SOLUTIONFINALE 2 .pdf



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19/07/2014 (mise à jour)

Solution finale de Fabricio Végass
Bon ben j'ai bricoler sur mon truc et finalement j'ai une solution ou
presque.
__________________________________
Rappel de l'équation :
L'équation à résoudre → V =∫∫ q(α , γ) F (α , γ)sin(α) d α d γ
(O à π pour l ' intégral intérieur et 0 à 2 π pour l ' intégral extérieur)
( (0 à 2π pour l ' intégral extérieur et 0 à π pour l ' intégral intérieur)

pdf avec l'equation → http://lpce.cnrs-orleans.fr/www_dls/thesis/prot/prot.pdf
ou alors ici → http://www.fichier-pdf.fr/2014/07/14/olivier-prot/
_________________________________________________

Je pose que la fonction de distribution des ondes F(x,y) existe et
j'applique l'inverse de l'opérateur integral double au 2 membres
La fontion s'écrit :
V (α , γ)=∫ [∫ sin (α)q(α , γ) F (α , γ)d α ]d γ

– V est un vecteur complexe de dimmenssion n
– q est une fonction de la surface de la sphère unité (les 2 angles) vers
l'ensemble des vecteur complexe de dimmenssion n.
– F est une fonction des angles vers l'ensemble des nombres réel positif
(F c'est la fonction de distribution des ondes c'est à dire la fonction inconue . Elle donne une mesure
de l'energie electromagnetique en chaque point de la sphère , c'est un peut le principe du panneau
solaire vous voyez , si l'angle d'attaque des rayon solaires est incliner , l'energie capter est plus
petite que l'energie capter qui vient d'un rayon de soleil orthogonal à la surface sphérique donc
finalement c'est les maximum de la fonction de distribution des ondes qui donne probablement les
point de la sphère ou la direction des ondes sont orthogonal donc les mesure de F est au maximum).

_____________________________________
je pose un paramétrage

α= p 1 (x)ϕ( x )et γ= p 2 (x ) ϕ( x)

qui vérifie le systeme

d'équation différentiel dαdγ=1 → (dαdγ)'=0.
je fait le changement de variable dans l'intégrale double pour avoir une équation
équivalente .
V (α , γ)=∫ [∫ sin (α)q(α , γ) F (α , γ)d α ]d γ

(O à π pour l ' intégral intérieur et 0 à 2 π pour l ' intégral extérieur)

=
b

b

∫a sin [ p 1( x)]q [ p1 ( x) , p2 ( y )] F [ p1 (x ), p 2 ( y)] dx = ∫a sin [ p 1( x)]q 2 (x )F 2 ( x)dx
=

V 2 ( x)

Si les condition sont rempli on a :
F (α , γ)=F 2( x)

,

q (α , γ )=q 2 (x )

,

sin(α)=sin[ p1 ( x )]=sin 2 (x)



V (α , γ)=V 2 (x )

et je peut opéré sur la fonction équivalente : V 2 ( x)=∫ sin 2 (x )q 2 (x ) F 2 ( x) dx
_____________________________________
l'autre idée c'est de remplacer la fonction sinus par 2 fonction approché
f (α)et g (α)

c'est à dire

sin(α)

~

f (α)

~

g (α)

Voila les expréssions approché de sinus que j'ai choisi :
f (α)
g (α)

étant un dévellopement limitter sans reste à l'ordre p et
un dévellopement imiter sans reste à l'ordre p+1.

Rappel:
sin(x) ~

x−

x3 x5 x7
x 2p+1
= K(x)
+ − +....+(−1) p
3! 5! 7!
(2p+1)!

et
sinus(x) = lim K(x) lorsque p tend vers l’infini.

Suite du raisonement .
Comme j'ai ramener l'équation de départ à une équation ou il y a qu'une seule
variable je vais noter aussi les fonction f(α) et g(α) par rapport à x.
et

f (α)= f [ p1 ( x )]= f 1 (x )

g (α)=g [ p 1 ( x)]=g 1 ( x )

…. se qui donne 2 expréssion relativement équivalente de la fonction F_2(x)
par rapport au problème physique à résoudre.
F 2 ( x)=

V 2'
sin 2 (x )q2 ( x)

V 2'
f 1 ( x)q 2( x)

~

~

V '2
g 1 (x)q 2 (x )

Je pose que les 2 expréssion sont identique (il sont identique a la limite mais
c'est une forme indeterminer et de toute façon j'ai juste besoin d'une
aproximation sufisante.
Sa donne donc une équation en V'_2 :

V 2'
f 1 ( x)q 2( x)

=

V '2
g 1 (x)q 2 (x )



f 1 (x) q 2 (x )V ' 2 =g 1 ( x )q2 ( x) V ' 2

L'autre idée c'est de dériver les 2 membre pour pouvoir calculer V'_2.
[ f 1 ( x) q 2( x)V ' 2 ]' =[g 1 ( x) q 2 ( x) V ' 2 ]'

Et sa me pose aucun probleme d'utiliser la formule de dérivation des fonction
d'une variable pour avoir l'équation différentiel :
V 2 ' ' f 1 (x )q2 ( x)+V 2 ' [ f 1 (x )q2 ( x)]' =V 2 ' ' g 1( x) q 2 ( x )+V 2 ' [ g 1 ( x ) q2 ( x)]'
V 2 ' ' [ g 1 ( x ) q2 ( x)]' −[ f 1 (x )q2 ( x)]' ψ
sa donne
=

V2'
q 2 ( x )[ f 1 ( x)− g 1( x)]

je pose

V 2 ' =ω

et je résout

ω' [ g 1 ( x)q 2( x)]'−[ f 1 ( x) q 2 (x)]' ψ

ω=
q2 ( x)[ f 1( x)−g 1 ( x )]

ψ

la solution est ω=C 2 e∫ χ dx et si je cherche à calculer F_2(x) au lieu de ɷ je
trouve la méme solution c'est a dire à une constante d'intégration prés
ψ

∫ χ dx

F 2 ( x)=C 1 e

se qui fait qu'on a



C 2=sin 2 ( x )q2 ( x)C 1

ψ

∫ χ dx

C2 e

ψ

∫ χ dx

=sin2 ( x)q 2 ( x )C 1 e

Bon ok comme on a
ψ

∫ χ dx

V 2 ( x)=C 2∫ e
C 2=

V2
ψ

∫ χ dx

∫e

dx

ψ

∫ χ dx

ω=C 2 e

je vais intégrer pour avoir V_2

maintenant j'utilise la propriété C_2=sin_2(x)q_2(x)C_1 →

=sin2 ( x)q 2( x) C 1



∫ ψχ dx

F 2 (x)=C 1 e

∫ ψχ dx

=

V 2e

∫ ψχ dx

sin 2 ( x)q 2 (x )∫ e

dx

Cette fonction est sufisante pour résoudre le problème , pas besoin de faire la
transformation vers F(α,γ) étant donner que se qui compte c'est les maximum
(la ou l'energie électromagnetique est forte c'est la ou les angles d'attaque sur la
sphère unité sont ~orthogonal ) donc finalement cette focntion est plus pratique
puisqu'on va pouvoir représenter la courbe sous certaines conditions sur les
fonctions paramétrique ).
les maximum sont dans les extrémum (dans les creux ou les bosses du
graphique de la fonctions dans R² ) donc les angle rechercher sont la ou la
dériver s'anule c'est a dire solution de l'équation F ' 2 ( x 0)=0 .
Lorsque toute les solution x_0 sont trouver vous selectionez la ou les solution(s)
x_0 tel que F ( x 0)=maxi ou F ( x 0) ~ maxi , et ensuite vous convertissez pour
avoir les angles qui vous intéresse → α= p 1 (x) et γ= p 2 (x ) .
_________________________________________

Les fonctions paramétrique .
j’utilise les coordonner du cercle à rayon variable c'est à dire que je pose
x=sin(z)φ(z) et y=cos(z)φ(z) .

ex :

x²y−3x+5=0 devient sin(z )cos( z) ϕ3 ( z )−3sin (z ) ϕ( z)+5=0 qui donne une equation
algebrique du 3ieme degres en R=φ(z) donc 3 solutions possible qui sont lier au domaine de
definition de la courbe (1 seule rayon possible pour chaque valeur de l’angle donc les autre solution
sont complexe mais ils permettent de parametre completement la courbe). Le probleme revient donc
a calculer la fonction R et ensuite calculer la valeur de la constante d’integration .

_________________________

Bon ok , le problème est donc le calcul des fonctions paramétrique
p 1 (x) et p 2 (x) et pour ça je vais résoudre le systeme d'équation :
d α d γ=1 et(d α d γ)' =0

.

Aprés regroupement le systeme d'équation différentiel s'écrit :
dxdy = sin(x)cos(x)[φ'(x)²-φ(x)²]+[cos(x)²-sin(x)²]φ'(x)φ(x) = 1
&
(dxdy)'= sin(x)cos(x)[2φ'(x)φ''(x)-6φ(x)φ'(x)] +
[cos(x)²-sin(x)²][2φ'(x)²-φ(x)²+φ(x)φ''(x)] = 0
la 2ieme équation se résout en anulant les 2 termes c'est à dire en résolvant le
systeme d'équation :

2φ'φ''-6φφ'= 0 & 2φ'²-φ²+φφ''= 0
de la première équation on a : φ''=3φ que l'on reporte dans la
2ieme équation pour avoir l'équation φ'(2φ'²+2φ²)=0 .
la première solution à l'air ''trivial'' φ'=0 → φ=k
la 2ieme solution a l'air de faire l'affaire (2 solutions)
φ(x) = iφ'(x) ou alors φ'=iφ
que l'on peut reporter dans l'équation dxdy=1
x

(remarque : ici on a déjà des solutions ϕ1 ( x )=e i +k
et recalculer en intégrand la dérivé).

Bon ok , si je reporte simplement

et

ϕ=i ϕ '

ix
ϕ2 ( x )=e +k que l'on peut reporter

dans l'équation

d α d γ=1

sa donne

ϕ1 ( x )=∫

dx
[sin (2x )+icos(2x)]0,5

= ∫e

−ix

dx

=

1
+k
ie ix

_______________________
Si je reporte la 2ieme solution
ϕ2 ( x )=∫

−dx
[cos (2x)+isin( 2x)]0,5

ϕ=

ϕ'
i

sa donne

= ∫
[ie

−dx
+2cos ( 2x)]0,5

(2x )

Et on a les 2 solutions du paramétrage
α = sin(x)φ _1(x) = sin(x)[ 1/ie^(ix) +k]
γ = cos(x)φ_1(x) =cos(x)[ 1/ie^(ix) +k]
&
α = sin(x)φ _2(x)=sin(x) ∫

[ie

γ = cos(x)φ_2(x)=cos(x) ∫

−dx
0,5
+2cos ( 2x)]

(2x )

[ie

−dx
+2cos (2x)]0,5

(2x )

Il y a encore un probleme à résoudre étant donner que les angles complexe alors
que nous voulons seulement ceux qui sont réel donc ici la solution c'est
d'utiliser la constante d'intégration k pour anuler les partie imaginaire
des angles c'est à dire calculer k_1 et k_2 dans chaque fonction paramétrique:
Avec la premiere solution du paramétrage la constante k disparaît dans la partie
imaginaire (k est en facteur sur 2 terme opposé ) ...donc pas possible d'utiliser
k.
Il reste la 2ieme solution …..... (bon

je vous laisse faire les calculs et
éliminer la partie imaginaire des angles , dans le pire des cas il y a
d'autres techniques ...par principe je ferai les calculs plus tard, le
principal c'est que vous avancez).
______________________________

___________________________________________
pour vérifier tout ça il faut utiliser les formules d'Euler en prenons en compte
que jes angles sont mesurer dans le sens indirect (par rapport a l'axe des y).
Rappel des formules d'Euler :
mesure des angle par rapport à l'axe des x (sens contraire des aiguille
d'une montre )
les formule se font a partir des égalitées suivante :
e^(ix)=cos(x)+isin(x) et e^(-ix)=cos(x)-isin(x)
sa donne les expréssions:
eix +e−ix
cos (x)=
2

e ix −e−ix
sin( x)=
2i

&

moi j'ai paramétré en mesurant les angles dans le sens des aiguille d'une
montre donc sa revient à permuter sin et cos dans les formules d'Euler ,
c'est tout , c'est une convention .
Sa donne

e =sin ( x )+icos( x)



e ix +e−ix
2

ix

sin( x)=

&

&

cos (x)=

−ix

e =sin (x )−icos( x)

eix −e−ix
2i

________________________________________

Les remarques :
on a V 2 ( x)=∫ sin 2 ( x )q 2 (x ) F 2 ( x)dx qui est une application linéaire de C n vers C n
puisque l'intégrand est éssentielement une fonction de q_2(x) qui est un vecteur
complexe de méme dimmenssion que donc il y a une représentation matriciel de
l'opérateur .
________________________________________________________________
______ le rapport

ψ
χ

est du type

K 1 q ' 2 ( x )−K 2 q2 ( x)
K 3 q2 ( x)

ou K_1 ,K_2 et K_3 sont des scalaires quelconque .
Je Pose q 2 (x )=( z 1, z 2, z 3, z 4) et cherce à trouver le produit et la division sur ses
vecteur . On a seulement la somme des vecteurs mais pas de produit se qui
veut dire qu'il faut se débrouiller a trouver cette opération .
(a , b) a b
=( , ) etc...
La première opération a tester est
(c , d )

c d

___________________________________________________
Vérification ?
Il reste a savoir calculer le rapport

ψ( x)
χ( x)

pour tester la solution avec une

matrice spectral et un noyaux d'intégration factice (vous prenez des mesures du
champ se qui vous donne le vecteur complexe représentant la matrice spéctral et
vous résolvez l'équation en q 2 (x )=( z 1, z 2, z 3, z 4) l'image est un vecteur complexe
donc c'est ça qui compte ok .ensuite vous résolvez en x pour vérifiez que les
angles α et γ (que vous conaissez) sont bien solution des équation
p 1( x)=α et p2 ( x)=γ égal à trouver corespondent bien à la réalité .
Résumé : 1 → vous conaissez V 2 ( x) = vecteur complexe représentant la
matrice spéctral et vous résolvez en q 2 (x ) l'équation
b
V 2 ( x) = ∫a sin [ p 1( x)]q 2 ( x )F 2 ( x)dx (les borne a et b se déduisent du
changement de variable (α , γ) → x ) .
2 → vous résovez en x l'équation

p 1( x)=α ou alors p2 ( x)=γ

3 → vous vérifiez que les formules de résolution que vous avez calculer
fonctionne toujours c'est a dire quelque soit la donner V(α,γ) que vous testez ,
les formules obtenue sur un cas particulier vous donne toujour la valeur x tel
que p_1(x) ~ α et p_2(x) ~ γ.

____________________________________________

Voila en gros le raisonement ...... en tout cas si je me suis tromper
dans les calculs , la logique est la , reste juste à faire fonctionner ...

_____________________________________

intégrer l'exponentiel d'une fonction de x ?
Dans le cas général on sait pas trouver une primitive de e mais
vous pouvez utiliser le dévellopement limitter sans reste de la
fonction exponentiel et integrer un polynome en f(x).
f ( x)

rappel : e^(x) ~ 1+x+x^2/2!+x^3/3!+..........+x^n/n !
vous choisissez n le plus petit possible (le principal c'est d'avoir 2
ou 3 chiffre exact aprés la virgule dans le résultat finale ).
___________________________
solution exact a la limite .
Avec les dévellopement limitter de sin(x) a lordre p et p+1 qui
sont dans la fonction aprés calcul on trouve quelque chose comme
q ' ( x)−q ( x)
ψ( x)
=±k [
] avec k impair lier a lordre des dévellopement
χ( x)
p (x )q ( x)
2

1

2

2

donc lorsque k tend vers l'infini , la fonction de distribution des
ondes s'aproche de la solution exact .faut donc chercher la limite .
________________________________________
The End
_____________________________________
Mon truc de départ tout emmeler... (imbrication du faux , du vrai ,de
l'inutile et de l'utile)... c'est la → http://www.fichierpdf.fr/2014/07/04/solution-brut-fdo/solution-brut-fdo.pdf
Rappel de La solution final → http://www.fichierpdf.fr/2014/06/24/recherch-destroy/
Les targets → http://www.examiner.com/article/collateral-damageusa-extremist-cells-target-350-000-us-civilians

Good luck TI people
FB
_________________________




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