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16 Integration 3 – Applications

In certain situations we may be asked to solve differential equations other than first order.

Example
d4y
˛

Solve the differential equation

dx4

 cos x, giving the general solution.

˛

From basic integration:
d3y
˛

dx3
d3y

冮 cos x dx



˛

 sin x  k
dx3
Continuing to integrate:
1

˛

˛

d2y

 cos x  kx  c
dx2
dy
kx2
 sin x 
 cx  d
dx
2
˛

If we were given the
boundary conditions then
the constants k, c, d, and e
could be evaluated.

˛

˛

y  cos x 

kx3
cx2

 dx  e
6
2
˛

˛

Example
d3y

 25e5x  24x
dx3
d2y
dy
 8, and when
given that when x  1, 2  5e5, when x  1,
dx
dx
Find the particular solution to the differential equation

˛

˛

˛

˛

x  0, y  0.
d3y
˛

dx3
d2y

 25e5x  24x

˛

Hence

˛

dx2
d2y



˛

1

˛

dx2

冮 125e

5x

 24x2 dx

 5e5x  12x2  c
˛

˛

d2y

 5e5
dx2
1 5e5  5e5  12  c
1 c  12
When x  1,

˛

˛

1

d2y
˛

dx2

 5e5x  12x2  12
˛

˛

Integrating again gives:



dy
 15e5x  12x2  122 dx
dx
dy
 e5x  4x3  12x  d
1
dx
˛

˛

450


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