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Atelier de Pédagogie Personnalisée

Les Puissances

Sommaire :

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Notions de puissances
Multiplication de puissances de même base
Division de puissances de même base
Puissance d’un produit
Puissance d’un quotient
Puissance d’une puissance d’un nombre

7. Puissance d’un nombre relatif
8. Puissance relative
9. Notation scientifique et Puissances de Dix
10. Puissances fractionnaires

Autocorrections

Formateur : Zwingelstein Sandra

Mise à jour :
Juin 2008

Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Septembre 2006

Les Puissances
1. Notions de puissances
Les puissances sont des outils mathématiques qui permettent au départ de
simplifier une écriture où apparaitrait plusieurs fois la multiplication par un
même chiffre.

Quelques exemples :
s’écrit 32 Et se lit “3 à la puissance 2” ou aussi trois au carré

3x3

s’écrit 53 Et se lit “5 à la puissance 3” ou aussi cinq au cube

5x5x5
7x7x7x7

s’écrit 74 Et se lit “7 à la puissance 4” ou 7 exposant 4

1 x 1 x 1 x 1 x 1 s’écrit 15 Et se lit “1 à la puissance 5” ou 1 exposant 5

Vocabulaire complémentaire :

43

Base

Exposant

43 = 4 x 4 x 4 = 64. Les chiffres “4” multipliés entre eux sont des facteurs (On
parle de produit de facteurs). L’exposant indique donc le nombre de facteurs qui
apparaissent dans la multiplication.
Rappel : un produit est une simple multiplication!

Cas particuliers :






21 signifie que le chiffre 2 est présent une fois dans la multiplication.
Nous aurons donc 21 = 2.
20, 50, 100…ont tous une valeur identique qui est 1. N’importe quel
chiffre non nul, à la puissance zéro aura toujours pour résultat 1.
00 n’existe pas, c’est l’exception!

A retenir!
a1 = a et a0 = 1
an = a x a x a…x a, le nombre “a” étant multiplié “n” fois par lui-même

A vous d'agir :
Produit de facteurs

Puissances

Résultat

150 =





1

6 =



8x8x8x8=

…4 =





5



2x2x2=
axaxaxaxa=
Formateur : Zwingelstein Sandra

3 =






a



Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Septembre 2006

Les Puissances
2. Multiplication de puissances de même base
Lorsque nous multiplions deux puissances de même base, pour simplifier
l’écriture, il suffit d’additionner les exposants.
Considérons la multiplication suivante : 23 x 24
23 = 2 x 2 x 2 et 24 = 2 x 2 x 2 x 2,
donc 23 x 24 = ( 2 x 2 x 2) x ( 2 x 2 x 2 x 2) = 27 car il y a sept chiffres 2
multipliés entre eux. Nous avons donc additionner les puissances car 3 + 4 = 7.

A retenir!
En résumé, pour simplifier une expression qui comporte plusieurs chiffres
multipliés :
on regroupe les puissances de même base
on applique ensuite la formule :

an x am = a(n + m)
Quelques exemples :
Enoncé
5

Produit de facteurs

Puissances
(1 + 5)

6

3x3 =

3 x (3 x 3 x 3 x 3 x 3) =

3

=3 =

b2 x b4 =

(b x b) x (b x b x b x b) =

b(2 + 4) = b6

Résultat
729

23 x 34 x 22 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2) x (3 x 3 x 3 x 3) = 2(3 + 2) x 34 =
25 x 34 =

32 x 81 =
2592

50 x 52 x 5 =

125

1 x (5 x 5) x 5 =

A vous d'agir :
32 x 33 x 3 4 =
2 x 2 4 x 20 =
103 x 10-2=
 1 3  1 2
  x  =
2 2
9 x 37 =
a4 x 2²x a3 =
Formateur : Zwingelstein Sandra

5(0 + 2 + 1) = 53

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Mise à jour :
Septembre 2006

Les Puissances
3. Division de puissances de même base
Lorsque nous divisons deux puissances de même base, pour simplifier l’écriture,
il suffit de soustraire les exposants.
Considérons la division suivante :
24
4
3
2 : 2 = 3 et 23 = 2 x 2 x 2 ainsi que 24 = 2 x 2 x 2 x 2,
2
2x2x2x2
donc 24 : 23 = ( 2 x 2 x 2 x 2 ) : ( 2 x 2 x 2 ) =
= 2(4-3) = 21 = 2.
2x2x2
En simplifiant effectivement cette fraction, j’élimine trois chiffres 2 en haut et
trois chiffres 2 en bas. Il reste donc un seul chiffre 2, d’où 21.

A retenir!
En résumé, pour simplifier une expression qui comporte plusieurs chiffres
divisés :
on regroupe les puissances de même base


on applique ensuite la formule :

an : am =

an
= a(n - m)
am

Quelques exemples :
Enoncé

Produit de facteurs

Puissances

53 : 5²=

5x5x5
=5
5x5

43 : 45 =

4x4x4
1
=
4x4x4x4x4 4x4

2 x 33
=


2x3x3x3
=2x3
3x3

2 x 3(3-2) = 2 x 31=

6

7 x 7²x7²
=
75

7x7x7x7x7 1
=
7x7x7x7x7 1

7(1 + 2 + 2 - 5) = 70 =

1

A vous d'agir :
104 : 10(-2) =
a3 x b4
=
a x b²
3²x34x 30x 35
=
39
Formateur : Zwingelstein Sandra

5(3 – 2) = 51 =

Résultat

4(3 – 5) = 4-2 =

5
1
=
42

1
16

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Septembre 2006

Les Puissances
4. Puissance d’un produit
Considérons la multiplication suivante : 5 x 3. Pour l’élever au carré, je dois
l’écrire ainsi : (5 x 3)².
Comment calculer ce produit? Appliquons la règle des puissances :
(5 x 3)² = (5 x 3) x (5 x 3)
A présent je regroupe les facteurs identiques ensemble :
(5 x 3) x (5 x 3) = 5 x 5 x 3 x 3 = 52 x 32

A retenir!
Ainsi calculer la puissance d’un produit, c’est la même chose que calculer le
produit des puissances ( je distribue la puissance à chaque membre de la
parenthèse) :

( a x b )n = an x bn
Quelques exemples :
Enoncé
4

(3 x 2) =

Produit de facteurs
(3 x 2)x(3 x 2)x(3 x 2)x(3 x 2)
=3x3x3x3x2x2x2x2=

1
( x a)0 =
2
(a x b x c)3 =

Puissances

Réponse

4

3 x2 =

81 x 16
= 1296

1
( )0 x a0 =
2

1

4

(a x b x c)x(a x b x c)x(a x b x c) = a3 x b3 x c3 =
axaxaxbxbxbxcxcxc=

A vous d'agir :
(m x n)²=
(5x7)² x (3 x 7)²=
(0 x 15)3 =
(3x5)2
=
10
(2x7)3
=
21x4
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Septembre 2006

Les Puissances
5. Puissance d’un quotient (d’une division, ou d’une fraction)
Considérons la division suivante :

5
.
2

5
Pour l’élever au carré, je dois l’écrire ainsi : ( )².
2
Comment calculer ce quotient ?
5
5
5
Appliquons la règle des puissances : ( )² = ( ) x ( )
2
2
2
5
5 5 x 5 52
A présent je regroupe les facteurs identiques ensemble : ( ) x ( ) =
=
2
2 2 x 2 22

A retenir!
Ainsi calculer la puissance d’un quotient, c’est la même chose que calculer le
quotient des puissances (je distribue la puissance à chaque membre de la

a 2 a2
( ) = 2
b
b

parenthèse) :

Quelques exemples :
Enoncé
2
( )3 =
3
1
1
( ) x ( )4
2
2

1
[2 x 3 x ( )]2
7

Produit de facteurs

Puissance
3

Résultat

2 2 2 2x2x2
x x =
=
3 3 3 3x3x3

2
=
33

8
27

1
1
1
1
1
( )x( )x( )x( )x( )=
2
2
2
2
2
1x1x1x1x1
=
2x2x2x2x2

1
1
( ) x ( )4 =
2
2
1
1
14 15
( 1) x 4 = 5 =
2
2
2

1
32

1
1
[2 x 3 x ( )] x [2 x 3 x ( )]=
7
7
1
1
2x2x3x3x( )x( )=
7
7

A vous d'agir :
2
( )2 x 3² =
3
4
1
( )2 x ( )4 =
3
8
Formateur : Zwingelstein Sandra

22 x 32 x

12
=
72

4x9x
36
49

1
=
49

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Mise à jour :
Septembre 2006

Les Puissances
6. Puissance d’une puissance d’un nombre
Considérons la puissance suivante : (2²)3 . Le chiffre 2² est lui-même élevé à la
puissance 3.
Mettons cette écriture sous la forme de produit de facteurs :
(2²)3 = (2²) x (2²) x (2²)
2² est donc bien écrit trois fois car élevé à la puissance trois.
Décomposons encore : (2²) x (2²) x (2²) = (2 x 2) x (2 x 2) x (2 x 2) = 26 car le
chiffre 2 est multiplié six fois par lui-même.
On remarque que cette puissance six est obtenue en faisant la multiplication des
deux puissances : 2 x 3 = 6

A retenir!
Ainsi calculer la puissance d’une puissance d’un nombre, se résume à appliquer
cette formule :

(an)p = a

(n x p)

Quelques exemples :
Enoncé
4

(5²) =

Produit de facteurs
(5²) x (5²) x (5²) x (5²)=
(5 x 5)x(5 x 5)x(5 x 5)x(5 x 5)=

Puissance
5

(2 x 4)

8

=5 =

Résultat
390 625

( a x b3 x c²)2 = ( a1 x b3 x c²) x ( a1 x b3 x c²) =
a1x a1 x b3 x b3 x c² x c²=

a(2x1)xb(3x2)xc(2x2) =
a2 x b6 x c4

2
(( )²)3 =
3

2
2
26
64
( )(2x3) = ( )6 = 6 =
3
3
3
729

2
2
2
( )²x ( )² x ( )²=
3
3
3
2 2 2 2 2 2
( x )x( x )x( x ) =
3 3 3 3 3 3

A vous d'agir :
(a4)3 =
(9 ½)6 =
1
85 x ( ) 5 =
4
5²x 53x 5
=
(5²)2
(

1 2
) =
23

Formateur : Zwingelstein Sandra

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Mise à jour :
Septembre 2006

Les Puissances
7. Puissance d’un nombre relatif
Un nombre relatif, rappelez vous, est un nombre soit positif, soit négatif. Dans
les premières fiches, nous n’avons travaillé qu’avec des nombres positifs. Voyons
à présent comment faire avec les négatifs!
Partons des exemples suivants : (-3)² et (-3)3
Appliquons le principe de base des puissances en utilisant les
(-3)² = (-3) x (-3) = + 9
Multiplications
(-3)3 =(-3) x (-3) x (-3) = -27
+ x + = +
+ x - = - x + = - x - = +

règles des signes :
Divisions
+ : + = +
+ : - = - : + = - : - = +

A retenir!
On peut d’après cet exemple établir une règle générale pour les puissances de
nombres négatifs :
si la puissance est paire (2;4;6;8;0…), le résultat sera positif
si la puissance est impaire (1;3;5;7…), le résultat sera toujours négatif!

Quelques exemples :
Enoncé
(-3)²=
3

(-2) =

Produit de facteurs

Résultat

(-3) x (-3) =

+9

(-2) x (-2) x (-2) =

-8

(-10)0=

A vous d'agir :
(-1)28 =
1
(- )4 =
2
(-0,1)3 =
(-10)3 =
(-12)² =
Formateur : Zwingelstein Sandra

+1

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Septembre 2006

Les Puissances
8. Puissance relative
Il arrive aussi que la puissance elle-même soit négative. Mais pas de panique, rien
de compliqué : une puissance négative oblige simplement à prendre l’inverse en
puissance positive.
Rappel : l’inverse de 2 est

1
1
2
3
, l’inverse de 5 est , l’inverse de est .
2
5
3
2

Je m’explique :
1
1
1
10-2 =
=
=
= 0,01 oui mais pourquoi ????
10² 10 x 10 100
Prenons la fraction suivante :
10 x 10 x 10
1
1
103
=
=
Première méthode :
5 =
10
10 x 10 x 10 x 10 x 10 10 x 10 10²
Deuxième méthode, nous appliquons les formules vues en début de cours :
103
1
1
3-5
= 10-2 donc 10-2 =
=
=0,01
5 = 10
10
10² 100

A retenir!
En résumé pour calculer une puissance négative, vous appliquez la formule
a-n =

suivante :

1
1
n
n et inversemment -n = a
a
a

Remarque : toutes les formules utilisées précedemment sont toujours encore
valables malgré les exposants négatifs!

Quelques exemples :
Enoncé
-3

10 =
104 x 10-5 =
53
=
55

Produit de facteurs
1
1
=
3 =
10
10 x 10 x 10
10(4-5) = 10-1 =
5(3-5) = 5-2 =

1
=
101

1
=


A vous d'agir :
(2²)-3 =
3
( )-1 =
2
Formateur : Zwingelstein Sandra

Résultat
1
= 0,001
1000
1
= 0,1
10
1
= 0,04
25

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Mise à jour :
Septembre 2006

9. Les Puissances
Notation scientifique et Puissances de Dix
Dans les fiches précédentes, nous avons travaillé avec des puissances de dix :
104 = 10x10x10x10 = 10 000 (c’est un “1” avec quatre chiffres 0 car puissance 4 !)
1
1
10-3 = 3 =
= 0,001 ( 3 chiffres après la virgule car puissance “-3”.
10
10 x 10 x 10
Grâce à ces quelques astuces vous pourrez transformer n’importe quel chiffre en
notation (ou écriture) scientifique. Il y a bien entendu quelques règles de base à
connaître : il ne faut laisser au nombre de départ qu’un chiffre avant la virgule
(Ce chiffre peut être compris entre 1 et 9 mais ne pourra en aucun cas être 0) et
compléter par des puissances de dix.
Prenons quelques exemples :
1 234 500 = 1,234500 x 106 : j’ai décalé ma virgule de 6 crans vers la gauche
donc 106.
0,0058 = 5,8 x 10-3 : j’ai décalé ma virgule de 3 crans vers la droite donc 10-3.

A retenir!
Ecrire en notation scientifique n’est donc qu’un jeu de décalage de virgule pour
obtenir un chiffre unique devant la virgule :
+n
un décalage de “n” crans vers la gauche donne une puissance 10
-n
un décalage de “n” crans vers la droite donne une puissance 10

Quelques exemples :
Enoncé

Décalage de la virgule

Résultat

8965 =

3 crans de décalage vers la gauche

8,965 x 103

0,789 =

1 cran de décalage vers la droite

7,89 x 10-1

2 crans de décalage vers la gauche

4,5632 x 102

456,32 =

A vous d'agir :
100 000 =
0,0031002 =
0,000001 =
Formateur : Zwingelstein Sandra

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Septembre 2006

Les Puissances
10. Puissances fractionnaires
Sur votre route de futur matheux, vous rencontrerez de drôles de “bêtes” : des
puissances fractionnaires… 41/2 ; 122/3 etc… mais qu’est-ce donc ???
Une puissance fractionnaire
camoufflage…hihihihi!

est

en

fait

91/2 = 2 9 = 2 3² = 3
Racine carrée

Quelques exemples :

une

racine

en

tenue

de

271/3 = 3 27 = 3 33 = 3
Racine cubique

321/5 = 5 32 = 5 25 = 2
Racine cinquième

A retenir!
Une puissance fractionnaire (écrite sous la forme d’une fraction) est en fait une
racine :


Racine carrée de a = ² a = a1/2



Racine cubique de a =



Racine quatrième de a =

3

a = a1/3
4

a = a1/4 et ainsi de suite…

Toutes les formules précédentes sont donc valables pour ces écritures de
puissances fractionnaires.

Quelques exemples :
Enoncé

Puissances simplifiées
(3

( 3)²=
1251/3 =
10000

1/4

1/2

)²= 3

1/2 x 2

1

=3 =

(53)1/3 = 53 x 1/3 = 51
=

4 1/4

(10 )

4x¼

= 10

A vous d'agir :
(51/2)x(51/3) =
(31/2)6 =
82
=
81/2
Formateur : Zwingelstein Sandra

= 10

Résultat
3
5

1

10

Autocorrections
Pour vérifier :
Produit de
facteurs

Puissances

Résultat

150 =

1

6

1

6 =

6

8x8x8x8=

4

8 =

4096

3x3x3x3x3
=

5

3 =

243

2x2x2=

23

8

axaxaxaxa
=

a5

Pour vérifier :
Produit de facteurs

Enoncé
2

3

4

3 x3 x3 =

(3 x 3)x(3 x 3 x 3)x(3 x 3 x 3
x 3) =

2 x 2 4 x 20 =

2 x (2 x 2 x 2 x 2) x 1 =

3

-2

a4 x 2²x a3 =

3

Résultat
9

=3

19683

2(1 + 4 + 0) = 25
(3+(-2))

10 x 10 =
 1 3  1 2
  x  =
2 2
9 x 37 =

Puissance
(2 + 3 + 4)

10
101

32

(3-2)

= 10

=

10

1 1 1
1 1
( x x )x( x )=
2 2 2
2 2

1
1
( )(3 + 2) = ( )5
2
2

1
32

3² x 37 =
(3 x 3) x (3x3x3x3x3x3x3)

3(2+7) = 39

19683

(a x a x a xa) x (2 x 2) x (a x a
x a)=

a7 x 22 = 4a7

Pour vérifier :
Enoncé
4

10 : 10

(-2)

Produit de facteurs

=

Puissance
10

(4 – (-2))

+ 2)
3

4

a xb
a x b²

axaxaxbxbxbxb
axbxb
=a x a x b xb

= 10

Résultat
(4

= 10

1 000 000

6

(3 - 1)

a
x b(4 – 2)
= a2 x b2

3(2 + 4 + 0 + 5)
3²x34x 30x 35
(3x3)x(3x3x3x3)x1x(3x3x3x3x3)
39
39
3x3x3x3x3x3x3x3x3
=
= 3( 11 –9) = 32 =
= 3x3

9

Pour vérifier :
Enoncé

Produit de facteurs

Puissance

(m x n)²=

(m x n) x (m x n) = m x m x n x
n=

m² x n²

(5x7)² x (3 x
7)²=

(5x7) x (5x7) x (3x7) x (3x7)
=5x5x3x3x7x7x7x7

52 x 32 x 74

Résultat

540 225

(0 x 15)3 =
2

0

(3x5)
=
10

(3x5) x (3x5) 3x3x5
=
2x5
2

(2x7)3
=
21x4

(2x7) x (2x7) x (2x7)
=
3x7x2x2
7x7x2
=
3

(2 – 1)

3²x5² 3²x5
=
2x51
2
3²x5
=
2

23x73
=
3x7x2²
2(3-2) x 7(3 – 1)
=
3
2 x 7²
3

=

45
2

98
3

Pour vérifier :
Enoncé
2
( )2 x 3² =
3
4
1
( )2 x ( )4 =
3
8

Produit de facteurs
2²x3² 2x2x3x3
=
= 2x2

3x3

Puissance
2²x3

(2x2)²x14
= …
32 x (2x2x2)4

(2 – 2)

= 2² x

Résultat
4

0

3
= 2² x 1 = 2²
(2²)2
=
3²x (23)4
1
3² x 28

1
2304

Pour vérifier :
Enoncé

Produit de facteurs

Puissance

(a4)3 =

a4 x a4 x a4 = (a x a x a x a) x (a x
a x a x a) x (a x a x a x a) x (a x a
x a x a) =

a4x3 = a12

(9 ½)6 =

(9 ½) x (9 ½) x (9 ½) x (9 ½) x (9 ½) x
(9 ½) =

9 ½x6 = 93

Répons
e

729

1
85 x ( ) 5 =
4

1
= 2(15 – 10) =
210
25 =

32

5(2+3+1) 56
=
= 5(6-4) =
5(2x2) 54
52 =

25

1
(23)5 x ( 2)5 =
2

215 x

1
(23)x(23)x(23)x(23)x(23) x ( 2
2
1
1
1
1
)x( 2)x( 2)x( 2)x( 2)=…
2
2
2
2
5²x 53x 5
=
(5²)2

(

5x5x5x5x5x5
=
5² x 5²
5x5x5x5x5x5
=5x5
5x5x5x5

1 2
) =
23

(

1
1
1
3)x( 3) =
2
2
2x2x2x2x2x2

1
2

3x2

=

1
26

1
64

Pour vérifier :
Produit de facteurs

Résultat

(-1) x (-1) x……………x(-1) =

+1

Enoncé
(-1)

28

=

1
(- )4 =
2

1
1
1
1
(- ) x (- ) x (- ) x (- )=
2
2
2
2

(-0,1)3 =

(-0,1) x (-0,1) x (-0,1) =

-0,001

(-10)3 =

(-10) x (-10) x (-10) =

-1000

(-12)² =

(-12) x (-12) =

+ 144

Produit de facteurs

Résultat

+

1
16

Pour vérifier :
Enoncé
-3

(2²) =

22x(-3) = 2-6 =

3
( )-1 =
2

1
1
=
6 =
2
2x2x2x2x2x2

1
64

2
( )1 =
3

2
3

Pour vérifier :
Enoncé

Décalage de la virgule

Résultat

100 000 =

5 crans de décalage vers la gauche

1 x 105

0,0031002 =

3 crans de décalage vers la droite

3,1002 x 10-3

0,000001 =

6 crans de décalage vers la droite

1 x 10-6

Enoncé

Puissances simplifiées

Résultat

(51/2)x(51/3) =

51/2 + 1/3 = 53/6 + 2/6 = 55/6

(31/2)6 =

31/2 x 6 = 36/2 = 33 =

Pour vérifier :

2

8
=
81/2

8

2-1/2

=8

4/2 – 1/2

3/2

3 3/2

= 8 = (2 )
= 29/2

3/2

27
=2

3x


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