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série limite et continuité et complexe .pdf


Nom original: série limite et continuité et complexe.pdf
Auteur: User

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Prof :
Belhadj Youssef

A.S. : 2014/2015

Série d’exercice :
Limite & continuité & Complexe

Limite :
Exercice N°1.1.1 :
1) Calculer les limites suivantes :
a)

; b)

; c)

d)

e)

;

f)

j)

; h)

;

k)

;
;

2) discuter suivant les paramètres a,b,c,m, l’existence et la valeur des limites suivantes :
a)
b)
Exercice N°1.1.2 :
Soit la fonction f définie par f(x)=

.

1) Donner l’ensemble de définition de f et déterminer les limites de f aux bornes de cet ensemble.
2) Montrer que pour tout x

2 , on a f(x)=

.

3) Déterminer les asymptotes à la courbe représentative de f .
4) Justifier que f(x) - x > 0 pour tout x > 2 et f(x) – x < 0 pour tout x < 2.
Interpréter graphiquement ces inégalités.
B – continuité :
Exercice N°1.1.3 :
Déterminer le domaine de continuité de chaque fonction :
a)

f(x) =

b) g(x)=

c)

h(x) = cos(x)

d) k(x) = tg(x)

Exercice N°1.1.4 :

Soit la fonction f(x) =

1) déterminer le domaine définition de f.
2) Etudier la continuité de f en .
3) a) déterminer que f est continue sur tout intervalle de la forme
b) Etudier la continuité à droite en

avec

.

. Avec n

.

C : Complexe :
Exercice N°2.1.1 :
On considère les nombres complexes suivants :

et

1) Ecrire z sous forme algébrique.
2) a) Calculer le module et un argument de et
b) En déduire le module et un argument de z.
c) Ecrire z sous la forme trigonométrique.

. On pose z=

.

.

3) Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de cos
Le p a
p exe e t u d’u repère rth
r
a)Placer les points A et B, images respectives de
b) Déterminer la nature du triangle OAB.

O
et

et de sin

.

d’u t graph que

.

.

Exercice N°2.1.2 :
Le plan complexe est rapporté un repère orthonormé direct (O,
).
La figure en prenant pour unité 2 cm.
O
dère e p t A B et C du p a
p exe d’aff xe re pe t ve .
a= -1+2i ; b=-2-i ; c=-3 +i .
1) Placer les points A, B et C sur le graphique.
2) Calculer . En déduire la nature du triangle OAB.
3) O
dère ’app at
définie par :

f qu à t ut p
z’

t M d’aff xe z ave z

b a

e ep

t M’ d’aff xe z’

.

a) Ca u er ’aff xe ’ du p t C’
age de C par f et p a er e p t C’ ur a f gure.
b) D ter
er ’e e b e ℰ de p t M d’aff xe z ave z b, tels que
=1.
c) Ju t f er que ℰ
t e t e p t O et C. Tra er ℰ.
4) a) tracer J ’ age du p t A par a r tat
r de e tre O et d’a g e
.
b tra er K ’

age du p

t C par a r tat

r’ de e tre O et d’a g e

.

c) On note L le milieu de [JK].
Déterminer que la médiane issue de O du triangle OJK est la hauteur issue de O du triangle OAC.
Exercices N°2.1.3 :
1) Dans le plan complexe (O ,
dère quatre p t A B C et D d’aff xe re pe t ve ; 4i ;
-2+3i et 1-i. Placer les points A, B, C et D dans un plan.
2) O
dère e quat
da ℂ.
z²-(1+3i)z-6+9i=0 ( ) et z²- (1+3i)z+4+4i=0 ( )
a. M trer que ’ quat
) admet une solution réelle et ’ quat
) une solution
imaginaire pure .
b. Développer (z-3)(z+2-3i) puis (z-4i)(z-1+i).
c. E d du re e
ut
de ’ quat
(z²-(1+3i)z-6+9i)(z²-(1+3i)z+4+4i)=0 .
d. On note
la solution dont la partie imaginaire est strictement négative. Donne la forme
trigonométrique de .
e. Déterminer les entiers naturels n tels que les points
d’aff xe soient sur la droite
d’ quation y = x .
3) O
te f ’app at
qu au p t M d’aff xe z a
e e p t M’ d’aff xe z’ te e que
z’ z - (1+3i)z – 6+9i
a. On pose z= x+iy avec x,y
et z’ x’ y’ ave x’ y’
. Expr er x’ et y’ e f
t
de x
et y.
b. D ter
er u e quat
de ’e e b e H de p t M p ur e que f M appart e t à
’axe de rd
e .


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