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FDO Xfiles .pdf



Nom original: FDO_Xfiles.pdf

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01/07/2014 (mise à jour)

Orientation par la solution brut à fabrice ok
L'équation à résoudre →

M =∫∫ q (α , γ) F (α , γ)sin( α) d α d γ

(O à π pour l ' intégral intérieur et 0 à 2 π pour l ' intégral extérieur)
( (0 à 2π pour l ' intégral extérieur et 0 à π pour l ' intégral intérieur)

pdf avec l'equation → http://lpce.cnrs-orleans.fr/www_dls/thesis/prot/prot.pdf
ou alors ici → http://www.fichier-pdf.fr/2014/07/14/olivier-prot/

La fonction de distribution des ondes (fonction F) est une fonction
inconnu donc le probleme est d'identifier cette fonction pour pouvoir
resoudre l'equation . Pour chercher une solution brut qui va servir de
matiere a travailler je pose que la fonction de distribution des ondes
existe et j'applique l'inverse de l'operateur integral double au 2
membres sans considerer les borne de l'integration et sans faire de
calcul .
Si J'appel cette operateur inverse ω
sa donne → ω(M) = q(α,γ)F(α,γ)sin(α)
Je doit maintenant identifier ω(M) en trouvant une equation ! Voila
mon idee sur le probleme , je vais pas chercher a faire les calculs je
vais juste chercher a ecrire une solution et quelqu'un d'autre va
chercher comment calculer cette solution ok .
Pour ca je vais utiliser le sinus qu'il y a dans le 2ieme membre pour
avoir une autre expressions de ω(M) en divisant les 2 membre par
cosinus.
Sa donne → ω(M) = cos(α)q(α,γ)F(α,γ)tan(α)
Maintenant je vais remplacer tan(α) par f (x) ~ tan(α) et je derive les 2

expressions de F(α,γ) sans considerer le nombre de variable (c'est
dans un premier temp et si la solution n'est pas bonne alors il faudra
chercher une solution avec les derivees partiel ...moi je vais juste
ecrire l'equation differentiel normale etant donner que sa me fait
trop
de calcul avec l'equation aux derive partiel (il ya d’autre solution
d’equation) ..alors que le but ici c'est d'orienter vers une solution
exact a retravailler .

Bon alors si je fait pas attention au nombre de variable sa donne
[F(α,γ)]' = (U/V)'=(U'V-UV')/V2
et on comparant les 2 expressions de cette deriver sa donne une
equation differentiel du premier ordre en ω(M) , ( sans second
membre )
[q( x , y)sin( x)]' −[q(x , y )cos( x , y) f ( x)]' ω' ( M )
=
q( x , y)[sin( x )−cos ( x ) f ( x)]
ω( M )
ψ(α , γ , f , f ') ψ ω ' (M )
pour simplifier → χ (α , γ , f ) = χ = ω(M )

la solution en utilisant la fonction Ln et exp →

ω( M )=Ce

ψ

∫∫ χ dxdy

)

se qui permet d'avoir une fonction de distribution des ondes a metre
dans l'equation a resoudre et si quelqu'un arrive a definir les
operation avec la fonction exponentiel etc … il reste a chercher la
bonne solution en essayant toute les variantes d’equation possible
.l’autre probleme est de relier des conditions initial au probleme
pour
avoir la valeur de la constante d’integration etc... ).
________________________________
remarque :
on peut poser directement f (α) ~ sin(α) (un *developpement limiter
sans reste) et deriver les 2 expressions de ω(M ) pour avoir
l’equation differentiel
[q( x , y) sin( x)]'−[q( x , y ) f ( x)]' F ' ( x , y)
=
q( x , y)[ f (x)−sin( x )]
F ( x , y)

pour le choix de sin~f ou tan~f ,c’est une histoire de resolution de la
mesure au niveau mathematique .
L’autre remarque c’est que si M est un vecteur complexe de
dimension n alors l’equation represente le produit d’une matrice
carre A d’ordre n est d’un vecteur complexe X (les elements de la
matrice étant des fonctions ).
∫∫q(α

, γ) F (α , γ) sin(α)d α d γ=AX

donc ω(M )=[
M=AX .

AX ] ' 'et

il reste a relier la solution avec la fonction

*developpement limiter sans reste :
un developpement limiter d’ordre n aux environ de x_0 est un polynome k(x)
de degres n + un reste relativement inconnue donc pour remplacer la fonction
sinus dans le 2ime membre de l’egalite qui permet d’avoir l’equation
differentiel il suffit de prendre n assez grand et ignorer le reste puisque la
solution exact n’est pas necessaire meme si elle existe a la limite …. c’est la
limite de la somme du developpement limiter sans reste lorsque n tend vers
l’infini.

Developpement limiter sans reste de la fonction sinus au environ de
zero :
3
5
7
2p+1
sin(x) ~ x− x + x − x +....+(−1)p x

3!

5!

7!

(2p+1)!

et
sinus(x) = lim K(x)_p lorsque p tend vers l’infini.
A partir de la on peut calculer la solution de l'équation sans second
membre : [ f ( x)1 qF ]'=[ f ( x)2 qF ]' ou f(x)_1 et f(x)_2 sont les
dévellopement limiter sans reste de la fonction sinus à lordre p et
q (x , y)' −q (x , y)
[±k ∫∫
dxdy ]
xq(x , y)
p+1 , sa donne la solution F ( x , y)=Ce
avec k impair ...
(plus k est grand et plus la fonction est proche de la solution exact) .
Le probleme a résoudre c'est de trouver la valeur de la constante C
ensuite il faut trouver les operation pour calculer l'exponentiel de
q(x,y) mais j'ai pas cette fonction explicitement mais je pense que sa
se ramene aux formule d'Euler c'est a dire le calcul de l'exponentiel
d'un nombre complexe .
Bon ok , jusquici c'est toujour dans l'orientation étant donner que
c'est une histoire d'équations aux dériver partiel mais si vous
voulez une vrai solution et que vous étes limiter en mathématique et
bien vous n'avez qu'a paramétré la fonction sin(x)q(x,y)F(x,y) , voilà
pour vous aidez :

paramétrage :
si vous voulez ramenez l’equation a une seule variable vous pouvez
utiliser un parametrage . Voila ma technique personnel :
j’utilise les coordonner du cercle a rayon variable c’est a dire
x=sin(α)ϕ(α) et y=cos(α)ϕ(α) ensuite je calcul la fonction R=ϕ(α)
ex :
x²y−3x+5=0 devient sin(α)cos(α)ϕ(α) −3sin(α)ϕ(α)+5=0 qui donne une
equation algebrique du 3ieme degres en R donc 3 solution possible
qui sont lier au domaine de definition de la courbe (1 seule rayon
possible pour chaque valeur de l’angle donc les autre solution sont
complexe mais ils permettent de parametre completement la
courbe).
_______________________
Le probleme revient donc a calculer la fonction R et ensuite calculer
la valeur de la constante d’integration .
3

Ex : F =C 1 e∫∫ χ dxdy avec un developpement limiter sans reste de la
fonction sinus a l’ordre p et trouver une autre expréssion de la
fonction sinus ..(pas un dévellopement limiter
sans reste , une autre
ψ
∫∫ χ dxdy
série convergente ).. pour avoir F =C 2 e
se qui donne l’equation en R:
ψ1
1

2
2

ψ

∫∫ χ11 dxdy

C1 e

ψ

∫∫ χ22 dxdy

=C 2 e



C 1 ∫∫ ψχ − ψχ
=e
C2
2

1

2

1

dxdy



ψ2 ψ1
χ2 − χ1 =0 en posant C 1=C 2

________________________________________________

….. Lorsque vous avez trouvez un paramétrage alors vous avez
une solution ...(l'équation est en bas de la page dans le cadre)
...puisque j'ai calculer la solution de l'équation différentiel sans
second membre et que je peut poser que C est une fonction de x
(la méthode est connue) c'est à dire remplacer F(x,y) dans
l'équation ω( M )' =[q ( x , y )sin( x) F ( x , y)]' =(qs )' F +qsF ' par
F(x,y)=C(x)g(x,y) =Cg avec

g ( x , y)=e

[±k

∫∫ q ' −q ]
xq

se qui donne :

ω '=( qsF )' =(qsCg )' =C ' ( qsg)+C [(qs)' g+(qs ) g ' ]
(q=q(x,y),s=sin(x) ok)

le 2ieme terme s'anule puisque g est solution de l'équation
différentiel sans second membre (qs)'F+(qs)F'=0
c'est à dire C[(qs)'g+(qs)g]=0 donc l'équation se réduit à
ω ' =(qsg )C '

donc

C=∫∫

F= Cg=

ω'
dxdy+K
qsg

+ K donc la solution général est

±k
ω'
[∫∫
dxdy+ K ][e
qsg

∫∫ q ' −q dxdy
xq

]

et la solution finale de Fabricio Végass avec un paramétrage de
F(x,y) (c'est a dire x=P(z)_1 et y=P(z)_2 ) s'écrit .
±k ∫
ω'
F =Cg=[ ∫
dz+ K ][e
qsg

q '−q
dz
p1 q

]

et il reste a remplacer ω' par une bonne expréssion ...( on a la
relation ω'F= ωF' donc ω et F s'écrive de la méme façon a une
constante prés ) _____
ex:
ω=C_2g=qsCg donc ω'=C_2g' et puisque qs=C_2/C →

ω'=

Cg '
g

se qui donne une équation diférentiel de C en éliminant g en
facteur dans les 2 membres et en dérivant → C'g=Cg'
∫ gg' dz

∫ gg' dz

→ F= [e ] g …. dans tout les cas si je me suis tromper
quelque part dans les calculs , la solution est la quelque part dans
cette direction ok ...
C=e

résumé :
On part de l'équation ω(V)= sin(x)q(x,y)F(x,y) ↔ ω=sqF.
(pour simplifier l'écriture je vais faire avec des fonction
paramétrique pour ramener a une variable z ).
p(z)_1=x
p(z)_2=y
________________________________
Je remplace le fonction sinus par 2 dévellopement :
sin(z) ~

f ( z )1

~

f ( z )2

f_1 étant un dévellopement limitter sans reste a l'ordre p et f_2 un
dévellopement imiter sans reste à l'ordre p+1.
Sa donne les équation

f 1 q F= f 2 q F

et

ω = ω
f 1q f 2q

on dérive les 2 membres et on résout en F et ω.
∫ ψχ dz

ω=c 2 e

avec

et

∫ ψχ dz

F =C 1 e

ψ=( f 1 q) '−( f 2 )'

et

χ=q( f 2− f 1 )



ψ
q ' −q
χ =±k [ q ]

maintenant vous considérez la constante C_1 comme une fonction
de z et vous résolvez l'équation
ω '=( qsF )' =(qsCg )'=C ' (qsg)+C [(qs)' g+(qs )g ' ]
(q=q(x,y),s=sin(x) ok)

le 2ieme terme s'anule si g est une fonction solution de l'équation
(qs)'g+(qs)g'=0 ensuitte il reste a résoudre en C(x)_1.

Sa donne

−( qs) ' g '
=
(qs )
g

donc

−∫

g=C 1 e

et il reste à résoudre en C_1 →
ψ
∫ χ dz

ω ' =C 2 e

ψ
( χ )=C 1 ' qsg

(qs)'
dz
(qs )

ln (

=C 1 e

1
)
qs

ln (qs)

ω ' =C 1 ' qsg=C 1 ' qsC 1 e

ψ
χ

on remplace ω' par C e∫ et comme C_2 =qsC_1 on a l'équation

↔ e∫ =C ' e
donc C =∫ e
et tu a la
sqC e =sqC ' C e
solution que tu cherche → F=C_1g
…....................................................... en tout cas si je me suis
tromper dans les calculs, c'est pas loin ... ensuite reste plus qu'a
trouver les opération sur le noyaux d'intégration et sa dériver (+,
- , multiplication , division et l'exponentiel )_____ pour les
fonctions paramétrique vous n'avez qu'a prendre 2 expréssion
algébrique (un dévellopement limiter et une autre somme ) S_1 et
S_2 qui aproche sinus assez prés ensuite vous résolvez en δ
l'équation S [sin ( z )δ(z )]=S [sin( z )δ( z)] ↔ S_1(x)=S_2(x) pour avoir :
2

ψ
χ

1

ln sq

1

ψ
χ

1

1

ψ
χ −ln(sq) dz

ln (sq)

1

1

2

x=sin (z )δ ( z )et y=cos (z )δ( z )

….......................................................................................................
................................... bon les targets je vous laisse bricoler la
dessus etc..., et dés que vous avez les angles à partir des mesures
du champ vous verifiez au telescope qu’il y a bien un truc en
position geostationaire ou autre, ensuite vous pointer un laser pour
avoir les angles exact qui vont servir a faire le croisement d’onde
scalaire (juste pour chauffer les circuit electronique , pas besoin de
beaucoup d’energie)

_________________________________
The End
Good luck TI people
FB


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