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DM 1

QUADRATURE DE LA PARABOLE


Le plan P est muni d'un repère orthogonal (O, i , j ).

On considère la fonction ƒ, définie, sur , par :
ƒ(x) = x

2

Le but du problème est de calculer l'aire A du domaine D suivant :
D = {M(x, y) ∈ P tels que 0

TS

x

1 et 0

y

ƒ(x)}

Concrètement, D est la zone située entre la courbe Cƒ de ƒ, l'axe des abscisses et les deux droites verticales
d'équations respectives x = 0 et x = 1. (Voir figure 1)

y

1



Pour calculer l'aire du domaine D, on l'encadre avec des
rectangles. Un première série de rectangles (en grisés
sur la figure 2), situés sous la courbe, de sorte que la
somme de leurs aires soit inférieure à A. D'autres, plus
grands (en blanc sur la figure 2) de sorte que la somme
de leurs aires soit supérieure à A.

D

O

y

1

Figure 1

1



Figure 2

Découpe du segment [0 ; 1]
en 5 tranches

O

1
5

2
5

Largeur des rectangles :

3
5

4
5

1

x

1
5

TS DM1 : quadrature de la parabole

Page 1

G. COSTANTINI

x

1. À l'aide d'un raisonnement géométrique élémentaire, expliquer pourquoi l'aire A du domaine D vérifie :



A

1
2

2. À l'aide de la figure 2, démontrer que :
6
25



A



11
25

3. On se propose maintenant de découper le segment [0 ; 1] en n tranches d'égales longueurs puis d'étudier ce
qui se passe lorsque n tend vers +∞ (c'est-à-dire lorsque la largeur des rectangles tend vers 0)
Les n tranches sont donc :
1
1 2
2 3
n −1
,
;
,
;
, .... ,
;1
n
n n
n n
n

0;
Ce que l'on peut noter encore

k

k k +1
;
, 0
n
n

n−1

(Voir figure 3)
a) À l'aide de la figure 3, compléter le tableau suivant :

1
n

0;

Tranche
Hauteur des rectangles hachurés en

1 2
;
n n

2 3
;
n n

0

Hauteur des rectangles hachurés en

b) On note, pour tout n ∈

.

Ainsi, on a :
Démontrer que pour tout n ∈

sn
*

sn =



A



k k +1
;
n
n

...

...

...

...

...

, sn la somme des aires des rectangles hachurés en

des rectangles hachurés en

n −1
;1
n

et Sn la somme des aires

Sn

:
1 2
(1 + 22 + ... + k2 + ... + (n − 1)2)
n3
sn =

Ce que l'on note encore :

Démontrer aussi que :

...

Sn = sn +

c) Démontrer par récurrence que pour tout n ∈
n

k2 =
k =1

1
n3

n −1

k2
k =1

1
1
= 3
n n

n

k2
k =1

*

, on a :

n(n + 1)(2n + 1)
6

d) En déduire la limite de la suite (Sn) et celle de la suite (sn).
Conclure.

TS DM1 : quadrature de la parabole

Page 2

G. COSTANTINI

y
1



Figure 3


O

1
n

2
n


k
n

k +1
n

Largeur des rectangles :

TS DM1 : quadrature de la parabole

n−2
n

n −1
n

1

x

1
n

Page 3

G. COSTANTINI

DM 1

QUADRATURE DE LA PARABOLE : CORRIGÉ

TS

1. Le domaine D est entièrement contenu dans une moitié de carré (coupé en deux suivant une diagonale). Ce
carré étant de côté 1, on a donc :

A



1
2

2. On calcule la somme des aires des quatre rectangles grisés (on la note s5 pour avoir des notations compatibles
1
avec la question 3). Ces rectangles ont tous pour largeur . Leurs hauteurs respectives sont les images, par la
5
1
2
3
4
fonction t
t2, des réels , , et , d'où :
5
5 5 5
1 1 2
6
2 2
3 2
4 2
s5 =
+
+
+
=
5 5
25
5
5
5
On calcule, de même, la somme des aires des cinq grands rectangles blancs :

S5 =

1
5

2

1
5

2

2
5

+

2

3
5

+

4
5

+

2

+ 12 =

11
25

Comme les rectangles grisés sont entièrement contenus dans le domaine D qui, lui-même, est entièrement
contenu dans les grands rectangles blancs, on a bien :



6
25

A



11
25

3. La hauteur de chaque rectangle est l'image, par la fonction t
borne supérieure (pour

t2, de la borne inférieure (pour

) ou la

).

a) On a donc :
1
n

0;

Tranche
Hauteur des rectangles hachurés en

0

Hauteur des rectangles hachurés en

1
n

1 2
;
n n

2

1
n

En factorisant par

2

1
n

2
n

+

2

...

k k +1
;
n
n

1
n

2

2
n

2

...

k
n

2
n

2

3
n

2

...

k +1
n

1
, on a pour tout n ∈
n

b) Comme la largeur des rectangles est égale à

sn =

2 3
;
n n

2

k
n

+ ... +

+ ... +

*

2

2

...

n −1
;1
n

...

n −1
n

...

2

1

:

n −1
n

2

1
dans la grande parenthèse, il vient :
n2

sn =

1 2
(1 + 22 + ... + k2 + ... + (n − 1)2)
3
n

sn =

C'est-à-dire :

1
n3

n −1

k2
k =1

De même, on a :

Sn =

1
n

1
n

2

+

2
n

2

+ ... +

k
n

2

+ ... +

n −1
n

2

+1

D'une part, on a :
TS DM1 : quadrature de la parabole

Page 4

G. COSTANTINI

1
n

Sn =

1
n

2

2

2
n

+

2

k
n

+ ... +

+ ... +

+

1
1
× 1 = sn +
n
n

1 2
1
(1 + 22 + ... + k2 + ... + (n − 1)2 + n2) = 3
3
n
n

Sn =

c) On considère la propriété ℘, définie pour tout n ∈
n

℘(n) :
2

• On a ℘(1) puisque 1 =

n

k2
k =1

*

, par :

n( n + 1)( 2n + 1)
6

k2 =
k =1

1× 2 × 3
. La propriété ℘ est donc initialisée au rang 1.
6

• Montrons que, pour tout n ∈

*

:

℘(n)

℘(n + 1)

k2 =

n( n + 1)( 2n + 1)
6

n
*

2

1
n2

D'autre part, en factorisant par

Soit n ∈

n −1
n

. Supposons ℘(n) :
k =1
n +1

n

k 2 + (n + 1)

k2 =

On a :
k =1
n +1

Et d'après ℘(n) :

k2 =
k =1
n +1

En factorisant par (n + 1) :

k2 =
k =1

n +1

2

k =1
2
n(n + 1)(2n + 1)
+ (n + 1)
6

(n + 1)[ (n(2n + 1) + 6(n + 1)]
6

(n + 1)(2n 2 + 7n + 6) (n + 1)(n + 2)(2n + 3)
=
6
6

k2 =
k =1

Ce qui est ℘(n + 1)
On a donc bien montré que pour tout n ∈

*

: ℘(n)

℘(n + 1)

La propriété ℘ est donc héréditaire à partir du rang 1.
D'après le principe de raisonnement par récurrence, on en déduit :
pour tout n ∈
C'est-à-dire, pour tout n ∈

*

*

, on a℘(n)

:
n

k2 =
k =1

n( n + 1)( 2n + 1)
6

d) On déduit des questions b) et c) que :
Sn =

n(n + 1)(2n + 1) (n + 1)(2n + 1)
=
6n3
6n 2

Calculons la limite de la suite (Sn). Pour cela, on écrit :
Sn =

1
2n 2 + 3n + 1 1
1
=
+
+
3
2n 6n 2
6n 2

Or, on sait que :

TS DM1 : quadrature de la parabole

Page 5

G. COSTANTINI

lim

1
1
=0
= lim
n→+∞
2n
6n 2

lim

1
1 1
1
+
+ 2 =
3
3 2n 6n

n→+∞

D'où, par somme :

n→+∞

lim Sn =

n→+∞

sn = Sn −

Par ailleurs, on a vu que :

lim sn =

On obtient donc, par somme :

n→+∞

Concluons : on a vu que, pour tout n ∈

*

n→+∞

n→+∞

1
n
1
3

:
sn

Comme lim sn = lim Sn =

1
3



A



Sn

1
, le théorème des gendarmes permet d'affirmer que :
3
A=

1
3

Conclusion : l'aire du domaine délimité par la parabole d'équation y = x2, l'axe des abscisses et les
deux droites verticales d'équations respectives x = 0 et x = 1 est égale à

TS DM1 : quadrature de la parabole

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1
.
3

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