Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Convertir un fichier Boite à outils Recherche Aide Contact



Cours racines .pdf



Nom original: Cours racines.pdf
Titre: Cours racines fin
Auteur: admin

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par PDFCreator Version 0.9.5 / GPL Ghostscript 8.61, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 11/06/2014 à 09:16, depuis l'adresse IP 80.13.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 472 fois.
Taille du document: 123 Ko (12 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


SZ mise à jour Juin 2008

Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Juin 2008

Les Racines Carrées

Sommaire :

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Notions sur les racines carrées
Simplification des racines carrées
Multiplication et division des racines carrées
Addition et Soustraction des Racines Carrées
Racine unique au dénominateur
Quantité conjuguée
Notions sur les racines cubiques
Simplification des racines cubiques

9. Puissances fractionnaires
Autocorrections

Formateur : Zwingelstein Sandra

1

SZ mise à jour Juin 2008

Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Septembre 2006

LES RACINES CARREES
1. Notions sur les racines carrées
Imaginons un jardin de forme carrée, de surface 81m². Comment réussir à
calculer le côté de notre jardin?
Rappelons la formule de l’aire d’un carré : A = côté x côté
Ici notre aire vaut 81 m²et nous voulons trouver un nombre qui, multiplié par luimême, donne 81. Le calcul est assez simple dans ce cas : côté = 9 car 9x9=81, il
suffit donc de connaître ses tables de multiplication.
Si à présent mon jardin a une superficie de 625 m². Comment trouver facilement
son côté… nos tables de multiplication ne suffisent plus… La racine carrée est
alors la solution. En utilisant la calculatrice on effectue
la réponse :

625 et elle nous donne

625 = 25 car 25 x 25 = 625. Mon jardin a donc un côté de 25 m.

A retenir :
Nous pouvons traduire cette explication par la formule suivante :
a2 = a et (

a )2 = a

Remarques :





La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas, car le carré d’un
nombre est toujours positif
Le résultat d’une racine carrée est toujours un nombre positif!
Le symbole de la racine carrée est aussi appelé radical.

Quelques exemples :
16 =

4x4 = 4

25 =

5x5 = 5

0=

- 4=-

2x2 = - 2

-4 n’existe pas !!!

0x0 = 0

0,01 = 0,1

A vous d'agir :
49 =

-

121 =
-2 x

64 =
(-1)² =
(-5)3 =

-2 =

3² =
Formateur : Zwingelstein Sandra

0,0001 =

2

SZ mise à jour Juin 2008

Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Septembre 2006

LES RACINES CARREES
2. Simplification des racines carrées
Pour simplifier une racine carrée, il faut décomposer le nombre sous la racine
comme un produit de facteurs. Ensuite il faut regrouper par paire les chiffres de
la décomposition afin de pouvoir sortir de dessous la racine l’un des chiffres de
ce couple. En d’autres termes, faites apparaître un carré sous la racine ce qui
vous autorise à sortir le chiffre du radical.
Prenons un cas précis :
20 =

(2 x 2) x 5 =

2²x5 = 2 x

5

Remarques :




La racine doit toujours être présentée sous sa forme la plus simple
c’est à dire avec un nombre sous la racine qui soit le plus petit possible.
Cette simplification peut se faire en plusieurs étapes.
Il y a souvent plusieurs façons de décomposer le nombre : choisissez
celle qui donne le plus grand couple!
72 = 8 x (3 x 3) = 8 x 3² ou 72 = (6 x 6) x 2 = 6²x 2.
La deuxième décomposition est plus intéressante, on peut ainsi écrire
72 = 6

2 au lieu de 3

8.

Quelques exemples
72 =
125 =
48 =

(6 x 6) x 2 =

6²x2 = 6 2

(5 x 5) x 5 = 5²x5 = 5 5
(4 x 4) x 3 =

4²x3 = 4

80 =

(4 x 4) x 5 =

4²x5 = 4 5

2 45=2 (3 x 3) x 5=2x 3²x5 = 2x3 5
90
=
2

3

(3 x 3)x5x2
=
2

= 3²x5 = 3 5

A vous d'agir :
60 =

2 20 =

99 =

54
=
2

245 =
Formateur : Zwingelstein Sandra

288 =

3

(3x3)x5

SZ mise à jour Juin 2008

Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Septembre 2006

LES RACINES CARREES
3. Multiplication et divisions des racines carrées
Multiplier deux racines carrées, c’est la même chose que de calculer la racine
carrée du produit des deux nombres sous les racines de départ :
2 x 3 = 2x3 = 6
Diviser deux racines carrées c’est la même chose que de la racine carrée du
quotient des deux nombres sous les radicaux du départ :

12 :

6=

12
6

12
=
6

=

6x2
=
6

2

A retenir :
En résumé nous pouvons appliquer les formules suivantes :
ax b=

a x b et

a
b

a
b

=

Une fois le calcul effectué, simplifiez toujours la racine carrée obtenue (si
possible).
Les formules sont bien entendu valables dans les deux sens.
Quelques exemples
3x
75
3
=5

12 =

3x12 =

75
=
3

=

36=

3x25
=
3

6²= 6

25 =

16 x 36 = 16 x
= 4 x 6 = 24
8x



0,5 =

8 x 0,5 =

A vous d'agir :
0x
5

257 =

6x
245

0,1 x

24 =

=

5
Formateur : Zwingelstein Sandra

3x

7x

13

91

4

360 =

2x

=

36 =

6=

4² x
4=


2²= 2

SZ mise à jour Juin 2008

Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Septembre 2006

LES RACINES CARREES
4.Additions et Soustractions des Racines Carrées
On ne peut additionner des racines carrées que quand il y a le même nombre sous
le radical.
Ainsi par exemple
2 a+5 a=7 a
est bien égal à 7 “pommes).

(deux “pommes” plus cinq “pommes”

Par contre
2 2 + 5 3 ne peut être simplifié
( deux “poires” plus cinq
“roses” ne peut etre simplifié : on ne peut pas parler de 7 poires-roses !!!)
Souvent, on pourra additionner des racines, qui au départ n’ont pas le même
radical, en les simplifiant pour faire apparaître le même nombre sous les racines

A retenir :


Remarque : 2 3 est l’écriture simplifiée de 2 x 3



Attention :

b≠

a+

a+b

Quelques exemples
5 3–2 3-

4 7+
=4 7+

3=3 3-1 3=2

63 = 4 7 +

3

6+

9x7

3x3x7=4 7+

6=1 6+1 6=2 6

99 3²x7

44 -

11

=

3x3x11 -

=4 7+3 7

=

3²x11 – 2²x11 -

=7

= 3 11 – 2 11 -

7

2x2x11 11

11 = 0 11 = 0

A vous d'agir :
12 6 -

6+5 6=

2 175 +

2 7 – 2 28 =

112 – (

98 –5 32 + 8 =
Formateur : Zwingelstein Sandra

45 +

5

700 – 5 112 =
7+
8+

11

63) =
25 +

20 =

SZ mise à jour Juin 2008

Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Septembre 2006

LES RACINES CARREES
5. Racine unique au dénominateur
En maths, il y a beaucoup de conventions d’écriture. Au niveau des racines
carrées, les radicaux ne doivent jamais figurer au dénominateur d’une fraction
dans votre réponse finale. Il faut alors transformer l’écriture afin d’éliminer ce
radical du dénominateur.
1
Ainsi
n’est pas une écriture correcte. Rendons alors cette écriture
2
1
convenable en multipliant en haut et en bas par le radical “génant” :
=
2
1x

2

2x 2
Je calcule mon numérateur et mon dénominateur : 1x 2 = 2 et
Donc

1
2

=

2 x 2 = 4 =2

2
2

A retenir :
Nous pouvons résumer cette méthode par la formule suivante :
a
b

=

ax b
bx

b

=

a b
b

Quelques exemples
2
3
2
5

=
=

2x

3

3x

3

2x

5

5x

5

=

2 3
3

7

=

10
5

6

5
2

=
=

7x
5x
6x
2x

A vous d'agir :
3
11
7

=

6
3

=
2

=

3x

3
Formateur : Zwingelstein Sandra

6

5

5
5
2
2

=

7 5
5

=

6 2 3x2x 2
=
=3 2
2
2

SZ mise à jour Juin 2008

Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Septembre 2006

LES RACINES CARREES
6. Quantité conjuguée
Lorsqu’au dénominateur d’une fraction, j’ai une addition ou une soustraction
composées de racines carrées, il faut éliminer les radicaux du dénominateur.
La méthode est un peu plus compliquée : on parle de quantité conjuguée. Partons
1
directement d’un exemple :
2+ 3
Cherchons d’abord la quantité conjuguée de 2 +

3 : il s’agit simplement de

prendre l’opération contraire donc ici
2 - 3.
A présent, multiplions en haut et en bas notre fraction, par cette quantité
1

conjuguée :

2+

3

=

1
2+

3

x

2-

3

2-

3

Rappel : multiplier deux fractions c’est multiplier les numérateurs entre eux et
les dénominateurs entre eux.
Calculons la multiplication des dénominateurs : (2 + 3)(2 - 3) :
Il s’agit d’une identité remarquable de la forme (a – b)(a + b)=a²- b²
Donc (2 + 3)(2 - 3) = 2² - 3²= 4 – 3 = 1
Terminons à présent le calcul précédent :
1
2+

3

=

1
2+

3

x

2-

3

2-

3

=

2- 3
=2- 3
1

Quelques exemples
7
11 -

10

3
7+

7

=

=

7
11 3

7+

7

x

10

x

7-

7

7-

7

11 +

10

11 +

10

=

3(7 7² -

=

7( 11 + 10) 7( 11 +
=
11 - 10
1

7) 7 3- 21 7 3 - 21
=
=
49 - 7
42


A vous d'agir :
1
5-

2
5

10)

3

=

6-1

=

2

=

13 -

3- 2
Formateur : Zwingelstein Sandra

7

8

=

=7( 11+ 10)

SZ mise à jour Juin 2008

Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Septembre 2006

LES RACINES CARREES
7. Notions sur les racines cubiques
Imaginons un cube, de volume 27 cm3. Comment calculer le côté de notre cube ?
Rappelons la formule du volume d’un cube : V = côté x côté x côté
Ici notre volume vaut 27 cm3 et nous voulons trouver un nombre qui, multiplié par
lui-même trois fois donne 27. Le calcul est assez simple dans ce cas : côté = 3
car 3x3x3 = 27 , il suffit donc de connaître ses tables de multiplication.
Si à présent mon cube a un volume de 125 cm3 . Comment trouver facilement son
côté… nos tables de multiplication ne suffisent plus… La racine cubique est alors
la solution. En utilisant la calculatrice on effectue
réponse :

3

3

125 et elle nous donne la

125 = 5 car 5 x 5 x 5 = 125. Mon cube a donc un côté de 5 cm.

A retenir :


Une racine carrée s’écrit



:3 7
Ne pas confondre la puissance d’un nombre (placé à droite du chiffre)
et le degré de la racine (placé à gauche de la racine) :



5 ou ² 5; une racine cubique s’écrit ainsi

( 2) 3 c’est 2 au cube (puissance) et 3 2 c’est la racine cubique de 2
Nous pouvons utiliser la formule suivante :
3

a3 = a ou (3 a)3 = a

Remarques :


La racine cubique d’un nombre négatif (contrairement aux racines
carrées) existe car un nombre négatif au cube reste un nombre négatif :
3



-8 = 3 (-2) x (-2) x (-2) = -2
Attention à la calculatrice, les touches racine carrée et racine cubique
sont différente, ne les confondez pas !

Quelques exemples :
3

64 =

3

3

-1 = 3

4x4x4 =
(-1)3 = -1

3

43 = 4

3
3

0,001 =
1
=
8

3

A vous d'agir :
3

0=

3

-27 =

3
3

8

216 =
1
=
64

3

0,1 x 0,1 x 0,1 =
1 1 1
x x =
2 2 2

3

3

0,13 =0,1

 1 3 1
  =
2
 2

SZ mise à jour Juin 2008

Formateur : Zwingelstein Sandra
Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
Septembre 2006

LES RACINES CARREES
8. Simplification des racines cubiques
Pour simplifier une racine cubique, il faut décomposer le nombre sous la racine
comme un produit de facteurs. Ensuite il faut regrouper trois par trois les
chiffres de la décomposition afin de pouvoir sortir de dessous la racine l’un des
chiffres de ce triplet. En d’autres termes, faites apparaître un cube sous la
racine ce qui vous autorise à sortir le chiffre du radical.
Prenons un cas précis :
3

3

54 =

3x3x3x2 =

3

33x2 = 3 x

3

2

Remarques :




La racine cubique doit toujours être présentée sous sa forme la plus
simple c’est à dire avec un nombre sous la racine qui soit le plus petit
possible. Cette simplification peut se faire en plusieurs étapes.
Il y a souvent plusieurs façons de décomposer le nombre : choisissez
celle qui donne le plus grand triplet!
192 = (2x2x2)x24 = 23 x 24 ou 192 = (4x4x4)x3 = 43 x 3
La deuxième décomposition est plus intéressante, on peut ainsi écrire
3



192 = 3 43 x 3 = 4 x 3 3 au lieu de 2 x 3 24
Les règles d’addition, de soustraction, de multiplication et de division
restent les mêmes que pour la racine carrée. Il n’y a que la
simplification qui soit différente puisqu’il faut faire apparaître un cube
et non un carré sous la racine.

Quelques exemples
3

40=

3

2x2x2x5=

3

23x5 = 2 x

3

3

81=

3

3x3x3x3=

3

33 x 3 = 3 x

5
3

3

3

250=

3

5x5x5x2 =

3

-56=

3

(-2)x(-2)x(-2)x7=

= -2 x

3

3

53x2= 5 x
3

3

2

(-2)3x7

7

A vous d'agir :
3
3

-24 =

3

16 +

448 =

3

448

3

-56

3

250 =

=

Formateur : Zwingelstein Sandra
Atelier de Pédagogie Personnalisée

Mise à jour :
9

SZ mise à jour Juin 2008

Septembre 2006

Les Puissances
9. Puissances fractionnaires
Sur votre route de futur matheux, vous pourrez rencontrer de drôles de “bêtes”
: des puissances fractionnaires… 41/2 ; 122/3 etc… mais qu’est-ce donc ???
Une puissance fractionnaire
camoufflage…hihihihi!

est

en

fait

91/2 = 2 9 = 2 3² = 3
Racine carrée

Quelques exemples :

une

racine

en

tenue

de

271/3 = 3 27 = 3 33 = 3
Racine cubique

321/5 = 5 32 = 5 25 = 2
Racine cinquième

A retenir!
Une puissance fractionnaire (écrite sous la forme d’une fraction) est en fait une
racine :


Racine carrée de a = ² a = a1/2



Racine cubique de a =



Racine quatrième de a =

3

a = a1/3
4

a = a1/4 et ainsi de suite…

Toutes les formules précédentes sont donc valables pour ces écritures de
puissances fractionnaires.

Quelques exemples :
Enoncé

Puissances simplifiées

( 3)²=
1251/3 =
10000

1/4

=

Résultat

(31/2)²= 31/2 x 2 = 31 =

3

(53)1/3 = 53 x 1/3 = 51

5

4 1/4

(10 )

4x¼

= 10

= 10

1

10

A vous d'agir :
(51/2)x(51/3) =
(31/2)6 =
82
=
81/2
Formateur : Zwingelstein Sandra

10

SZ mise à jour Juin 2008

Autocorrection
Pour vérifier :
49 = 7

-

64 = - 8

121 = 11

(-1)² = 1

-2 x

(-5)3 n'existe pas

-2 = 'existe pas

3² = 3
Pour vérifier :
60 =

0,0001 = 0,01

2x2x15 =

2² x 15 = 2 15

2 20 = 2 2x2x5 = 2 2² x 5 =2x2 x5=
4

99 =

3x3x11 =

5

3² x 11 = 3 11
54
=
2

245 = 7x7x5 =
Pour vérifier :
0x

5

5

288 =

257 = 0

=

6x6x2x2=

49 = 7

3x3x3 = 3² x 3 =3 3

12x12x2 =

0,1 x

5 6 x 24 = 5
5x6x2 = 60
245

7² x 5 = 7

27 =

360 =
3x

6=

7x

13

91

91

2

36 = 6

2x

=

12² x 2 = 12

91

6x6 = 6

=1

Pour vérifier :
12 6 -

6 + 5 6 = 16

6

2 175 +

700 – 5 112

= 2 x 5 7 +10 7 –5x4 7
= 10 7 +10 7 – 20 7 = 0 7 = 0

2 7–2 28 = 2 7–2x 2x2x7=2 72x2 7= 2 7 - 4 7 = -2 7

98 –5 32 +
2 2
= -11 2

112 – (
=0

8 = 7 2 – 5x4 2 +

45 +

7+

8+

63) = 4 7 -

25 +

+2 5
=5 5+2 2+5

11

7–3 7

20 =3 5 + 2 2 + 5

SZ mise à jour Juin 2008

Pour vérifier :
3
11
7
3

3x

=

11

11 x

=

11

7x

3

3x

3

=

3 11
11

6
3

21
3

=

=

6x

3

3x

2
3x

=

5

3

3
=2
3

=6

2
15

=

2x

3

15

15 x

15

=

2 15
15

Pour vérifier :
1
5=

2

=

1
2

5-

x

5+

2

5+

2

=

5+
5² -

2

3



6-1

3 6+3 3 6+3
=
6-1
5

=

5+ 2
23
5

3-

2

=

3 5 + 10 3 5 +
=
9–2
7

10

2
13 =

8

=

2 13 + 2x2 2
13 - 8

2 13 + 4 2
5

Pour vérifier :
3

0=0

3

3

-27 = -3

216 = 6
1
1
=
64 4

3

Pour vérifier :
3

3
3

-24 = -2 x
448 =

3

3

3

4x4x4x7 =

3

3

4 x7 = 4 x

3

16 +

3

2

3

448

3

7

-56

3

=

250 = 2 x

3

3

-8 = -2

Pour vérifier :
(51/2)x(51/3) =
(31/2)6 =
82
=
81/2

51/2 + 1/3 = 53/6 + 2/6 = 55/6
3

½x6

= 36/2 = 33

82 – ½ = 84/2 –1/2= 83/2

12

2+5x

3

2= 7 x


Documents similaires


Fichier PDF cours racines
Fichier PDF cours la racine carree maths troisieme 29
Fichier PDF cours puissances
Fichier PDF 3 racines c
Fichier PDF calcul d une racine carree
Fichier PDF exercices racines carrees et fractions maths seconde 438


Sur le même sujet..