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Soit 𝑅[𝑥] est l’ensemble des polynomes à coeffiscients réels
𝑓 𝑓 𝑥+𝑦

= 𝑓 𝑥 + 𝑦 + 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 − 𝑥𝑦

en prenant y=0 𝑓 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 1 + 𝑓 0
en remplaçant dans (1) 𝑓 0 𝑓 𝑥 + 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 − 𝑥𝑦
si f(0) = 0
𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 = 𝑥𝑦
𝑎
donc pour un nombre 𝑎 tel que 𝑓 𝑎 ≠ 0 on a 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎) 𝑥 sinon 𝑓 𝑥 = 0 pour tout x
f(0) est différente de 0
𝑓 0 𝑓 2𝑥 = 𝑓 𝑥 2 − 𝑥 2
1
𝑥 2
↔𝑓 𝑥 =
𝑓
− 𝑥2
𝑓 0
2
1
𝑥 2
↔𝑓 𝑥 −𝑓 0 =
𝑓
− 𝑥2 − 𝑓 0
𝑓 0
2
1
𝑥 2
↔ lim 𝑓 𝑥 − 𝑓 0 = lim
𝑓
− 𝑥2 − 𝑓 0 = 0
𝑥→0
𝑥→0 𝑓 0
2
↔ lim 𝑓 𝑥 = 𝑓 0
𝑥→0

Donc f est continue en 0
prouvons que ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑃𝑛 ∈ 𝑅 𝑥, 𝑦

𝑓 𝑥 = 𝑃𝑛 𝑓

𝑥
2𝑛

,𝑥

le cas n=0 le résultat est trivial, pour n=1 il suffit de prendre 𝑓 𝑥 = 𝑓
𝑃1 ( 𝑓

𝑥
2

1
0

𝑓

𝑥 2
2

− 𝑥2 =

,𝑥

Supposant que cela est vrai pour n, pour n+1 on a
𝑥
1
𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑃𝑛 𝑓 𝑛 , 𝑥 = 𝑃𝑛
𝑓 𝑛+1
2
𝑓 0
2
Par conséquent ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑃𝑛 ∈ 𝑅 𝑥, 𝑦

2



𝑥2
𝑥
− 𝑓 0 , 𝑥 = 𝑃𝑛+1 𝑓 𝑛+1 , 𝑥
2𝑛
2
2

𝑓 𝑥 = 𝑃𝑛 𝑓

𝑥
2𝑛

,𝑥

Donc il existe deux polynomials f et Q tel que 𝑓 𝑥 = 𝑄 𝑓 0 , 𝑥 = 𝑅(𝑥)
Donc 𝑓 ∈ 𝑅[𝑥]
𝑓 0 𝑓 2𝑥 = 𝑓 𝑥 2 − 𝑥 2
↔ 𝑓 𝑥 2 − 𝑓 0 𝑓 2𝑥 = 𝑥 2
↔ deg 𝑓 𝑥 2 − 𝑓 0 𝑓 2𝑥 = 2
↔ sup⁡
(deg 𝑓 𝑥 2 , deg −𝑓 0 𝑓 2𝑥
↔ deg 𝑓 𝑥 2 = 2
↔ deg 𝑓 𝑥 = 1
↔ (∃𝑢, 𝑣 ∈ 𝑅)𝑓 𝑥 = 𝑢𝑥 + 𝑣
après la verification f(x)=x est la seul solution

=2


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