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19/07/2014 (mise à jour)

Solution finale de Fabricio Végass
Bon ben j'ai bricoler sur mon truc et finalement j'ai une solution ou
presque.
__________________________________
Rappel de l'équation :
L'équation à résoudre → V =∫∫ q(α , γ) F (α , γ)sin(α) d α d γ
(O à π pour l ' intégral intérieur et 0 à 2 π pour l ' intégral extérieur)
( (0 à 2π pour l ' intégral extérieur et 0 à π pour l ' intégral intérieur)

pdf avec l'equation → http://lpce.cnrs-orleans.fr/www_dls/thesis/prot/prot.pdf
ou alors ici → http://www.fichier-pdf.fr/2014/07/14/olivier-prot/
_________________________________________________

Je pose que la fonction de distribution des ondes F(x,y) existe et
j'applique l'inverse de l'opérateur integral double au 2 membres
La fontion s'écrit :
V (α , γ)=∫ [∫ sin (α)q(α , γ) F (α , γ)d α ]d γ

V est un vecteur complexe de dimmenssion n
q est une fonction de la surface de la sphère unité (les 2 angles) vers l'ensemble
des vecteur complexe de dimmenssion n.
F est une fonction des angles vers l'ensemble des nombres réel positif
(c'est la fonction de distribution des ondes c'est à dire la fonction qui donne la densité d'energie
electromagnetique en chaque point de la sphère , c'est un peut le principe du panneau solaire vous
voyez , si l'angle d'attaque des rayon solaires est incliner , l'energie capter est plus petite que
l'energie capter d'un rayon de soleil orthogonal à la surface sphérique donc les maximum de la
fonction de distribution des ondes donne probablement les point de la sphère ou la direction des
ondes sont orthogonal ).

je pose un paramétrage

α= p 1 (x)ϕ( x )et γ= p 2 (x ) ϕ( x)

d'équation différentiel dαdγ=1 → (dαdγ)'=0

qui vérifie le systeme

je pose x=y (c'est juste pour savoir ou sont les variable α et γ par la suite) .
je fait le changement de variable dans l'intégrale double pour avoir une équation
équivalente .
V (α , γ)=∫ [∫ sin (α)q(α , γ) F (α , γ)d α ]d γ
(O à π pour l ' intégral intérieur et 0 à 2 π pour l ' intégral extérieur)

=
b

b

∫a sin [ p 1( x)]q [ p1 ( x) , p2 ( y )] F [ p1 (x ), p 2 ( y)] dx = ∫a sin [ p 1( x)]q 2 (x )F 2 ( x)dx
=

V 2 ( x)

Si les condition sont rempli on a :
F (α , γ)=F 2( x)

,

q (α , γ )=q 2 (x )

,

sin(α)=sin[ p1 ( x )]=sin 2 (x)



V (α , γ)=V 2 (x )

donc je vais opéré sur la fonction équivalente : V 2 ( x)=∫ sin 2 (x )q 2 (x ) F 2 ( x)dx
_____________________________________
l'autre idée c'est de remplacer la fonction sinus par 2 fonction approché
f 1 (α) et f 2 (α) c'est à dire sin(α) ~ f 1 (α) ~ f 2 (α)

Les expréssions approché de sinus que j'ai choisi :
f 1 (α)

f 2 (α)

étant un dévellopement limitter sans reste à l'ordre p et
un dévellopement imiter sans reste à l'ordre p+1.

Rappel:
sin(x) ~

x−

x3 x5 x7
x 2p+1
= K(x)
+ − +....+(−1) p
3! 5! 7!
(2p+1)!

et
sinus(x) = lim K(x) lorsque p tend vers l’infini.

Suite du raisonement .
…. se qui donne 2 expréssion relativement équivalente de la fonction F_2(x)

par rapport au problème physique à résoudre.
F 2 ( x)=

V 2'
sin 2 (x )q2 ( x)

V 2'
f 1 ( x)q 2( x)

~

~

V 2'
f 2( x) q 2 (x )

Je pose que les 2 expréssion sont identique (il sont identique a la limite mais
c'est une forme indeterminer et de toute façon j'ai juste besoin d'une
aproximation sufisante.
V 2'
f 1 ( x)q 2( x)

Sa donne donc une équation en V'_2 :

=

V 2'
f 2 ( x)q 2 (x )



f 1 (x) q 2 (x )V 2 ' = f 2 ( x )q2 ( x)V 2 '

L'autre idée c'est de dériver les 2 membre pour pouvoir calculer V'_2.
[ f 1 ( x) q 2( x)V 2 ' ]' =[ f 2 ( x) q 2( x) V 2 ' ]'

Et sa me pose aucun probleme d'utiliser la formule de dérivation des fonction
d'une variable pour avoir l'équation différentiel :
V 2 ' ' f 1 (x )q2 ( x)+V 2 ' [ f 1 (x )q2 ( x)]'=V 2 ' ' f 2 ( x)q 2 (x )+V 2 ' [ f 2 (x )q 2 (x )]'
V 2 ' ' [ f 2 ( x ) q2 ( x)] '−[ f 1 ( x )q2 ( x)]'
=
V2'
q 2 ( x )[ f 1 ( x)− f 2 ( x)]
¿

sa donne

je pose

V 2 ' =ω

ω' [ f 2 (x )q2 ( x)]'−[ f 1 ( x)q 2( x)]'
ω=
q ( x)[ f ( x)− f (x )]

et je résout

2

1

=

2

ψ
χ

ψ

la solution est ω=C 2 e∫ χ dx et si je cherche à calculer F_2(x) au lieu de ɷ je
trouve la méme solution c'est a dire à une constante d'intégration prés
ψ

∫ χ dx

F 2 ( x)=C 1 e

se qui fait qu'on a


Bon ok comme on a
ψ

dx

V 2 =C 2∫ e χ dx

ψ

∫ χ dx

C2 e

ψ

∫ χ dx

=sin2 ( x)q 2 ( x )C 1 e

C 2=sin 2 ( x )q2 ( x)C 1
ψ

∫ χ dx

ω=C 2 e

je vais intégrer pour avoir V_2

maintenant j'utilise la propriété C_2=sin_2(x)q_2(x)C_1 →

C 2=

V2
ψ

∫ χ dx

∫e

=sin2 ( x)q 2( x) C 1



∫ ψχ dx

F 2 (x)=C 1 e

∫ ψχ dx

=

V 2e

ψ

∫ χ dx

sin 2 ( x)q 2 (x )∫ e

dx

Cette fonction est sufisante pour résoudre le problème , pas besoin de faire la
transformation vers F(α,γ) étant donner que se qui compte c'est les maximum
(la ou l'energie électromagnetique est forte c'est la ou les angles d'attaque sur la
sphère unité sont ~orthogonal ) cette fonction est finalement plus pratique
puisque on va pouvoir représenter la courbe sous une certaine condition sur les
fonctions paramétrique ).
les maximum sont dans les extrémum (dans les creux ou les bosses du
graphique de la fonctions dans R² ) donc les angle rechercher sont la ou la
dériver s'anule c'est a dire solution de l'équation F ' 2 ( x 0)=0 .
Lorsque toute les solution x_0 sont trouver vous selectionez la ou les solution(s)
x_0 tel que F ( x 0)=maxi ou F ( x 0) ~ maxi , et ensuite vous convertissez pour
avoir les angles qui vous intéresse → α= p 1 (x) et γ= p 2 (x ) .
_________________________________________

Les fonctions paramétrique .
j’utilise les coordonner du cercle à rayon variable c'est à dire que je pose
x=sin(z)φ(z) et y=cos(z)φ(z) .

ex :

x²y−3x+5=0 devient sin(z )cos( z) ϕ3 ( z )−3sin (z ) ϕ( z)+5=0 qui donne une equation
algebrique du 3ieme degres en R=φ(z) donc 3 solutions possible qui sont lier au domaine de
definition de la courbe (1 seule rayon possible pour chaque valeur de l’angle donc les autre solution
sont complexe mais ils permettent de parametre completement la courbe). Le probleme revient donc
a calculer la fonction R et ensuite calculer la valeur de la constante d’integration .

_________________________

Bon ok , le problème est donc le calcul des fonctions paramétrique
p 1 (x) et p 2 (x) et pour ça je vais utiliser se qu'il y a dans les fonction ψ et χ c'est
a dire que je vais résoudre le systeme d'équation : d α d γ=1 et(d α d γ)' =0 .

aprés regroupement le systeme d'équation différentiel s'écrit :
dxdy = sin(x)cos(x)[φ'(x)²-φ(x)²]+[cos(x)²-sin(x)²]φ'(x)φ(x) = 1
&
(dxdy)'= sin(x)cos(x)[2φ'(x)φ''(x)-6φ(x)φ'(x)] +
[cos(x)²-sin(x)²][2φ'(x)²-φ(x)²+φ(x)φ''(x)] = 0
la 2ieme équation se résout en anulant les 2 termes c'est à dire en résolvant le
systeme d'équation :

2φ'φ''-6φφ'= 0 & 2φ'²-φ²+φφ''= 0
de la première équation on a : φ''=3φ que l'on reporte dans la
2ieme équation pour avoir l'équation φ'(2φ'²+2φ²)=0 .
la première solution à l'air ''trivial'' φ'=0 → φ=k
la 2ieme solution a l'air de faire l'affaire
φ(x) = iφ'(x)
que l'on peut raporter dans l'équation dxdy=0 pour avoir
finalement

ϕ( x )=∫

dx
[sin(2x )+icos( 2x)]0,5

= ∫e

−ix

dx

=

−1
+k
ie ix

Et on a le paramétrage α = sin(x)φ(x) & γ = cos(x)φ(x)
Il y a encore un probleme à résoudre étant donner que les angles sont
généralement complexe et nous voulons des angles réel donc ici la solution c'est
d'utiliser 2 valeurs de la constantes d'intégration k pour anuler les partie
imaginaire des angles :
α=

−sin( x)
+sin ( x) k 1
ie ix

&

γ=

−cos (x)
+cos( x) k 2
ieix

pour vérifier tout ça il faut utiliser les formules d'Euler en prenons en compte
que jes angles sont mesurer dans le sens indirect (par rapport a l'axe des y).
Rappel des formules d'Euler :
mesure des angle par rapport à l'axe des x (sens contraire des aiguille
d'une montre )
les formule se font a partir des égalitées suivante :
e^(ix)=cos(x)+isin(x) et e^(-ix)=cos(x)-isin(x)
sa donne les expréssions:
cos (x)=

eix +e−ix
2

&

sin( x)=

e ix −e−ix
2i

moi j'ai paramétré en mesurant les angles dans le sens des aiguille d'une
montre donc sa revient à permuter sin et cos dans les formules d'Euler ,
c'est tout , c'est une convention .
Sa donne


ix

e =sin ( x )+icos( x)

e ix +e−ix
sin( x)=
2

&

&

−ix

e =sin (x )−icos( x)

eix −e−ix
cos (x)=
2i

________________________________________

Les remarques :
Vérification ?
Aprés les corrections (j'ai surement fait des érreur de calcul ) , il faut vérifier
que la logique est bonne c'est à dire qu'ils faut soit inverser les fonctions
−1
paramétrique et vérifier que F ( α , γ)=F 2 [ p−1
1 (α) , p2 ( γ)] est bien une fonction
solution de l'opérateur intégral

→ V =∫∫ q(α , γ) F ( α , γ)sin(α) d α d γ

(O à π pour l ' intégral intérieur et 0 à 2 π pour l ' intégral extérieur)

mais le probleme c'est que méme si les fonctions paramétrique sont inversible
d'une façon ou d'une autre on sait plus ou sont passer les x de l'angle α et les x

de l'angle γ (sont confondu dans le calculde F_2(x) ) … voilà l'idée pour
résoudre se probleme (c'est un truc a moi donc les conditions sont pas défini ,
c'est au cas ou ok)… dans la plupart des cas les variable sont concerver
lorsqu'on pose x=y de façon a savoir ou sont les x lier à α et les x lier à γ
−1
F 2 ( x) pour
ensuite il suffit de remplacer x et y par p−1
1 ( α)=x et p 2 ( γ)= y dans
avoir la fonction F ( α , γ) .
______________________________________
Si cette technique n'est pas possible pour une raison ou une autre alors il faut
vérifier que la fonction V 2 ( x)=∫ sin 2 ( x )q 2 (x ) F 2 ( x) dx est bien bijectif en
cherchant la matrice de l'opérateur linéaire puisque V_2(x) est un vecteur
complexe de dimmenssion n image du vecteur complexe sin2 ( x) q 2 ( x ) F 2 (x ) de
la méme dimmenssion . La fonction q_2 est un vecteur complexe de
dimmenssion n donc vous pouvez toujour chercher à calculer les paramétre qui
sont dans les coéficients c'est a dire que vous pouvez toujours remplacer le
noyaux d'intégration par un vecteur complexe avec 2n paramétre fonction de x.
q 2 (x )=[a 1 ( x )+b 1( x)i , a2 ( x)+b2 ( x)i , ....... , a n ( x)+bn ( x)i]

____________________________________________

Voila en gros le raisonement ...... en tout cas si je me suis tromper
dans les calculs , la logique est la , reste juste à faire fonctionner ...

_____________________________________

intégrer l'exponentiel d'une fonction de x ?
Dans le cas général on sait pas trouver une primitive de e mais
vous pouvez utiliser le dévellopement limitter sans reste de la
fonction exponentiel et integrer un polynome en f(x).
f (x)

rappel : e^(x) ~ 1+x+x^2/2!+x^3/3!+..........+x^n/n !
vous choisissez n le plus petit possible (le principal c'est d'avoir 2
ou 3 chiffre exact aprés la virgule dans le résultat finale ).
___________________________
solution exact a la limite .

Avec les dévellopement limitter de sin(x) a lordre p et p+1 qui
sont dans la fonction aprés calcul on trouve quelque chose comme
q ' ( x)−q ( x)
ψ( x)
=±k [
] avec k impair lier a lordre des dévellopement
χ( x)
p (x )q ( x)
2

1

2

2

donc lorsque k tend vers l'infini , la fonction de distribution des
ondes s'aproche de la solution exact .faut donc chercher la limite .
________________________________________
The End
_____________________________________
Mon truc de départ tout emmeler... (imbrication du faux , du vrai ,de
l'inutile et de l'utile)... c'est la →
file:///C:/Users/fabrice/Downloads/FDO_final.pdf
http://www.fichier-pdf.fr/2014/07/19/fdo-xfiles-1/
Rappel de La solution final → http://www.fichierpdf.fr/2014/06/24/recherch-destroy/
Les targets → http://www.examiner.com/article/collateral-damageusa-extremist-cells-target-350-000-us-civilians

Good luck TI people
FB
_________________________




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