

∨ Y2

g1 ∨g2

/ Z1
8

∨ Z2

(g1 f1 )∨(g2 f2 )

ii) f1 ' g1 , f2 ' g2 ⇒ f1 ∨ f2 ' g1 ∨ g2
iii) X1 ' Y1 , X2 ' Y2 ⇒ X1 ∨ X2 ' Y1 ∨ Y2
Demostración. i) es evidente, para ii) utilizar la proposición 7, iii) resulta de
i) y de ii).

3.4.

Producto Smash (Smash product)

Sean X e Y dos espacios punteados con puntos base x0 , y0 respectivamente. Podemos ver X ∨ Y como un subespacio de X × Y de la forma siguiente
X ∨Y ∼
= {(x, y) ∈ X × Y | sea x = x0 o bien y = y0 }

Definición 12. El producto smash de X e Y , que escribimos X ∧ Y es
definido por
X ∧ Y := X × Y /X ∨ Y
Nota. X ∧ Y es de nuevo un espacio punteado con punto base X ∨ Y colapsado.
Ejemplo 13.

20

S1 ∧ S1 ∼
= S1
Argumento visual:

Figura 10: Ilustración del homeomorfismo S 1 ∧ S 1 ∼
= S2
Ejemplo 14.
X ∧ {pt} ' {pt}. En efecto X × {pt}/X ∨ {pt} = X/X ∼
= {pt}.
Dadas dos aplicaciones f1 : X1 → Y1 y f2 : X2 → Y2 . La aplicación inducida f1 × f2 : X1 × Y1 → X2 × Y2 satisface (f1 × f2 )(x1 ∨ x2 ) ⊂ Y1 ∨ Y2 y
por lo tanto induce a su vez una aplicación f1 ∧ f2 : X1 ∧ X2 → Y1 ∧ Y2 .
Proposición 10.

i) X1 ∧ X2

f1 ∧f2

/ Y1

∧ Y2

g1 ∧g2

/

Z8 1 ∧ Z2

(g1 f1 )∧(g2 f2 )

ii) fi , fi0 : Xi → Yi tales que fi ' fi0 para i = 1, 2 ⇒ f1 ∧ f2 ' f10 ∧ f20
iii) X1 ' X2 , Y1 ' Y2 ⇒ X1 ∧ Y1 ' X2 ∧ Y2
Demostración. i) Se verifica sin mucha dificultad.
ii) Notar que dadas dos familias de espacios punteados Xα , Yα (α ∈ A) y
aplicaciones fα ' gα : Xα → Yα , se tiene que ×fα ' ×gα . En efecto, sea
Fα : Xα ×I → Yα la homotopía entre fα y gα , entonces F : (×Xα )×I → ×Yα
definida por F ((xα ), t) = (Fα (xα , t)) es una homotopía (punteada) entre ×fα
y ×gα .
Notemos tambien por F a la homotopía entre f1 ×f2 y f10 ×f20 que obtenemos
gracias a la observación precedente. F es de hecho una homotopía entre las
parejas de espacios (X1 × X2 , X1 ∨ X2 ) y (Y1 × Y2 , Y1 ∨ Y2 ) y por lo tanto, de
acuerdo a la proposición 7, induce la homotopía que buscamos.
iii) Concecuencia de i) y ii).
21

Proposición 11. Para m, n > 0,

Sm ∧ Sn ∼
= S m+n

En el ejemplo 13 ya habíamos visto, por un argumento visual, que S 1 ∧ S 1 ∼
=
S 2 . La generalización de este resultado necesita del lema siguente:
Lema 3. Supongamos que f : X → Y es una surjección con la propiedad “U
es abiero en Y si y sólo si f −1 (U ) es abiero en X. Si definimos una relación
equivalencia ∼ sobre X por: x ∼ x0 ⇔ f (x) = f (x0 ), entonces Y ∼
= X/ ∼.
Demostración. Es un ejercicio de topología general.
De retorno a la proposición, daremos la idea general de la prueba:
Demostración. Sea Dm = {x ∈ Rm | kxk 6 1} el disco m-dimensional con
borde S m−1 . Observemos que Dm /S m−1 ∼
= S m.
Consideremos la composición de aplicaciones:
p×q

r

f : Dm × Dn −→ (Dm /S m−1 ) × (Dn /S n−1 ) → (Dm /S m−1 ) ∧ (Dn /S n−1 )
donde p, q y r son las proyecciones evidentes. La aplicaciones f satisface las
condiciones del lema 3, luego Dm × Dn / ∼∼
= (Dm /S m−1 ) ∧ (Dn /S n−1 ) donde
(x1, x2 ) ∼ (x01 , x02 ) si y sólo si f (x1 , x2 ) = f (x01 , x02 ). Ahora bien f (x1 , x2 ) =
f (x01 , x02 ) si y sólo si (x1 , x2 ) = (x01 , x02 ) o bien (x1 , x2 ), (x01 , x02 ) ∈ Dm × S n−1 ∪
S m−1 × Dn , luego
Dm × Dn / ∼= Dm × Dn /(Dm × S n−1 ∪ S m−1 × Dn )
De otro lado
Sm ∧ Sn ∼
= Dm × Dn / ∼
= (Dm /S m−1 ) ∧ (Dn /S n−1 ) ∼
f
Existe un homeomorfismo Dm+n → Dm × Dn (observar que Dm ∼
= [0, 1]m
m+n
m
y que se tiene el homeomorfismo evidente [0, 1]
→ [0, 1] × [0, 1]n ). El
homeomorfismo f induce una aplicacion de parejas:

g : (Dm+n , S m+n−1 ) → (Dm × Dn , Dm × S n−1 ∪ S m−1 × Dn )
la cual pasa al cociente:
g¯ : Dm+n /S m+n−1 → Dm × Dn /(Dm × S n−1 ∪ S m−1 ∪ Dn )
Resulta que g¯ es un homeomorfismo, lo cual termina la prueba.
Un ejercicio interesante consiste en ver lo que hacen estas aplicaciones en
el caso m = n = 1 y compararlo con la ilustración del ejemplo 13.
22

Proposición 12.

i) (X ∨ Y ) ∧ Z ∼
= (X ∧ Z) ∨ (Y ∧ Z)

ii) Si X, Y son compactos y X es Hausdorff o bien Y, Z son compactos y
Z es Hausdorff, entonces (X ∧ Y ) ∧ Z ∼
= X ∧ (Y ∧ Z).
Demostración. Ver Algebraic Topology de C.R.F Maunder, chapter 6, section
6.2.

3.5.

Suspensión y construcción de conos

P
P
Definición 13. La suspensión de X, denotada X es definida por X :=
X ∧ S 1 y el cono sobre X, denotado CX, es CX := X ∧ I donde I = [0, 1]
con punto base 1.

Figura 11: Cono sobre X
Ejemplo 15.

P

S n = S n+1 .

Ejemplo 16.
Los conos son contráctiles: CX = X ∧ I ' X ∧ pt = pt.
Remarca
• Una suspensión puede ser vista como dos conos adjuntados:

Figura 12: Suspension de un espacio X
23

• La suspensión “incrementa la dimensión”.
P
P
Proposición 13. X ' Y ⇒
X ' Y.
Demostración. Consecuencia inmediata de iii) proposición 10.

3.6.

Espacios de aplicaciones (Mapping Spaces)

Sean X, Y dos espacios punteados, con puntos base x0 , y0 .
Definición 14. El espacio de aplicaciones Map(X, Y ) es el espacio de
todas las funciones (punteadas) continuas de X a Y . Este es también un
c
espacio punteado con punto base la aplicación constante X 7→ {y0 }.
En el ejemplo 9 de la sección 1.1 ya habíamos hablado de este espacio,
el cual habíamos notado por Y X , así como de su topología que tiene como
subbase de conjuntos abiertos los conjuntos de la forma WK,U = {f : X →
Y |f (K) ⊂ U }, donde K ⊂ X compacto y U ⊂ Y abierto.
Ejemplo 17. ΩX = Map(S 1 , X) espacio de bucles en X.
Si tomamos X = R con punto base en 0, el espacio ΩR se identifica al
espacio de funciones f : [0, 2π] → R tales que f (0) = f (2π).
Ejemplo 18. PX = Map(I, X) espacio de caminos en X.
Sean X, Y, Z espacios punteados, f : Y → Z una aplicación punteada.
Existe una aplicación inducida:
f˜ : Map(X, Y ) −→ Map(X, Z)
h

h

f

(X → Y ) 7−→ (X → Y → Z)
Map(X, −) es un funtor covariante de la categoría de espacios punteados
Top∗ en ella misma.
En fácil ver que f˜ es punteada, es decir que f˜(X 7→ y0 ) = (X 7→ z0 ). Tal vez
menos obvio es ver que es continua: Sea WK,U un elemento de la subbase de
Map(X, Z), donde K ⊂ X compacto y U ⊂ Z abierto, entonces
f˜−1 (WK,U ) = {h : X → Y | f h(K) ⊂ U }
= {h : X → Y | h(K) ⊂ f −1 (U )} = WK,f −1 (U )
y como WK,f −1 (U ) es un elemento de la subbase de Map(X, Y ), f˜ es continua.
Hemos usado la equivalencia cojuntista f (A) ⊂ B ⇔ A ⊂ f −1 (B) que resulta
de las dos inclusiones siguentes: A ⊂ (f −1 ◦ f )(A) y (f −1 ◦ f )(B) ⊂ B.
24

Proposición 14.

i) f1 ' f2 : Y → Z ⇒ f˜1 ' f˜2

ii) Si f : Y → Z es una equivalencia de homotopía, entonces f˜ también.
Así por ejemplo ΩR ' Ωpt ' pt.
iii) Si f : Y ,→ Z es un inclusión de subespacio, entonces f˜ también.
f = g˜f˜.
iv) f : Y → Z, g : Z → W ⇒ gf

25


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