National Maths corrigé .pdf



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‫ﺗﺼﺤﯿﺢ اﻻﻣﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﻨﻲ ﻟﻠﺒﻜﺎﻟﻮرﯾﺎ – اﻟﺪورة اﻟﻌﺎدﯾﺔ‪ –2014‬ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ‪.‬‬
‫أﻧﺠﺰ اﻟﺘﺼﺤﯿﺢ ﯾﻮم ‪ 2014/6/12‬ﻣﻦ ﻃﺮف اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬اﻟﻤﻮﺳﺎوي اﻟﺤﺴﯿﻦ‪.‬‬

‫ﺗﺼﺤﯿﺢ اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪an  333........31‬‬
‫‪‬‬
‫ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ ‪ ‬ﻧﻀﻊ ‪‬‬
‫‪n‬ﻣ‬

‫ﺮة‬

‫‪ (1‬ﻟﻨﺘﺤﻘﻖ أن ‪ a1‬و ‪ a2‬أوﻟﯿﺎن‪.‬‬
‫ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪ a1  31‬و ‪ 31‬ﻋﺪد أوﻟﻲ‪.‬‬
‫ﻛﻤﺎ أن ‪ . a2  331‬اﻷﻋﺪاد اﻷوﻟﯿﺔ اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﺮﺑﻌﺎﺗﮭﺎ أﺻﻐﺮ ﻣﻦ أو ﯾﺴﺎوي ‪ 331‬ھﻲ ‪ 2‬؛ ‪3‬؛‪5‬؛‪7‬؛‪11‬؛‪13‬؛‪ .17‬و ﺑﻤﺎ‬
‫أن ‪ 331‬ﻻ ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ أي ﻣﻦ ھﺬه اﻷﻋﺪاد ﻓﺈن اﻟﻌﺪد ‪ 331‬أوﻟﻲ‪.‬‬
‫‪ (2‬ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ ‪ ‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪an  3  10n  3  10n1  ...  3  10  1 :‬‬
‫‪= 3 10 n  10 n1  ...  10   1‬‬
‫‪1  10n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  10‬‬
‫‪10n1  7‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬

‫‪ 3 10 ‬‬

‫وﻣﻨﮫ ﻓﺈن ‪3an  7  10n 1‬‬

‫‪ (3‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪ 31‬أوﻟﻲ و ﻻ ﯾﻘﺴﻢ ‪ 10‬إذن ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮھﻨﺔ ﻓﯿﺮﻣﺎ اﻟﺼﻐﺮى ﻟﺪﯾﻨﺎ ]‪1030  1[31‬‬
‫‪k‬‬

‫‪k‬‬

‫‪k‬‬

‫إذن ﻟﻜﻞ ‪ k‬ﻣﻦ ‪ ‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪ 1030   1 [31] :‬و ﺑﻤﺎ أن ‪ 1030   1030 k‬ﻓﺈن ]‪ 1030   1 [31‬إذن ]‪1030 k  102  10 2 [31‬‬
‫و ﻧﻌﻠﻢ أن ]‪ 102  7 [31‬إذن ]‪1030 k 2  7 [31‬‬
‫‪ (4‬ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال ‪ (2‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪ 3an  7  10n1‬ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ ‪ ‬إذن‬

‫‪ 3a30k 1  7  1030k 2‬ﻟﻜﻞ ‪ k‬ﻣﻦ ‪ ‬و ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال ‪(3‬‬

‫ﻟﺪﯾﻨﺎ ]‪ 1030k 2  7 [31‬إذن ]‪. 3a30k 1  0 [31‬‬
‫ﺑﻤﺎ أن ]‪ 3a30k 1  0 [31‬ﻓﺈن ‪ 31/ 3a30 k 1‬و ﺣﯿﺚ أن ‪ 31  3  1‬ﻓﺈﻧﮫ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮھﻨﺔ ‪. 31/ a30k 1 Gauss‬‬
‫‪ (4‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ . n  ‬إذا ﻛﺎن ]‪ n  1[30‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ﻃﺒﯿﻌﻲ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﻌﺪم ‪ k‬ﺑﺤﯿﺚ ‪ n  1 30k‬وﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال‬
‫اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪ 31/ a30k 1‬إذن ‪ a30k 1  31  31‬وﺑﻤﺎ أن ‪ 31‬ﻻ ﯾﻘﺴﻢ ‪ 1‬ﻓﺈن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ a30 k 1 x  31 y  1‬ﻟﯿﺲ ﻟﮭﺎ ﺣﻠﻮﻻ‬
‫ﻓﻲ ‪.  2‬‬
‫ﺗﺼﺤﯿﺢ اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪:‬‬
‫‪a a b‬‬
‫‪ M  a, b   ‬و ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪E  M  a, b  /  a, b    2‬‬
‫ﻟﻜﻞ ‪ a‬و ‪ ، b‬ﻧﻀﻊ ‪‬‬
‫‪b a  b‬‬
‫‪ (1‬ﻧﺒﯿﻦ أن ‪  E ,  ‬زﻣﺮة ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻟﻠﺰﻣﺮة ‪ M 2    ,  ‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪ ‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪ E  ‬ﻷن ‪ 0 0   M  0,0   E‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ M  a, b ‬و ‪ M  a, b‬ﻋﻨﺼﺮﯾﻦ ﻣﻦ ‪ E‬ﻟﺪﯾﻨﺎ‪:‬‬
‫‪ a a  b   a a  b ‬‬
‫‪M  a, b   M  a, b   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b a  b   b a  b ‬‬
‫‪ a  a  a  a    b  b  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b  b  a  a    b  b  ‬‬

‫‪= M  a  a, b  b  E‬‬
‫)ﻷن ‪ a  a  ‬و ‪( b  b  ‬‬
‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪  E ,  ‬زﻣﺮة ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻟﻠﺰﻣﺮة ‪.  M 2    , ‬‬

 1 1
2
J 
 ‫ ﺣﯿﺚ‬J ‫( ﻟﻨﺤﺴﺐ‬2
0
1


 1 1  1 1  1 1  1 0 1 1  1 1   1 2 
J2  



 : ‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬
 0 1   0 1   0  1  1  0 0  1  1 1   0 1 
1 2
.  M 2    ,  ‫ ﺟﺰء ﻏﯿﺮ ﻣﺴﺘﻘﺮ ﻣﻦ‬E ‫ إذن‬
  E ‫ ﻓﺈن‬1  0  2 ‫و ﺣﯿﺚ أن‬
0 1
 1 1
 ‫ ﺣﯿﺚ‬A * B  A  N  B : ‫ ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﺮﻛﯿﺐ اﻟﺪاﺧﻠﻲ * ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ‬M 2    ‫( ﻧﻌﺮف ﻋﻠﻰ‬3
0 1 
. M  a, b  ‫ ﺑﺎﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ a, b    2 ‫ ﺣﯿﺚ‬a  ib ‫ اﻟﺬي ﯾﺮﺑﻂ ﻛﻞ ﻋﺪد ﻋﻘﺪي ﻏﯿﺮ ﻣﻨﻌﺪم‬M 2    ‫ ﻧﺤﻮ‬ ‫ﻣﻦ‬

‫ اﻟﺘﻄﺒﯿﻖ‬ ‫ ﻟﯿﻜﻦ‬. N  

‫ ﻧﺤﻮ‬  ,  ‫ ﺗﺸﺎﻛﻞ ﻣﻦ‬ ‫ ﻟﻨﺒﯿﻦ أن‬-‫أ‬
: ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬ ‫ ﻋﻨﺼﺮﯾﻦ ﻣﻦ‬a  ib ‫ و‬a  ib ‫ﻟﯿﻜﻦ‬

 M    , 
2

  a  ib    a  ib     aa  bb  i  ab  ba    M  aa  bb, ab  ba 
  a  ib     a  ib   M  a, b   M  a, b 

: ‫و ﻣﻦ ﺟﮭﺔ ﺛﺎﻧﯿﺔ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬

 M  a, b   N  M  a, b 

 a a  b   1 1   a a  b 




 b a  b   0 1   b a  b 
 a b   a a  b 



 b a   b a  b 
 aa  bb  aa  bb    ab  ba  


 ab  ba  aa  bb    ab  ba  
 M  aa  bb, ab  ba 

  a  ib    a  ib     a  ib     a  ib 

‫وﻣﻨﮫ ﻓﺈن‬

.  M 2    ,  ‫ ﻧﺤﻮ‬  ,  ‫ ﺗﺸﺎﻛﻞ ﻣﻦ‬ ‫إذن‬
. E   E  O ‫ ﻧﻀﻊ‬-‫ب‬
       a  ib  / a  ib  0

: ‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬

 M  a, b  /  a, b    0, 0 
 M  a, b  / M  a, b   M  0,0 

 E
‫ زﻣﺮة‬    ,  ‫ زﻣﺮة ﺗﺒﺎدﻟﯿﺔ إذن‬  ,  ‫ و‬ M 2    ,  ‫ ﻧﺤﻮ‬  ,  ‫ ﺗﺸﺎﻛﻞ ﻣﻦ‬ -‫( أ‬3 ‫ ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال‬-‫ج‬





.‫ زﻣﺮة ﺗﺒﺎدﻟﯿﺔ‬ E  ,  ‫ ﻓﺈن‬     E  ‫ﺗﺒﺎدﻟﯿﺔ و ﺑﻤﺎ أن‬

   A, B, C   E  : A   B  C   A  B  A  C
3

: ‫( ﻧﺒﯿﻦ أن‬4
: ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬E ‫ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﻦ‬C ‫ و‬B ‫ و‬A ‫ﻟﯿﻜﻦ‬

A  B  C   A N   B  C 
 A N  B  A N  C
 A B  AC

. ‫ ﺟﺴﻢ ﺗﺒﺎدﻟﻲ‬ E , ,  ‫( ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬5
.‫ زﻣﺮة ﺗﺒﺎدﻟﯿﺔ‬ E ,   ‫ إذن‬ M 2    ,  ‫ زﻣﺮة ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻟﻠﺰﻣﺮة اﻟﺘﺒﺎدﻟﯿﺔ‬ E ,   ‫( ﻟﺪﯾﻨﺎ‬1 ‫ ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال‬
.‫ زﻣﺮة ﺗﺒﺎدﻟﯿﺔ‬ E  ,  ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫(ج‬3 ‫ ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال‬
. E ‫ ﻓﻲ‬ ‫ ﺗﻮزﯾﻌﻲ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻘﺎﻧﻮن‬ ‫ ﻓﺈن اﻟﻘﺎﻧﻮن‬E ‫ ﺗﺒﺎدﻟﻲ ﻓﻲ‬ ‫( ﺑﻌﺪ ﻣﻼﺣﻈﺔ أن اﻟﻘﺎﻧﻮن‬4 ‫ ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال‬
. ‫ ﺟﺴﻢ ﺗﺒﺎدﻟﻲ‬ E , ,  ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن‬

: ‫ﺗﺼﺤﯿﺢ اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬

 
. O, u , v ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ و ﻣﺒﺎﺷﺮ‬





z 2  2ei z  ei 2  0 : ‫ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ﻓﻲ‬

E
  2ei 2  4ei 2

= 2ei 2 =



2iei



2

: ‫ ھﻮ‬ E  ‫ ﻣﻤﯿﺰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬-‫أ‬

: ‫ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻠﯿﻦ ﻋﻘﺪﯾﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﯿﻦ ھﻤﺎ‬ E  ‫ ﻓﺈن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬  0 ‫ ﺑﻤﺎ أن‬-‫ب‬
z2 

2ei  2iei
2


2 i
e 1  i 
2



2ei  2iei
2 i

e 1  i 
2
2

‫ و‬z1 






i   
i
i
i
2




z1 
 2  ei  e 4  e  4   cos      i sin     ‫ إذن‬1  i  2e 4 ‫ و‬1  i  2e 4 ‫و ﻧﻌﻠﻢ أن‬
2
4
4



z2 
 
i   
4

. 2ei ‫ و‬e 

 
i   
4


i
2
 2  ei  e 4
2

 
i   
4

‫ و‬e

‫و‬

‫ و‬1 ‫ و‬1 ‫ أﻟﺤﺎﻗﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬A ‫ و‬T2 ‫ و‬T1 ‫ و‬J ‫ و‬I ‫( اﻟﻨﻘﻂ‬2
ZT2  ZT1

‫إذن‬





 cos      i sin    
4
4



e

Z A  ZO

 
i  
4



e

 

i 
 e  4  2i sin 4


 i ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫أ‬
2
2
 
 ZT  ZT1 
OA , T1T2  arg  2
 [2 ]
Z

Z
O 
 A

  [2 ]
2
.‫ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان‬TT
‫و‬
OA
‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ‬
‫وﻣﻨﮫ ﻓﺈن‬
 
1 2
 
i  
4

e 
2ei

e

i


4





. TT
1 2  ‫ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ‬K ‫ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﺔ ﺣﯿﺚ‬A ‫ و‬K ‫ و‬O ‫ ﻧﺒﯿﻦ أن اﻟﻨﻘﻂ‬-‫ب‬
. K ‫ﻧﺤﺪد أوﻻ ﻟﺤﻖ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬
ZK 

ZT1  ZT2



2

e

 
i   
 4

e
2


i 
 i 4
e e  e 4 
  ei cos   2 ei
 
‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬
2
4
2
2 i
e
ZK
1
‫إذن‬
 2 i 
ZA
2
2e
Z
.‫ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﺔ‬A ‫ و‬K ‫ و‬O ‫ ﻓﺈن اﻟﻨﻘﻂ‬K   ‫ﺑﻤﺎ أن‬
ZA
i

 
i  
 4

TT
1 2  ‫ و‬ OA  ‫ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ‬K ‫ ﻓﺈن‬TT
1 2  ‫ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ‬K ‫ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﺔ و‬A ‫ و‬K ‫ و‬O ‫ ﺑﻤﺎ أن‬-‫ج‬
‫ و‬TT
1 2  ‫ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ‬K ‫ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ TT
1 2  ‫ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ OA  ‫ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ OA   T1T2  ‫و ﺣﯿﺚ أن‬
. TT
1 2  ‫ ھﻮ واﺳﻂ اﻟﻘﻄﻌﺔ‬ OA  ‫ﻣﻨﮫ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬
.
zT1  e

 
i   
 4


2

‫ و ﺑﻤﺎ أن‬z  zT  ei  z  zT  : ‫ ھﻲ‬r ‫ ﻧﻌﻠﻢ أن اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﻌﻘﺪﯾﺔ ﻟﻠﺪوران‬-‫أ‬
1

‫ وﺣﯿﺚ أن‬z  e
i

z  iz  2e ‫ ﻓﺈن‬e


‫ و ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ‬T1 ‫ اﻟﺪوران اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰه‬r ‫( ﻟﯿﻜﻦ‬3
2

 
i   
 4

 ie

 
i  
 4

1

 
i  
 4

 iz  ie

 1  i  e

 
i   
 4

 
i  
 4

‫ إذن‬z  e

 2e

i

 
i   
 4

 i    


4  4

e

 

i   
 i  z  e  4   ‫ﻓﺈن‬





 2ei

‫ب‪ -‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪B  r  I   b  iz I  2ei  i  2ei :‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪i  2ei  2ei‬‬
‫‪ zB  z A ‬‬
‫‪‬‬
‫‪zB  z A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪arg ‬‬
‫‪‬‬
‫ج‪ -‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪  i‬‬
‫إذن ] ‪   [2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z J  zI‬‬
‫‪1  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ z J  zI ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ z z ‬‬
‫‪‬‬
‫و ﺑﻤﺎ أن ] ‪ IJ , AB  arg  B A  [2‬ﻓﺈن ] ‪IJ , AB   [2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ zJ  zI ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫و ﻣﻨﮫ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ‪  IJ ‬و ‪  AB ‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (4‬ﻧﻌﻠﻢ أن اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﻌﻘﺪﯾﺔ ﻟﻺزاﺣﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﺘﺠﮭﺘﮭﺎ ‪ v‬ھﻲ ‪z  z  i :‬‬
‫‪‬‬
‫ﻟﺤﻖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻹزاﺣﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﺘﺠﮭﺘﮭﺎ ‪ v‬ھﻮ ‪zC  z A  i  2ei  i :‬‬
‫‪ (5‬ﻧﺒﯿﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪A‬‬

‫‪ (6‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪2ei  z A‬‬

‫ھﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪ BC ‬‬

‫‪‬‬

‫‪2ei  i‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪2ei  i ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪z z‬‬
‫‪ B C ‬إذن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ھﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪.  BC ‬‬
‫‪2‬‬

‫ﺗﺼﺤﯿﺢ اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪:‬‬
‫‪ x ln x‬‬
‫‪‬‬
‫‪;x0‬‬
‫‪ f  x ‬‬
‫‪1  x2‬‬
‫‪ ( I‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪  0, ‬ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f  0  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (1‬أ‪ -‬ﻧﺒﯿﻦ أن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪.  0, ‬‬

‫‪ ‬اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪ 0, ‬ﻛﺨﺎرج داﻟﺘﯿﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ ‪. 0, ‬‬
‫‪x ln x 0‬‬
‫‪  x ln x   xlim‬‬
‫‪ x ln x xlim‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪  0  f  0 ‬‬
‫‪1  x2‬‬
‫‪lim 1  x 2‬‬
‫‪lim 1  x 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x 0‬‬

‫‪lim f  x   lim‬‬
‫‪x 0‬‬

‫‪x 0‬‬

‫‪x 0‬‬

‫إذن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ ‪.0‬‬
‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪.  0, ‬‬
‫ب‪ -‬ﻟﻨﺪرس إﺷﺎرة ‪ f  x ‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪.  0, ‬‬
‫ﻧﻌﻠﻢ أن ‪ f  0   0‬إذن ﯾﻜﻔﻲ أن ﻧﺪرس إﺷﺎرة ‪ f  x ‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. 0, ‬‬
‫‪1‬‬
‫ﺑﻤﺎ أن ‪ 0‬‬
‫‪1  x2‬‬
‫‪ ‬إذا ﻛﺎن ‪ x  1‬ﻓﺈن ‪ ln x  0‬إذن ‪  x ln x  0‬أي ‪ f  x   0‬و ﻣﻨﮫ ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪. 1, ‬‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ 0, ‬ﻓﺈن إﺷﺎرة ‪ f  x ‬ھﻲ إﺷﺎرة ‪  x ln x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. 0, ‬‬

‫‪ ‬إذا ﻛﺎن ‪ 0  x  1‬ﻓﺈن ‪ ln x  0‬إذن ‪  x ln x  0‬أي ‪ f  x   0‬إذن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪ 0,1‬و ﺑﻤﺎ‬
‫أن ‪ f  0   0‬ﻓﺈن ‪ f‬ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪.  0,1‬‬
‫‪(2‬‬

‫أ‪ -‬ﻧﺒﯿﻦ أن ‪ x    : f  1x    f  x  :‬‬
‫*‬
‫‪‬‬

‫‪1 1‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ ln  ‬‬
‫‪x ln x‬‬
‫‪ x ln x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪f  ‬‬
‫‪ 2x  2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ *‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪  f  x  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x‬‬

. 0,  ‫ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬f ‫ ﻧﺒﯿﻦ أن‬-‫ب‬
‫ ﻛﺠﺪاء داﻟﺘﯿﻦ ﻗﺎﺑﻠﺘﯿﻦ‬0,  ‫ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬x   x ln x ‫ إذن اﻟﺪاﻟﺔ‬0,  ‫ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬ln ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
1
‫ و اﻟﺪاﻟﺔ‬0,  ‫ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬
1  x2
. 0,  ‫ ﻛﺠﺪاء داﻟﺘﯿﻦ ﻗﺎﺑﻠﺘﯿﻦ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬0,  ‫ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬f ‫ إذن اﻟﺪاﻟﺔ‬0,  ‫ﻋﻠﻰ‬

‫ ) ﻷﻧﮭﺎ داﻟﺔ ﺟﺬرﯾﺔ ( و ﺑﺎﻟﺨﺼﻮص ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق‬ ‫ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬x 

: ‫ إذن ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮھﻨﺔ رول‬f  0   0  f 1 ‫ و ﻟﺪﯾﻨﺎ‬0,1 ‫ و ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬ 0,1 ‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬f ‫ اﻟﺪاﻟﺔ‬-‫ج‬

   0,1  : f     0
1
x

‫ إذن‬0,  ‫ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬f ‫ و اﻟﺪاﻟﺔ‬ 0,    0,  ‫ و‬0,  ‫ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬u : x  ‫ اﻟﺪاﻟﺔ‬-‫د‬

1 1
1
 1    1   1 
f       f      2 f    : ‫ وﻟﺪﯾﻨﺎ‬0,  ‫ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬x  f   ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
x
 x
 x   x   x 
 x
 x  *  :  x12 f   1x    f   x  ‫ إذن‬ x  *  : f  1x    f  x  ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫(أ‬2 ( I‫ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال‬
1
1
‫ إذن‬f     0 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫(ج‬2 ‫ و ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال‬ 2 f      f    ‫ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ ﻓﺈن‬ ‫و ﺑﻤﺎ أن‬

 
1
1
.  2  0 ‫ ﻷن‬f     0

 

 x  *  : 


x

‫ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ‬F ‫ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ C  ‫ وﻟﯿﻜﻦ‬F  x   0 f  t  dt : ‫ ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ‬ 0,  ‫ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬F ‫ ( ﻟﺘﻜﻦ اﻟﺪاﻟﺔ‬II
.‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ‬
2

 t  1,   : 12  t t 1  1 : ‫ ﻟﻨﺘﺤﻘﻖ أن‬-‫أ‬
2

 t  1,   :

(1

t2
t2

1
‫إذن‬

‫ﻣﻦ‬
‫ﻟﻜﻞ‬
 1 ‫ إذن‬t 2  t 2  1 :  ‫ ﻣﻦ‬t ‫ ﻧﻌﻠﻢ أن ﻟﻜﻞ‬
t
2
2
t 1
t 1
2
t
1 2t 2  t 2  1
t 2 1
 t  1,   : t 2  1  2  2 t 2  1  2 t 2  1  0 : ‫ ﻣﻦ ﺟﮭﺔ ﺛﺎﻧﯿﺔ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬
   
1
2

.  t  1,   : 

t2
‫إذن‬
t2 1

1
t2
 t  1,   : 2  t 2  1  1 : ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن‬
 x  1,   :F 1  12  ln x 2  F  x   F 1  14  ln x 2 : ‫ ﻧﺒﯿﻦ أن‬-‫ب‬
1

x

F  x    f  t  dt   f  t  dt ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬ 0,  ‫ ﻣﻦ‬x ‫ ﻟﻜﻞ‬، ‫ﻧﻼﺣﻆ أﻧﮫ ﺣﺴﺐ ﻋﻼﻗﺔ ﺷﺎل ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻼت‬
0

1

: ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬0,  ‫ ﻣﻦ‬x ‫إذن ﻟﻜﻞ‬
2
2
1
x t
x t
ln t
ln t
t ln t
dt

f
t
dt


dt

F
1


dt




2
2
2



0
1 1 t
0
1 1 t
1 1 t
t
t
1 ln t
t2
ln t
ln t
1
t2
 t  1,   : 2  t  t 2  1  t  1 t ‫ إذن‬ t  1,   : 2  t 2  1  1 : ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬1( II ‫و ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال‬
t2
ln t
1 ln t
: ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬1,  ‫ ﻣﻦ‬x ‫ ﻓﺈن ﻟﻜﻞ‬1,  ‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬t 
‫ و‬t 2
‫ و‬t 
‫و ﺑﻤﺎ أن اﻟﺪوال‬
t
t 1
2 t
2
x1
x t
x ln t
ln t
ln t

dt

1 2 t
1 t 2  1  t dt  1 t dt
x ln t
x1
x1
x ln t
ln t
ln t
F 1  
dt  F  x   F 1   
dt ‫ إذن‬ 
dt  F 1  F  x   
dt
‫أي‬
1 t
1 2
1 2
1 t
t
t
1

F  x    f  t  dt  

x

F 1 

1
1
2
2
 ln x   F  x   F 1   ln x  ‫إذن‬
2
4

x

x
ln t
1
2
2
1
1 t dt  1  ln   t  ln tdt   2  ln t  1  2  ln x  : ‫وﻟﺪﯾﻨﺎ‬
1
2
‫ و ﺑﻤﺎ أن‬ x  1,   :F  x   F 1   ln x  : ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( ب‬1( II ‫ ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال‬-‫ج‬
4
1
2

. xlim
F  x    ‫ ﻓﺈن‬lim  F 1   ln x    

x 
4


1
1
2
2
‫ إذن‬ x  1,   :F 1   ln x   F  x   F 1   ln x  : ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( ب‬1( II ‫داﺋﻤﺎ ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال‬
2
4
2
2
2
2
F 1 1  ln x 
F  x  F 1 1  ln x 
ln x   ln x 

‫ ﻓﺈن‬ x  0 

 ‫ و ﺑﻤﺎ أن‬ x  1,   : x  2 x  x  x  4 x
x
 x
x

2

F 1
F 1 1  ln x  F  x  F 1 1  ln x 
ln x
 0 ‫ و ﺣﯿﺚ أن‬ x  1,   :
‫ و‬xlim
 


 

x 
x
x
2  x 
x
x
4  x 
x

2

‫ ﻓﺈن‬lim

 F 1 1  ln x  2 
 F 1 1  ln x  2 
F  x
lim
 0 ‫ إذن‬lim 
 
 

   0 ‫ و‬xlim
   0
x 
x  
 
x
x
4
x
2
x
x



 




: ‫اﻟﺘﺄوﯾﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ‬
F  x
 0 ‫ و‬lim F  x    ‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬
x 
x
: ‫ و ﻟﺪﯾﻨﺎ‬ 0,  ‫ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬F ‫ إذن اﻟﺪاﻟﺔ‬0   0,  ‫ و‬ 0,  ‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬f ‫ اﻟﺪاﻟﺔ‬-‫(أ‬2

.  ‫ ﯾﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﯿﺎ ﻓﻲ اﺗﺠﺎه ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﯿﻞ ﺑﺠﻮار‬ C  ‫ إذن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬lim
x 

 x   0,   : F   x   f  x 
.  0,  ‫ ﻣﻦ‬x ‫ ﻟﻜﻞ‬f  x  ‫ ھﻲ إﺷﺎرة‬F   x  ‫ إذن إﺷﺎرة‬F   x   f  x  : ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬ 0,  ‫ ﻣﻦ‬x ‫ ﻟﻜﻞ‬-‫ب‬
‫ إذن‬ x   0,1 : f  x   0 ‫ و‬ x  1,   : f  x   0 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫(ب‬1 ( I ‫ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال‬

 0,1 ‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬

F ‫و ﻣﻨﮫ ﻓﺈن‬

 x  0,1 : F   x   0 ‫ و‬ x  1,   : F   x   0
. 1,  ‫و ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬

 t  0,   : t ln t  1e

: ‫ ﻧﺒﯿﻦ أن‬-‫( أ‬1 ( III

  t   t ln t : ‫ ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ‬0,  ‫ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ‬

: ‫ و ﻟﺪﯾﻨﺎ‬0,  ‫ ﻛﺠﺪاء داﻟﺘﯿﻦ ﻗﺎﺑﻠﺘﯿﻦ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬0,  ‫ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬

 t  0,  

   t    t  ln t   t  ln t    ln t  1

: ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬0,  ‫ ﻣﻦ‬t ‫ﻟﻜﻞ‬
  t   0  0  t 
  t   0  t 

1
e

1
e

‫و‬

1
1
‫ ﺗﻘﺒﻞ ﻗﯿﻤﺔ ﻗﺼﻮى ﻣﻄﻠﻘﺔ ﻓﻲ‬ ‫ إذن اﻟﺪاﻟﺔ‬ ,   ‫ و ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬ 0,  ‫ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫إذن اﻟﺪاﻟﺔ‬
e

 e
1 1 1
1
1
1
     ln    ‫ وﻟﺪﯾﻨﺎ‬ t  0,   :  t      : ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ و ﻣﻨﮫ ﻓﺈن‬
e e e
e
e
e
1
1
.  t  0,   :  t ln t  ‫ و ھﺬا ﯾﻌﻨﻲ أن‬ t  0,   :  t   ‫إذن‬
e
e

‫ب‪ -‬ﻧﺒﯿﻦ أن ‪:‬‬

‫‪ t  0,   : f  t   1e‬‬

‫ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ ﻓﺼﻞ اﻟﺤﺎﻻت ‪:‬‬
‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ t‬ﻋﺪدا ﺣﻘﯿﻘﯿﺎ ﻣﻮﺟﺒﺎ ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫*إذا ﻛﺎن ‪ t  0‬ﻓﺈن‬
‫‪e‬‬
‫‪t ln t‬‬
‫‪f t  ‬‬
‫* إذا ﻛﺎن ‪ t  0‬ﻓﺈن‬
‫‪1 t2‬‬
‫‪f t   0 ‬‬

‫ﻓﻲ ھﺬه اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ ‪ ،‬ﻧﺪرس ﺣﺎﻟﺘﯿﻦ ‪:‬‬
‫‬‫‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ t  1‬ﻓﺈن ‪ f  t  0‬إذن‬
‫‪e‬‬
‫و ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ 0  t  1‬ﻓﺈن ‪t ln t  0‬‬

‫‪f t  ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال اﻟﺴﺎﺑﻖ ﺳﯿﻜﻮن ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪ ( 1 ) 0  t ln t  :‬و ﺑﻤﺎ أن ‪ 1  t 2  1‬ﻓﺈن ‪ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 t‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t ln t 1‬‬
‫‪ 0 ‬أي ‪0  f  t  ‬‬
‫و ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻌﻼﻗﺘﯿﻦ ) ‪ ( 1‬و ) ‪ ( 2‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1 t2 e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.  t  0,   : f  t  ‬‬
‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ج‪ -‬ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪  t  0,   : f  t  ‬و ﺑﻤﺎ أن اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ ‪ f‬و ‪ t ‬ﻣﺘﺼﻠﺘﺎن ﻋﻠﻰ ‪  0, ‬ﻓﺈن‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬

‫) ‪( 2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 ‬‬
‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪  0, ‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪  f  t dt   dt :‬و ﻧﻌﻠﻢ أن ‪dt   t  ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ e 0 e‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫و ﺑﻤﺎ أن ‪ e  1‬ﻓﺈن ‪  1‬إذن ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ 0, ‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪ x :‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪.  x  0,   :F  x   x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬
‫إذن‬
‫‪e‬‬

‫‪f  t dt ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ x   0,  ‬‬

‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ ‪  un n0‬اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ اﻟﻌﺪدﯾﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ ‪ u0  0,1 :‬و ‪ un1  F  un ‬ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ ‪. ‬‬
‫أ‪ -‬ﻧﺒﯿﻦ أن ‪ n    : un  0,1 :‬‬
‫ﺳﻨﺒﯿﻦ ذﻟﻚ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ‬
‫ ﻣﻦ أﺟﻞ ‪ n  0‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪ u0  0,1‬إذن اﻟﺨﺎﺻﯿﺔ ﺻﺤﯿﺤﺔ ﻣﻦ أﺟﻞ ‪. n  0‬‬‫ ﻟﯿﻜﻦ ‪ n  ‬ن ﻧﻔﺘﺮض أن ‪ un  0,1‬و ﻟﻨﺒﯿﻦ أن ‪. un1  0,1‬‬‫ﺣﺴﺐ اﻓﺘﺮاض اﻟﺘﺮﺟﻊ ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪ un  0,1‬و ﺑﻤﺎ أن ‪ F‬ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪  0,1‬ﻓﺈن‬
‫‪ F  un    F  0  , F 1 ‬أي ‪ un1   F  0  , F 1 ‬و ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪ F  0   0‬و ‪ F 1  1‬اﺳﺘﻨﺎدا إﻟﻰ اﻟﺴﺆال ‪III‬‬
‫(ج‪ -‬إذن ‪. un1  0,1‬‬
‫و ﻣﻨﮫ ﻓﺈﻧﮫ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺪأ اﻟﺘﺮﺟﻊ ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪.  n    : un  0,1 :‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﻤﺎ أن ‪  n    : un  0,1‬ﻓﺈن ‪  n    un  0, ‬إذن ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال ‪( III‬ج‪ -‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪ F  un   un‬ﻟﻜﻞ ‪n‬‬
‫ﻣﻦ ‪ ‬أي ‪ un1  un‬ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ ‪ ‬و ﻣﻨﮫ ﻓﺈن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ‪  un n0‬ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻗﻄﻌﺎ‪.‬‬
‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ‪  un n0‬ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ و ﻣﺼﻐﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد ‪ 0‬إذن ﻓﺈﻧﮭﺎ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ‪.‬‬‫ج‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ ‪ F‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪  0,1‬و ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪ F  0,1  0,1‬ﻷن‬
‫و ﺣﯿﺚ أن‬

‫‪ x   0,   : 0  x  1  F  0   F  x   F  1‬‬
‫‪ F  0   0‬و ‪ F  1  1‬ﻓﺈن ‪  x   0,1 : F  x   0,1‬ﻷن ‪ 0,1   0,1‬‬

‫و ﻟﺪﯾﻨﺎ ﻛﺬﻟﻚ ‪u0   0,1‬‬

‫ﺑﻤﺎ أن ‪  un n0‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﻓﺈن ﻧﮭﺎﯾﺘﮭﺎ ھﻲ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ F  x   x‬ﻓﻲ ‪.  0,1‬‬

‫و ﺣﯿﺚ أن ‪  x  0,   :F  x   x‬و ‪ F  0   0‬ﻓﺈن ‪ 0‬ھﻮ اﻟﺤﻞ اﻟﻮﺣﯿﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ F  x   x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ‪.  0,1‬‬
‫‪. nlim‬‬
‫و ﻣﻨﮫ ﻓﺈن ‪un  0‬‬
‫‪‬‬

‫ﺗﺼﺤﯿﺢ اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺨﺎﻣﺲ ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬

‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪g  x  2 e ; x  0‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﯾﺔ ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪  0, ‬ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ g  0‬‬
‫‪‬‬

‫‪ (1‬ﻧﺒﯿﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪.  0, ‬‬
‫‪1‬‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫‪x‬‬

‫‪ v : x  ‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪‬‬

‫) ﻷﻧﮭﺎ داﻟﺔ ﺟﺬرﯾﺔ ( و ﺑﺎﻟﺨﺼﻮص ﻋﻠﻰ ‪0, ‬‬
‫‪1‬‬

‫و ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪v  0,    ‬‬

‫‪‬‬

‫و اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x  e x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ‬إذن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x  e x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 0, ‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬
‫‪ 0, ‬ﻛﺠﺪاء داﻟﺘﯿﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ ‪. 0, ‬‬
‫ ﻟﻨﺪرس اﺗﺼﺎل ‪ g‬ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ ‪.0‬‬‫‪2‬‬

‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪ lim g  x   lim    e x  0 :‬ﻷن ‪ lim     ‬و ﺑﻤﺎ أن ‪ g  0   0‬ﻓﺈن ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ‬
‫‪x 0 ‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x 0 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪.0‬‬
‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪.  0, ‬‬
‫‪(2‬أ‪ -‬ﺑﻤﺎ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪  0, ‬و ‪ 0   0, ‬ﻓﺈن ‪ L‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ‪  0, ‬و ﻣﻨﮫ ﻓﺈن ‪L‬‬
‫ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪.  0, ‬‬
‫ب‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪ .  0, ‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ G‬داﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ل ‪ g‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪  0, ‬إذن‬

‫)‪ x  0,   : L( x)  G ( x)  G(0‬‬
‫‪  1x ‬‬
‫وﺑﻤﺎ أن ‪  x  0,   :  e   g  x ‬ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬

‫‪1‬‬
‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫‪ x  e‬داﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪ 0, ‬إذن‬

‫‪‬‬

‫‪  c     x  0,   : G ( x)  e x  c‬إذن ‪ lim G ( x)  c‬و ﺣﯿﺚ أن ‪ G‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ ‪ 0‬ﻓﺈن‬
‫‪x 0‬‬
‫‪‬‬

‫‪ lim G ( x)  G  0 ‬إذن ‪ G  0   c‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬
‫‪x 0‬‬

‫ج‪ -‬ﻟﻜﻞ ‪ x  0‬ﻟﺪﯾﻨﺎ‬

‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬

‫‪1‬‬
‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫‪ c  G (0)  e‬‬

‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬

‫‪ x  0,   : L( x)  e‬‬

‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬

‫‪ L  x   e‬إذن ‪ lim L  x   lim e  0‬و ﺑﻤﺎ أن ‪ L‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪  0, ‬ﻓﮭﻲ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ ‪ 0‬إذن ﻓﺈن ‪ lim L  x   L  0 ‬وﻣﻨﮫ ﻓﺈن ‪. L  0   0‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪‬‬

‫‪1 n 1  p ‬‬
‫‪ (3‬ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ ‪ ، ‬ﻧﻀﻊ ‪ g  ‬‬
‫‪n p 0  n ‬‬
‫‪1  0 n 1 ‬‬
‫‪1 0 ‬‬
‫‪p‬‬
‫‪sn ‬‬
‫‪g 0  p‬‬
‫‪‬‬
‫ﻧﻀﻊ ‪ x p  n‬ﻟﺪﯾﻨﺎ إذن ‪ x0  0‬و ‪ xn  1‬إذن ‪‬‬
‫‪n p 0 ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪sn ‬‬

‫‪1‬‬

‫ﺑﻤﺎ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪  0,1‬ﻓﺈن ‪  sn n1‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ و ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪lim sn   g  t  dt  L 1  e 1‬‬
‫‪0‬‬

‫‪n‬‬

‫ا‪-‬‬


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