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Université Pierre et Marie Curie
Mémoire rédigé dans le cadre du Master 2 de Mathématiques
Fondamentales
Sous la direction de :
Gilles COURTOIS
Vincent MINERBE

Comportement en temps long du
noyau de la chaleur
David TEWODROSE

2014

Table des matières
1 Convergences au sens de Gromov-Hausdorff
1.1 Convergences d’espaces compacts . . . . . . . . . . . . .
1.2 Convergence d’espaces non compacts . . . . . . . . . . .
1.3 Convergence d’espaces mesurés . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Convergences de fonctions au sens de Gromov-Hausdorff

.
.
.
.

.
.
.
.

2 Propriétés des espaces limites
2.1 Premiers outils d’analyse dans les espaces métriques mesurés
2.1.1 Surgradients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Surgradients généralisés . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Propriétés des espaces limites de suites de variétés à courbure
de Ricci minorée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Différentielle et laplacien dans les espaces limites . . . . . . .
2.3.1 Linéarité asymptotique généralisée . . . . . . . . . .
2.3.2 Différentielle dans les espaces limites . . . . . . . . .
2.4 Laplacien dans les espaces limites . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

14
. 14
. 14
. 15
.
.
.
.
.

3 Convergence des noyaux de la chaleur au sens de GromovHausdorff
3.1 Premiers lemmes : reformulation de la convergence à établir .
3.2 Schéma de la preuve : comment majorer la quantité qui nous
intéresse ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Démonstration d’un théorème intermédiaire : principe de Harnack au sens de Gromov-Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . .

2

5
5
8
9
10

17
19
19
21
22

23
23
24
27

Introduction
Dans [Li86] , Peter Li a obtenu un contrôle des valeurs d’adhérence du
noyau de la chaleur d’une variété M à courbure de Ricci positive : pour tout
> 0, il existe C( ) > 0 telle que :
2 (x,y)
2 (x,y)
C( ) − d(4− )t
C( )−1 − d(4− )t
√ e
√ e
≤ lim H(x, y, t) ≤ lim H(x, y, t) ≤
t→+∞
V ( t)
V ( t)
t→+∞

En rajoutant une hypothèse, il a même réussi à obtenir un équivalent en
temps long de H(x, y, t) :
Si Vp (r) désigne le volume de la boule géodésique de rayon r centrée en
décroît
p ∈ M , par le théorème de Bishop-Gromov, la quantité positive Vpr(r)
k
quand r croît. Elle converge donc vers un réel positif, noté Θ(p). Ce réel est
en fait indépendant de p. On le note Θ, et on l’appelle rapport asymptotique
des volumes. Si Θ > 0, on dit que M est à croissance de volume maximale.
Le théorème de Li dit que si M est à croissance de volume maximale (en plus
d’être à courbure de Ricci positive), alors
n

ω(n)(4π)− 2

H(x, y, t) ∼
t→+∞
V ( t)

où ω(n) désigne le volume de la boule euclidienne de dimension n.
Mais l’hypothèse de croissance de volume maximale est assez restrictive.
Par exemple, les variétés scindées (c’est-à-dire de la forme Rk ×N où k < n et
N est compacte) ne sont pas à croissance de volume maximale. Pour s’affranchir de cette hypothèse, dans [Xu13], Guoyi Xu utilise la théorie de CheegerColding. Partant d’une variété riemanienne (M n , g) telle que Ric(M ) ≥ 0,
il définit une suite de variétés (Min , t1i g)i∈N où Mi = M pour tout i ∈ N et
ti → +∞. En procédant ainsi, on "voit la variété depuis un point de plus en
plus éloigné". La théorie de Cheeger-Colding nous permet de parler des valeurs d’adhérence de cette suite pour une certaine distance appelée distance
de Gromov-Hausdorff. Ces valeurs d’adhérence sont des espaces métriques
qui ont de bonnes propriétés, c’est-à-dire des propriétés qui permettent de
définir une équation de la chaleur et un noyau de la chaleur. L’idée principale
de Xu est de définir et d’étudier la convergence des noyaux de la chaleur des
Mi vers les noyaux de la chaleur définis dans les espaces limites.
Son théorème est le suivant :
3

Théorème 1. Si (Mi , yi , t1i g, νi )i converge au sens Gromov-Hausdorff mesuré
vers (M∞ , y∞ , ρ∞ , ν∞ ) et si n ≥ 3, alors
H(x, y, ti ) ∼

i→+∞

p∞ (y∞ , y∞ , 1)

V ( ti )

où p∞ désigne le noyau de la chaleur dans (M∞ , y∞ , ρ∞ , ν∞ ).
Dans le chapitre 1 est donnée la notion de convergence Gromov-Hausdorff
mesurée, en plus de toutes les notions de convergence Gromov-Hausdorff
utiles pour la suite. Le chapitre 2 étudie les proriétés des espaces limites
(M∞ , y∞ , ρ∞ , ν∞ ) et donne les outils qui y permettent de faire de l’analyse.
Enfin le chapitre 3 donne une idée de la preuve du théorème 1.

4

Chapitre 1
Convergences au sens de
Gromov-Hausdorff
1.1

Convergences d’espaces compacts

Soit EM C l’ensemble des espaces métriques compacts.
Définition 1. Soit ASune partie fermée d’un espace métrique X. L’ -voisinage
de A est l’ensemble A := {x ∈ X : dX (x, A) < }.
Définition 2. Soit (X, d) ∈ EM C. On définit la distance de Haussdorf
sur
S l’ensemble des
S fermés de X ainsi : dH,X (A, B) := inf{ > 0 : A ⊂
et B ⊂ A}.
B
Définition 3. Sur EM C on définit la distance de Gromov-Haussdorf
comme suit : dGH (X, Y ) = inf{dH,Z (i(X), j(Y ))} (l’infimum étant d’abord
pris sur tous les Z tels qu’il existe des plongements isométriques i : X → Z
et j : Y → Z et ensuite sur tous ces plongements i et j possibles).
Cette première définition étant difficilement utilisable en pratique, on lui
préfère la définition équivalente suivante
`
Définition 4. Notons dAdm(X, Y ) l’ensemble des distances δ de X Y
telles que δ|X = dX et δ|Y = dY . Alors dGH (X, Y ) = inf{δH (X, Y ) : δ ∈
dAdm(X, Y )}.

5

Proposition 1. dGH est symétrique et vérifie l’inégalité triangulaire
Démonstration. La symétrie est immédiate d’après la seconde définiton.
Pour l’inégalité triangulaire, si X, Y, Z ∈ EM C, on prend δ1 ∈ dAdm(X, Z)
et δ2 ∈ dAdm(Z, Y ), et on pose δ3 (x, y) = δ3 (y, x) := infz∈Z [δ1 (x, z) +
δ2 (z, y)] (et δ3 |X = dX , δ3 |Y = dY , de sorte que δ3 ∈ dAdm(X, Y )). δ3 est
clairement une distance (il suffit de montrer l’inégalité triangulaire qui découle directement de celles de δ1 et δ2 ). Ensuite par définition dGH (X, Y ) ≤
δ3 (X, Y ), et il s’agit alors de montrer que δ3 (X, Y ) ≤ δ1 (X, Z) + δ2 (Z, Y )
1
(puis en passant
Soient S
1 > 0
S correctement
S aux inf , on obtient le résultat).
S
tel que X ⊂ 1 Z et Z ⊂ S 1 X, et 2 > 0 S
tel que Z ⊂ 2 Y et Y ⊂ 2 Z.
Montrons alors que Y ⊂ 1 + 2 X (X ⊂ 1 + 2 )Y se fait de même). Soit
y ∈ Y . Alors il existe z ∈ Z tel que d(y, z) < 2 . Et il existe x ∈ X tel
que d(x, z) < 1 . Donc
S d(x, y) < 1 + 2 par inégalité triangulaire, d’où
d(X, y) < 1 + 2 : y ∈ 1 + 2 X. Ainsi δ3 (X, Y ) ≤ 1 + 2 , et en passant aux
inf convenablement, on obtient bien δ3 (X, Y ) ≤ δ1 (X, Z) + δ2 (Z, Y ).
dGH ne définit pas une distance directement sur EM C, mais sur les classes
d’isométrie d’EM C. On va définir quelques objets avant de montrer ce résultat :
Définition 5. Soit > 0. On dit que f : X → Y (non nécessairement
continue) est une -isométrie si :
1. pour tout (x, x0 ) ∈ X 2 , |dX (x, x0 ) − dY (f (x), f (x0 ))| ≤
S
2. f (X) = Y
On a alors la caractérisation suivante :
Proposition 2.
1. Si dGH (X, Y ) < , alors il existe une 2 -isométrie
entre X et Y .
2. S’il existe une -isométrie entre X et Y , alors dGH (X, Y ) < 2 .
1. dGH (X, Y ) ≤ δ3 (X, Y ) ≤ δ1 (X, Z) + δ2 (Z, Y ), donc dGH (X, Y ) − δ1 (X, Z) ≤
δ2 (Z, Y ), et ceci est vrai pour tout δ2 ∈ dAdm(Z, Y ) donc c’est vrai pour l’inf :
dGH (X, Y ) − δ1 (X, Z) ≤ dGH (Y, Z). Puis de même, dGH (X, Y ) − dGH (Y, Z) ≤ δ1 (X, Z)
pour tout δ1 ∈ dAdm(X, Z), et on obtient l’inégalité voulue. Dans la suite, à chaque fois
qu’on parlera de passer convenablement aux inf, c’est de cette petite manipulation dont
on voudra parler.

6

GH

3. (Xn , dn ) −−→ (X, d) si et seulement s’il existe une suite ( n )n de réels
strictement positifs tendant vers 0 et une suite d’ n -isométries fn :
Xn → X, ( n )n .
¯ dénote son complété, dGH (X, X)
¯ =
Corollaire 1.1.0.1. Si X ∈ EM C et que X
0.
¯ il existe (xn )n ⊂ X telle que pour tout
Démonstration. Pour tout x ∈ X,
1
¯ → xn ∈ X est une
n ∈ N, d(xn , x) < n . Alors pour chaque n, fn : x ∈ X
4
2
¯ X) < pour tout n, d’où le résultat.
-isométrie, donc par 2., dGH (X,
n
n
On peut donc restreindre notre étude à l’ensemble des espaces métriques
compacts complets.
Etudions maintenant la propriété de séparation de dGH :
Proposition 3. dGH (X, Y ) = 0 si et seulement si X et Y sont isométriques.
Démonstration. Si dGH (X, Y ) = 0, alors il existe une suite (fn )n d’ n1 -isométries
entre X et Y . X étant compact, X est séparable : il existe une partie dénombrable dense S ∈ X. Quitte à faire une extraction diagonale, on peut
supposer que (fn |S )n converge simplement vers une fonction f : S → Y . La
condition |dY (fn (x), fn (x0 )) − dX (x, x0 )| ≤ n1 devient à la limite une condition
d’isométrie, donc f est une isométrie, en particulier elle est 1-lipschitzienne,
et comme Y peut-être supposé complet, on peut prolonger f en une application continue f¯ qui reste une isométrie. La condition d’isométrie impliquant l’injectivité, pour que X et Y soient isométriques il ne nous reste
plus qu’à montrer que f est surjective. Soit y ∈ Y . Pour tout n ∈ N, fn
étant une n1 -isométrie, il existe une suite (xn )n ⊂ X telle que pour tout
n ∈ N, d(fn (xn ), y) ≤ n1 . X étant compact, quitte à en extraire une soussuite on peut supposer que (xn )n converge vers une certaine valeur a. Mais
alors f (a) = lim fn (a) = lim fn (xn ) = y.
n→+∞

n→+∞

On a donc établi le
Théorème 2. L’ensemble des classes d’isométries de EM C muni de dGH
est un espace métrique.
Définition 6. S ⊂ X est un -réseau si pour tout x ∈ X, dX (x, S) < .
Par exemple Zn est un



n
-réseau
2

de (Rn , deucl ).
7

Définition 7. X et Y sont des ( , δ)-approximations l’un de l’autre s’il
existe des -réseaux de même taille (xi )i=1..N ⊂ X et (yi )i=1..N ⊂ Y tels que
pour tout (i, j), |dX (xi , xj )−dY (yi , yj )| < δ. Si = δ, on parle plus simplement
d’ -approximations.
Proposition 4.
1. Si X et Y sont des ( , δ)-approximations l’un de l’autre,
alors dGH (X, Y ) ≤ 4 + 2δ.
2. Si dGH (X, Y ) < , alors X etY sont des 5-approximations.
Démonstration.
1. Si dGH (X, Y ) < , il existe une 2 -isométrie f : X →
Y . Soit (xi )i=1..N un -réseau de X, on pose (yi := f (xi ))i=1..N . Soit
y ∈ Y . Alors il existe un certain f (x) à distance inférieure ou égale à
2 de y. Il existe xi tel que dX (x, xi ) ≤ , donc d(y, yi ) ≤ d(y, f (x)) +
d(f (x), f (xi ) ≤ 2 + 2 + d(x, xi ) ≤ 5 . Donc (yi )i=1..N est un 5 -réseau.
Et par propriété de f , |dY (yi , yj ) − dX (xi , xj )| ≤ 2 .
GH

Ainsi : (Xn , dn ) −−→ (X, d) si et seulement s’il existe des réseaux Sn de Xn
GH
et S de X tous de même cardinal tels que (Sn , dn ) −−→ (S, d). On réduit ainsi
une lourde convergence d’espaces métriques compacts à une simple convergence "combinatoire". Cette manière de voir permet d’établir le théorème de
précompacité 2 de Gromov :
Théorème 3. ([Gro81]) Soit M(n, k, D) l’ensemble des variétés riemanniennes de dimension n, de diamètre inférieur à D, et de courbure de Ricci
minorée par (n − 1)k. Pour toute suite (Mi )i∈N ⊂ M(n, k, D), il existe une
sous-suite (Mφ(i) )i qui converge vers un espace métrique.
Remarque 1. Il est équivalent de dire : la partie M(n, k, D) est précompacte dans l’ensemble des classes d’isométries d’espaces métriques compactes
complets.

1.2

Convergence d’espaces non compacts

Pour parler de convergence d’espaces non-compacts, on se ramène au cas
compact en considérant des convergences de boules (qui, elles, sont compactes).
2. A ⊂ X est précompact si pour tout > 0, il exite un nombre fini de boules de rayon
recouvrant A

8

Définition 8. Un espace métrique pointé (X, d, p) est la donnée d’un espace métrique (X, d) et d’un point p ∈ X.
Définition 9. On dit que la suite d’espaces métriques pointés (Xn , dn , pn )n
converge au sens de Gromov-Hausdorff pointé vers (X, d, p) si pour
tout > 0, pour tout R > 0, il existe un rang N ∈ N tel que pour tout
n ≥ N , il existe f : B Xn (pn , R) → X telle que :
1. f (pn ) = p
2. pour tout x, x0 ∈ B Xn (pn , R), |d(f (x), f (x0 ) − dn (x, x0 )| <
S
3. B X (p, R − ) ⊂ f (B Xn (pn , R))
Dans [BBI01], l’analogue est fait entre cette convergence et la convergence
uniforme sur tout compact pour des fonctions définies sur un espace noncompact. L’idée est effectivement un peu similiaire, sauf qu’au lieu de faire
converger des fonctions sur un compact donné, on fait converger des morceaux
de variétés sur des boules de rayon donné.

1.3

Convergence d’espaces mesurés

Définition 10. On dit que (Mi , yi , ρi , νi ) converge au sens Gromov-Hausdorff
dGH
mesuré vers (M∞ , y∞ , ρ∞ , ν∞ ) si (Mi , yi , ρi ) −−
→ (M∞ , y∞ , ρ∞ ) et si pour
tout r > 0, pour tout xi → x (où x ∈ M∞ et pour tout i, xi ∈ Mi ),
νi (Bρi (xi , r)) → ν∞ (B∞ (x, r))
Cette définition est dûe à Cheeger, qui l’a introduite dans [Che99]. Une
autre définition équivalente provient de [Fuk87] et utilise la notion d’approximations mesurées :
Définition 11. Soit (Xi , di , νi )i une suite d’espaces métriques mesurés et
(X∞ , d∞ , ν∞ ) un autre espace métrique mesuré. Soit {ϕi : D(ϕi ) → X∞ }i
une suite d’applications mesurables telles que pour chaque i, D(ϕi ) soit un
borélien de Xi . On dit que les ϕi sont des approximations mesurées si pour
toute fonction f ∈ Cc0 (X∞ ) (fonction continue à support compact définie sur
X∞ ),
ˆ
ˆ
f ◦ ϕi dνi =

lim

i→∞

D(ϕ)

f dν∞
M∞

9

Remarque Autrement dit, les ϕi sont des approximations mesurées s’il y
a convergence faible-∗ des mesures images (ϕi )∗ νi vers ν∞ .
Définition 12. Si les applications ϕi : (D)(ϕi ) ⊂ X → Y sont à la fois des
approximations mesurées et des i -approximations pour i → 0, on dit que ce
sont des i -approximations mesurées.
Définition 13. (Mi , yi , ρi , νi ) converge au sens Gromov-Hausdorff mesuré
vers (M∞ , y∞ , ρ∞ , ν∞ ) si et seulement s’il existe des i -approximations mesurées ϕi : (D)(ϕi ) ⊂ X → Y , i → 0, telles que pour tout i, ϕi (yi ) = y∞ .
Cette définition de convergence GH mesurée nous permet de démontrer
dans la section suivante un théorème de Rellich au sens de Gromov-Hausdorff.

1.4

Convergences de fonctions au sens de GromovHausdorff
d

GH
→ M∞ , fi : Mi → R et f∞ : M∞ → R. On
Définition 14. Soient Min −−
dit que fi converge simplement vers f∞ si pour tout x∞ ∈ M∞ , pour tout
xi → x∞ , fi (xi ) → f∞ (x∞ ).

d

GH
Définition 15. Soient Ki ∈ Min et K∞ ∈ M∞ des compacts tels que Ki −−

K∞ . Soient φi : K∞ → Ki des i -approximations, i → 0. Soient pour chaque
i une fonction fi sur Mi et f∞ une fonction sur M∞ . On dit que fi → f∞
dGH
uniformément sur Ki −−
→ K∞ si la suite fi ◦ φi converge uniformément vers
f∞ sur K∞ .

Définition 16. Soient pour chaque i une fonction fi sur Mi et f∞ une
dGH
fonction sur M∞ . Soient U ⊂ M∞ , Ui −−
→ U et ϕi : Ui → U des i approximations mesurées, i → 0. On dit que fi → f∞ converge au sens Lp
(k)
sur U s’il existe une suite f∞ ∈ Cc (U ) telle que :
ˆ
(k)
lim
|f∞
− f∞ |p dν∞ = 0
k→∞

U

ˆ

(k)
|fi − f∞
◦ ϕi |p dνi = 0

lim lim

k→∞ i→∞

Ui

Dans la suite on parlera de convergence Lp -GH pour abréger.
10

Remarque La seconde condition est celle que l’on poserait naturellement
si l’on voulait définir une convergence Lp -GH. Mais elle n’a de sens que si la
fonction limite est continue. Rien ne nous empêche d’imaginer une suite d’ i approximations ϕi telle que des fonctions continues convergent vers une fonction qui n’est plus continue. C’est pour cela que l’on passe par la première
condition : une approximation Lp de la limite par des fonctions continues à
support compact.
La définition de convergence L2 ci-dessus vient avec un théorème de Rellich au sens de Gromov-Hausdorff. Pour rappel, le théorème de Rellich classique stipule que pour un ouvert U de Rn l’injection H 1 (U ) ,→ L2 (U ) est
compacte. Autrement dit, de toute suite de fonctions ui ∈ H 1 (U ) bornée en
norme H 1 , on peut extraire une sous-suite qui converge pour la norme L2
vers une fonction L2 . Au sens de Gromov-Hausdorff, chaque ui est définie sur
Mi :
Théorème 4. ([Xu13] Soient Bi (xi , r) ⊂ (Mi , yi , ρi , νi ) et B∞ (x∞ , r) ⊂
dGH
(M∞ , y∞ , ρ∞ , ν∞ ) telles que Bi (xi , r) −−
→ B∞ (x∞ , r). Pour chaque i, soit
ui une fonction définie sur Mi . On suppose qu’il existe une constante N > 0
telle que
ˆ

|ui |2 + |∇ui |2 dνi ≤ N
Bi (xi ,r)

Alors il existe une sous-suite (uϕi )i de (ui )i convergent au sens L2 -GH sur
tout compact K∞ inclus dans l’intérieur de B∞ (x∞ , r) vers une application
u∞ ∈ L2 (B∞ (x∞ , r)).
La démonstration de ce théorème se fait en plusieurs étapes. Il s’agit de
construire des uk∞ convergent dans L2 (K∞ ) et tels que
ˆ
p
|ui − u(k)
lim lim
∞ ◦ ϕi | dνi = 0
k→∞ i→∞

Bi (xi ,r)

pour toute i -approximation mesurée (ϕi )i , i → 0.
Etape 1 On considère des i -approximations φi : B∞ (x∞ , r) → Bi (xi , r).
A partir d’un certain rang, Ki := φi (K∞ ) est inclus dans Bi (xi , r). Soit (rj )j
une suite décroissante de nombres réels positifs telle que rj → 0. Pour chaque
i, j, on effectue un remplissage maximal de Ki par des boules disjointes de
11

rayon rj . Le cardinal de ce remplissage sera noté Nji , et les centres des boules
i
du remplissage seront notées (zjk
)k=1...Nji .
i
Montrons que le cardinal Nj est uniformément majoré. Par le théorème
de Bishop-Gromov,
i
i
νi (Bi (zjk
), rj ) ≥ C(rj , r, n) · νi (Bi (zjk
, rj + 2r)) ≥ C(rj , r, n)νi (Bi (xi , r))

PNji
i
νi (Bi (zjk
, rj )) ≤ νi (Bi (xi , r),
Ainsi Nji · C(rj , r, n) · νi (Bi (xi , r)) ≤ k=1
i
ce qui donne Nj ≤ C(rj , r, n) en modifiant convenablement C(rj , r, n).
i
), 2rj ))k
Par maximalité du remplissage, les boules de rayon double (Bi (zjk
recouvrent entièrement Ki . On en déduit une partition de Ki par des eni
i
, · · · , SjN
sembles Sj1
i construits par récurrence :
J

i
i
i
i
i
Sj1
= Ki ∩ Bi (zj1
, 2rj ), Sj2
= Ki ∩ Bi (zj2
, 2rj )\Sj1
,··· ,


[
i
S i i = Ki ∩ Bi (z i i , 2rj )\
Bi (zjk
, 2rj )
jNj

jNj

k=1,...,Nji −1

et on définit grâce à cette partition une application uij : Ki → R constante
i

par morceaux égale à uijk sur chaque Sjk
ˆ
1
i
ujk =
ui dνi
i
i ,2r )
νi (Bi (zjk
, 2rj )) Bi (zjk
j
ˆ

Lemme 1.

|ui − uij |2 dνi

lim lim

j→∞ i→∞

Ki

Démonstration.
ˆ

j ˆ
X

Ni

|ui − uij |2 =
Ki

k=1

i
Sjk

|ui − uijk |2

j ˆ
X

Ni



k=1

|ui − uijk |2

i ,2r )
Bi (zjk
j

ˆ

Ni



j
X

2

|∇ui |2

C(n)(2rj )

i ,4r )
Bi (zjk
j

k=1

12

en utilisant l’inégalité de Poincaré.
i
Soit y ∈ Bi (xi , r). On note ηj (y) le nombre de boules Bi (zjk
, 4rj ) contenant y. Puis on pose Cji = max y ∈ Bi (xi , r)ηj (y). Alors
ˆ

Ni

j
X

k=1

ˆ

2

2

|∇ui | ≤

C(n)(2rj )

i ,4r )
Bi (zjk
j

Cji C(n)

|∇ui |2 ≤ 4Cji C(n)N rj2
Bi (xi ,r)

Si
Cji par une constante C 0 indépendante de i etj, on obtient
´ on peutimajorer
|ui − uj |2 ≤ 4N C(n)C 0 rj2 , ce qui permet de conclure la preuve du lemme.
Ki
Majorons donc.
Tηj (y)
Comme y ∈ l=1
Bi (zjli , 4rj ) alors Bi (y, 5rj ) contient toutes les boules
(Bi (zjli , 4rj ))l=1..ηj (y) . Comme ces boules sont disjointes,
ηj (y)

X

νi (Bi (zjli , rj )) ≤ νi (Bi (y, 5rj ))

l=1

Par inégalité triangulaire, Bi (y, 5rj ) ⊂ Bi (zjli , 9rj ), puis par le théorème de
Bishop-Gromov, νi (Bi (zjli , 9rj ) ≤ C 0 (n)νi (Bi (zjli , rj ). De la même manière
que pour la majoration de Nji , on en déduit ηj (y) ≤ C 0 (n), d’où Cji ≤ C 0 (n).
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, la propriété de doublement, et le théorème de Bishop-Gromov, et pour un i assez grand :
!1/2
ˆ
1
u2i
uijk ≤ q
i ,2r )
i
B
(z
i jk
j
νi (Bi (zjk , 2rj ))

1/2
rj + r
N
≤ p
rj
νi (Bi (xi , r))

1/2
N
rj + r
≤ p
=: C0 (r, N, j, n)
rj
ν∞ (B∞ (x∞ , r)) + 1
Considérons des i -approximations mesurées ϕi : Bi (xi , r) → B∞ (x∞ , r),
i
i → 0. Pour chaque j, les suites (ϕi (zjk
))i , (Nji )i et (uijk )i prennent leurs valeurs dans des compacts (respectivement B∞ (x∞ , r), [0, C(rj , r, n)] et [0, C0 (r, N, j, n)]),
donc quitte à extraire des sous-suites on peut supposer que les trois suites
convergent, et on note zjk , Nj et ujk leurs limites respectives.
13

Chapitre 2
Propriétés des espaces limites
Cette partie provient essentiellement de [Che99].

2.1

Premiers outils d’analyse dans les espaces
métriques mesurés

Soit (X, d, m) un espace métrique muni d’une mesure de Borel régulière.

2.1.1

Surgradients

Définition 17. Soit f : X → R ∩ {+∞}. On dit que g : X → [0, +∞] est
un surgradient de f si pour toute courbe continue et rectifiable γ : [0, l] → X
paramétrée par la longueur d’arc
ˆ l
|f (γ(l)) − f (γ(0))| ≤
g(γ(s))ds
0

Remarque Si X = Rn , f est une application lisse et γ est une courbe lisse
alors :
ˆ l
ˆ l


0
|f (γ(l)) − f (γ(0))| = (f ◦ γ) (s)ds ≤
|(f ◦ γ)0 (s)|ds
0
0
ˆ l
ˆ l
=
|dγ(s) f (γ 0 (s))| ≤
|∇f (γ(s))| · |γ 0 (s)|ds
0

0

14

Mais |γ 0 | ≡ 1 car γ est paramétrée par la longueur d’arc. Comme dans
Rn toute courbe continue peut être approchée par des courbes lisses, on en
déduit que |∇f | est un surgradient de f . En fait, la notion de surgradient est
une généralisation de la notion de module de gradient pour des applications
définies sur des espaces qui n’admettent pas de structure différentiable (donc
sur lesquels on ne peut pas parler de gradient).
Proposition 5. Si g1 et g2 sont des surgradients respectifs de f1 et f2 , alors
pour tout réels a, b, |a|g1 + |b|g2 est un surgradient de af1 + bf2 .
Démonstration. Soit γ : [0, l] → X une courbe continue, rectifiable et paramétrée par la longueur d’arc. Alors :
|(af1 + bf2 )(γ(l)) − (af1 + bf2 )(γ(0))| ≤ |a||f1 (γ(l)) − f1 (γ(0))|
+|b||f2 (γ(l)) − f2 (γ(0))|
ˆ l
ˆ l
g2 (s)ds
g1 (s)ds + |b|
≤ |a|
0
0
ˆ l

(|a|g1 + |b|g2 )(s)ds
0

2.1.2

Surgradients généralisés

Soit U un ouvert de X.
Définition 18. Soit f ∈ Lp (U ). On définit
|f |1,p = |f |Lp + inf lim inf |gi |Lp
i→+∞

où l’infimum est pris sur l’ensemble G des suites (gi )i telles qu’il existe une
Lp
suite (fi )i vérifiant fi −→ f et pour tout i, gi est un surgradient de fi .
Définition 19. On définit l’espace de Sobolev H 1,p (U ) ainsi :
H 1,p (U ) = {f ∈ Lp : |f |1,p < +∞}
Proposition 6. L’espace H 1,p est complet.

15

Définition 20.SSoient Kη (U ) = {f ∈ H 1,p (U ) : suppf ⊂ U etd(suppf, ∂U ) ≥
η} et K(U ) = η>0 Kη (U ). On définit H01,p (U ) comme étant le complété de
K(U ) par rapport à la norme |.|1,p .
Définition 21. Soit f ∈ Lp (U ). On dit que g ∈ Lp (U ) est un surgradient
Lp
généralisé de f s’il existe une suite (fi )i et une suite (gi )i telle que fi −→ f ,
Lp
gi −→ g, et pour chaque i, gi est un surgradient de fi .
Lemme 2. L’ensemble des surgradients généralisés d’une fonction f ∈ Lp (U )
est un ensemble convexe et fermé de Lp (U ).
Démonstration. Pour la convexité, soient g et h deux surgradients généralisés
de f et t ∈ [0, 1]. Par définition, il existe des suites (f1,i )i , (f2,i )i et (gi )i , (hi )i
Lp
Lp
Lp
telles que f1,i , f2,i −→ f , gi −→ g, hi −→ h, et pour chaque i, gi est un
surgradient de f1,i et hi est un surgradient de f2,i . D’après la proposition ? ? ?,
pour chaque i, tgi + (1 − t)hi est un surgradient de tf1,i + (1 − t)f2,i . De plus,
Lp

tgi + (1 − t)hi −→ tg + (1 − t)h
Lp

f1,i + (1 − t)f2,i −→ tf + (1 − t)f = f
Donc tg + (1 − t)h est un surgradient généralisé de f .
Pour la fermeture, soit (gj )j une suite de surgradients généralisés de f
convergeant au sens Lp vers une fonction g. Pour chaque j, gj étant un
surgradient généralisé de f , il existe une suite (fi,j )i et une suite (gi,j )i telle
que
Lp
fi,j −−−−→ f
i → +∞
Lp

gi,j −−−−→ gj
i → +∞

Lp

(−−−−−→ g)
j → +∞

et pour chaque i, gi,j est un surgradient de fi,j . Alors par extraction diagonale,
Lp
Lp
on produit à partir de (fi,j )i,j et (gi,j )i,j des suites gk −→ g et fk −→ f telles
que pour chaque k, gk est un surgradient de fk , ce qui prouve que g est un
surgradient généralisé de f .
Si l’ensemble des surgradients généralisés de f est non vide, f possède un
surgradient minimal en norme Lp , noté gf .
Si f admet un surgradient généralisé, par définition de la norme |.|1,p ,
|f |1,p ≤ |f |Lp + |g|Lp < +∞, autrement dit f ∈ H 1,p (U ). La réciproque est
vraie :
16

Théorème 5. f ∈ Lp (U ) admet un surgradient généralisé minimal en norme
Lp si et seulement si f ∈ H 1,p (U )
Démonstration. On indexe l’ensemble
G par un indice j. Alors il existe une

suite (hi,j )j telle que inf
lim |gi |Lp = lim |hi,j |Lp et telle que pour
chaque j, il existe

(gi )i ∈G i→+∞
d
fi,j −−−GH
−−→ f telle
j → +∞

j→+∞

que pour chaque i, hi,j soit un sur-

˜ k telle que
gradient de fi,j . Alors par extraction diagonale on peut obtenir h
p
L
˜ k |Lp = |f |1,p − |f |Lp et fk −
˜ k soit
lim |h
→ f telle que pour chaque k, h

k→+∞

un surgradient de fk . Mais par propriété de Lp , il existe g ∈ Lp (U ) telle
Lp
˜k −
que h
→ g. Par construction, g est bien un surgradient généralisé de f , et
comme |f |1,p = |f |Lp + |g|Lp , g est de norme Lp minimale.

2.2

Propriétés des espaces limites de suites de
variétés à courbure de Ricci minorée

Par précompacité de Gromov, toute suite de variétés riemanniennes à
courbure de Ricci positive admet une sous-suite qui converge vers un espace
limite qui est un espace métrique. On aimerait savoir comment se comporte
le noyau de la chaleur à travers cette convergence. Pour cela il est nécessaire
de définir correctement une équation de la chaleur dans les espaces limites,
et notamment il est nécessaire de définir un laplacien. Dans un espace métrique mesuré quelconque, la tâche s’avère ardue, car on manque de structure
pour pouvoir parler de différentiabilité. Mais les espaces limites qui nous intéressent ne sont pas des espaces métriques mesurés quelconques. Ils conservent
deux propriétés vérifiées par les variétés riemanniennes à courbure de Ricci
positive : le doublement et une inégalité de Poincaré.
Soit (X, d, m) un espace métrique mesuré.
On note (D) la propriété de doublement définie ainsi :
il existe une constante κ, appelée constante de doublement, telle que pour
toute boule B(x, 2r),
m(B(x, 2r)) ≤ 2κ m(B(x, r))

17

et (IP) l’inégalité de Poincaré :
ˆ
ˆ
2
2
|f − fx,r | dm ≤ Cr
B(x,r)

|gf |2 dm

B(x,2r)

où C est une constante qui ne dépend que de la dimension - dimension
d’Hausdorff de X qui coïncide avec la dimension usuelle dans le cas d’une
variété riemannienne - , gf est un surgradient généralisé minimal de f et fx,r
désigne la valeur moyenne de f sur la boule de centre x et de rayon r :
ˆ
1
f
fx,r =
m(B(x, r)) B(x,r)
Proposition 7. D et (IP) sont vraies sur M
Démonstration. (i) On utilise le théorème de comparaison de Bishop-Gromov :
V ol(B(x, r))
V ol(B(x, 2r)

. Comme Veucl (r) = 2n Veucl (1), on obtient le réVeucl (r)
Veucl (2r)
sultat avec κ = n.
(ii) Admis pour le moment. Utilise de façon cruciale l’inégalité du segment.
Proposition 8. Soit (Mi , yi , ρi ) une suite de variétés riemanniennes à courbure de Ricci positive convergeant vers un espace métrique (M∞ , y∞ , ρ∞ ).
Alors D et (IP) sont vraies sur M∞ .
Démonstration. D’après le théorème 5.6.5 de [SC02], pour tout f ∈ H 1 (Mi , νi ),
on a :
ˆ
ˆ
3
3
3
2
2
|f − fz,r | dνi ≤ C(n)r
|∇f | 2 dνi
Bi (z,r)

Bi (z,r)

En utilisant l’inégalité de Hölder, on obtient pour tout f ∈ H 1 (Mi , νi ),


3
2

|f − fz,r |dνi ≤ C(n)r

32

|∇f | dνi

Bi (z,r)

Bi (z,r)

Le théorème 9.6 de [Che99] nous donne alors que D et


3
2

|f − fz,r |dν∞ ≤ C(n)r
B∞ (z,r)

|g| dν∞
B∞ (z,r)

18

32

sont vraies sur M∞ (pour tout f ∈ H 1 (M∞ , ν∞ ), g étant un surgradient
quelconque de f ). Si f ∈ H 1 (M∞ , ν∞ ), f admet un surgradient généralisé
minimal gf , et par définition des surgradients généralisés, il existe des suites
L2

L2

fj −→ f et gj −→ gf telles que pour chaque j, gj est un surgradient de fj .
Alors pour chaque j

23
3
|fj − (fj )z,r |dν∞ ≤ C(n)r
|gj | 2 dν∞
B∞ (z,r)

B∞ (z,r)

et en faisant j → +∞, on obtient


3
2

|gf | dν∞

|f − fz,r |dν∞ ≤ C(n)r
B∞ (z,r)

B∞ (z,r)

2.3
2.3.1

32

Différentielle et laplacien dans les espaces
limites
Linéarité asymptotique généralisée

Soit (X, d, µ) un espace métrique muni d’une mesure de Borel régulière.
On suppose que (X, d, m) vérifie (D).
On cherche à définir une notion de différentielle sur X. La différentielle
d’une fonction lisse définie sur Rn est notamment une forme linéaire. Il serait
donc souhaitable que nous sachions généraliser la notion de forme linéaire
euclidienne à une notion de forme linéaire sur X. C’est la raison d’être de de
la définition suivante :
Définition 22. On dit que f : X → R est linéaire de façon asymptotique
généralisée (abrégée en "AGL" dans la suite) en x ∈ X si :
(i) f est asymptotiquement p-harmonique en x, i.e.
ˆ

ˆ
p
p
lim
(gf ) dµ − inf
(gf +α ) dµ = 0
r→0

¯
B(x,r)

α∈Λ(p,x,r)

où Λ(p, x, r) = H 1,p (B(x, r)).

19

¯
B(x,r)

(ii) x est un point de Lebesgue de (gf )p , i.e.
ˆ
lim
|f (t) − f (x)|dµ(t) = 0
r→r

B(x,r)

Remarque Dans Rn , si u est une fonction harmonique et α ∈ Λ(p, x, r),
ˆ
ˆ
2
|∇(u + α)| dλ =
|∇u|2 + < ∇u, ∇α > +|∇α|2 dλ
¯
¯
B(x,r)
ˆB(x,r)
ˆ
2
=
|∇u| dµ +
|∇α|2 dλ
car

´
¯
B(x,r)

´

¯
B(x,r)

¯
B(x,r)

< ∇u, ∇α > dλ = − B(x,r)
∆u · αdλ = 0. On a donc
¯
ˆ
ˆ
2
|∇u|2 dλ
inf
|∇(u + α)| dλ =
α∈Λ(p,x,r)

¯
B(x,r)

¯
B(x,r)

On comprend mieux ainsi la notion de p-harmonicité asymptotique. La notion
d’harmonicité dans les espaces limites ne peut pas être définie tant que l’on
a pas de laplacien. Mais l’égalité
ˆ

ˆ
p
p
(gf ) dµ − inf
(gf +α ) dµ = 0
¯
B(x,r)

α∈Λ(p,x,r)

¯
B(x,r)

généralise la propriété vérifiée ci-dessus par les applications harmoniques :
c’est par elle dans un premier temps qu’on définit les fonctions (p-)harmoniques.
Mais cette égalité est encore trop exigente pour des fonctions définies sur X.
On assouplit donc la définition en se contentant d’avoir l’égalité asymptotiquement sur des boules de rayons tendant vers 0.
Les formes linéaires dans Rn sont en particulier harmoniques. C’est pourquoi il n’est pas déraisonnable que nos applications linéaires généralisées
soient en particulier asymptotiquement p-harmoniques. Ce que dit cette définition, c’est que le surgradient généralisé minimal d’une fonction est asyptotiquement comme une différentielle.
Avec cette définition, Cheeger a démontré un théorème qui généralise le
théorème de Rademacher :
Théorème 6. ([Che99]) Si f : X → R est lipschitzienne, alors f est AGL
pour µ-presque tout x ∈ X.
Ce théorème est crucial pour montrer ensuite le premier théorème de la
section suivante.
20

2.3.2

Différentielle dans les espaces limites

Notation Si f1 , ..., fk sont des fonctions quelconques et a = (a1 , ..., ak ) ∈
Rk , on note fa := a1 f1 + ... + ak fk .
Théorème 7. ([Che99]) On suppose que (X, d, µ) vérifie (D) et (IP).
Alors il existe une famille dénombrable de boréliens (Uα )α telle que µ(X\ ∪α
Uα ) = 0 et telle que pour chaque α, il existe un nombre k = k(α) de fonctions
lipshitziennes f1α , ..., fkα : X → R, tout ceci tel que :
i) k = k(α) est majoré par une constante N ≥ 1 indépentante de α
ii) pour tout x ∈ Uα , fa est AGL en z pour tout a ∈ Rn
iii) pour tout x ∈ Uα , pour tout a ∈ Rn \{0}, gfaα (z) > 0
iv) si h : X → R est une fonction lipschitzienne, il existe des fonctions
boréliennes bornées bα1,h , ..., bαk,h définies µ-presque-partout sur Uα telles que :
g−h+faα (x) = 0 ⇐⇒ a = (bα1,h (x), ..., bαk,h (x))
Ce théorème permet de définir un fibré L∞ au dessus de X. A noter que
ce fibré est défini presque-partout. Les (Uα )α sont en effet des ouverts de
trivialisations, et pour chaque α les applications f1α , ..., fkα forment un repère
local au-dessus de Uα . Sur une intersection Uα ∩ Uβ , on peut exprimer chacun
des f1α , ..., fkα comme combinaison linéaire des f1β , ..., fkβ : d’après (iv), pour
chaque i ∈ [[1, k]], il existe bβ1,f α , ..., bβk,f α telles que
i

i

fiα = bβ1,f α · f1β + · · · + bβk,f α · fkβ
i

. On a alors une application
(
ψαβ :

i

Uα ∩ Uβ → GLn (R)

x
→ bβj,f α
i

i,j

ce qui justifie l’existence du fibré. Les repères locaux ne sont pas construits
explicitement dans la démonstration de Cheeger [?, Che99] On trouvera dans
la section suivante une idée de cette démonstration.
Pour une fonctions lipshitzienne f : X → R, le théorème nous fournit une
section de ce fibré (section définies par ses cordonnées dans chaque repère
local). C’est cette section que l’on appelle différentielle de f , et que l’on note
df .

21

2.4

Laplacien dans les espaces limites

A partie de la définition de la différentielle, il est facile de définir un
laplacien. On le définit au sens distributionnel : pour toute fonction h ∈
Lipc (X) (fonctions lipschitziennes à support compact),
ˆ
ˆ
∆f · hdµ = −
df · dhdµ
X

X

Le problème de l’équation de la chaleur se définit alors en termes distributionnels :
Définition 23. Soient U un ouvert de X, T > 0 et f ∈ L2 (U ).
Une fonction u est appelée solution du problème de la chaleur sur (0, T ) × U
avec condition initiale f , et on note

∆u = ∂u
∂t
u(., 0) = f
si et seulement si :
(i) pour toute fonction φ,
ˆ

T

ˆ

ˆ

T

ˆ

< du, dφ > dµdt = −
0

0

U

U

∂u
· φdµdt
∂t

(ii) u(., t) converge au sens L2 (U ) vers f lorsque t tend vers 0 :
ˆ
lim |u(x, t) − f (x)|2 dµ = 0
t→0

U

22

Chapitre 3
Convergence des noyaux de la
chaleur au sens de
Gromov-Hausdorff
Dans ce chapitre, (M n , g) est une variété riemannienne à courbure de
Ricci positive telle que n ≥ 3. L’objectif de ce chapitre est de démontrer le
théorème 1 donné dans l’introduction.

3.1

Premiers lemmes : reformulation de la convergence à établir

Définition 24. On définit (Mi , y, ρi , νi )i la suite "zoom-arrière" associée à la
suite de réels positifs (ti )i → +∞ de la façon suivante : pour chaque
i, Mi =
´
1
1
M , ρi = ti g, et pour chaque borélien A de M , νi = V olρ (B(y,1)) A dV olρi .
i

Tous les points sur M se rapprochent sur Mi à mesure que i augmente,
ce qui explique l’appellation "zoom arrière". On suppose maintenant que
la suite zoom-arrière (Mi , y, ρi , νi )i converge au sens de Gromov-Hausdorff
mesuré vers un espace (M∞ , y∞ , ρ∞ , ν∞ ) (car c’est l’hypothèse à rescpecter
dans le théorème 1).

Lemme 3. Bρi (y, r) = Bg (y, ti r)
Démonstration.
ˆ 1r
ˆ 1p
1
1
1
g(γ(t),
˙
γ(t))dt
˙
=√
g(γ(t),
˙
γ(t))dt
˙
= √ dg (y, z)
dρi (y, z) =
ti
ti 0
ti
0
23

où γ désigne une géodésique minimisante entre y et z (la variété est supposée
complète, donc il en existe bien toujours
une). Donc

√ Bρi (y, r) = {z ∈ M :
dρi (y, z) < r} = {z ∈ M : dg (y, z) < ti r} = Bg (y, ti r).
Lemme 4. Pour tout i, on note Hi (x, y, t) le noyau de la chaleur sur (Mi , y, ρi , νi ).
Alors pour tout réel t > 0

Hi (x, y, t) = V ( ti )H(x, y, ti t)
Démonstration. En coordonnées locales, le laplacien associé à la métrique g
d’une fonction f s’écrit (voir par exemple [Ros97]) :
p
1
∆g f = p
∂β (g αβ det(g)∂α f )
det(g)
On en déduit directement que ∆ρi = t1i ∆g . L’unicité du noyau de la chaleur
va nous donner le résultat :


1
1 √ ∂
∆ρi V ( ti )H(x, y, ti t) =
∆g V ( ti )H(x, y, ti t) = V ( ti ) H(x, y, ti t)
ti
ti
∂t
(car H est le noyau de la chaleur pour la métrique g)

1 √


V ( ti )ti H(x, y, t) = V ( ti )H(x, y, t)
=
ti
∂t
∂t
Pour vérifier les conditions initiales, le lemme 3 nous permet d’obtenir pour
toute fonction f ∈ L2 (M ),
ˆ
ˆ

t→0
H(x, y, t)f (y)dV olg (y) −−−→ f (x)
V ( ti ))H(x, y, ti t)f (y)dνi (y) =
M

M

Par unicité du noyau de la chaleur, le lemme est montré.
Ainsi en prenant t = 1, la convergence à établir dans le théorème 1 devient
lim Hi (x, y, 1) = p∞ (y∞ , y∞ , 1)

i→+∞

3.2

Schéma de la preuve : comment majorer la
quantité qui nous intéresse ?

Il nous faut donc étudier et majorer la quantité |Hi (x, y, 1)−p∞ (y∞ , y∞ , 1)|.
Pour cela on va passer par des noyaux de la chaleur locaux. Pour tout R > 0,
24

on définit HR,i (x, y, t) comme étant le noyau de la chaleur sur Bρi (y, R) ⊂ Mi
et 0 ailleurs. Alors HR,i (x, y, t) admet comme dans Rn une décomposition
spectrale à l’aide des valeurs propres et vecteurs propres du laplacien :
HR,i (x, y, t) =

+∞
X

(R)

(R)

(R)

e−λi,k t φi,k (x)φi,k (y)

k=0

où les

(R)
λi,k

et les
(

(R)
φi,k

sont tels que
(R)

∆ρi φi,k
(R)
φi,k

(R) (R)

= λi,k φi,k
=
0

sur Bρi (y, R)
sur δBρi (y, R)

Admettons les deux théorèmes suivants. La preuve du deuxième est donnée en détails dans la section 3.3. Le premier se démontre en utilisant le
(R)
deuxième, et en établissant des majorations convenables sur kφi,k k∞ .
(R)

Théorème 8. ([Xu13]) Si pour un k donné, la suite (λi,k )i converge vers
(R)

(R)

un certain réel noté λ∞,k , alors la suite (φi,k )i converge uniformément sur
tout compact inclus dans l’intérieur de B∞ (y∞ , R) vers une fonction lipsh(R)
citzienne, notée φ∞,k .
Théorème 9. ([Xu13]) Soient Bi (xi , 2r) ⊂ Min et B∞ (x∞ , 2r) ⊂ M∞ telles
dGH
que Bi (xi , 2r) −−
→ B∞ (x∞ , 2r). Soient ui , fi des fonctions de classe C 2 sur
Bi (xi , 2r) telles que ∆ρi ui = fi . On suppose que ui , fi convergent uniformément sur Bi (xi , 2r) → B∞ (x∞ , 2r) vers des fonctions u∞ , f∞ . S’il existe
L > 0 tel que |∇ui | ≤ L et |∇fi | ≤ L, alors
∆ρ∞ u∞ = f∞

sur B∞ (x∞ , r)

On obtient alors en corollaire que
(R)

(R)

(R)

∆∞ φ∞,k = λ∞,k φ∞,k
Intervient ici le lemme (lemme 4.1 dans [?]) :
Lemme 5. Il existe une constante C(n) > 0 telle que
1

(R)

C(n)−1 · R−2 · k n ≤ λi,k ≤ C(n) · R−2 · k 2
25

(R)

Alors pour chaque k, la suite (λi,k )i est à valeurs dans un compact de
R, on peut donc en extraire des valeurs d’adhérence. Quitte à utiliser une
(R)
extraction diagonale, on peut supposer que les (λi,k )i convergent pour tout k.
Par le théorème ci-dessus, il y a convergence des fonctions propres associées,
et on obtient ainsi une décomposition spectrale du laplacien de l’espace limite
sur B∞ (y∞ , R). On peut ainsi définir pour tout x ∈ B∞ (y, R) et pour tout
(R)
P
(R)
−λi,k t (R)
t > 0, HR,∞ (x, y, t) = +∞
φi,k (x)φi,k (y) , et la manière avec laquelle
k=0 e
on vient de le définir permet d’écrire
i→∞

HR,i (., y, t) −−−→ HR,∞ (., y, t)

(∗)

uniformément sur tout compact incluse dans l’intérieur de B∞ (y, R2 ). On peut
alors récupérer l’existence ponctuelle du noyau de la chaleurp∞ . En effet, si
Rk → +∞ est une suite croissante de réels, si Rk1 < Rk2 , on sait (en utilisant
le théorème de Li cité en introduction) que
0 ≤ HRk1 ,i (x, y, t) ≤ HRk2 ,i (x, y, t) ≤ HR,i (x, y, t) ≤

d2
ρi (x,y)
C(n)
√ e− 5t
νi (Bρi ( t))

En faisant i → +∞, on obtient :
0 ≤ HRk1 ,∞ (x, y, t) ≤ HRk2 ,∞ (x, y, t) ≤ HR,∞ (x, y, t) ≤

d2
ρ∞ (x,y)
C(n)
√ e− 5t
ν∞ (B∞ ( t))

Ainsi pour chaque (x, y, t), la suite (HRk ,∞ (x, y, t))k est croissante et majorée,
donc elle converge. On peut ainsi définir ponctuellement une limite H∞ :
H∞ (x, y, t) = lim HRk ,∞ (x, y, t)
k→∞

On peut alors poser p∞ = H∞ et montrer que cette définition est indépendante du choix de la suite (Rk )k . Au final, on a l’inégalité suivante :
|Hi (x, y, t) − p∞ (y∞ , y∞ , t)| ≤ |Hi (x, y, t) − HR,i (x, y, t)|
(3.1)
+ |HR,i (x, y, t) − HR,∞ (y∞ , y∞ , t)| (3.2)
+ |HR,∞ (y∞ , y∞ , t) − p∞ (y∞ , y∞ , t)|(3.3)
Commençons par majorer (3.1) par une quantité tendant vers 0 lorsque R
tend vers +∞. La majoration doit être indépendante de i, car on fera tendre
i vers +∞ après. Supposons que R ≥ 1. Soient T > 1 et t ∈ (0, T ) On pose
MR,i := sup{Hi (x, y, t) : x ∈ ∂Bρi (yi , R), 0 < t ≤ T }
26

Alors comme HR,i (x, y, t) est nul sur ∂Bρi (yi , R), MR,i = sup{Hi (x, y, t) −
HR,i (x, y, t) : x ∈ ∂Bρi (yi , R), 0 < t ≤ T }. Hi (., y, t) − HR,i (., y, t) est harmonique sur Bρi (yi , R), donc par principe du maximum, si x ∈ Bρi (yi , R),
0 ≤ Hi (x, y, t) − HR,i (x, y, t) ≤ MR,i
Il faut donc majorer MR,i . On sait que
d2 (x,y)




Hi (x, y, t) = V ( ti )H(x, y, ti t) ≤ V ( ti )C(n)V ( ti t)−1 e 5ti t

donc en découpant le sup en 2 parties (0 < t ≤ 1 et 1 ≤ t ≤ T ) et en
utilisant le théorème de Bishop-Gromov pour la seconde partie, on obtient
n
R2
R2
R2
MR,i ≤ C(n) · max{e− 5T , sup t− 2 e− 5t } ≤ C(n) · max{e− 5T , R−n } ce qui
0<t≤1

permet de conclure :
lim HR,i (., y, .) = Hi (., y, .)

R→∞

uniformément sur (0, T ] × Bρi (yi , R).
Un raisonnement similaire permet d’obtenir proprement la majoration
de (3.3). Les outils sont cependant plus raffinés car on ne travaille dans
cette majoration que dans M∞ . Il faut vérifier que le principe du maximum
tient toujours, et utiliser la propriété (D) à la place du théorème de BishopGromov. Mais le squelette du raisonnement est le même.
Soit > 0. D’après ce qui précède, pour R assez grand,
|Hi (x, y, t) − p∞ (y∞ , y∞ , t)| ≤ |HR,i (x, y, t) − HR,∞ (y∞ , y∞ , t)| +

2
3

Et (∗) permet de conclure : pour i assez grand, |HR,i (x, y, t)−HR,∞ (y∞ , y∞ , t)| ≤

, donc finalement
3
|Hi (x, y, t) − p∞ (y∞ , y∞ , t)| ≤

3.3

Démonstration d’un théorème intermédiaire :
principe de Harnack au sens de GromovHausdorff

Pour démontrer le théorème 9, nous avons besoin du lemme suivant.
27

Lemme 6. Sous les même hypothèses que le théorème précédent :
I(u∞ , x∞ , ν∞ , r) ≤ lim inf I(ui , xi , νi , r)
i→∞

La preuve de ce lemme se fait en plusieurs étapes, détaillées ci-dessous :
Etape 1 Soit φ une fonction cut-off telle que supp(φ) ⊂ Bi (xi , 2r), φ ≡ 1
2
≤ C(n, r). En écrivant la formule de
sur Bi (xi , 32 r), |∆φ| ≤ C(n, r) et |∇φ|
φ
Bochner et en la multipliant par φ, et en utilisant l’hypothèse Ric ≥ 0, on
obtient :
1
φ∆(|∇ui |2 ) ≥ φ|∇2 ui |2 + φ < ∇∆ui , ∇ui >
2
puis on intègre sur M , ce qui revient à intégrer sur Bi (xi , 2r) à cause de
φ. Toutes les intégrales ci-dessous sont prises par rapport à la mesure dνi .
Lorsque’on ne précise pas sur quel domaine on intègre, cela voudra dire qu’on
intègre sur Bi (xi , 2r). Par intégrations par parties, on a d’une part
ˆ
ˆ
2
φ∆(|∇ui | ) = ∆φ|∇ui |2
et d’autre part
ˆ
ˆ
2
φ|∆ui | =
φ∆ui ∆ui
ˆ
= − < ∇ui , ∇(φ∆ui ) >
ˆ
ˆ
= − < ∇ui , ∇φ∆ui > − < ∇ui , φ∇∆ui >
ce qui permet d’écrire
ˆ
ˆ
1
2
∆φ|∇ui | ≥ φ|∇2 ui |2 − φ|∆ui |2 − ∆ui < ∇φ, ∇ui >
2
. Puis la formule de Young et l’inégalité de Cauchy-Schwartz donnent
ˆ
ˆ p
∇φ
∆ui < ∇φ, ∇ui >=
φ∇ui < √ , ∇ui >
φ

ˆ
1
∇φ
2
2

φ|∆ui | + < √ , ∇ui >
2
φ
28

ˆ


1
2



|∇φ|2
2
2
φ|∆ui | +
|∇ui |
φ

d’où
ˆ

ˆ
ˆ
ˆ
|∇φ|2
1
3
2
2
φ|∇ ui | ≤
φ|∆ui | +
|∇ui |2
|∇ui | ∆φ +
2
2

ˆ
ˆ
1
3
2

C(n, r) |∇ui | +
φ|fi |2
2
2
ˆ
3
1
2
C(n, r) · L · νi (Bi (xi , 2r)) +
|fi |2

2
2
´
´
Comme Bi (xi , 3 r) |∇2 ui |2 ≤ φ|∇2 ui |2 , et comme νi (Bi (xi , 2r)) → ν∞ (B∞ (x∞ , 2r))
´
´2
et |fi |2 → B∞ (x∞ ,2r) |f∞ |2 , pour un i assez grand on obtient la majoration
uniforme suivante :

ˆ
ˆ
3
1
2
2
2
2
|f∞ | + 1
φ|∇ ui | ≤ C(n, r)·L ·(ν∞ (B∞ (x∞ , 2r)) + 1)+
2
2
B∞ (x∞ ,2r)
2

2

Etape 2 Par le théorème de Rellich GH, il existe une sous-suite de (∇ui )i
qui converge au sens L2 GH sur B∞ (x∞ , r) vers une fonction Γ ∈ L2 (B∞ (x∞ , r), ν∞ )).
Par le théorème de Lusin, pour tout > 0, il existe un compact K ⊂
B∞ (x∞ , r) sur lequel Γ est continue et tel que ν∞ (B∞ (x∞ , r)\K ) < .
Comme ν∞ vérifie la condition de doublement, que la condition de doublement implique le théorème de recouvrement de Vitali, et que ce théorème
implique le théorème de différentiation de Lebesgue (cf [?, Matilla], on a
théorème de différentiation de Lebesgue pour ν∞ :
pour ν∞ - presque tout x ∈ K ,

ν∞ (B∞ (x, s))\K
=0
s→0
ν∞ (B∞ (x, s))
lim

Si on montre que pour tout > 0, pour tout x ∈ K ,
|du∞ (x)| ≤ Γ(x)

(∗)

le lemme est démontré. En effet, si on extrait une sous-suite (I(uϕ(i) , xϕ(i) , νϕ(i) , r))i
de (I(ui , xi , νi , r))i telle que lim (I(uϕ(i) , xϕ(i) , νϕ(i) , r) = lim inf I(ui , xi , νi , r)
i→∞

i→∞

et telle que la suite (∇ui )i converge vers Γ comme un peu plus haut, alors


ˆ
1 2
lim inf I(ui , xi , νi , r) =
|Γ| + f∞ u∞ dνi
i→∞
2
B∞ (x∞ ,r)
29

S
(∗) est vraie pour tout x ∈ ´ ∞
i=1 K2−i , donc elle est´vraie pour ν∞ -presque
tout x ∈ B∞ (x∞ , r), ainsi B∞ (x∞ ,r) |du∞ |2 dν∞ ≤ B∞ (x∞ ,r) |Γ|2 dν∞ , et le
lemme est démontré.
Pour montrer (∗), montrons que pour tout > 0, il existe δ > 0 tel que si
dρ∞ (y, x) < δ, alors |u∞ (x) − u∞ (y)| ≤ dρ∞ (y, x)(Γ(x) + 7 ). On aura alors
lip u∞ (x) ≤ Γ(x), et comme |du∞ (x)| ≤ lip u∞ (x), on obtiendra bien (∗).
Etape 3 Par l’absurde, supposons qu’il existe > 0 et une suite yj → x
telle que |u∞ (yj ) − u∞ (x)| > dρ∞ (yj , x)(Γ(x) + 7 ). On note lj = dρ∞ (yj , x).
L’hypothèse |∇ui | < L donne que pour tout i, ui est L-lipschitzienne, ce qui
l
permet d’obtenir que u∞ est L-lipschitzienne. Ainsi pour tout a ∈ B∞ (x, Lj ),
l
pour tout b ∈ B∞ (yj , Lj ),
|u∞ (a) − u∞ (b)| ≥ |u∞ (x) − u∞ (y)| − |u∞ (x) − u∞ (a)| − |u∞ (yj ) − u∞ (b)|
> lj (Γ(x) + 7 ) − L · dρ∞ (x, a) − L · dρ∞ (yj , b))
≥ lj (Γ(x) + 5 )
(∗)
Soient xi , yj,i ∈ Mi tels que xi → x, yj,i → yj et pour tout i, j, lj = dρi (yj,i , xi ).
l
l
Soient ai ∈ Bi (xi , Lj ), bi ∈ Bi (yj,i , Lj ) et γ une géodésique minimisante
reliant ai à bi .
Alors

ˆ
ˆ


|∇ui |dρi ≥ ∇ui dρi = |ui (ai ) − ui (bi )|
γ

γ

Comme toutes valeurs d’adhérence a∞ et b∞ de (ai ) et (bi ) vérifient (∗), à
partir d’un certain rang, |ui (ai ) − ui (bi )| > lj (Γ(x) + 4 ).
Soit U := {z ∈ γ : |∇ui | > Γ(x) + 2 }. D’après ce qui précède,
ˆ
ˆ
|∇ui |dρi +
|∇ui |dρi ≥ lj Γ(x) + 4 lj
U

γ\U

´

mais d’une part U |∇ui |dρi ≤ Lρi (U ) et d’autre part
ˆ
|∇ui |dρi ≤ (Γ(x) + 2 )ρi (γ\U ) = (Γ(x) + 2 )(ρi (γ) − ρi (U ))
γ\U


2lj
− ρi (U )
≤ (Γ(x) + 2 ) lj +
L
30

ce qui donne après quelques manipulations élémentaires
ρi (U ) ≥

2lj
L

l

l

On note Aji = Bρi (xi , Lj ), Bij = Bρi (yj,i , Lj ), Cij = Bρi (xi , lj +
l
l
l
Aj = Bρ∞ (x, Lj ), B j = Bρ∞ (yj , Lj ) et C j = Bρ∞ (x, lj + Lj ).

lj
),
L

/l

/"+---'-\\

)_

.t

I

(:

i

I

I

I

I

I

i

i

-

t-

\i

8

V

\r/

à-

§-r

1rtt

'<,J

{e§

.+

*tJ

On pose Z j = {z ∈ C j : Γ(z) > γ(x) + }
ν∞ (Z j )
ν∞ (Z j ∩ K ) ν∞ (Z j \K )
ν∞ (Z j ∩ K ) ν∞ (C j \K )
=
+

+
ν∞ (C j )
ν∞ (C j )
ν∞ (C j )
ν∞ (C j )
ν∞ (C j )
ν∞ (C j \K ) j → ∞
−−−−→
ν∞ (C j )

0 et par continuité de Γ sur K , à partir d’un certain rang
la quantité ν∞ (Z j ∩ K ) est nulle. La contradiction que l’on cherche à établir
j
∞ (Z )
s’obtient en minorant νν∞
par une constante strictement positive.
(C j )
On applique l’inégalité du segment dans Mi à la fonction caractéristique
de Eij = {z ∈ Cij : |∇ui (z)| > Γ(x) + 2 } :
ˆ dρ (a,b)

ˆ
ˆ

i
j
j
2
χE j dρi dνi ≤ C(n, , lj , L) νi (Ai ) + νi (Bi )
χE j dνi
Aji ×Bij

0

i

Le terme de gauche est minoré par

Cij

2li
ν (Aji )νi (Bij ).
L i

31

i

En divisant par νi (Cij ) et

en minorant la quantité

νi (Aji )
νi (Cij )

par le théorème de Bishop-Gromov, on obtient :

C( , lj , L, n)
Comme

νi (Bij )
νi (Aji )+νi (Bij )



νi (Eij )
νi (Bij )

νi (Aji ) + νi (Bij )
νi (Cij )

ν∞ (B j )
,
ν∞ (Aj )+ν∞ (B j )


C( , lj , L, n)

pour un i assez grand :

ν∞ (B j )
+1
ν∞ (Aj ) + ν∞ (B j )




νi (Eij )
νi (Cij )

On définit 1 comme étant la moitié du terme de gauche dans l’inégalité précédente.
Alors il existe pour chaque i, Fij ⊂ Eij tels que νi (Fij ) ≥ 1 νi (Cij ) et tels que
d
Fij −−GH
−→ F j avec ν∞ (F j ) ≥ 1 ν∞ (C j ).
i→∞

2

1
1
ν∞ (C j ) et τ2 = 40
ν∞ (C j ). Soient ϕi : Fij → F j des
On pose τ1 = 10
i -approximations mesurées, i → 0. On note hi = |∇ui |. Par définition de la
(k)
convergence L2 -GH des hi sur F j ⊂ B∞ (x∞ , r), il existe des h∞ : F j → R
telles que
ˆ
2
|h(k)
lim
(1)
∞ − Γ| dν∞ = 0
k→∞ F j
ˆ
2
lim lim inf
|hi − h(k)
(2)
∞ ◦ ϕi | dνi = 0
k→∞

i→∞

Fij

(k)

Par (1) il y a convergence faible ν∞ -presque partout des h∞ vers Γ, on peut
(k)
donc appliquer le théorème d’Egoroff : il existe U ⊂ F j tel que h∞ converge
uniformément vers Γ sur F j \U et ν∞ (U ) < τ1 . On en déduit qu’il existe un
certain rang k1 tel que pour tout k > k1 ,
τ2
2
sur F j \U
|h(k)
∞ − Γ| ≤
ν∞ (F j \U )
On pose Qji = Fij \ϕ−1
i (U ) et
W j = {z ∈ F j \U : Γ(z) ≤ Γ(x) + }
Alors F j \U \W ⊂ Z j , d’ou
ν∞ (Zj ) ≥ ν∞ (F j ) − ν∞ (U ) − ν∞ (W )
9 1

ν∞ (C j ) − ν∞ (W )
10
32

Si on montre que ν∞ (W ) ≤
j
∞ (Z )
obtient νν∞
≥ 45 1 > 0.
(C j )

1
ν (C j ),
10 ∞

la preuve est terminée car on

j
j
j
j
j
j
On pose Wij = ϕ−1
i (W ) ⊂ Qi ⊂ Fi ⊂ Ei . Par propriété de W , sur Wi on
a (Γ ◦ ϕi )(z) ≤ Γ(x) + . Et comme Wij ⊂ Eij , hi (z) > Γ(x) + 2 . D’où
ˆ
|hi − Γ ◦ ϕi |2 ≥ 2 νi (Wij )
Wij

En considérant (2), on sait qu’il existe un certain rang k2 (que l’on choisit
supérieur à k1 ), puis un certain rang i1 , tels que pour k ≥ k2 , i > i1 ,
ˆ
(k)
|hi − h∞
◦ ϕi |2 dνi < τ2
Fij

Finalement, pour i suffisament grand,
ˆ
j
2
νi (Wi ) ≤
|hi − Γ ◦ ϕi |2 dνi
j
W
ˆ i
|hi − Γ ◦ ϕi |2 dνi

Qji

ˆ

≤ 2
Qji

ˆ
2
2)
|hi − h(k
∞ ◦ ϕi | dνi +

ˆ
≤ 2

Fij

ˆ
2
2)
|hi − h(k
∞ ◦ ϕi | dνi +

Qji

!
2
2)
|h(k
∞ ◦ ϕi − Γ ◦ ϕi | dνi

F j \U

!
2
2)
|h(k
∞ − Γ| dν∞

≤ 4τ2
Enfin ν∞ (W j ) = lim νi (Wij ) ≤
i→∞

4τ2
2

=

1
ν (C j ).
10 ∞

Nous pouvons maintenant expliquer comment se démontre le théorème :
Démonstration. Par l’absurde, supposons qu’il existe une boule B∞ (x, s) ⊂⊂
B∞ (x∞ , r) sur laquelle ∆ρ∞ u∞ = f∞ n’est pas vrai. Alors u∞ ne minimise pas
l’intégrale I(., ν∞ , x∞ , r) comme devrait le faire la solution u˜∞ du problème
de Dirichlet

∆u = f∞ sur B∞ (x, s)
u = u∞ sur ∂B∞ (x, s)
Onc il existe δ > 0 telle que
I(˜
u∞ , ν∞ , x, s) ≤ I(u∞ , ν∞ , x, s) − 2δ
33

Soit x(i) → x. Par le lemme, on sait qu’on peut supposer qu ’à partir d’un
certain rang
I(u∞ , ν∞ , x, s) ≤ I(ui , νi , x(i) , s) + δ
Un lemme de Cheeger (lemme 10.7 de [Che99]) justifie l’existence d’une
suite de fonctions lipschitziennes u˜i : Bρi (x(i) , s) → R telle que u˜i converge
uniformément vers u˜∞ et
ˆ
ˆ
2
|d˜
u∞ |dν∞
lim
|∇˜
ui | dνi ≤
i→∞

Bρi (x(i) ),s

Bρ∞ (x,s)

Alors pour un i assez grand,
1
I(˜
ui , νi , x(i) , s) < I(˜
u∞ , ν∞ , x, s) + δ
2
Au final, pour un i plus grand qu’un certain i0 , on a
1
I(˜
ui , νi , x(i) , s) < I(ui , νi , x(i) , s) − δ
2
Soit donc i > i0 . Si on note i la solution du problème de Dirichlet

∆u = f∞ sur Bρi (x(i) , s)
u = u∞ sur ∂Bρi (x(i) , s)
on obtient d’après ce qui précède
I(i , νi , x(i) , s) ≤ I(˜
ui , νi , x(i) , s) < I(ui , νi , x(i) , s) −
Comme



1
2

(∗)

∆(i − ui ) =
0
sur Bρi (x(i) , s)
(i − ui ) = (˜
ui − ui ) sur ∂Bρi (x(i) , s)

le principe du maximum nous permet d’écrire
lim

sup

i→∞ z∈B (x(i) ,s)
ρi

|(i − ui )(z)| ≤ lim

sup

i→∞ z∈∂B (x(i) ,s)
ρi

|(˜
ui − ui )(z)| = 0

Avec (∗), on en déduit qu’à partir d’un certain rang i1 ,
ˆ
ˆ
1
1
1
2
|∇i | dνi <
|∇ui |2 dνi − δ
2 Bρi (x(i) ,s)
2 Bρi (x(i) ,s)
4
34

Puis quelques manipulations techniques impliquant notamment l’estimée de
gradient de Cheng-Yau (voir [CY75]) font aboutir à une contradiction, à
savoir qu’on trouve un certain réel s0 tel que
ˆ
1
|∇i |2 < − δ
8
Bρi (x(i) ,s)\Bρi (x(i) ,s1 )

35

Bibliographie
[BBI01] Dmitri Burago, Yuri Burago, and Sergei Ivanov. A Course in Metric
Geometry. Graduate Studies in Mathematics, 2001.
[Che99] Jeff Cheeger. Differentiability of Lipschitz functions on metric measure spaces. Geom. Funct. Anal., 1999.
[CY75] Shiu Yuen Cheng and Shing-Tung Yau. Differential equations on
Riemannian manifolds and their geometric applications. Comm.
Pure Appl. Math., 1975.
[Fuk87] Kenji Fukaya. Collapsing of Riemannian manifolds and eigenvalues
of Laplace operator. Inventiones Mathematicae, 1987.
[Gro81] Mikhail Gromov. Structure métriques pour les variétés riemanniennes. Cedic/Fernand Nathan, 1981.
[Li86]

Peter Li. Large time behavior of the heat equation on complete manifolds with nonnegative Ricci curvature. Ann. of Math., 1986.

[Ros97] Steven Rosenberg. The Laplacian on a Riemannian Manifold. London Mathematical Society, 1997.
[SC02] Laurent Saloff-Coste. Aspects of Sobolev-type inequalities. London
Mathematical Society Lecture Note Series, 2002.
[Xu13] Guoyi Xu. Large time behavior of the heat kernel.
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36

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