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Session ……

EPREUVE E4

ETUDE DES CONSTRUCTIONS
SOUS-EPREUVE : U 41

Élaboration d’une note de calcul de structures

DOSSIER : ANNEXES
FORMULAIRE

Page 1/21

SOMMAIRE
1

EXTRAITS CATALOGUE DE PROFILES HE ____________________________________________ 3

2

ROTATIONS ET FLECHES POUR DES POUTRES ISOSTATIQUES COURANTES ____________________ 4

3

THEOREME DES 3 MOMENTS (FORMULE DE CLAPEYRON) ; ________________________________ 5

4

THEOREME DE PASTERNAK ____________________________________________________ 6

5

TABLEAU DES INTEGRALES DE MOHR :

6

FLEXION SIMPLE : MOMENT FLECHISSANT ET EFFORT TRANCHANT (M ET V ) VERIFICATION SIMPLIFIEE __ 9
6.1
6.2

7



L

0

mi  x   m j  x   dx __________________________ 7

POUR LE MOMENT DE FLEXION : __________________________________________9
POUR L’EFFORT TRANCHANT_____________________________________________9

ENROBAGE _____________________________________________________________ 10
DEFINITION DE L’ENROBAGE : ___________________________________________10
L’ENROBAGE MINIMUM cmin ; L’ENROBAGE NOMINAL c nom ______________________10
-: GROUPEMENT DE BARRES ____________________________________________11
- CONDITIONS DE BETONNAGE CORRECT : __________________________________11
TABLEAU 4.3NF : MODULATIONS DE LA CLASSE STRUCTURALE RECOMMANDEE, EN VUE
DE LA DETERMINATION DES ENROBAGES MINIMAUX c min,dur DANS LES TABLEAUX 4.4N ET 4.5NF. __12
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6

TABLEAU 4.4N : VALEURS DE L'ENROBAGE MINIMAL c min,dur REQUIS VIS-A-VIS DE LA

DURABILITE DANS LE CAS DES ARMATURES DE BETON ARME CONFORMES A L’EN 10080 _________12
7.7
ORGANIGRAMME POUR LA DETERMINATION DE L’ENROBAGE : ___________________13

8

PORTEES UTILES (DE CALCUL) DES POUTRES ET DALLES DANS LES BATIMENTS _________________14

9 ORGANIGRAMME DE CALCUL DES ARMATURES LONGITUDINALES EN FLEXION SIMPLE, SECTION
RECTANGULAIRE : ____________________________________________________________ 15
10 ORGANIGRAMME SIMPLIFIE DE CALCUL DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT EN FLEXION SIMPLE : _ 16
11

VERIFICATION DU LIT INFERIEUR SUR APPUI ________________________________________ 17
11.1

EFFORT DE TRACTION A ANCRER SUR LES APPUIS DE RIVE ET INTERMEDIAIRES FEd . _17

12 ORGANIGRAMME POTEAUX RECTANGULAIRES ______________________________________ 18
scl ,t _________________________________________19

12.1

ESPACEMENT DES COURS

12.2

LONGUEUR DE RECOUVREMENT DES ARMATURES EN ATTENTE _________________19

13 CALCUL DES SEMELLES FILANTES ET RECTANGULAIRES SOUS CHARGE CENTREE________________ 20
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6

SOL DE FONDATION _________________________________________________20
DIMENSIONNEMENT DU COFFRAGE ______________________________________20
EXPRESSION DU MOMENT REGLEMENTAIRE ________________________________20
ENROBAGE (SEMELLES DE FONDATION)___________________________________20
DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES ________________________________________20
ANCRAGES DES ARMATURES __________________________________________21

14 ACIERS EN BARRES _________________________________________________________21
Page 2/21

1

Extraits catalogue de profilés HE

Poutrelles HEA (HEA 100 à 600)
NF A 45-201

Dimensions
h
HEA 100
HEA 120
HEA 140
HEA 160
HEA 180
HEA 200
HEA 220
HEA 240
HEA 260
HEA 280
HEA 300
HEA 320
HEA 340
HEA 360
HEA 400
HEA 450
HEA 500
HEA 550
HEA 600

mm
96
114
133
152
171
190
210
230
250
270
290
310
330
350
390
440
490
540
590

b
mm
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
300
300
300
300
300
300
300
300

tw
mm
5.0
5.0
5.5
6.0
6.0
6.5
7.0
7.5
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0

tf
mm
8.0
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
11.0
12.0
12.5
13.0
14.0
15.5
16.5
17.5
19.0
21.0
23.0
24.0
25.0

r
mm
12
12
12
15
15
18
18
21
24
24
27
27
27
27
27
27
27
27
27

d
mm
56
74
92
104
122
134
152
164
177
196
208
225
243
261
298
344
390
438
486

Masse par Aire de
mètre
la section
P
Aire de
kg/m
cm²
16.7
21.2
19.9
25.3
24.7
31.4
33.4
38.8
35.5
45.3
42.3
53.8
50.5
64.5
60.3
76.8
68.2
86.8
76.4
97.3
88.3
112.5
96.6
124.4
104.8
133.5
112.1
142.8
124.8
159.0
139.8
178.0
155.1
197.5
166.2
211.8
177.8
226.5

Surface
de
peinture
m²/m m²/t
0.561 33.68
0.677 34.06
0.794 32.21
0.906 29.78
1.024 28.83
1.136 26.89
1.255 24.85
1.369 22.70
1.484 21.77
1.603 20.99
1.717 19.43
1.756 17.98
1.795 17.13
1.834 16.36
1.912 15.32
2.011 14.39
2.110 13.60
2.209 13.29
2.308 12.98

Caractéristiques de calcul
Iy

Wel.y
4

cm
349.2
606.2
1033.1
1673.0
2510.3
3692.2
5409.7
7763.2
10455
13673
18263
22928
27693
33090
45069
63722
86975
111932
141208

3

cm
72.8
106.3
155.4
220.1
293.6
388.6
515.2
675.1
836.4
1012.8
1259.6
1479.3
1678.4
1890.8
2311.3
2896.4
3550.0
4145.6
4786.7

Page 3/21

iy
cm
4.06
4.89
5.73
6.57
7.45
8.28
9.17
10.05
10.97
11.86
12.74
13.58
14.40
15.22
16.84
18.92
20.98
22.99
24.97

Wpl.y
3

cm
83.0
119.5
173.5
245.1
324.9
429.5
568.5
744.6
919.8
1112.2
1383.3
1628.1
1850.5
2088.5
2561.8
3215.9
3948.9
4321.8
5350.4

Avz
cm²
7.6
8.5
10.1
13.2
14.5
18.1
20.7
25.2
28.8
31.7
37.3
41.1
45.0
49.0
57.3
65.8
74.7
83.7
93.2

Iz

Wel.z
4

cm
133.8
230.9
389.3
615.5
924.6
1335.6
1954.5
2768.9
3668.2
4763.0
6310.5
6985.8
7436.3
7886.8
8563.1
9464.2
10365.6
10817.2
11269.1

3

cm
26.8
38.5
55.6
76.9
102.7
133.6
177.7
230.7
282.6
340.2
420.7
465.7
495.8
525.8
570.9
630.9
91.0
721.1
751.3

iz
cm
2.51
3.02
3.52
3.98
4.52
4.98
5.51
6.00
6.50
7.00
7.49
7.49
7.46
7.43
7.34
7.29
7.24
7.15
7.05

Wpl.z
3

cm
41.1
58.9
84.8
117.6
156.5
203.8
270.6
351.7
430.2
518.1
641.2
709.7
755.9
802.3
872.9
965.1
1058.5
1106.9
1155.7

Avy
cm²
16.9
20.1
24.8
30.1
35.5
41.6
50.2
59.7
67.4
75.4
87.0
96.2
102.5
108.7
118.2
130.4
142.7
148.6
155.2

2

rotations et flèches pour DES POUTRES ISOSTATIQUES COURANTES

Schéma mécanique

Rotation aux appuis

Flèche

y

pL3
24 EI
pL3
B 
24 EI

A  

p
x
f(L/2)
A

A

B

B

f( L / 2 ) 

5 pL4
384 EI

L

y
F
x



f(L/2)
A


B


A
a

Fa
L  a 2 L  a 
6 EIL
Fa
B 
L2  a 2
6 EIL

A  

B



pour

f( L / 2 ) 

a

L
2

Fa
( 3L2  4a 2 )
48 EI

L-a
L

y
A

C

CL
3 EI
CL
B  
6 EI

A 

B
f(L/2)

x

A

B

f( L / 2 )

CL2

16 EI

L

y
p

pL3
B  
6 EI

x
f(L)
B

A

f( L )

pL4

8 EI

f( L )

FL3

3EI

B

L

y
F
x
f(L)
B

A

FL2
B  
2 EI

B

L

Page 4/21

3

Théorème des 3 moments (formule de Clapeyron) ;

Hypothèses :

EI = constante sur l’ensemble de la poutre,
en l’absence de dénivellations d’appuis.

Y

S 

pi+1

pi


X

Ai-1

Ai

Li

Li+1
pi+1

pi

S 

Mi

Mi-1

Ai-1

Ai

Mi

Mi+1

Ai

Ai+1
Li+1

Li
Système isostatique
associé

Ai+1

pi+1

pi

S 
0

 gi0

Ai-1
Li

Ai

Ai

 di0

Ai+1
Li+1

Li Mi 1  2( Li  Li 1 )Mi  Li 1Mi 1  6 EI ( di0   gi0 )

Page 5/21

4

Théorème de Pasternak

Pour déterminer le déplacement en un point J d’une structure hyperstatique suivant une direction donnée, on
applique en ce point J dans une de ses structures associées isostatiques (structure virtuelle) suivant la direction
souhaitée une charge unité.
Structure réelle  S 

y

Moments de flexion

M x

x

J

y

1

Structure
isostatique associée
(virtuelle)

S 
0
J

Moments de flexion

x

j 


structure

M J0  x 

J

M  x   M 0j  x 
dx
EI

M  x  : représente le moment fléchissant dans la structure réelle.

M 0j

: représente le moment fléchissant dans la structure isostatique associée soumise à

un facteur sollicitant unité ( = 1) appliqué au point

J.

Dans le cas de structures composées de poutres et de barres bi-articulées :

j 


structure

M  M 0j
EI

dx 



poutres bi articulées

0

NNj
L
EA

Page 6/21

5

Tableau des intégrales de MOHR :



L

0

mi  x   m j  x   dx
M
'j

m j x M
j

M
i

Mj

M
j
L

mi  x 

Mj

Mj

Mj

L

L

L

L

Mj

M
j

L

L

L





2
LM i M j
3

2
LM i M j
3

2
LM i M j
3

1
LM i M j
3

1
LM i M j
3





1
LM i M j
3

5
LM i M j
12

1
LM i M j
4

1
LM i M j
4

1
LM i M j
12





1
LM i M j
3

1
LM i M j
4

5
LM i M j
12

1
LM i M j
12

1
LM i M j
4

1  2 M i M j  M i M' j   1
LM j  M i  M'i 
L
6  M'i M j  2 M'i M' j  3

1
LM j 
12
 5 M i  3 M 'i 

1
LM j 
12
 3 M i  5 M 'i 

1
LM j 
12
 3 M i  M 'i 

1
LM j 
12
 M i  3 M 'i 

1
xx' 

LM i M j 1  2 
3
L 


1
LM i M j 
12
 3 x' x' 2 
 2 
3
L
L 


1
LM i M j 
12
 3x x2 
 
3
L L2 


1
LM i M j 
12
 3 x' x 2 
 2

L 
 L

1
LM i M j 
12
 3 x x' 2 
 2 

L 
 L

5
LM i M j
12

17
LM i M j
48

17
LM i M j
48

7
LM i M j
48

7
LM i M j
48

LM i M j

1
LM i M j
2

1
LM i M j  M' j
2

1
LM i M j
2

1
LM i M j
3

1
LM i 2 M j  M' j
6

1
LM i M j
2

1
LM i M j
6

1
LM i M j  2 M' j
6

L
M
i

L

M
i

L
1
1
M
'i 2 LM j M i  M'i  6 LM j 2 M i  M'i 

M
i

L

Mi
x

1
LM i M j
2

1
 x' 
LM i M j 1  
6
L


 
x'  
 M j 1  L   
1

 
LM i 

6
x 

 M' j  1   
L 



1
LM i M j
2

1
LM i M j
4

1
LM i M j  M' j
4

x'
L

Mi

L/ 2





L
Dans le tableau, M i , M j , M i' , M' j , sont les extremums des fonctions mi  x  et m j  x  . Ils sont à prendre en valeurs algébriques.
Page 7/21

Tableau des intégrales de MOHR :
m j x

Mj



0

L

L

M
i

L
Mi

Mi
L

Mi

L
L

Mi

L/ 2

L

Mj
L

Mj

avec

Mj

X

2
3

2
3

1
3

1
2

1
3

2
6

1
3

1
4

1
12

1
2

1
6

1  2
6

1
3

5
12

1
4

1
2

2 
6

2      2
6

1
3

3  5 

1  3 

2   

2      1   

6

6

1
2

1
4

1   
4

12
2

5
12

12

17
48

L

1
2

1
4

6

1   
6

1
4

2      1   

1   

6

4

1  1      2
6 1   
2

3  1      
12

2

7
48

L
1
2

2   

12

1      3  3   
3

L/ 2

L

1 
2

2

L

L

L

L

Mj

Mj

1
2

1
2

= valeur lue dans le tableau

Mj

1

L

M
i

mi  x   m j  x   dx  LM i M j X
Mj

Mj

mi  x 

M
i

L

1  1      2
6 1   

1
2

3  41   
12

2






1
2

1
2

3  4 2
121   

3  41   
12

2



3  4 2
121   

1
2

1
3

Dans le tableau, M i , M j , sont les extremums des fonctions mi  x  et m j  x  , ils sont à prendre en valeurs algébriques. Les coefs.  et  sont algébriques.

Page 8/21

2

6 Flexion simple : Moment fléchissant et effort tranchant (M et V ) vérification simplifiée
6.1

Pour le moment de flexion :

M Ed  M c ,Rd

On doit vérifier :

M Ed

où

= Moment fléchissant (agissant) de calcul sollicitant la section droite à l’ELU ;

M c ,Rd = Résistance de calcul à la flexion de la section à l’ELU.
pour une section de classe 1 ou 2

M c ,Rd  M pl ,Rd

fy

(moment résistant élastique)

M el ,Rd  Wel ,min 

 M0

fy

 M0

Pour l’effort tranchant
V Ed
 1,0
Vc .Rd

On doit vérifier :

Calcul plastique

où

M c ,Rd  M el ,Rd

(moment résistant plastique)

M pl ,Rd  W pl 

6.2

pour une section de classe 3

Vc ,Rd  V pl .Rd  Av

V Ed

1

fy

3  M0

 0 ,58 Av

fy

 M0

: effort tranchant (agissant) de calcul à L’E.L.U. ;

V pl .Rd : effort tranchant résistant à L’E.L.U. ;
Av

: aire de cisaillement donnée dans les catalogues des caractéristiques des profilés.

Laminés marchands :
Les valeurs de l’aire plastifiée (A v)
sont données dans les tableaux de
caractéristiques des profilés.

Profilés Reconstitués Soudés :
Pour les P.R.S., la valeur de A v est
celle de l’âme seule

Page n°: 9/21

7

Enrobage

7.1

Définition de l’enrobage :

L’enrobage est la distance entre la surface de l’armature (épingles, étriers et cadres compris, ainsi que les armatures
de peau ) la plus proche de la surface du béton (parement) et cette dernière.

t

cl

cl

l

a

c : enrobage ou couverture des aciers : distance par
rapport au nu des armatures
c l : enrobage des aciers longitudinaux
c t : enrobage des aciers transversaux

b

dg

ct

ct

ct

: coefficient granulaire (Ø du plus gros granulat)

 t : diamètre des aciers transversaux
 l : diamètre des aciers longitudinaux
a : largeur d’un paquet de barres
b : hauteur d’un paquet de barres

La notion d’enrobage concerne toutes les armatures (de
résistance, de répartition, de peau y compris les armatures
d’effort tranchant tel que les cadres.).

7.2

L’enrobage minimum cmin ; l’enrobage nominal c nom

L’enrobage nominal c nom est la distance entre le parement et la surface de l’armature la plus proche.
L’enrobage nominal doit être calculé pour chaque élément ba, c’est une caractéristique géométrique
intrinsèque qui doit être spécifiée sur les plans. cnom  cmin  cdev {4.1} cmin  max cmin,b ; cmin,dur ;10mm



c min,b



 4.4.1.2 (3)

: enrobage minimal vis-à-vis des exigences d'adhérence.

Il faut vérifier, pour chaque barre, l’enrobage minimum vis à vis des conditions d’adhérence, celui-ci étant lié
au diamètre de la barre ou au diamètre équivalent du paquet de barres.
c min,dur : enrobage minimal vis-à-vis des conditions d'environnement. Pour l’élément BA  4.4.1.2 (5)
étudié, il faut le vérifier pour l’armature la plus proche du parement.
La valeur de la tolérance d’exécution recommandée : cdev  10 mm .
Lorsque la réalisation des éléments des ouvrages est soumise à un système d'assurance qualité,
0  cdev  10 mm .
Tableau 4.2 : Enrobage minimal c min,b requis vis-à-vis de l'adhérence
Exigence vis-à-vis de l'adhérence
Disposition des armatures

Enrobage minimal

Armature individuelle

Diamètre de la barre

Paquet

Diamètre équivalent

*

cmin,b


 n (voir 8.9.1)

*: Si la dimension nominale du plus gros granulat est supérieure à 32 mm, il convient de majorer c min,b de 5mm
Cas particulier des semelles de fondations :
enrobage nominal = béton coulé au contact avec un béton de propreté
enrobage nominal = béton en contact direct avec le sol

k1  30mm
k 2  65mm

 4.4.1.3(4) DAN

Remarque
NOTE : L’attention est attirée sur les problèmes de fissuration auxquels risque de conduire un enrobage c nom supérieur à
50 mm.
L’attention est également attirée sur les difficultés de bétonnage auxquels risque de conduire un enrobage c nom inférieur
à la dimension nominale du plus gros granulat.

 4.4.1.2(5) DAN
Page n°: 10/21

7.3

-: Groupement de barres

Les paquets jusqu’à 3 barres sont autorisés en traction
 8.9.1 (4)
En pratique, les groupements sont limités à 2 barres.
 9.1
Lorsque deux barres en contact sont disposées l'une au-dessus de l'autre, et lorsque les conditions
d'adhérence sont bonnes (voir § ancrages), il n'est pas nécessaire de traiter ces barres comme un paquet.

7.4

- Conditions de bétonnage correct :

k1n
e  max d g  k 2

k1  1 ;

;

k 2  5 mm

dg

e

plus grande dimension nominale d’un granulat

Lorsque toutes les barres du paquet ont le même diamètre

n   nb  55mm
sinon

n

Paquet de barres
ou barres isolées

n

20 mm

;

nb



nombre de barres du paquet

est le diamètre d’une barre fictive équivalente de

même aire et de même centre de gravité que pour l’ensemble
des barres composant le paquet. :

n 



:

n

 8.2

c
c n

e

n

 8.9

2
i

i

Le rapport des diamètres d’un paquet ne doit pas excéder 1,7

Page n°: 11/21

7.5

Tableau 4.3NF : Modulations de la classe structurale recommandée, en vue de la
détermination des enrobages minimaux c min,dur dans les Tableaux 4.4N et 4.5NF.

Classe structurale
Classe d'exposition selon Tableau 4.1
X0
XC1
XC2/XC3
XC4

Critère
Durée d'utilisation de
projet

Classe de résistance

1)

100 ans :
majoration
de 2
25 ans et
moins :
minoration
de 1
 C30/37
minoration
de 1 point
≥ C50/60 :
minoration
de 2

Nature du liant

Enrobage compact

2)

minoration
de 1

100 ans :
majoration
de 2
25 ans et
moins :
minoration
de 1
 C30/37
minoration
de 1 point
≥ C50/60 :
minoration
de 2

100 ans :
majoration
de 2
25 ans et
moins :
minoration
de 1
 C30/37
minoration
de 1 point
≥ C55/67 :
minoration
de 2

100 ans :
majoration
de 2
25 ans et
moins :
minoration
de 1
 C35/45
minoration
de 1 point
≥ C60/75 :
minoration
de 2

Béton de
classe
≥ C35/45
à base de
CEM I
sans
cendres
volantes :
minoration
de 1

Béton de
classe
≥ C35/45
à base de
CEM I
sans
cendres
volantes :
minoration
de 1

Béton de
classe
≥ C40/50
à base de
CEM I
sans
cendres
volantes :
minoration
de 1

minoration
de 1

minoration
de 1

minoration
de 1

XD1/XS1/
3)
XA1
100 ans :
majoration
de 2
25 ans et
moins :
minoration
de 1
 C40/50
minoration
de 1 point
≥ C60/75:
minoration
de 2

XD2/XS2/
3)
XA2
100 ans :
majoration
de 2
25 ans et
moins :
minoration
de 1
 C40/50
minoration
de 1 point
≥ C60/75:
minoration
de 2

XD3/XS3/
3)
XA3
100 ans :
majoration
de 2
25 ans et
moins :
minoration
de 1
 C45/55
minoration
de 1 point
≥ C70/85 :
minoration
de 2

minoration
de 1

minoration
de 1

minoration
de 1

Note 1 : Par souci de simplicité, la classe de résistance joue ici le rôle d’un indicateur de durabilité. Il peut être judicieux d’adopter, sur
la base d’indicateurs de durabilité plus fondamentaux et des valeurs de seuil associées, une justification spécifique de la classe
structurale adoptée, en se référant utilement au guide AFGC « Conception des bétons pour une durée de vie donnée des ouvrages »,
ou à des documents normatifs reposant sur les mêmes principes.
Note 2 : Ce critère s’applique dans les éléments pour lesquels une bonne compacité des enrobages peut être garantie :
- Face coffrée des éléments plans (assimilables à des dalles, éventuellement nervurées), coulés horizontalement sur coffrages
industriels.
- Éléments préfabriqués industriellement : éléments extrudés ou filés, ou faces coffrées des éléments coulés dans des coffrages
métalliques.
- Sous face des dalles de pont, éventuellement nervurées, sous réserve de l’accessibilité du fond de coffrage aux dispositifs de
vibration.
Note 3 : Pour les classes d’exposition XAi, cette correspondance est indicative sous réserve d’une justification de la nature de l’agent
agressif.

7.6

Tableau 4.4N : Valeurs de l'enrobage minimal c min,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans
le cas des armatures de béton armé conformes à l’EN 10080
Exigence environnementale pour c min,dur (mm)

Classe structurale
S1
S2
S3
S4
S5
S6

X0
10
10
10
10
15
20

XC1
10
10
10
15
20
25

Classe d'exposition selon Tableau 4.1
XC2/XC3
XC4
XD1/XS1
XD2/XS2
10
15
20
25
15
20
25
30
20
25
30
35
25
30
35
40
30
35
40
45
35
40
45
50

XD3 /XS3
30
35
40
45
50
55

Page n°: 12/21

7.7

Organigramme pour la détermination de l’enrobage :
Données :

classe structurante S4 (projet pour 50 ans) pour les bâtiments
classe d’exposition de l’élément ba étudié X…
dg plus grande dimension nominale des granulats
 diamètre de l’armature ou n pour un paquet de barres
fck, classe de résistance du béton

Dans du tableau 4.3NF
contre, on calcule
majoration
ou
minoration de classe
appliquer à partir de
classe d’exposition
l’élément ba étudié X…

cila
la
à
la
de

Détermination de :
la Classe fictive Si

i  4 + majorations éventuelles
– minorations éventuelles

Dans le tableau 4.4N cicontre, on détermine
cmin,dur en fonction de la
classe fictive Si
Pour l’armature la plus
proche du parement

Calcul de cmin,b = max. (  des armatures ou

n

des paquets de barres )

enrobage minimum vis à vis des conditions d’adhérence, celui-ci étant lié au diamètre de la barre ou au diamètre
équivalent du paquet de barres, il faut le déterminer pour chaque barre.

*

tolérances :cdev = 10 mm

cmin = max. (cmin,b ; cmin,dur ; 10 mm)

Enrobage : Cnom = cmin + cdev
Cnom = cmin + 10 mm
Pour l’armature la plus proche du parement (armatures transversales ou d’effort tranchant, cadres,… ),
déterminer : cnom ,t  max

 ;c
t

min,dur

;10mm  10mm

Pour les armatures longitudinales, déterminer : cnom ,l  max
Enrobage nominal :
Autre forme

 ou  ;c
l

n

min,dur

;10mm  10mm

cnom  max cnom ,t ;cnom ,l  t ;d g 

cnom  max max t ;cmin,dur ;l oun   t ;10mm  10mm;d g

Si les armatures

t sont absentes, faire t =0 dans cette expression

Page n°: 13/21

8

 5.3.2.2

Portées utiles (de calcul) des poutres et dalles dans les bâtiments

La portée utile l eff d’un élément peut être calculée de

Différents cas sont envisagés :
a) éléments isostatiques
b) éléments continus
c) Appuis considérés comme des encastrements

parfaits
d) Présence d’un appareil d’appui
e) Console

la manière suivante ; l eff  l n  a1  a2 {5.8 }
Avec l n : distance libre entre les nus d’appuis.
Les valeurs a1 et a2 à chaque extrémité de la portée,
peuvent être déterminées à partir des valeurs
correspondantes a i de la figure 5.4.

Figure 5.4 : Détermination de la portée de calcul Leff d’après l’expression 2.15, pour différents cas
d’appuis.

h

h
h

ai =min (t/2;h/2)

Ln

ai
ai = min (t/2;h/2)

Leff

Leff

t

(a)

Ln
Leff

Ln

(d)
t

Eléments isostatiques

(c)

appuis considérés comme

présence d'un
appareil d'appui

des encastrements parfaits

h

h
ai = min (t/2;h/2)
Ln

ai = min (t/2;h/2)

Ln

Leff

Leff
t

(b)

t

(e)

console

Eléments continus

Page n°: 14/21

9 Organigramme de calcul des armatures longitudinales
rectangulaire :

en flexion simple, section

d  0 ,9h
I. Données
I. Classe structurale :
S4
I. Environnement :Classe d’exposition
I. bw ; h
I. béton

C .. / ..

f cd  f ck /  C
cmin  max cmin,b ; cmin,dur ;10mm 

X ..

Enrobage nominal : cnom  cmin  cdev

f ck

f yk  500 MPa

I. acier B500 classe B

u 

I. diagramme élasto-plastique parfait
I.
I.

f yd 

f yk

S



500
 435 MPa
1,15

Mu
bw d 2 f cd

 u  0,3717

pu  1,35 g  1,5q kN / m
moment de flexion ELU M Ed  M u

Pas d’armatures comprimées : As 2  0
NON

 u  1, 25( 1  1  2u )

Les armatures comprimées
sont conseillées, car les aciers
seraient mal utilisés.
Si les armatures comprimées
sont prises en compte, elles
seront alors maintenues par
des armatures transversales :
s  15 .

 9.2.1.2 (3)

Oui

zu  d 1  0 , 4 u 
As1 

0 ,8 u bw df cd
non
f yd

As1 

Mu
zu f yd

 s1 

As1
f
 0 ,8 u cd
bw d
f yd

Sections minimale et maximale d’armatures longitudinales tendues :
Clause 9.2.1.1



f
As1  As ,min  max 0 ,26 ctm bw d ; 0 ,0013 bw d 
f yk


Le pourcentage d’armatures

 s1 

As1  0 ,04 Ac

As1
bw d

zu  d 1  0 , 4 u   d

Équation alternative du bras de levier
Il faut déterminer la hauteur utile réelle

0,13 %
Min

avec

Ac aire de la section droite de béton

( 1  1  2 u )
2

d réelle , celle-ci doit être supérieure à la valeur forfaitaire considérée.

1%
normal

2%

3%
fortement ferraillé

 s1

4%
interdit

Page n°: 15/21

I. Données : Classe structurale : S 4
I. Environnement :Classe d’exposition
I.
I.
I.
II.

10 Organigramme simplifié de calcul des armatures
d’effort tranchant en flexion simple :

X ..
f
Béton C .. / .. ; f ck  MPa 
f cd  ck
C
Enrobage nominal : cnom  cmin  cdev
cmin  max cmin,b ; cmin,dur ;10mm 
z inconnu  z  0 ,9d
d ;

V

Rd ,c

13
 sup C Rd ,c k 100 l fck  ;vmin  bw d



{6.2.}

bw plus petite largeur de la section droite
dans la zone tendue
I.



 1  0 ,61 


f ck MPa  

250 

f ywk

f ywd 

I.

pu  1,35 g  1,5q kN / m

S

Effort tranchant de calcul

non

bw z 1 f cd
{6.9}
 tan  cot  
On se fixe cot   1 , soit   45
VRd ,max 

500

 435 MPa
1,15

I.

Rd ,c

les armatures d’effort tranchant sont
nécessaires

f yk  500 MPa

I. Acier B500 classe B

VEd  V

oui

 1 f cd

Les armatures d’effort
tranchant ne sont pas
requises 6.2.2

VRd ,max  0 , 5bw z 1 fcd

VEd

vérification de la compression des bielles

VEd  VRd ,max

non

oui

La résistance des bielles est surabondante

L’angle

Asw
zf ywd cot 
s

VRd ,s 

On se fixe

A
V
Asw
zf ywd  sw  Ed
s
zf ywd
s

Choix de la section d’acier Asw ;
Calcul des espacements avec :

des bielles ne peut

pas être augmenté.
Il faut redimensionner le coffrage.

{6.8}

cot   1 : VEd 

  45

Dispositions constructives
Le taux d’armatures d’effort tranchant est
noté :

s

w 

Asw zf ywd
VEd

 Asw zf ywd

Asw
s  min 
;
; sl ,max 
bw  w ,min
 VEd


Asw
bw s

 w   w ,min 

0 , 08 f ck
f yk

{9.5N}

s  sl ,max

st  st ,max

sl ,max : Espacement longitudinal maximal entre les cours d’armatures d’effort tranchant
si

h  250mm alors s l ,max  0 ,75d sinon sl ,max  0 ,90d

st ,max : Espacement transversal maximal des brins verticaux dans une série de cadres, étriers ou épingles.
si

h  250mm alors st ,max  inf( 0 ,75d ,600mm ) sinon st ,max  0 , 90d


200 
k  min 1  mm  ;2
d



; C Rd ,c 

0 ,18

C

; Pourcentage  l d’acier longitudinal de flexion :

l 

Asl
 0,02
bw d

Asl : aire de la section des armatures tendues, prolongée d’une longueur supérieure à d  l bd au-delà de la section
considérée. ( l bd étant la longueur d’ancrage de calcul)
0 , 34 1 / 2
vmin 
fck
pour les dalles bénéficiant d’un effet de redistribution transversale sous le cas de charge considéré.

C

v min 

0 ,053

C

k 3 2 f ck

1/ 2

poutres et dalles autres que celles ci-dessus

Page n°: 16/21

11 Vérification du lit inférieur sur appui
11.1 Effort de traction à ancrer sur les appuis de rive et intermédiaires noté FEd .
er

Cette force FEd conditionne la section droite du 1 lit d’armatures longitudinales et son ancrage.

As ,appui 

FEd
f yd
Poutres

VALEURS DE FEd

Dalles

Décalage horizontal de la
Pour   45
courbe enveloppe des
9.2.1.3
al  z 2
moments
Appui d’extrémité
Modélisation Bielle-Tirant
Expression non sécuritaire
Valeur
forfaitaire approchée conseillée
0,5 V
(9.2.1.4)
Ed

VEd cot  A
Avec

1
t
avec cot  A  cot   
2
z

al  d

6.2.2(5)

VEd

(9.2.1.4)

0 ,9

  45 ; cot   1 et : z  0 , 9d

Pour simplifier nous prendrons cot  A  1

FEd  VEd
Appui intermédiaire
Si valeur de FEd  0 ,

0 , 5 VEd 

il faut ancrer la barre de
10 dans l’appui.

M Ed
0 , 9d

VEd

M Ed : valeur algébrique du
moment
sur
intermédiaire.

M
 Ed
0 , 9d

VEd
0,9



M Ed
0 , 9d

l’appui



A

z

 A  45

V Ed



V Ed

 A    45

FEd  VEd

FEd  VEd

t
l bd

Page n°: 17/21

12 ORGANIGRAMME POTEAUX RECTANGULAIRES
Données :-

Classe structurante

S 4 ; Classe d’exposition X … donnant un enrobage nominal c nom

N Ed , effort normal centré aux ELU
Ac , aire du béton b  h , avec b  h (ou b en mètre, correspondant au sens du flambement)

-

l
d'
Si d’ est inconnu, prendre :
avec d'  c nom   t 
40 mm pour XC1
b
2
55 mm pour XC4
f ck
Classe du béton C ../.. donnant f ck et f cd 
(âge du béton > 28 jours)
1,5
Acier B500 donnant f yk = 500 MPa et f yd  f yk 1,15  434 ,8 MPa
- Longueur efficace (ou de flambement) notée  0 = longueur libre du poteau notée l
-

Enrobage relatif

 



Élancement :



N Ed  N Rd
avec

 
1  
 62 

2

OUI

OUI

 32 
  
 

NON

  60

1 ,3

N Rd   kh Ac  fcd   f yd 

As
m
et si b  0 ,500 m alors kh  0 , 75  0 , 5b  1  6   sinon k h  1


Ac



La valeur de As est obtenue en résolvant l’équation du 2

(6

NON :
il faut redimensionner le
poteau

  120

0 ,86

et

l
i



Ac

f yd )As ²  ( f yd  6 f cd )As  (

nd

degré suivante :

N Ed
 Ac f cd )  0
K

avec

m
K   ( 0 , 75  0 , 5b  ) avec b en m

En première approximation pour obtenir une valeur approchée de As : dans N Ed   kh Ac  f cd   f yd 
m
si b  0 ,5 m , on peut poser : kh  0 , 95 0 , 75  0 , 5b  avec





b en m

sinon

kh  1

Section minimale des armatures longitudinales



N
As ,min  max 0 ,10 Ed ; 0 , 002 Ac 
f yd



Ac = aire de la section brute transversale de béton
{9.12N}

f yd limite élastique de calcul de l’armature
Le diamètre des barres longitudinales

Section maximale des armatures longitudinales
en dehors des zones de recouvrement As ,max  0 ,04 Ac

dans les zones de recouvrement As ,max  0 , 08 Ac

Armatures transversales :

l

t  max 6 mm ;l ,max 4
min =

diamètre

de

la

plus

petite

armature

t
s cl , t

espacement: scl ,t  scl ,max  min  400 mm; 20l ,min ;b 

l

l  min  8 mm

longitudinale

résistante

= plus petite dimension transversale
b
Les armatures transversales doivent maintenir toutes les barres prises en compte dans
les calculs de résistance.

Page n°: 18/21

12.1 espacement des cours scl ,t
Il convient d’ancrer convenablement les armatures transversales.
Il convient de réduire l’espacement d’un facteur 0,6 (multiplier scl ,max par 0,6 ):

scl ,t  0 , 6scl ,max  min 240 mm ; 12l ,min ; 0 , 6b 

b petite dimension transversale du poteau

* dans les sections situées à une distance égale à la plus grande dimension de la
section transversale du poteau ( h ) au-dessus ou au-dessous d’une poutre ou d’une
dalle.
* dans les jonctions par recouvrement d’armatures longitudinales lorsque le diamètre
maximal des barres longitudinales est supérieur à 14 mm ( l  14 ). Un minimum
de 3 barres (cours d’armatures) transversales régulièrement disposées dans la
longueur de recouvrement est nécessaire.
Lorsque la direction des barres longitudinales change (aux changements de dimensions du
poteau par exemple), il convient de calculer l’espacement des armatures transversales en
tenant compte des efforts transversaux associés. Ces effets peuvent être ignorés si le
changement de direction est inférieur ou égal à 1 pour 12.

 ..9.5.3(4)

 ..9.5.3(5)

Il convient que chaque barre longitudinale (ou paquet de barres longitudinales) placé dans un
angle soit maintenue par des armatures transversales.
Il convient dans une zone comprimée, de ne pas
disposer de barre non tenue à plus de 150 mm
< 150 mm d’une barre tenue.

 ..9.5.3(6)

12.2 Longueur de recouvrement des armatures en attente
 pour les poteaux bi-articulés en compression centrée
Comme la proportion 1 de barres avec recouvrement est supérieure à

50% :  6  1,5

Pour un recouvrement classique (armatures transversales non soudées) la longueur de recouvrement :

l0   6 lb ,rqd  1,5
avec

  sd
4 f bd



l0

l0 ,min  max 0 , 36 lb ,rqd ; 15 ; 200 mm



fbd  2 , 25 1 2  fctd (  2  1 p o u r   32 mm ) et ( 1  1 bonnes conditions d'adhérence )

Pour un

f ck  25MPa

Pour un

f ck  30 MPa

 sd  f yd  435MPa
 sd  f yd  435MPa

l 0   60
l 0   55

Pour les poteaux toujours sollicités en compression centrée, la longueur des attentes sera déterminée comme
indiqué ci-dessous:
En pied de poteau, la section d’acier juste nécessaire As ,rqd pour équilibrer l’effort normal agissant N Ed s’obtient en
écrivant : N Ed  Ac fcd  As ,rqd f yd ;
Soit

 N  Ac f cd 
As ,rqd  max  Ed
; 0 ,
f yd



As , prov la section droite prévue et mise en place, la longueur des attentes l0 est déterminée par:

l0  1, 5lb ,rqd

As ,rqd
As , prov

 l0 ,min  max 15 ; 200 mm 

Pour la disposition des armatures transversales dans les zones de recouvrement des barres toujours comprimées, il
convient de se reporter au paragraphe 13.6.7.3 Armatures transversales (clause 8.7.4.2).
Page n°: 19/21

13 Calcul des semelles filantes et rectangulaires sous charge centrée
13.1 Sol de fondation


Soit

Vd la charge verticale agissante de calcul (ELU) au niveau de la base de la fondation (assise).

Cette charge ultime extérieure tient compte du poids de la semelle, du sol situé au-dessus, du dallage éventuel et de la
charge variable sur le dallage.

Soit A' aire de la surface effective de la fondation (en compression centrée, aire totale de la surface horizontale
de la fondation en contact avec le sol ; si le chargement est excentré, utiliser la méthode de Meyerhof )


La valeur de la portance de calcul du sol de fondation est notée : Rd ; (soit la contrainte de calcul :

notation


qd 

Rd
A'

; la

qd n’existe pas dans l’EN 1997)

Critère de résistance :

Vd  Rd

13.2 Dimensionnement du coffrage

h de la semelle est inconnue, on utilisera la condition de rigidité qui fixe la hauteur utile minimum d .
 b'  b c'  c 
Pour une semelle rectangulaire : d  max 
;
4 
 4
Lorsque la hauteur

On admet que lorsque les dimensions de la semelle vérifient la condition de rigidité ci-dessus le cisaillement limite de
poinçonnement est implicitement vérifié (il n’y a donc pas lieu de prévoir des armatures d’effort tranchant).

13.3 Expression du moment réglementaire
b

semelle b'

X

Semelle rectangulaire

c' N
Ed

N Ed  b'
N b' 0 ,7b

 0 ,35b  Ed
2b'  2
8b'


M Edy 

N Ed  c'
N c' 0 ,7c 

 0 ,35c   Ed

2c'  2
8c'


2

poteau b
h d y dx

M Edx 

X

c

2

0 ,15b

0 ,35b

2

x

y

2

b'
section de calcul
13.4 Enrobage (semelles de fondation)

 4.4.1.3(4)
(3)

L'enrobage c nom , est de 30 mm pour un béton de semelle coulé sur un béton de propreté, ou bien 65 mm
pour un coulage directement au contact du sol.

13.5 Dispositions constructives
Diamètre minimal d’armatures : min  8 mm clause 9.8.2.1(1) Note AN

Page n°: 20/21

L’article 9.8.2 relatif aux semelles de fondation de poteaux et de voiles n’indique pas de section minimale
d’armatures.

13.6 Ancrages des armatures
Cas des semelles filantes ou isolées :
si l bd 

b' 0 ,70b , il n’est pas nécessaire de prévoir des crochets aux extrémités
4

14 Aciers en barres
Diamètre

Poids

Périmètre

Section pour N barres

en cm²

mm

kg/m

cm

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5

0,154

1,57

0,196

0,393

0,589

0,785

0,982

1,18

1,37

1,57

1,77

1,96

6

0,222

1,88

0,283

0,565

0,848

1,13

1,41

1,70

1,98

2,26

2,54

2,83

8

0,395

2,51

0,503

1,01

1,51

2,01

2,51

3,02

3,52

4,02

4,52

5,03

10

0,617

3,14

0,785

1,57

2,36

3,14

3,93

4,71

5,50

6,28

7,07

7,85

12

0,888

3,77

1,13

2,26

3,39

4,52

5,65

6,79

7,92

9,05

10,18

11,31

14

1,208

4,40

1,54

3,08

4,62

6,16

7,70

9,24

10,78

12,32

13,85

15,39

16

1,578

5,03

2,01

4,02

6,03

8,04

10,05

12,06

14,07

16,08

18,10

20,11

20

2,466

6,28

3,14

6,28

9,42

12,57

15,71

18,85

21,99

25,13

28,27

31,42

25

3,853

7,85

4,91

9,82

14,73

19,63

24,54

29,45

34,36

39,27

44,18

49,09

32

6,313

10,05

8,04

16,08

24,13

32,17

40,21

48,25

56,30

64,34

72,38

80,42

40

9,865

12,57

12,57

25,13

37,70

50,27

62,83

75,40

87,96

100,53

113,10

125,66

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