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DSMars2010Sujet .pdf



Nom original: DSMars2010Sujet.pdf
Titre: Département Licence
Auteur: gillaizeau

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ANNEE : 2009/2010

UE : MEC 601

Date : 5 Mars 2010

Durée: 1h20
Contrôle de Structures III
Documents non autorisés

Département Licence

Épreuve proposée par C. Froustey et S. Raetz

Exercice 0
Sur 2 points : écriture lisible et présentation soignée.

Exercice 1 : (application du cours)
Soit AB une poutre de longueur L, encastrée en A et soumise en B à la force 
F = F y et au
moment de torsion M x = M x x .
On note : I le moment d'inertie de flexion, I0 le moment d'inertie de torsion, E le module d'Young
et G le module de Coulomb (torsion) de cette poutre.
La rotation de section droite en B a pour valeur : B =

2
LMx
FL
x 
z
G I0
2EI

Retrouver cette expression en utilisant :
1) les équations de Bresse,
2) un théorème énergétique.

Exercice 2 : utilisation des formules de BRESSE
Soit AB une poutre de longueur L, encastrée en A et soumise à la charge répartie
q
q  x  = −  L − x  y .

L

Cette poutre est de section S, de moment d'inertie de flexion I et de module d'Young E.
1/3

1) Déterminer le torseur de cohésion sur une section de coupure de centre G et de normale
orientée selon les abscisses croissantes. Montrer en particulier que
 G= − q  L−x 3 z
M
6L
NB : il est conseillé de faire une intégration par parties, sinon, il est rappelé que :
3
 L−x  = L3 −3 x L2 3 L x 2− x3

En utilisant les formules de BRESSE et en négligeant l'effet de l'effort tranchant,
2) Calculer la rotation de la section droite en B soit ωB .
3) Calculer la translation en B soit λB .

Exercice 3 : utilisation des théorèmes énergétiques
Soit AB une poutre de longueur L, bi-encastrée (en A et B) et soumise à la charge uniformément
répartie q = −q y .
Cette poutre est de section S, de moment d'inertie de flexion I et de module d'Young E.
L'objectif est de déterminer toutes les inconnues de liaison que l'on notera :
M A =M A z en A ; RB= X B xY B y et M B=M B z en B.

RA= X A x Y A y et

1) Appliquer le Principe Fondamental de la Statique à la poutre et déterminer son degré
d'hyperstaticité.
2) Déterminer le torseur de cohésion sur une section de coupure de centre G et de normale
orientée selon les abscisses croissantes. Montrer qu'il peut se mettre sous la forme :

R = X B x  [ Y B − q  L − x  ] y
2
[  cohesion ]G =

L

x

 G  = M B  Y B  L − x  − q
M
z
2

[

[

]

Il est demandé d'utiliser les théorèmes énergétiques, en négligeant l'effet de l'effort tranchant
3) Donner l'expression (sous forme d'intégrale) de l'énergie de déformation liée à l'effort
normal.
2/3

4) Traduire le fait que la translation en B suivant x est nulle. En déduire que

XB=0 .

5) Donner l'expression (sous forme d'intégrale) de l'énergie de déformation liée au moment
fléchissant.
6) Traduire le fait que la translation en B suivant

y est nulle.

7) Traduire le fait que la rotation en B est nulle.
8) Déduire des questions 6) et 7) que Y B =

qL
et
2

M B=−

qL2
.
12

9) Déterminer les actions de liaison en A.

Formulaire
Formules valables pour une poutre sur laquelle on progresse dans le sens des x croissants et dont :
A est le centre de la section droite initiale de normale x ; B le centre de la section droite
finale de normale x ; G le centre d'une section droite intermédiaire de normale x
Les éléments du torseur de cohésion en G sont :
M t : moment de torsion ;
N : effort normal ;
M fly et M flz : les moments fléchissants selon y et z respectivement.
Formules de Bresse, dans le cas où on néglige les effets de l'effort tranchant sur les déplacements :
B

B = 
A  ∫ 
d  pour la rotation

A

B

B


B = 
A  
A 
AB  ∫ 
d  ∫
d  
GB pour la translation
A

N
d=
dx x
avec 
E S

et

A


d=





Mt
M fly
M flz
x 
y 
z dx
G I Gx
E I Gy
E I Gz

Energie potentielle de déformation par unité de longueur dx, dans le cas où on néglige les
effets de l'effort tranchant sur l'énergie :
1
dW =
2





M t2
M fly 2
M flz 2
N2



dx
ES
G I Gx
E I Gy
E I Gz

E le module d'Young du matériau constituant la structure ;
E
G le module de Coulomb : G =
;
2 1
S la surface d'une section droite ; I Gx ; I Gy ; I Gz les moments d'inertie de la section droite par
rapport aux axes G , x  ; G , y  et G , z  respectivement

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